ВсОШ по экономике 2024/25, заключительный этап, 10 класс, тур 1

Выпиши прибыль через число чипов и сделай замену «корень из x» — дальше это обычная парабола.

а) Выручка равна $2q = 2a\sqrt{x}$, затраты на чипы равны $x$, поэтому прибыль как функция числа чипов равна $\pi(x) = 2a\sqrt{x} - x$. Замена $t = \sqrt{x}$ превращает её в параболу ветвями вниз $\pi = 2at - t^2$ с вершиной $t = a$, значит оптимум $x = a^2$.

Подставляем числа: при $a = 2$ фирма брала $4$ чипа, при $a = 5$ берёт $25$. Закупка выросла на $21$ чип.

Почему рост, а не падение. Цена чипа не изменилась, а предельный продукт чипа в денежном выражении $MRP_x$ подскочил: каждый следующий чип теперь даёт больше выпуска, а значит и больше выручки при той же цене продукта. Расширять закупку выгодно до тех пор, пока очередной чип окупается, и порог этот сдвинулся далеко вправо. Ловушка в том, чтобы сослаться на предельную выручку $MR$: она равна цене $2$ и не менялась. Экономия ресурса на единицу выпуска увеличила его суммарное потребление — это парадокс Джевонса, отсюда и фамилия в названии фирмы.

б) Пусть по новой дороге едут $y$ машин в час, по старой — $1000 - y$. В рублях поездка по старой стоит водителю $10\left(40 + \dfrac{1000-y}{20}\right) = 400 + \dfrac{1000-y}{2}$, по новой — $300 + \dfrac{y}{3} + p$. Новую выбирают, пока $300 + \dfrac{y}{3} + p < 400 + \dfrac{1000-y}{2}$, то есть пока $y < 720 - 1{,}2p$; при большем $y$ поток перетекает обратно на старую. Так что равновесная загрузка новой дороги равна $y(p) = 720 - 1{,}2p$.

Суммарные потери времени всех водителей равны $(1000-y)\left(40 + \dfrac{1000-y}{20}\right) + y\left(30 + \dfrac{y}{30}\right) = \dfrac{y^2}{12} - 110y + 90000$. Это парабола ветвями вверх с минимумом при $y = 660$. Приравниваем равновесную загрузку к оптимальной: $720 - 1{,}2p = 660$, откуда $p = 50$ рублей.

в) Хлеб тянет за собой пшеницу: единица хлеба съедает $1$ единицу земли и $5 + 1 = 6$ единиц рабочего времени. Единица ткани съедает $1$ единицу земли через лён и $4$ единицы рабочего времени. Всего в деревне $60$ единиц земли и $300$ единиц труда, поэтому $x + y \leqslant 60$ и $6x + 4y \leqslant 300$. Обе границы достижимы — в рассуждении везде, где нужно, «не более» заменяется на «ровно», — значит КПВ есть нижняя из двух прямых: $y = \min\{60 - x,\ 75 - 1{,}5x\}$ при $0 \leqslant x \leqslant 50$. Излом в точке $(30;\ 30)$: слева экономика упирается в труд, справа — в землю. Хлеба больше $50$ единиц не сделать, ткани — больше $60$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-24-25.pdf

Выведи формулу сам из определений эластичности и полуэластичности и посмотри, какие величины ты при этом молча считал неизменными.

а) Торговый баланс страны A со страной $i$ равен $TB_i = x_i - m_i$, и задача — найти такое изменение тарифа $\Delta\tau_i$, после которого импорт сравняется с экспортом.

Выведем формулу из двух определений. Полуэластичность цены импорта по тарифу даёт $\%\Delta p = \varphi \cdot \Delta\tau_i$, эластичность спроса на импорт по цене даёт $\%\Delta m_i = \varepsilon \cdot \%\Delta p$. Соединяем одно с другим: $\dfrac{m_i^{\prime} - m_i}{m_i} = \varepsilon \varphi \Delta\tau_i$, где $m_i^{\prime}$ — импорт после ввода пошлины, то есть $m_i^{\prime} = m_i\,(1 + \varepsilon \varphi \Delta\tau_i)$.

