ВсОШ по экономике 2025/26, заключительный этап, 9 класс, тур 2

Посчитай приз одинокого лидера за два года, а потом сравни ожидаемую прибыль от вложений при двух возможных решениях конкурента.

а) Прибыль в этой отрасли бывает только у единоличного технологического лидера. Если обе фирмы работают с одинаковыми издержками (обе успели или обе провалились), цена падает до издержек и прибыль нулевая. Если же технология есть только у одной фирмы, лидер ставит цену $P = 2$ (на уровне издержек отстающего), продаёт все $300$ устройств и зарабатывает $(2 - 1)\cdot 300 = 300$ коинов за год, то есть $600$ коинов за два года.

Проверим, выгодно ли инвестировать, при каждом возможном решении соперника. Если конкурент тоже вкладывается, единоличным лидером фирма станет с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$, и ожидаемая чистая прибыль равна $E(\pi) = \frac{1}{4}\cdot 600 - 100 = 150 - 100 = 50 > 0$. Если конкурент не вкладывается, лидерство приходит уже с вероятностью $\frac{1}{2}$, и $E(\pi) = \frac{1}{2}\cdot 600 - 100 = 200 > 0$.

В обоих случаях инвестиции окупаются, значит вкладываться — доминирующая стратегия, и в равновесии исследования ведут обе фирмы. Новая технология появится в отрасли, если успеха добьётся хотя бы одна из них: $1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 75\,\%$.

б) Теперь преимущество лидера живёт только один год: на второй год технология становится общей, издержки сравниваются на уровне $MC = 1$, цена падает до $1$ и прибыль обнуляется. Приз лидера уменьшился с $600$ до $300$ коинов.

При обоюдных вложениях $E(\pi) = \frac{1}{4}\cdot 300 - 100 = 75 - 100 = -25 < 0$, поэтому «инвестируют обе» перестаёт быть равновесием. Если же соперник воздерживается, то $E(\pi) = \frac{1}{2}\cdot 300 - 100 = 50 > 0$, и одной фирме вкладываться по-прежнему выгодно. Равновесие в чистых стратегиях: инвестирует ровно одна фирма, вероятность появления технологии равна $\frac{1}{2} = 50\,\%$, то есть она упала на $25$ процентных пунктов по сравнению с пунктом а).

Есть и равновесие в смешанных стратегиях. Пусть соперник инвестирует с вероятностью $\alpha$; тогда ожидаемая чистая прибыль от инвестиций равна $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\alpha\right)\cdot 300 - 100 = 50 - 75\alpha$, и безразличие между вложением и отказом даёт $\alpha = \frac{2}{3}$. Каждая фирма разрабатывает технологию с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$, а хотя бы одна — с вероятностью $1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$, что тоже меньше $\frac{3}{4}$ (снижение на $\frac{7}{36}$). Для полного балла достаточно разобрать любое одно из двух равновесий.

Вывод обоих вариантов одинаков: жёсткое антимонопольное правило гасит стимулы к инновациям. Это упрощённый сюжет модели эндогенного роста Агийона и Ховитта.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-25-26.pdf

Производство ищи из равенства альтернативных издержек и цены, а потребление — из того, что оба товара берут строго поровну.

а) Перепишем кривые производственных возможностей через $Y$: у Альфы $Y_A = 600 - \frac{X_A^2}{2000}$, у Беты $Y_B = 1200 - \frac{X_B^2}{400}$. Альтернативные издержки товара $X$ — это модуль производной, то есть $\frac{X_A}{1000}$ и $\frac{X_B}{200}$. В равновесии каждая страна производит там, где альтернативные издержки равны цене: $\frac{X_A}{1000} = \frac{X_B}{200} = p$, откуда $X_A = 1000p$, $X_B = 200p$ и $X_A = 5X_B$.

Раз полезность равна $\min(X, Y)$, каждая страна потребляет оба товара поровну, значит и в мире суммарное потребление $X$ равно суммарному потреблению $Y$; поскольку весь выпуск потребляется, это же верно и для производства:
$$X_A + X_B = 6X_B = Y_A + Y_B = 1800 - \frac{3X_B^2}{200}.$$
Отсюда $X_B^2 + 400X_B - 120\,000 = 0$ и $X_B = 200$, а тогда $X_A = 1000$, $Y_A = 100$, $Y_B = 1100$ и $p^{\star} = \frac{X_A}{1000} = 1$. Альфа специализируется на $X$, Бета — на $Y$, так что экспортёр товара $X$ — Альфа, импортёр — Бета.

Потребление найдём из равенства стоимости импорта и экспорта у Беты: $p\left(X_B^c - 200\right) = 1100 - Y_B^c$ при $X_B^c = Y_B^c$, откуда $X_B^c = Y_B^c = 650$. Значит, импорт Беты и экспорт Альфы равны $650 - 200 = 450$, а потребление Альфы составляет $X_A^c = Y_A^c = 1000 - 450 = 550$.

