ВсОШ по экономике 2025/26, заключительный этап, 10 класс, тур 1

Верхней группе нет смысла назначать цену ниже порога — именно это ограничение и превращает задачу в параболу по $x$.

Сначала найдём прибыль фирмы X без подписки. При цене $P$ товар берут все клиенты с номерами от $P$ до $299$, то есть $Q = 299 - P + 1 = 300 - P$ штук. Выручка $TR = P(300 - P)$ максимальна при $P = 150$ и равна $22\,500$; других издержек у фирмы нет, значит это и прибыль. Готовность платить за подписку — это прирост прибыли относительно такой базы.

Что даёт подписка: фирма узнаёт, по какую сторону порога $x$ стоит клиент, и назначает двум группам разные цены. В дешёвой группе готовность платить пробегает значения от $1$ до $x - 1$, спрос равен $Q_1 = x - P_1$, выручка $TR_1 = P_1(x - P_1)$. Максимум параболы даёт $x^2/4$ при чётном $x$ (цена $x/2$) и $(x^2 - 1)/4$ при нечётном (цена $(x-1)/2$ или $(x+1)/2$). В дорогой группе фирма максимизирует $TR_2 = P_2(300 - P_2)$ при ограничении $P_2 \geqslant x$: ставить цену ниже порога бессмысленно, иначе дорогим клиентам достанется дешёвая цена и группы перестанут различаться.

а) При $x = 101$ дешёвая группа — номера от $1$ до $100$, спрос $Q_1 = 101 - P_1$. Оптимум достигается при $P_1 = 50$ или $P_1 = 51$, и в обоих случаях $TR_1 = 50 \cdot 51 = 2550$; цена обязана быть целой, $50{,}5$ не годится. Для дорогой группы оптимальная цена $150$ допустима, ведь $150 \geqslant 101$, поэтому там по-прежнему $22\,500$. Всего $25\,050$, прирост к базе — $2550$ ден. ед. Столько фирма и готова отдать за подписку при таком пороге.

б) Готовности платить целые, так что и порог достаточно перебирать по целым числам. Пока $x \leqslant 150$, ограничение $P_2 \geqslant x$ не связывает: $P_2 = 150$, $TR_2 = 22\,500$, а суммарная выручка равна $22\,500 + TR_1(x)$ и просто растёт по $x$ — значит оптимум лежит правее. При $x > 150$ фирме выгодна наименьшая допустимая цена $P_2 = x$, и $TR_2 = x(300 - x)$. Суммарная выручка на этом участке равна $f_1(x) = \dfrac{x^2}{4} + x(300 - x)$ для чётных порогов и $f_2(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4} + x(300 - x)$ для нечётных.

Обе функции — параболы ветвями вниз с одной и той же вершиной $x = 200$. Число $200$ чётное, поэтому оно и даёт максимум среди чётных порогов. Любой нечётный порог хуже заведомо: $f_2(x) < f_2(200) = f_1(200) - 1/4 < f_1(200)$. Значит, оптимальный порог $x^{*} = 200$.

Проверяем счётом: дешёвой группе ставим $P_1 = 100$, её берут $100$ человек, выручка $10\,000$; дорогой ставим $P_2 = 200$, её берут тоже $100$ человек, выручка $20\,000$. Вместе $30\,000$. Максимальная готовность платить за подписку равна приросту выручки: $30\,000 - 22\,500 = 7500$ ден. ед.

в) Утверждение неверно, и достаточно одного контрпримера. При $x = 200$ цены равны $100$ и $200$, а без нейросети была единая цена $150$. Клиенты с готовностью платить от $101$ до $149$ раньше вообще не покупали и имели нулевой излишек, а теперь покупают по $100$ и выигрывают. Клиенты от $150$ до $199$ платили $150$, а теперь платят $100$, их излишек растёт на $50$ ден. ед. каждого. Так что дискриминация по такому порогу часть покупателей строго улучшает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-25-26.pdf

Спроси себя, какая мера уменьшает ожидаемую выгоду от поражения, но при этом оставляет слабым командам шанс усилиться.

а) Драфт нужен самой Лиге потому, что он подтягивает слабейшие клубы. Худшая команда получает лучшего новичка, разрыв между лидерами и аутсайдерами сокращается, конкуренция в следующем сезоне обостряется. Матчи становятся менее предсказуемыми и потому интереснее, растёт посещаемость и телеаудитория, а вслед за ними — доходы Лиги от продажи билетов, прав на трансляции и рекламных контрактов. Важно, что механизм именно про прибыль Лиги в целом, а не про перетекание зрителей от одного клуба к другому. Второй источник дохода — сам драфт как отдельное шоу: за выбором новичков интересно следить, и это тоже поднимает популярность Лиги.

б) Посмотрим на команду в момент, когда плей-офф для неё уже недостижим. Победа в очередном матче почти ничего ей не приносит: доходы от плей-офф всё равно потеряны. А вот место пониже приносит ощутимую выгоду — более ранний выбор на драфте, то есть сильный новичок и лучшие спортивные перспективы в следующем сезоне. Значит, для такого клуба намеренный проигрыш становится выгоднее победы: он выпускает резервистов, не выкладывается, бережёт силы. В спортивной экономике это называют танкингом.

