ВсОШ по экономике 2023/24, заключительный этап, 11 класс, тур 1

В каждом пункте выпиши прибыль после налога как кусочную функцию выпуска и посмотри, сохраняет ли налог порядок: если он просто умножает прибыль на число и прибавляет константу, точка максимума не двигается.

Обратная функция спроса даёт $P = 50 - Q$, поэтому выручка равна $TR(Q) = (50 - Q)Q$, а прибыль до налога — $\pi(Q) = (50 - Q)Q - 10Q = 40Q - Q^2$. Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $Q = 20$; вне отрезка $[10; 30]$ она ведёт себя монотонно: до 10 растёт, после 30 убывает.

Пункт а). Налога нет, максимум прибыли достигается в вершине: $Q = 20$, прибыль равна 400.

Пункт б). Найдём, где прибыль перешагивает порог: $Q(40 - Q) > 300$. Корни уравнения $Q(40 - Q) = 300$ угадываются — это $Q = 10$ и $Q = 30$, а раз парабола ветвями вниз, неравенство выполнено между корнями, при $Q \in (10; 30)$. На этом интервале после уплаты налога у фирмы остаётся $0{,}7\,Q(40 - Q) + 90$, вне его — вся прибыль $Q(40 - Q)$. Кусочная функция непрерывна, слева от 10 растёт, справа от 30 убывает, значит максимум лежит на отрезке $[10; 30]$. Но на этом отрезке прибыль после налога получается из прибыли до налога возрастающим преобразованием $\pi \mapsto 0{,}7\pi + 90$, а такое преобразование не двигает точку максимума. Ответ: $Q = 20$, чистая прибыль $0{,}7 \cdot 400 + 90 = 370$.

Пункт в). Теперь на интервале $(10; 30)$ у фирмы остаётся просто $0{,}7\,Q(40 - Q)$, и функция становится разрывной: в точке 10 она прыгает вниз, в точке 30 — вверх. Максимум может быть только в одной из трёх точек: $Q = 10$, $Q = 20$ или $Q = 30$. Сравниваем: $\pi(10) = \pi(30) = 300$ (по построению порога), а $\pi(20) = 0{,}7 \cdot 400 = 280 < 300$. Максимум достигается сразу при $Q = 10$ и при $Q = 30$, а по условию фирма выбирает меньший выпуск: $Q = 10$.

Пункт г). Доля прибыли в выручке превышает половину, когда $\dfrac{(40 - Q)Q}{(50 - Q)Q} > 0{,}5$, то есть $40 - Q > 0{,}5(50 - Q)$, откуда $15 > 0{,}5Q$ и $Q < 30$. Значит, при $Q \geqslant 30$ налога нет и остаётся обычная прибыль $Q(40 - Q)$, а при $Q < 30$ налог по построению срезает прибыль ровно до половины выручки: остаётся $0{,}5\,Q(50 - Q)$. Получившаяся функция непрерывна и при $Q \geqslant 30$ убывает, поэтому максимум надо искать при $Q \leqslant 30$. Вершина параболы $0{,}5\,Q(50 - Q)$ — это $Q = 25$ (та же точка, что и максимум выручки), она попадает в нужный промежуток и даёт $0{,}5 \cdot 25 \cdot 25 = 312{,}5$, тогда как лучшая точка правой ветки $Q = 30$ даёт лишь 300.

Ответ пункта г): $Q = 25$ единиц. Любопытно, что этот налог не сократил выпуск, а увеличил его: 25 против 20 без налога. Причина в том, что сумма налога $T(Q)$ здесь не растёт по выпуску, как в привычных налогах, поэтому урезать производство фирме невыгодно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-23-24.pdf

Подумай, на что похожа скидка за счёт площадки в обычной модели спроса и предложения и кто в этой модели делит выгоду.

Держи в голове главное: бизнес ищет баланс между доходом здесь и сейчас и доходом на длинной дистанции. Скидка за счёт площадки бьёт по первому ради второго.

Пункт а). Годятся любые три эффекта из списка: растёт общее число покупок; растёт число покупок на одного пользователя; растёт число покупателей на площадке; растёт число продавцов; растёт оборот, то есть сумма стоимостей всех проданных товаров; растёт возвращаемость пользователей. Пояснение у всех общее: площадка отбирает заказы и оборот у конкурентов, новые пользователи делают первую покупку именно у нас, а и покупатели, и продавцы привыкают к нашему маркетплейсу. Денежная база, с которой берётся комиссия 10 %, увеличивается, поэтому в коротком периоде прибыль может просесть из-за расходов на скидки, а в длинном скорее вырастет — особенно если потом уменьшить скидку или поднять комиссию.