Удобно записать общие формулы через цену: $Y_A = 600 - 500p^2$, $Y_B = 1200 - 100p^2$, доходы $I_A = 600 + 500p^2$ и $I_B = 1200 + 100p^2$, спрос $X^c = \frac{I}{p+1}$. Тогда «предложение» экспорта Альфы равно $Ex_A(p) = \frac{500p^2 + 1000p - 600}{p+1}$, а «спрос» на импорт Беты — $Im_B(p) = \frac{1200 - 200p - 100p^2}{p+1}$; их равенство даёт $p^2 + 2p - 3 = 0$ и тот же корень $p^{\star} = 1$.

б) При потолке $p = 0{,}9$ Альфа готова вывезти $Ex_A(0{,}9) = \frac{705}{1{,}9} \approx 371{,}05$, а Бета хотела бы ввезти $Im_B(0{,}9) = \frac{939}{1{,}9} \approx 494{,}2$ — возник дефицит, и реально ввозят лишь $371$ единицу. Внутреннее производство Беты находим из баланса комплектов: $X_B + 371 = 1200 - \frac{X_B^2}{400} - 0{,}9\cdot 371$, откуда $X_B \approx 287{,}8$. Потребление равно $287{,}8 + 371 \approx 658{,}8 > 650$, то есть потребители Беты выиграли: дешёвый импорт с лихвой перекрыл его нехватку.

в) При потолке $\hat{p} = \frac{2}{3}$ экспорт Альфы падает до $Ex_A\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{520}{3} \approx 173{,}3$, а желание Беты ввозить вырастает до $\frac{1840}{3} \approx 613{,}3$ — дефицит стал гораздо глубже. Из того же баланса $X_B + 173{,}3 = 1200 - \frac{X_B^2}{400} - \frac{2}{3}\cdot 173{,}3$ получаем $X_B \approx 436$: собственное производство действительно выросло, цель «торговой войны» формально достигнута. Но потребление составит $436 + 173{,}3 \approx 609{,}3$, что меньше и $658{,}8$, и $650$, — потребители проиграли и свободной торговле, и мягкому потолку.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-25-26.pdf

Спроси себя, за что именно во второй группе дают приз, и выгодно ли там называть своё любимое животное.

а) Две группы решают разные задачи, и в этом всё дело. Участник первой группы отвечает на вопрос «какое животное милее лично мне», поэтому доли голосов в первой группе примерно повторяют распределение искренних предпочтений: котёнок — $50\,\%$, лори — $27\,\%$, медвежонок — $23\,\%$.

Участник второй группы получает приз не за искренность, а за совпадение с победителем первой группы. Значит, рационально называть не самое милое для себя животное, а то, которое вероятнее всего победит. Свои предпочтения он знает, чужие — нет, поэтому он опирается на любую доступную информацию о вкусах окружающих: стереотипы вроде «котят любят все», опрос случайных знакомых, известную популярность роликов с котятами. Даже тот, кто лично предпочитает лори, понимает, что шансы лори невелики, и голосует за заведомо популярный вариант. Логика «ожиданий об ожиданиях» стягивает голоса к одной альтернативе: доля котёнка подскакивает с $50\,\%$ до $75\,\%$. Это классический «кейнсианский конкурс красоты» — у Кейнса участники газетного конкурса выбирают не те лица, которые нравятся им самим, а те, которые понравятся большинству.

б) После публичного объявления итогов вторая группа получает информацию, которой раньше не было: в первой группе победил котёнок. Предпочтения первой группы никуда не делись, и при повторном голосовании она даст примерно тот же результат. Значит, для участника второй группы теперь есть почти точный прогноз, и рациональный выбор — котёнок, независимо от собственных вкусов. Во втором эксперименте доля котёнка во второй группе должна подойти почти к $100\,\%$, а доли лори и медвежонка — почти к нулю.

в) Первый раунд. Третья группа решает задачу «угадай победителя во второй группе», а вторая группа сама угадывает победителя первой. Возникает ещё один уровень ожиданий: «я выбираю то, что выбирают те, кто угадывает выбор других». Участники третьей группы учитывают, что вторая группа уже проделала эту работу и стянула голоса к фокусной альтернативе. Поэтому доля лидера в третьей группе окажется не меньше, чем во второй ($75\,\%$), а скорее выше. Заметь, что самого по себе ответа «большинство за котёнка» мало — важен именно механизм надстроенного уровня ожиданий.

Второй раунд. После первого запуска результаты известны: в первой группе побеждает котёнок, а вторая группа, получив тот же сигнал, почти в полном составе проголосует за котёнка. Третья группа угадывает выбор именно второй группы, поэтому и она почти единогласно (около $100\,\%$) назовёт котёнка. Концентрация голосов в третьей группе растёт по сравнению с первым раундом.

г) Годится любой пример, в котором есть два свойства: у агентов заданы предпочтения на фиксированном множестве альтернатив и есть игроки, которые стратегически учитывают агрегированные предпочтения остальных. Ситуации, где нет нестратегической первой группы, где вторая группа сама формирует набор альтернатив или где наборы альтернатив у групп разные, механизму не соответствуют (поэтому олигополия, маркетинговые опросы или политика ЦБ не подходят). Не годится и пересказ самого конкурса другими словами — конкурс любимого блюда в ресторане или лучшей песни на концерте.