Нулевой баланс означает $m_i^{\prime} = x_i$. Подставляем и решаем относительно прироста тарифа: $x_i = m_i(1 + \varepsilon\varphi\Delta\tau_i)$, откуда $\Delta\tau_i = \dfrac{x_i - m_i}{\varepsilon\varphi m_i}$ — ровно формула советников.

Теперь видно, на чём она держится. Первая предпосылка: экспорт $x_i$ и валютный курс при вводе пошлины не меняются — иначе правая часть равенства уплывает вместе с тарифом. Вторая: изменение тарифа мало, условно в пределах 10 процентных пунктов, только тогда процентные изменения законно связывать точечной эластичностью.

б) Обе предпосылки при повышении на 50 процентных пунктов рушатся.

Во-первых, это уже не малое изменение. Точечная эластичность описывает реакцию в окрестности исходной точки; на интервале такой длины и эластичность спроса на импорт, и полуэластичность цены по тарифу сами поменяются, так что рассчитанное сокращение импорта окажется сильно неточным.

Во-вторых, экспорт не останется на месте. Страна $i$, скорее всего, ответит своими пошлинами, и $x_i$ упадёт — а дефицит считается как раз как разность $x_i$ и $m_i$. Вдобавок сокращение импорта уменьшит спрос на иностранную валюту, национальная валюта укрепится, импорт подешевеет в национальных деньгах, а экспорт станет менее конкурентоспособным: оба движения работают против обнуления дефицита.

В итоге даже при большом повышении тарифов импорт может не сократиться настолько, чтобы сбалансировать торговлю.

в) Дефицит счёта текущих операций финансируется профицитом финансового счёта платёжного баланса: страна привлекает иностранный капитал — прямые и портфельные инвестиции, займы, продажу активов нерезидентам, — а также может расходовать золотовалютные резервы. Валюта на оплату импорта берётся именно оттуда, поэтому дефицит способен держаться годами.

г) Первый аргумент — импортные комплектующие. Производство сложных товаров устроено цепочками: станки, оборудование, узлы и сырьё во многом закупаются за рубежом. Пошлина поднимает цену этих закупок, издержки отечественного производителя растут, а вместе с ними растёт и цена его продукции. Конкурентоспособность падает и на внутреннем рынке, и особенно на внешнем, где никакая пошлина его не защищает.

Второй аргумент — валютный курс. Тариф сокращает импорт, а с ним и спрос на иностранную валюту. Национальная валюта дорожает. Для экспортёра это прямой удар: валютная выручка, пересчитанная в национальные деньги, уменьшается, а издержки внутри страны остаются прежними. Защитная по замыслу мера оборачивается ухудшением условий для тех, кто продаёт за рубеж.

Механизмы здесь разные, один про издержки, другой про курс, — именно этого требуют критерии жюри: два аргумента не должны быть про одно и то же.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-24-25.pdf

Спроси себя, во что банку обходится само обещание выдать деньги и кто делает выбор, когда банк выкладывает на стол несколько тарифов сразу.

а) Кредитная линия — это заранее заключённый договор с гарантированным лимитом доступных средств. Когда фирму накрывает кассовый разрыв или неожиданный негативный шок (внезапно упали продажи, резко выросли издержки), она получает нужную сумму в пределах уже одобренного лимита немедленно, не проходя заново длительную процедуру кредитной оценки. Нехватка ликвидности закрывается сразу, и до по-настоящему тяжёлых последствий вроде дефолта дело не доходит.

С обычным кредитом этот механизм не работает ровно тогда, когда он нужнее всего. В момент шока фирма выглядит для банка плохим заёмщиком, да и у самого банка в кризис средств меньше, так что новое одобрение занимает время и может не состояться вовсе. Именно в разнице «доступ уже одобрен» против «одобрение ещё предстоит получить» и состоит ответ. Заметь, что аргумент «кредит просто дороже линии» жюри не засчитывало: более дорогой заём всё равно позволяет пережить шок.

б) Механизм начинается на стороне банка, который неплохо осведомлён о состоянии компании: он требует финансовую отчётность и видит динамику потоков.