Пункт б). Эластичность спроса по цене должна быть высокой по модулю. Только тогда прирост количества заказов компенсирует компании то, что с каждого заказа она получает меньше.

Пункт в). Нет, неверно: цена для потребителя снизится меньше чем на 5 %. Раз часть цены за покупателя платит площадка, у продавцов появляется стимул поднять свой ценник — часть этого повышения покупатель не заметит. Продавцы стимулом воспользуются, и до потребителя дойдёт не вся скидка. Механика та же, что у субсидии в стандартной модели рынка: субсидия делится в некоторой пропорции между ценой покупателя и ценой продавца.

Пункт г). Скидка на первую покупку — самый дешёвый способ привести на площадку человека, который ей никогда не пользовался. Скидка на четвёртую покупку — самый дешёвый способ поднять среднее число покупок на пользователя: порог в три заказа преодолевается, привычка вырабатывается, и вдобавок ради скидочной четвёртой покупки человек сделает три первых заказа без скидки, то есть более маржинальных для площадки (три пары носков, а четвёртым заказом ноутбук со скидкой). Скидка на все покупки даёт наибольший прирост сразу всех метрик: и числа покупок, и числа покупателей и продавцов, и оборота, и возвращаемости.

Пункт д). Нет, такая оценка некорректна: метрики двух месяцев несопоставимы. Между месяцами меняется не только наличие скидок — сезонность, праздники, новые законы, действия конкурентов. Разница в метриках будет объясняться не одними скидками, и отделить их эффект от этого фона нельзя.

Пункт е). Нужен случайный эксперимент, он же АБ-тест: скидки включаются случайно выбранной половине пользователей, метрики контрольной группы А (без скидок) сравниваются с метриками тестовой группы Б (со скидками). В среднем пользователи в группах одинаковые, поэтому разницу объясняет ровно запуск скидок. Случайность здесь критична: если вместо этого сделать два одинаковых маркетплейса и включить скидки только на одном, покупатели просто перетекут на первый и эффект окажется сильно завышен. Подходит и свитчбэк-тестирование: по чётным дням скидка доступна всем, по нечётным — никому, и дни сравниваются между собой. Прогнозная модель, которая предсказывает метрики следующего месяца без скидок, тоже вариант, но слабее: качество предсказания у таких моделей далеко не идеальное, а АБ-тест здесь доступен.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-23-24.pdf

Спроси себя, почему за длинные деньги платят дороже и что должно произойти с ожиданиями инвесторов, чтобы этот порядок перевернулся.

Пункт а). В нормальной экономической ситуации кривая доходности возрастает, и причин тому две.

Премия за риск: чем длиннее горизонт, тем выше неопределённость относительно платёжеспособности заёмщика и тем больше вероятность, что долг не вернут. Эту растущую вероятность приходится всё сильнее компенсировать ставкой — по той же логике банк предлагает больший процент по длинному депозиту.

Премия за ликвидность: чем длиннее бумага, тем выше неопределённость относительно будущей экономической ситуации и тем вероятнее, что деньги придётся перераспределять, а быстро выйти из длинного актива всё сложнее. За эту потерю свободы тоже требуют доплату.

Ссылки на инфляцию, на «деньги сегодня дороже денег завтра» или на сложный процент аргументами здесь не считаются.

Пункт б). Когда доходности финансовых активов падают, вложения в реальный сектор становятся сравнительно привлекательнее. Средства перетекают туда, предложение заёмных средств реальному сектору растёт, требуемая доходность в нём снижается. Проекты, у которых NPV был отрицательным, становятся выгодными, их начинают финансировать — инвестиции растут.

Пункт в). Работает арбитраж. Пусть ЦБ уронил короткие ставки, а длинные пока не изменились. Тогда выгодно занимать коротко под низкий процент и давать в долг длинно под высокий — возникает возможность гарантированной прибыли. Агенты ей пользуются: спрос на короткие займы растёт, предложение длинных займов растёт, поэтому короткие ставки идут вверх и перестают быть заниженными, а длинные идут вниз и перестают быть завышенными. Так продолжается, пока возможность даровой прибыли не исчезнет. Поэтому воздействия на короткий конец хватает, чтобы сдвинуть всю кривую.

Пункт г). Инвертированная, то есть убывающая, кривая — не причина кризиса, а отражение того, что инвесторы кризиса ждут. Оба объяснения выводятся из этой одной причины.

