ВсОШ по экономике 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Посчитай прирост догоняющей страны не за один год, а за второй и третий — он сам не стоит на месте.

а) Запишем оба уровня как геометрические прогрессии: у США $64\,000 \cdot 1{,}02^{t}$, у Китая $10\,000 \cdot 1{,}06^{t}$, где $t$ — номер года.

Отношение второго к первому равно $\dfrac{10\,000}{64\,000}\left(\dfrac{1{,}06}{1{,}02}\right)^{t}$, а множитель $\dfrac{1{,}06}{1{,}02} \approx 1{,}0392 > 1$, поэтому отношение растёт без границы и рано или поздно превысит единицу. Значит, Китай догонит США: экономист Г. прав по сути.

Посчитаем момент обгона: $1{,}0392^{t} = 6{,}4$, откуда $t = \dfrac{\ln 6{,}4}{\ln 1{,}0392} \approx \dfrac{1{,}856}{0{,}0385} \approx 48{,}3$, то есть примерно на 49-й год.

Ошибка экономиста М. в том, что он сравнил приросты одного-единственного года и мысленно заморозил их. На деле каждый следующий процент считается от нового уровня: прирост Китая сам растёт на $6\,\%$ в год ($600$, затем $1{,}06 \cdot 600 = 636$, затем около $674$), а прирост США — только на $2\,\%$, так что приросты сравняются, а потом поменяются местами. Короче говоря, М. перепутал простые проценты со сложными: когда говорят о темпе прироста, всегда имеют в виду сложные.

б) Особенность восприятия в том, что часть покупателей ориентируется на первые цифры цены: $999$ руб. читается как «девятьсот с чем-то», а $1000$ руб. — уже как тысяча. Поэтому при переходе цены через круглое число величина спроса меняется скачком.

На графике: кривая спроса убывает, но в окрестности круглых цен ($100$, $1000$ и т. д.) её эластичность по модулю резко выше — кривая либо терпит разрыв, либо резко меняет наклон, так что чуть ниже порога покупателей заметно больше. Оси обязательно подписать ($P$ и $Q$), а в точке разрыва выколотая точка ставится со стороны высокого спроса: при цене ровно $1000$ спрос уже низкий, при $999$ — высокий.

Из такого графика сразу видно, почему стратегия оптимальна для продавца: опуская цену с $1000$ до $999$, он теряет рубль на единице, но получает скачок продаж, и выручка растёт. Значит круглая цена никогда не оптимальна — выгоднее встать чуть ниже порога.

в) Вакцина частичной эффективности снижает воспринимаемый риск, и у привитых становится меньше стимулов к осторожности: они перестают носить маски, возвращаются к поездкам и встречам большими компаниями. Это эффект Пельцмана — тот же механизм, что с ремнями безопасности, которые делают аварию менее опасной и потому подталкивают водителей гнать быстрее. При эффективности всего $60\,\%$ прирост рискованного поведения способен перевесить прямой защитный эффект прививки: число контактов растёт сильнее, чем падает вероятность заразиться при контакте, и заболеваемость вирусом X увеличивается — в том числе у непривитых, которые от чужой неосторожности страдают без всякой защиты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Посмотри, что происходит со страной, когда первый регион уже отдал всё масло, — дальше прирост даёт только второй регион.

а) Заметим, что при любом $X \leqslant 1$ КПВ страны и КПВ первого региона отличаются ровно на константу $3$: $4 - X^{2} = (1 - X^{2}) + 3$. Похоже, что пока масла нужно не больше единицы, всё оно делается в первом регионе, а второй отдаёт свои $3$ пушки. Тогда при $X > 1$ первый регион уже исчерпал масло ($x_1 = 1$, $y_1 = 0$), и добавку даёт только второй: $X = 1 + x_2$ и $Y(X) = y_1(1) + y_2(x_2) = y_2(x_2)$. Отсюда догадка $y_2(x_2) = Y(1 + x_2) = 4 - (x_2 + 1)^{2} = 3 - 2x_2 - x_2^{2}$.

