ВсОШ по экономике 2024/25, заключительный этап, 11 класс, тур 1

Каждый сюжет сводится к параболе или к подсчёту ресурсов: прибыль удобно записать как функцию от $\sqrt{x}$, суммарное время — как функцию потока по новой дороге, а цепочки производства свернуть до расхода земли и труда на единицу конечного продукта.

а) Прибыль фирмы как функция закупки чипов равна

$$\pi(x) = p\,a\sqrt{x} - x = 2a\sqrt{x} - x.$$

Замена $t = \sqrt{x}$ превращает это в параболу ветвями вниз: $\pi = 2at - t^2$. Вершина в точке $t = a$, значит оптимум $x = a^2$.

Тот же результат даёт правило «предельная денежная отдача ресурса равна его цене»: $MRP_x = p\cdot MP_x = 2\cdot\dfrac{a}{2\sqrt{x}} = \dfrac{a}{\sqrt{x}}$, и из $a/\sqrt{x} = 1$ снова $x = a^2$.

Старая технология: $a = 2$, закупка $x = 4$ чипа. Новая технология: $a = 5$, закупка $x = 25$ чипов, то есть на 21 чип больше.

Проверка для $a = 5$: при $x = 25$ прибыль равна $2\cdot 5\cdot 5 - 25 = 25$, при $x = 16$ она равна $2\cdot 5\cdot 4 - 16 = 24$, при $x = 36$ равна $2\cdot 5\cdot 6 - 36 = 24$ — максимум действительно в 25.

Объяснение. Новая технология подняла $MRP_x$: каждый следующий чип стал приносить больше выпуска, а значит и больше выручки при неизменной цене продукта. Цена чипа при этом прежняя, поэтому выгодно расширять закупки, пока дополнительный чип окупается. Экономия ресурса на единицу выпуска обернулась ростом его общего потребления — это парадокс Джевонса (недаром фирма в условии так и называется), и ожидания рынка насчёт спроса на процессоры могут не оправдаться.

Ответ: закупка чипов выросла с 4 до 25.

б) Минута времени стоит 10 рублей, поэтому денежная оценка поездки по старой дороге равна $10\left(40 + \dfrac{x}{20}\right) = 400 + \dfrac{x}{2}$, а по новой — $10\left(30 + \dfrac{y}{30}\right) + p = 300 + \dfrac{y}{3} + p$, где $x = 1000 - y$.

Водитель поедет по новой дороге, если $300 + \dfrac{y}{3} + p < 400 + \dfrac{1000 - y}{2}$, то есть если $y < 720 - \dfrac{6}{5}p$. Пока это неравенство выполняется, поток на новую дорогу перетекает, а при обратном неравенстве утекает обратно. Значит равновесная загрузка новой дороги равна

$$y(p) = 720 - \frac{6}{5}p,$$

и при бесплатном проезде по новой дороге едут 720 машин в час.

Теперь найдём общественно оптимальный поток. Суммарные потери времени всех водителей (в минутах за час) равны

$$T(y) = (1000 - y)\left(40 + \frac{1000 - y}{20}\right) + y\left(30 + \frac{y}{30}\right) = \frac{y^2}{12} - 110y + 90000.$$

Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине: $y = \dfrac{110}{2/12} = 660$.

Остаётся подобрать плату, которая даёт именно такую загрузку: $720 - \dfrac{6}{5}p = 660$, откуда $p = 50$ рублей.

Проверка: при $p = 50$ по новой дороге едут 660 машин (время $30 + 22 = 52$ минуты, с платой это $520 + 50 = 570$ рублей), по старой — 340 машин (время $40 + 17 = 57$ минут, то есть 570 рублей). Затраты равны, менять дорогу никому не выгодно. Выигрыш общества: $T(660) = 53\,700$ минут против $T(720) = 54\,000$ минут без платы.

Ответ: $p = 50$ рублей.

в) Свернём производственные цепочки до расхода первичных ресурсов. Единица хлеба требует единицу пшеницы и единицу рабочего времени, а единица пшеницы — 5 единиц рабочего времени и единицу земли: итого на единицу хлеба уходит 1 единица земли и $5 + 1 = 6$ единиц рабочего времени. Единица ткани требует единицу льна (это 1 единица земли, труд не нужен) и 4 единицы рабочего времени.

Ресурсы деревни: $60\cdot 1 = 60$ единиц земли и $60\cdot 5 = 300$ единиц рабочего времени.