Ущерб Лиге возникает дальше. Концовка сезона наполняется матчами, где одна сторона не старается, качество и зрелищность игры падают, зрители перестают покупать билеты и включать трансляции. Доходы Лиги от билетов, рекламы и прав на показ снижаются. Выгоду от такого решения получает отдельный клуб, а издержки несёт Лига — классический внешний эффект.

в) Первое изменение — драфт-лотерея. Последнее место даёт не гарантию первого выбора, а лишь наибольшую вероятность его получить. Тогда ожидаемый выигрыш от специально проигранного матча резко падает, и танкинг теряет смысл, а выравнивание сил в среднем сохраняется. Недостаток: случайность может оставить объективно слабейшую команду, которой усиление нужно больше всех, без первого выбора.

Второе изменение — расширить зону плей-офф или добавить стыковые матчи (турнир плей-ин) за пограничные места. Тогда шансы пройти дальше сохраняются у большего числа клубов и до самого конца сезона, а момент «нам уже нечего терять» наступает позже или не наступает вовсе. Недостаток: попадание в плей-офф обесценивается, для настоящих лидеров регулярного сезона его результат значит меньше.

Годится и третий вариант — фиксировать порядок выбора на драфте по итогам первой половины кругового турнира, когда шансы на плей-офф ещё есть почти у всех и стимул проигрывать не успел появиться. Недостаток: рейтинг по половине сезона сильнее зависит от случайных факторов и хуже балансирует силы команд.

Историческая справка: описанная ситуация невыдуманная. Именно так работал драфт в НБА в 1940–1960-х годах, команды действительно танковали, и в 1985 году лига ввела драфт-лотерею, а в последние годы — турнир плей-ин.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-25-26.pdf

Подумай, что происходит с занятостью и накоплением навыков, когда технология замещает труд, а не дополняет его.

а) Достаточно любых двух аргументов с разобранным механизмом.

Луддизм и недоверие. В начале жизни технологии работники и компании относятся к ней настороженно, вплоть до бойкота и саботажа. Инвестиции сделаны, но широкого использования не происходит, и производительность не растёт.

Период адаптации. После внедрения работнику нужно перестроить привычный процесс. Пока он переучивается, он работает медленнее, и выигрыш от более эффективной технологии гасится этим временным провалом: суммарный эффект около нуля.

Дублирование процессов. Не доверяя новинке, компании какое-то время ведут и старый, и новый контур — например, и бумажный, и электронный учёт. Одна и та же работа делается дважды, производительность падает.

Инвестиции ради имиджа. Вложения в ИТ делаются, чтобы выглядеть передовой компанией, поднять капитализацию и долю рынка, а не чтобы поднять выпуск. Внедрять результат никто всерьёз не торопится.

Ошибки в направлениях вложений. На волне ажиотажа деньги идут во множество применений, часть из которых для технологии просто непригодна, и эти инвестиции не дают отдачи.

б) Тоже достаточно двух аргументов, и в каждом нужен вывод про ВВП.

Сетевые эффекты. Ценность электронной почты, интернета, общих баз данных растёт быстрее, чем число пользователей. Когда охват становится достаточным, положительный сетевой эффект перевешивает потери из пункта а), и совокупный выпуск растёт.

Обучение в процессе работы. Со временем работники и фирмы доводят использование технологии до совершенства, издержки адаптации исчерпываются, общефакторная производительность и вслед за ней ВВП растут.

Накопление человеческого капитала. На рынок труда выходит поколение, для которого компьютер естественен: издержки обучения падают, интенсивность использования растёт.

Доводка самой технологии. По мере взросления исправляются ошибки, появляется удобный интерфейс, находятся настоящие сферы применения продукта — нередко совсем не те, что задумывались. Технология становится эффективнее, иногда вокруг неё возникает новый сектор экономики, и это прибавляет к ВВП.

в) Здесь нужны причины, которые не работали бы для компьютеров или интернета. Достаточно двух.

Закрытый корпоративный контур. Модели обучены на открытых данных, а у крупной компании бывают собственные разработки — скажем, внутренний язык программирования. Хороших примеров его использования в обучающей выборке нет, поэтому ИИ не ускоряет работу, а иногда и замедляет её, и производительность труда падает.

Правовая неопределённость. Именно для ИИ не решён вопрос об ответственном лице: непонятно, кому принадлежат права на сгенерированное и кто отвечает за причинённый вред. Юридические риски заставляют корпорации искусственно тормозить внедрение, и положительный эффект на ВВП раскрывается не полностью.

Эндогенное дообучение. В отличие от прежних технологий, ИИ улучшается сам в процессе дообучения, без участия человека. Пока этот этап идёт, решения модели не самые эффективные, и эффект на ВВП на начальных этапах слабый.

г) Разбираем оба механизма.