Обоснуем её. Альтернативные издержки масла равны $|y_1'(x_1)| = 2x_1 \leqslant 2$ в первом регионе и $|y_2'(x_2)| = 2 + 2x_2 \geqslant 2$ во втором, то есть

$$|y_1'(x_1)| \leqslant |y_1'(1)| = 2 = |y_2'(0)| \leqslant |y_2'(x_2)|.$$

Любая единица масла в первом регионе обходится дешевле любой единицы масла во втором, поэтому масло грузят сначала на первый регион: $x_1^{*}(X) = X$ при $X \leqslant 1$ и $x_1^{*}(X) = 1$ при $X > 1$. Складываем: при $X \leqslant 1$ максимум равен $(1 - X^{2}) + 3 = 4 - X^{2}$, при $X > 1$ он равен $0 + 4 - X^{2}$. В обоих случаях это ровно КПВ страны, что и требовалось.

Ответ: $y_2 = 4 - (x_2 + 1)^{2}$; в частности, второй регион производит максимум $3$ пушки и максимум $1$ единицу масла.

б) При $X = 0$ страна выпускает $Y = 8$, а первый регион — только $y_1(0) = 1$, значит у второго региона обязано быть $y_2(0) = 7$. Но тогда для любого $X \in (0; 1]$ стране доступен вариант «всё масло делает первый регион, второй выпускает одни пушки». Он даёт

$$Y = (1 - X^{2}) + 7 = 8 - X^{2} > 8 - 2X^{2}.$$

Получилось, что достижимый выпуск пушек больше заявленного максимума страны — противоречие. Никакая функция $y_2(x_2)$ не подходит.

Ответ: КПВ страны $Y = 8 - 2X^{2}$ и КПВ региона $y_1 = 1 - x_1^{2}$ одновременно существовать не могут.

в) Уравнение первого региона перепишем как $(1 - y_1)^{2} + (1 - x_1)^{2} = 1$: это дуга окружности радиуса $1$ с центром в точке $(1; 1)$, лежащая в квадрате $x_1 \leqslant 1$, $y_1 \leqslant 1$. Альтернативные издержки масла здесь не растут, а убывают, и для всех $x_1 \in [0; 1]$ выполнено $y_1(x_1) \leqslant 1 - x_1$.

Проверим кандидата $y_2(x_2) = 1 - x_2$. Сверху: складывая $y_1 \leqslant 1 - x_1$ и $y_2 = 1 - x_2$, получаем

$$Y = y_1 + y_2 \leqslant 2 - x_1 - x_2 = 2 - X,$$

то есть выше прямой $2 - X$ страна подняться не может. Снизу: уровень $2 - X$ достижим. При $X \leqslant 1$ всё масло делает второй регион ($x_2 = X$, $y_2 = 1 - X$), а первый выпускает только пушки ($x_1 = 0$, $y_1 = 1$), сумма равна $2 - X$. При $X > 1$ наоборот: первый регион полностью специализируется на масле ($x_1 = 1$, $y_1 = 0$), а остаток масла $x_2 = X - 1$ и все пушки $y_2 = 1 - (X - 1) = 2 - X$ даёт второй регион.

Значит максимум суммы равен $2 - X$ при любом $X \in [0; 2]$ — это и есть КПВ страны.

Ответ: $y_2 = 1 - x_2$ подходит.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Сведи контракт к одному числу — весу выручки в целевой функции менеджера — и максимизируй прибыль владельца уже по нему.

а) Цена равна $P = 12 - q_A - q_B$, средние издержки равны $3$, поэтому прибыль первой фирмы $\pi_A = q_A(9 - q_A - q_B)$, а второй — $\pi_B = q_B(9 - q_A - q_B)$. Это обычное равновесие Курно. Из условий первого порядка получаем функции реакции $q_A = \dfrac{9 - q_B}{2}$ и $q_B = \dfrac{9 - q_A}{2}$; решая систему, находим $q_A = q_B = 3$. Цена равна $P = 12 - 6 = 6$, прибыли $\pi_A = \pi_B = 3 \cdot (6 - 3) = 9$.