Пусть произведено $x$ единиц хлеба. На землю остаётся $60 - x$, на труд остаётся $300 - 6x$, поэтому ткани можно выпустить не более $60 - x$ по земле и не более $75 - 1{,}5x$ по труду:

$$y \leqslant 60 - x,\qquad 4y \leqslant 300 - 6x \ \Longrightarrow\ y \leqslant 75 - 1{,}5x.$$

Оба ограничения выполняются одновременно, значит берём нижнюю огибающую. Эта комбинация достижима: в рассуждении везде можно заменить «не более» на «ровно». Хлеба нельзя произвести больше 50 единиц (связывает труд: $6x \leqslant 300$), ткани — больше 60.

$$y = \min\{60 - x,\ 75 - 1{,}5x\},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 50.$$

Излом там, где $60 - x = 75 - 1{,}5x$, то есть при $x = 30$, $y = 30$: левее связывает земля, правее — труд. Например, при $x = 40$ получаем $y = \min\{20,\ 15\} = 15$.

Ответ: $y = \min\{60 - x,\ 75 - 1{,}5x\}$ при $0 \leqslant x \leqslant 50$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-24-25.pdf

Начни с определений эластичности и полуэластичности и запиши импорт после введения тарифа как $m_i(1 + \varepsilon\varphi\Delta\tau_i)$ — дальше формула получится сама, а её предпосылки подскажут ответ на пункт б).

а) Торговый баланс страны A со страной $i$ равен $TB_i = x_i - m_i$. Обозначим за $m_i'$ импорт после введения тарифа; цель — подобрать такое $\Delta\tau_i$, при котором $m_i' = x_i$.

Формула опирается на два определения:

• эластичность спроса на импорт по цене импорта: $\varepsilon = \dfrac{\%\Delta m_i}{\%\Delta p}$;
• полуэластичность цены импорта по ставке тарифа: $\varphi = \dfrac{\%\Delta p}{\Delta\tau_i}$.

Предпосылки, при которых вывод проходит:

• экспорт $x_i$ и валютный курс не меняются при вводе тарифа (иначе меняется и левая, и правая часть искомого равенства);
• изменение тарифа мало (порядка нескольких процентных пунктов), так что можно пользоваться точечной эластичностью и считать $\varepsilon$ и $\varphi$ постоянными на всём интервале изменения.

Тогда относительное изменение импорта равно

$$\frac{m_i' - m_i}{m_i} = \frac{\Delta m_i}{m_i} = \varepsilon\cdot\frac{\Delta p}{p} = \varepsilon\cdot\varphi\cdot\Delta\tau_i,$$

то есть $m_i' = m_i\left(1 + \varepsilon\varphi\,\Delta\tau_i\right)$. Подставляем требование $m_i' = x_i$:

$$x_i = m_i\left(1 + \varepsilon\varphi\,\Delta\tau_i\right)\ \Longrightarrow\ \Delta\tau_i = \frac{x_i - m_i}{\varepsilon\cdot\varphi\cdot m_i},$$

что и требовалось показать.

Знак тоже осмысленный: при дефиците $x_i < m_i$, то есть числитель отрицателен; спрос на импорт убывает по цене ($\varepsilon < 0$), а тариф цену импорта повышает ($\varphi > 0$), так что знаменатель тоже отрицателен и $\Delta\tau_i > 0$ — пошлину нужно поднимать.

б) Обе предпосылки из пункта а) при повышении тарифов на десятки процентных пунктов нарушаются.

• Изменение велико. Формула точечной эластичности описывает малое отклонение от текущей точки; на интервале в 50 процентных пунктов ни $\varepsilon$, ни $\varphi$ постоянными не остаются. Например, часть импорта заместить нечем (сырьё, комплектующие, лекарства), и спрос на него по мере роста цены становится всё менее эластичным, так что реальное сокращение импорта окажется меньше расчётного.
• Экспорт не остаётся прежним. Страна $i$ с высокой вероятностью введёт ответные пошлины, и $x_i$ упадёт — дефицит закроется хуже, чем предполагалось. Кроме того, сокращение импорта уменьшает спрос на иностранную валюту, национальная валюта укрепляется, отечественные товары дорожают для иностранцев, и экспорт падает уже по этой причине. Наконец, торговые потоки перенаправляются: импорт из страны $i$ частично заместится импортом через третьи страны, и общий дефицит почти не изменится.