Пример — торговля акциями на фондовом рынке.

• Экономическое взаимодействие: торговля акциями и другими активами на фондовом рынке.
• Аналог первой группы: фундаментальные инвесторы. Они покупают актив, который кажется им лучшим по фундаментальным причинам — ожидаемые дивиденды, прибыль, низкий риск.
• Аналог второй группы: спекулянты и краткосрочные трейдеры. Они покупают тот актив, который, по их мнению, будут покупать остальные, чтобы заработать на росте цены. Им это выгодно, даже если сами они не считают актив перспективным: достаточно верить в оптимизм других.
• Альтернативы: купить актив A или купить актив B.
• Как устроено принятие решений: первая группа опирается на собственную фундаментальную оценку, и её предпочтения распределены между активами. Предпочтения второй группы от фундаментальной оценки не зависят вовсе — они определяются вероятностью того, что актив станет массово покупаемым и подорожает.
• Ключевые последствия принятых решений: цены отрываются от фундаментальной стоимости, возникают самоусиливающиеся тренды и пузыри. Если актив считается «тем, который купят другие», спекулянты действительно покупают его массово, цена растёт и подтверждает первоначальные ожидания.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-25-26.pdf

Выпиши все минимальные наборы, которые устраивают второго агента, и для каждого потребуй, чтобы первый завидовал.

а) Подходят дележ наследства между родственниками (дом, машина, драгоценности), раздел совместно нажитого имущества при разводе, распределение рабочих задач и проектов между сотрудниками, распределение картин из общей коллекции по музеям, раздача игрушек детям. Во всех этих случаях блага действительно неделимы, их нельзя разрезать без потери ценности, полезности разных благ для одного агента складываются, а сам дележ устойчив только тогда, когда никто не хочет поменяться набором с соседом — иначе спор о наследстве или разделе имущества возобновится. Пример не годится, если благо на самом деле делимо (еда, деньги, территория) или если полезности не складываются: поступив в один вуз, абитуриент уже не получает полезности от второго.

б) Дележ подбирается: агент 1 получает $E$, агент 2 — $A$ и $C$, агент 3 — $B$ и $D$. Проверим отсутствие зависти. Агент 1 оценивает свой набор в $60$, чужие — в $40 + 20 = 60$ и $15 + 30 = 45$, то есть не хуже. Агент 2 оценивает свой набор в $75 + 100 = 175$ против $120$ за $E$ и $55 + 70 = 125$ за $BD$. Агент 3 — в $40 + 80 = 120$ против $100$ за $E$ и $50 + 60 = 110$ за $AC$. Никто не хочет поменяться.

в) Все блага стоят второму агенту $40 + 10 + 20 + 35 = 105$, поэтому без зависти его устраивают только наборы ценностью не меньше половины, то есть не меньше $52{,}5$. Из двухэлементных наборов это $AC$ ($60$), $AD$ ($75$) и $CD$ ($55$); кроме них годятся любые три блага и все четыре. Но если второй агент берёт больше, первому остаётся подмножество того, что оставалось в двухэлементных случаях, так что зависть там возникает автоматически. Значит, достаточно потребовать зависть первого агента в трёх случаях.

1. Второй берёт $AC$, первому остаётся $BD$. Зависть означает $v_1(AC) > v_1(BD)$, то есть $55 + 25 > 20 + V$, откуда $V < 60$.

1. Второй берёт $AD$, первому остаётся $BC$. Зависть означает $55 + V > 20 + 25$, то есть $V > -10$ — это выполняется всегда, ведь полезности неотрицательны.

1. Второй берёт $CD$, первому остаётся $AB$. Зависть означает $25 + V > 55 + 20$, откуда $V > 50$.

Пересечение условий даёт $V \in (50;\, 60)$: только при таких $V$ дележа без зависти не существует.

г) Это усиленная версия правила «один делит, другой выбирает». Первый агент сам раскладывает все блага на два набора, второй выбирает любой из них, первому достаётся оставшийся. Второй не завидует никогда: он сам взял лучший для себя вариант. Осталось показать, как делить.

Упорядочим блага по убыванию их ценности для первого агента и будем по очереди класть каждое очередное благо в тот из двух наборов, который на данный момент дешевле для него. Пусть в конце набор $S_1$ оказался дешевле набора $S_2$, то есть первый агент завидует, если получит $S_1$. Разница ценностей не превосходит ценности последнего блага, добавленного в $S_2$: перед его добавлением $S_2$ был не дороже $S_1$. А из-за сортировки по убыванию любое другое благо в $S_2$ стоит для первого агента не меньше этого последнего. Поэтому удаление из $S_2$ любого блага делает его дешевле $S_1$, и зависть исчезает — это и есть отсутствие сильной зависти. Для двух агентов дележ без сильной зависти существует всегда.

Для произвольного числа агентов это до сих пор открытая гипотеза (задача о существовании EFx-дележей) на стыке экономики, теории игр и computer science.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-25-26.pdf