Компания с устойчивыми денежными потоками выглядит предсказуемой, её риск банк оценивает как низкий и предлагает по линии хорошие условия. Компания с волатильными потоками для банка рискованнее: обещание выдать ей деньги может сработать ровно в тот момент, когда дела у неё плохи. Компенсируя риск, банк ставит такой фирме более высокую ставку и более жёсткие условия.

Дальше решение принимает сама фирма. Раз линия достаётся ей дорого, сравнение смещается в пользу собственного резерва: держать деньги на счетах и тратить их по мере надобности оказывается выгоднее, чем выбирать лимит по невыгодной цене. Отсюда и наблюдаемая картина — устойчивые фирмы на линиях, волатильные на собственной подушке.

Пара ловушек. Волатильность — это масштаб колебаний, а не частота спадов, так что рассуждение «у волатильной фирмы чаще спады» неверно. И собственные средства не бесплатны: у них есть альтернативная стоимость, иногда высокая, поэтому объяснять выбор их «бесплатностью» тоже нельзя.

в) Плата за неиспользованный лимит. Открытая линия — это обязательство выдать деньги по первому требованию. Чтобы его исполнить, банк вынужден резервировать под лимит часть средств и не может разместить их доходно. У обещания есть альтернативная стоимость, и плата за неиспользованный остаток её покрывает. Объяснением не может служить «банк подталкивает фирму выбрать лимит»: ставка по выбранным средствам обычно выше платы за неиспользование, так что подгонять клиента к выборке этой платой бессмысленно. Не годится и «банк ставит плату, потому что может»: при конкуренции такая чистая рента сбилась бы до нуля.

Меню опций. Банк заранее не знает, кто перед ним: фирма, которая почти наверняка выберет лимит, или фирма, которой линия нужна как страховка на чёрный день. Комбинация «низкая ставка плюс высокая плата за неиспользование» выгодна первому типу, комбинация «высокая ставка плюс низкая плата» — второму. Выбирая опцию, заёмщик сам сообщает банку свой тип: это ценовая дискриминация второй степени через самоотбор. Выгода банка в том, что при единой цене часть фирм и из той, и из другой группы отказалась бы от линии вовсе, и доход оказался бы ниже. Вдобавок, узнав тип клиента, банк точнее назначает условия и по другим своим продуктам.

г) Мотив. Помимо прямой нужды в деньгах фирму подталкивает опасение, что банк ограничит доступ к уже одобренной линии: пересмотрит условия, урежет лимит, найдёт повод в ковенантах. Поэтому фирмы стараются выбрать лимит заранее и держать полученное как буфер ликвидности на всякий случай. Засчитывался и арбитражный мотив: взять по линии деньги под сравнительно низкий процент и разместить их на лучших условиях.

Последствия для системы. Когда так поступают многие сразу, получается набег заёмщиков на кредитные линии. Банки вынуждены выдавать средства именно тогда, когда ликвидность дорожает, и в ответ урезают обычное кредитование — и компаний, и домохозяйств. В крайнем случае одновременная выборка лимитов создаёт у банков дефицит ликвидности вплоть до банковского кризиса, если быстро привлечь ресурсы им не удаётся. Есть и обратная сторона: доступность линий помогает фирмам пережить шок, меньше банкротств — больше возвращённых займов, и через это устойчивость финансовой системы растёт. Важно довести рассуждение до финансового сектора: «меньше фирм банкротится» само по себе ответа про устойчивость ещё не даёт, а мотив и вывод не должны противоречить друг другу.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-24-25.pdf

Выпуск лидера, при котором вход конкурента становится невыгодным, равен 0,5 — с ним и сравнивай вершину параболы прибыли лидера.

а) Издержки «Анны» при выпуске $q$ и инновации $I$ равны $(0{,}5 - I)q + 0{,}5kI^2$. Как функция $I$ это парабола ветвями вверх с вершиной в точке $I = q/k$. Если $q/k \leqslant 0{,}5$, вершина доступна и подстановка даёт $TC = 0{,}5q - \dfrac{q^2}{2k}$; если же $q/k \geqslant 0{,}5$, минимум упирается в ограничение $I = 0{,}5$ и $TC = 0{,}125k$. Граница между случаями — $q = 0{,}5k$.