В итоге даже при большом увеличении тарифов импорт может не сократиться настолько, чтобы сбалансировать торговлю.

в) Торговый дефицит по счёту текущих операций уравновешивается профицитом финансового счёта платёжного баланса: валюту на оплату импорта страна получает не только от экспорта. Источники — приток капитала (иностранные прямые и портфельные инвестиции, займы, покупка иностранцами государственных облигаций и других активов страны) и продажа золотовалютных резервов. Пока иностранцы готовы держать активы страны A, дефицит может сохраняться десятилетиями.

г) Два разных механизма, каждый из которых бьёт по отечественному производителю.

• Импортные комплектующие, сырьё и оборудование. Производство сложных товаров устроено как длинная цепочка, и значительная часть звеньев в ней импортная. Пошлина поднимает цену этих звеньев, издержки отечественного производителя растут, и его продукция теряет конкурентоспособность и на внутреннем рынке (по сравнению с готовым импортом, который может облагаться иначе), и особенно на внешнем, где никакой тариф его не защищает.
• Укрепление национальной валюты. Тариф сокращает импорт, а вместе с ним спрос на иностранную валюту. Национальная валюта дорожает, и в пересчёте на иностранную валюту отечественные товары становятся дороже — экспортёры проигрывают, а импорт частично возвращает себе ценовое преимущество, съедая защитный эффект пошлины.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-24-25.pdf

Собирай нужный поток доходов из акции, облигаций и опционов: если два портфеля дают одинаковый доход при любом $X_1$, их сегодняшние цены равны. Кусочно-линейный график удобно раскладывать по точкам излома.

Цену контракта $i$ будем обозначать за $p_i$. Цена облигации сегодня равна $22/1{,}1 = 20$.

а) Через год контракт 1 приносит владельцу $X_1 - 220$: он получает акцию, которая стоит $X_1$, и платит за неё 220 (при $X_1 < 220$ доход отрицательный).

Соберём два портфеля с одинаковым будущим доходом.

1. Портфель 1 — одна акция компании X: через год она стоит $X_1$.
2. Портфель 2 — контракт 1 и 10 облигаций: через год это $(X_1 - 220) + 10\cdot 22 = X_1$.

Доходы совпадают при любом $X_1$, значит при отсутствии арбитража сегодняшние цены тоже совпадают. Портфель 1 стоит сегодня 220, портфель 2 стоит $p_1 + 10\cdot 20 = p_1 + 200$. Отсюда $p_1 = 20$.

Проверка через форвардную цену: справедливая цена поставки через год равна $220\cdot 1{,}1 = 242$, а контракт обязывает платить только 220, то есть даёт выигрыш 22 через год, что сегодня стоит $22/1{,}1 = 20$.

Ответ: $p_1 = 20$.

б) Контракт 2 приносит через год $\max(X_1 - 220,\ 0)$: правом купить по 220 пользуются, только если акция дороже. Контракт 3 приносит $\max(220 - X_1,\ 0)$.

Снова сравним два портфеля.

1. Портфель 3 — контракт 2: доход $\max(X_1 - 220,\ 0)$.
2. Портфель 4 — контракт 1 и контракт 3: доход $(X_1 - 220) + \max(220 - X_1,\ 0)$.

Второе выражение равно $X_1 - 220$ при $X_1 > 220$ и нулю при $X_1 \leqslant 220$, то есть в точности $\max(X_1 - 220,\ 0)$. Доходы совпадают при любом $X_1$, значит совпадают и цены: $p_2 = p_1 + p_3$. Это обычный паритет: цена права купить минус цена права продать равна цене форварда.

Из пункта а) известно $p_1 = 20$, по условию $p_2 = 30$, поэтому $p_3 = 30 - 20 = 10$.

Проверка на подстановке: при $X_1 = 300$ портфель 3 даёт $80$, портфель 4 даёт $80 + 0 = 80$; при $X_1 = 100$ оба дают ноль: $-120 + 120 = 0$.

Ответ: $p_3 = 10$.