Первое — переток средств. Ожидая спада, инвесторы выходят из коротких инструментов и перекладываются в длинные, чтобы переждать плохие времена. Спрос на короткие бумаги падает, на длинные растёт, предложение займов при этом не растёт. Цены коротких бумаг обваливаются, длинных — растут, а доходности двигаются зеркально ценам: короткие вверх, длинные вниз. Кривая становится убывающей.

Второе — ожидания по ключевой ставке. Ожидая рецессии, агенты считают, что ЦБ станет стимулировать экономику и снизит ключевую ставку, а за ней упадут остальные ставки. То же верно, если ждут падения инфляции ниже таргета. Это ожидание уже сегодня прижимает дальний конец кривой вниз.

Пункт д). Банк живёт на трансформации сроков: кредиты (активы) в основном длинные, депозиты (пассивы) короткие. При инвертированной кривой банк платит по коротким пассивам больше, чем получает по длинным активам. Маржа сжимается, прибыль падает, могут начаться проблемы с ликвидностью вплоть до банкротства. Вдобавок, если вкладчики сами считают инвертированную кривую предвестником кризиса, они начинают переживать за свои депозиты — возможен набег на банк.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-23-24.pdf

Ищи точку, которая делит суммарную длину дорог пополам: когда она есть, рынок делится ровно надвое, а когда её нет — всё решает перекрёсток и длины трёх веток.

Суммарная длина дорог равна $3 + x + 8 + 2 = 13 + x$, где тройка — периметр треугольника $AFE$. Половине рынка отвечает длина $\dfrac{13 + x}{2}$.

Ключевая идея. Если на сети есть точка, по обе стороны от которой живёт ровно по половине жителей, «Лидер» встанет именно туда и получит ровно $\dfrac{1}{2}$: «Последователь» пристроится впритык справа или слева, и рынок разделится поровну. Отклоняться «Лидеру» некуда — из любой другой точки «Последователь» сам займёт эту делящую точку и заберёт больше половины. Если же такой точки нет, естественный кандидат — сам перекрёсток $B$, от которого отходят три «отростка» длиной 8 (в сторону $C$), 2 (в сторону $D$) и $x + 3$ (в сторону $A$ вместе с треугольником). Треугольник $AFE$ отдельной роли не играет: важна только сумма его сторон.

Где может лежать делящая точка. На $BD$ — никогда, потому что $\dfrac{13 + x}{2} > 2$ при любом $x > 0$. На $BC$ — при $\dfrac{13 + x}{2} < 8$, то есть при $x < 3$; это точка на расстоянии $\dfrac{3 - x}{2}$ от $B$. На $AB$ — при $\dfrac{13 + x}{2} > 3$ и одновременно меньше $3 + x$, то есть при $x > 7$; это точка на расстоянии $\dfrac{x - 7}{2}$ от $B$. При $3 \leqslant x \leqslant 7$ делящей точки нет.

Пункт а). При $x = 9$ суммарная длина дорог равна 22, половина — 11. Точка на $AB$ в одном километре от $B$ действительно делит посёлок пополам: с одной стороны $1 + 8 + 2 = 11$, с другой $8 + 3 = 11$. «Лидер» встанет туда и получит долю $\dfrac{1}{2}$. Тот же ответ даёт общая формула: $\dfrac{x - 7}{2} = 1$.

Пункт б). При $x < 3$ и при $x > 7$ «Лидер» стоит в делящей точке и берёт ровно $\dfrac{1}{2}$. При $3 \leqslant x \leqslant 7$ он встаёт в $B$, а «Последователь» пристраивается впритык к нему на самый населённый отросток. При $x < 5$ самый длинный отросток — $BC$ длиной 8, «Последователь» уходит туда, а «Лидеру» достаётся $2 + 3 + x = 5 + x$, то есть доля $\dfrac{5 + x}{13 + x}$. При $x > 5$ самый длинный отросток — $BA$ вместе с треугольником, длиной $x + 3$, и «Лидеру» остаётся $8 + 2 = 10$, то есть доля $\dfrac{10}{13 + x}$. При $x = 5$ оба варианта для «Последователя» равнозначны, и «Лидеру» всё равно, куда тот встанет: обе формулы дают одно и то же.

Осталось сравнить. Первая дробь равна $1 - \dfrac{8}{13 + x}$ и растёт по $x$, вторая убывает по $x$, поэтому максимум приходится ровно на их стык.

Ответ: $x = 5$ километров. Доля «Лидера» там равна $\dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556$ — это единственный случай, когда «Лидер» забирает больше половины рынка; при $x < 3$ и $x > 7$ он получает ровно половину.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-23-24.pdf