б) При фиксированном $q$ максимум прибыли требует минимума издержек, поэтому прибыль монополии сразу пишется через результат пункта а): $\pi = (1-q)q - TC$, то есть $\pi = 0{,}5q - \left(1 - \dfrac{1}{2k}\right)q^2$ при $q \leqslant 0{,}5k$ и $\pi = q - q^2 - 0{,}125k$ при $q \geqslant 0{,}5k$. На обоих участках это параболы ветвями вниз. На втором вершина $q = 0{,}5$ недостижима, ведь $k > 1$, значит оптимум там лежит на общей границе $q = 0{,}5k$ — а её первый участок бьёт своей внутренней вершиной. Итого $q^{\star} = \dfrac{k}{2(2k-1)}$ и $I^{\star} = \dfrac{q^{\star}}{k} = \dfrac{1}{2(2k-1)}$.

в) Решаем игру с конца. «Белла» максимизирует $\pi_B = (1 - q_A - q_B)q_B - 0{,}5q_B = (0{,}5 - q_A)q_B - q_B^2$, откуда $q_B = \dfrac{0{,}5 - q_A}{2}$ при $q_A \leqslant 0{,}5$ и $q_B = 0$ при $q_A \geqslant 0{,}5$.

Подставляем реакцию «Беллы» в прибыль лидера. На участке $q_A \leqslant 0{,}5$ получается $\pi_A = 0{,}25q_A - \left(0{,}5 - \dfrac{1}{2k}\right)q_A^2$, на участке $0{,}5 \leqslant q_A \leqslant 0{,}5k$ — прежняя монопольная $\pi_A = 0{,}5q_A - \left(1 - \dfrac{1}{2k}\right)q_A^2$, а участок $q_A \geqslant 0{,}5k$ по тем же соображениям, что и в пункте б), можно не разбирать. Вершина второго участка при $k > 1$ лежит левее $0{,}5$, поэтому его оптимум всегда сидит на границе $q_A = 0{,}5$, и всё решает первый участок.

Сравниваем вершину первого участка с границей: $\dfrac{k}{4(k-1)} \leqslant 0{,}5$ равносильно $k \geqslant 2$. При $1 < k \leqslant 2$ вершина уходит правее $0{,}5$, оптимум садится на границу: $q_A^{\star} = 0{,}5$, $I^{\star} = \dfrac{1}{2k}$, $q_B^{\star} = 0$ — лидер держит выпуск с запасом и не пускает конкурента на рынок. При $k \geqslant 2$ инновации слишком дороги, лидер отступает: $q_A^{\star} = \dfrac{k}{4(k-1)}$, $I^{\star} = \dfrac{1}{4(k-1)}$ и $q_B^{\star} = \dfrac{k-2}{8(k-1)} > 0$. Порог равен $2$: при $k = 2$ обе ветви дают $q_A^{\star} = 0{,}5$ и $q_B^{\star} = 0$, а уже при $k = 3$ выходит $q_A^{\star} = 0{,}375$ и $q_B^{\star} = \dfrac{1}{16} > 0$.

г) При $k > 1$ верно $2(2k-1) > 2k$ и $2(2k-1) > 4(k-1)$, поэтому монопольная инновация $\dfrac{1}{2(2k-1)}$ меньше конкурентной — $\dfrac{1}{2k}$ при $k \leqslant 2$ и $\dfrac{1}{4(k-1)}$ при $k \geqslant 2$. Значит больше «Анна» вкладывается в пункте в): под угрозой входа стимулы к инновациям сильнее, чем у спокойного монополиста. Это эффект возмещения Эрроу.

д) Нет, не всегда. При $1 < k \leqslant 2$ на рынке видна одна «Анна», но её выпуск $0{,}5$ больше монопольного $\dfrac{k}{2(2k-1)}$: объём выбран с запасом именно ради того, чтобы вход «Беллы» оказался невыгодным. Одна фирма на рынке — ещё не доказательство, что она ведёт себя как монополист: её выпуск может быть раздут угрозой конкуренции.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-24-25.pdf