в) По графику доход контракта 4 через год равен

$$f(X_1) = \begin{cases} 0, & X_1 \leqslant 150,\\ 2(X_1 - 150), & 150 < X_1 \leqslant 250,\\ 2(350 - X_1), & 250 < X_1 \leqslant 300,\\ 100, & X_1 > 300. \end{cases}$$

Соберём такой же профиль из контрактов таблицы. Их доходы: контракт 5 — $\max(X_1 - 150,\ 0)$, контракт 6 — $\max(X_1 - 250,\ 0)$, контракт 7 — $\max(250 - X_1,\ 0)$, контракт 8 — $\max(X_1 - 300,\ 0)$. Пусть портфель состоит из $a$ контрактов 5, $b$ контрактов 6, $c$ контрактов 7 и $d$ контрактов 8; приравнивая доход портфеля к $f(X_1)$ на каждом из четырёх участков, получаем $a = 2$, $b = -4$, $c = 0$, $d = 2$.

Проще всего это видно по изломам: наклон ломаной меняется с 0 на 2 в точке 150, с 2 на $-2$ в точке 250 и с $-2$ на 0 в точке 300. Значит нужны 2 контракта 5, минус 4 контракта 6 (короткая позиция) и 2 контракта 8, а контракт 7 не нужен вовсе — иначе левее 150 доход был бы положительным.

Проверим по участкам:

• $150 < X_1 \leqslant 250$: $2(X_1 - 150)$;
• $250 < X_1 \leqslant 300$: $2(X_1 - 150) - 4(X_1 - 250) = 2(350 - X_1)$;
• $X_1 > 300$: $2(X_1 - 150) - 4(X_1 - 250) + 2(X_1 - 300) = 100$.

Всё сходится с графиком, поэтому цена контракта 4 равна цене портфеля:

$$p_4 = 2\cdot 80 - 4\cdot 10 + 2\cdot 1 = 160 - 40 + 2 = 122.$$

Коротких продаж можно избежать: портфель «контракт 4 и 4 контракта 6» приносит всегда столько же, сколько портфель «2 контракта 5 и 2 контракта 8», откуда $p_4 + 40 = 160 + 2$ и снова $p_4 = 122$.

Ответ: $p_4 = 122$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-24-25.pdf

Сначала выбери инновации при произвольном выпуске и сведи издержки к функции от $q$, а в пункте в) решай игру с конца — от реакции «Беллы» на выпуск «Анны».

а) При выпуске $q$ и снижении предельных издержек на $I$ общие издержки «Анны» равны

$$TC(q, I) = (0{,}5 - I)q + 0{,}5kI^2 = 0{,}5q + \left(0{,}5kI^2 - qI\right).$$

При фиксированном $q$ это парабола ветвями вверх по $I$ с вершиной в точке $I = q/k$. Вершина доступна, пока $q/k \leqslant 0{,}5$; иначе минимум достигается на границе $I = 0{,}5$:

$$I = \begin{cases} \dfrac{q}{k}, & q \leqslant 0{,}5k,\\[2mm] 0{,}5, & q > 0{,}5k. \end{cases}$$

Подставляем найденную зависимость обратно:

$$TC(q) = \begin{cases} 0{,}5q - \dfrac{q^2}{2k}, & q \leqslant 0{,}5k,\\[2mm] 0{,}125k, & q > 0{,}5k. \end{cases}$$

На втором участке предельные издержки производства обнулились, поэтому издержки перестают зависеть от выпуска и равны только расходам на инновации $0{,}5k\cdot 0{,}25 = 0{,}125k$.

б) При фиксированном $q$ фирма выбирает инновации, минимизирующие издержки, поэтому прибыль можно записать как функцию одного $q$:

$$\pi(q) = (1 - q)q - TC(q) = \begin{cases} 0{,}5q - \left(1 - \dfrac{1}{2k}\right)q^2, & q \leqslant 0{,}5k,\\[2mm] q - q^2 - 0{,}125k, & q > 0{,}5k. \end{cases}$$

На обоих участках это парабола ветвями вниз. На первом участке вершина равна $q = \dfrac{k}{2(2k-1)}$, и она лежит внутри участка. На втором участке вершина $q = 0{,}5$ недоступна, ведь $k > 1$ и участок начинается правее $0{,}5k > 0{,}5$; значит там оптимум — на левой границе $q = 0{,}5k$, а эта точка общая для обоих участков, и на первом участке выбрана другая точка с большей прибылью. Следовательно,

$$q^{\star} = \frac{k}{2(2k-1)},\qquad I^{\star} = \frac{q^{\star}}{k} = \frac{1}{2(2k-1)}.$$

Например, при $k = 3$ это $q^{\star} = 0{,}3$ и $I^{\star} = 0{,}1$: предельные издержки падают до 0,4, а монопольный выпуск при $MC = 0{,}4$ как раз равен $(1 - 0{,}4)/2 = 0{,}3$.