Автоматизация. Капитал в виде ИИ замещает труд на уже существующих задачах: то, что делал человек, начинает делать алгоритм. Средние издержки фирмы падают, предложение растёт, выпуск может немного увеличиться. Производительность труда оставшихся работников тоже растёт — тот же или чуть больший выпуск делится на меньшее количество труда.

Расширение возможностей. ИИ не вытесняет работника, а добавляет ему инструментов: рутина уходит машине, освободившееся время идёт на содержательные задачи, например на глубокую персонализацию продукта. Растут объём и качество выпуска, а значит по существу растёт предельная производительность труда.

Сравнение. Эффект на долгосрочный рост выше при расширении возможностей. Сильный сдвиг в сторону замещения труда поднимает естественный уровень безработицы, прежде всего за счёт структурной составляющей. Из производственной функции выпадает не только труд, но и связанный с ним человеческий капитал: занятых меньше — медленнее накапливаются навыки и меньше людей генерируют идеи по улучшению бизнес-процессов. В современной теории роста человеческий капитал и есть главный источник долгосрочного темпа, поэтому его торможение тормозит и рост ВВП. При комплементарном применении работники остаются в производстве и продолжают учиться, и этого эффекта не возникает. Жюри засчитывало и противоположный вывод, если он подкреплён корректной экономической аргументацией.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-25-26.pdf

Запиши благосостояние и прибыль как две параболы от объёма поездок: у них разные вершины, и вся задача — про расстояние между ними.

Перевернём спрос и предложение: $P_D = 400 - Q$ и $P_S = 100 + Q$. Благосостояние до вычета постоянных издержек — площадь фигуры между кривыми от $0$ до $Q$. Это трапеция с основаниями $400 - 100 = 300$ и $(400 - Q) - (100 + Q) = 300 - 2Q$ и высотой $Q$, её площадь равна $\dfrac{300 + (300 - 2Q)}{2} \cdot Q = 300Q - Q^2$. При работающей платформе $W(Q) = 300Q - Q^2 - 10\,000$.

Прибыль платформы — маржа, умноженная на объём, минус постоянные издержки: $\pi(Q) = (P_D - P_S)Q - 10\,000 = 300Q - 2Q^2 - 10\,000$. Обрати внимание: вершины у этих двух парабол разные — $150$ у благосостояния и $75$ у прибыли, и в этом вся задача.

а) Без платформы постоянных издержек нет, поэтому $W_0 = 300 \cdot 20 - 20^2 = 6000 - 400 = 5600$.

б) Без регулирования платформа везёт $Q_M = 75$: $W_M = 300 \cdot 75 - 75^2 - 10\,000 = 22\,500 - 5625 - 10\,000 = 6875$. Это на $6875 - 5600 = 1275$ ден. ед. больше, чем без платформы, так что да, благосостояние растёт. Вывод не самоочевиден из-за $FC$: например, при том же $FC$ и $Q_0 = 30$ платформа всё равно вышла бы на рынок, но благосостояние бы снизила.

в) Пол и потолок задают объём директивно, но платформа откроется только при $\pi(Q) \geqslant 0$, иначе благосостояние останется равным $5600$. Неравенство $300Q - 2Q^2 - 10\,000 \geqslant 0$ равносильно $Q^2 - 150Q + 5000 \leqslant 0$, то есть $Q \in [50;\,100]$. Вершина параболы $W(Q)$ лежит в точке $Q = 150$, правее всего допустимого отрезка, поэтому на нём $W$ возрастает и максимум даёт $Q = 100$: $W = 30\,000 - 10\,000 - 10\,000 = 10\,000$. Это больше $5600$, так что решение действительно оптимально. Достаточно установить один только пол $Q = 100$: при $Q \geqslant 100$ прибыль платформы убывает, поэтому больше $100$ поездок она сама не сделает.

г) Субсидия снимает ограничение участия, значит можно целиться прямо в вершину $Q^{*} = 150$. Там $W_{\max} = 300 \cdot 150 - 150^2 - 10\,000 = 12\,500$ — это и есть искомое максимальное благосостояние.

Осталось понять, сколько это стоит. Без субсидии $\pi(150) = 45\,000 - 45\,000 - 10\,000 = -10\,000$, поэтому для участия платформы нужно $S(150) \geqslant 10\,000$: минимальные расходы равны $10\,000$ ден. ед. Но платформа должна выбрать $Q = 150$ добровольно, а её лучший объём без вмешательства — $Q = 75$ с прибылью $1250$. Значит, все прочие объёмы надо сделать не лучше: при $Q < 150$ выплата должна быть не больше $-\pi(Q)$, при $Q > 150$ — строго меньше (иначе при безразличии платформа возьмёт объём побольше). Подходит, например, схема $f(150) = 10\,000$ и $f(Q) = -1251$ при $Q \ne 150$. Тогда прибыль при $Q = 150$ равна нулю, а любой другой объём даёт отрицательную прибыль, ведь штраф превышает максимально возможную прибыль без вмешательства. Платформа выбирает $150$, благосостояние равно $12\,500$, расходы бюджета — $10\,000$ ден. ед.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-25-26.pdf