в) Решаем игру с конца. Воспринимая $q_A$ как заданную величину, «Белла» максимизирует

$$\pi_B = (1 - q_A - q_B)q_B - 0{,}5q_B = (0{,}5 - q_A)q_B - q_B^2,$$

откуда её реакция

$$q_B = \begin{cases} \dfrac{0{,}5 - q_A}{2}, & q_A \leqslant 0{,}5,\\[2mm] 0, & q_A > 0{,}5. \end{cases}$$

Подставляем реакцию в прибыль «Анны» и пользуемся издержками из пункта а). На участке $q_A \leqslant 0{,}5$ цена равна $1 - q_A - \dfrac{0{,}5 - q_A}{2} = 0{,}75 - \dfrac{q_A}{2}$, поэтому

$$\pi_A = \left(0{,}75 - \frac{q_A}{2}\right)q_A - 0{,}5q_A + \frac{q_A^2}{2k} = 0{,}25q_A - \left(0{,}5 - \frac{1}{2k}\right)q_A^2,$$

а на участке $0{,}5 \leqslant q_A \leqslant 0{,}5k$ конкурента на рынке нет и $\pi_A = 0{,}5q_A - \left(1 - \dfrac{1}{2k}\right)q_A^2$. Третий участок ($q_A > 0{,}5k$) отбрасываем так же, как в пункте б).

Вершина первой параболы равна $\dfrac{k}{4(k-1)}$; она попадает внутрь участка ($\leqslant 0{,}5$) при $k \geqslant 2$, иначе оптимум первого участка — правая граница $q_A = 0{,}5$. Вершина второй параболы равна $\dfrac{k}{2(2k-1)}$ и при $k > 1$ всегда меньше 0,5, то есть на своём участке оптимум лежит на левой границе $q_A = 0{,}5$ — общей точке обоих участков. Значит глобальный максимум достигается на первом участке:

$$q_A^{\star} = \begin{cases} 0{,}5, & 1 < k \leqslant 2,\\[2mm] \dfrac{k}{4(k-1)}, & k \geqslant 2, \end{cases}\qquad I^{\star} = \frac{q_A^{\star}}{k} = \begin{cases} \dfrac{1}{2k}, & 1 < k \leqslant 2,\\[2mm] \dfrac{1}{4(k-1)}, & k \geqslant 2, \end{cases}$$

$$q_B^{\star} = \begin{cases} 0, & 1 < k \leqslant 2,\\[2mm] \dfrac{k-2}{8(k-1)}, & k \geqslant 2. \end{cases}$$

Пока инновации дёшевы ($k \leqslant 2$), «Анне» выгодно вложиться и выпустить 0,5 — при таком выпуске вход «Белле» не окупается. Когда инновации дороги ($k > 2$), сдерживание обходится слишком дорого, «Белла» входит, и чем больше $k$, тем больше её доля.

г) Сравниваем инновации из пунктов б) и в). При $k > 1$ верно, что $2(2k - 1) > 2k$ и $2(2k-1) > 4(k-1)$, поэтому инновации монополиста

$$\frac{1}{2(2k-1)} < \begin{cases} \dfrac{1}{2k}, & 1 < k \leqslant 2,\\[2mm] \dfrac{1}{4(k-1)}, & k \geqslant 2 \end{cases}$$

меньше инноваций под угрозой входа на всём диапазоне $k$. Больше «Анна» вкладывается в инновации в пункте в), под угрозой входа конкурента: инновации снижают её издержки и позволяют выпускать больше, вытесняя или прижимая «Беллу». Это эффект возмещения Эрроу.

д) Нет, не всегда. Как видно из пункта в), при $1 < k \leqslant 2$ «Белла» на рынок не входит, и наблюдатель видит на рынке одну фирму, но её выпуск равен 0,5, тогда как монопольный выпуск из пункта б) равен $\dfrac{k}{2(2k-1)} < 0{,}5$. Единственная фирма может выпускать «с запасом» именно для того, чтобы вход конкурента был невыгоден, поэтому по одному лишь числу фирм на рынке судить о монопольном поведении нельзя.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-24-25.pdf