б) Менеджер максимизирует выручку $TR = q_A(12 - q_A - q_B)$, поэтому его реакция сдвинута вправо: $q_A = \dfrac{12 - q_B}{2}$. Вместе с прежней реакцией второй фирмы $q_B = \dfrac{9 - q_A}{2}$ получаем $4q_A = 15 + q_A$, то есть $q_A = 5$ и $q_B = 2$. Цена равна $P = 12 - 7 = 5$, и прибыль владельца первой фирмы $\pi_A = 5 \cdot (5 - 3) = 10 > 9$. Прибыль второй фирмы при этом падает: $\pi_B = 2 \cdot 2 = 4$.

в) Парадокса нет: контракт с менеджером — это публичное связывающее обязательство выпускать много. Сама по себе максимизация выручки владельцу не нужна, работает реакция соперника. Функция реакции фирмы B убывает, поэтому на больший выпуск A она отвечает сокращением своего выпуска, и первая фирма забирает большую долю рынка при приемлемой цене. Без контракта обещание «буду выпускать $5$» не заслуживало бы доверия: выбирая выпуск сам, владелец в тот же момент предпочёл бы вернуться на свою кривую реакции. Договор с менеджером делает обещание достоверным, и равновесие сдвигается в пользу фирмы A — по сути она получает преимущество первого хода.

г) Менеджер максимизирует $w = \alpha q_A(12 - q_A - q_B) + \beta q_A(9 - q_A - q_B)$. Условие первого порядка даёт

$$\alpha(12 - 2q_A - q_B) + \beta(9 - 2q_A - q_B) = 0, \qquad 12 - 2q_A - q_B - \frac{3\beta}{\alpha + \beta} = 0.$$

Обозначим $k = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \in (0; 1)$, тогда $\dfrac{3\beta}{\alpha + \beta} = 3(1 - k)$ и реакция менеджера принимает вид $9 + 3k - 2q_A - q_B = 0$. Вместе с $q_B = \dfrac{9 - q_A}{2}$ отсюда $q_A = 3 + 2k$ и $q_B = 3 - k$.

Владелец выбирает $k$, максимизируя $\pi_A = q_A(9 - q_A - q_B) = (3 + 2k)(3 - k)$. Производная $3 - 4k$ обращается в ноль при $k^{*} = \dfrac{3}{4}$, значит

$$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{k^{*}}{1 - k^{*}} = 3.$$

При этом $q_A = 4{,}5$, $q_B = 2{,}25$ и $\pi_A = 4{,}5 \cdot 2{,}25 = 10{,}125$ — ровно столько, сколько получил бы лидер по Штакельбергу. Контракт с правильным соотношением долей воспроизводит преимущество первого хода.

Ответ: $\alpha / \beta = 3$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Спроси себя, что сделает человек с несрочной болячкой за год до того, как лечение станет для него бесплатным.

а) Эластичность нужна государству, чтобы заранее считать последствия собственных решений: насколько вырастет обращаемость и нагрузка на систему здравоохранения при расширении субсидий или страхового покрытия, сколько будет стоить бюджету снижение доли соплатежа пациента, как подействует регулирование цен на лекарства. Без числа эффект любой меры не посчитать.

Дальше цепочка замыкается на цели государственной политики: она повышает благосостояние граждан, а здоровье — одна из его составляющих. Значит государство заинтересовано в мерах, увеличивающих потребление медуслуг там, где это оправдано, и субсидирование здравоохранения — такая мера. Кривая спроса показывает готовность платить, то есть ценность медуслуг для людей в сравнении с другими благами, и позволяет сопоставить выигрыш граждан с бюджетными расходами. Одного лозунга «государство максимизирует благосостояние» здесь мало — нужна именно количественная реакция спроса на цену.

б) В наблюдаемых данных цена эндогенна: человек сам выбирает страховку и тем самым свою цену визита, и этот выбор зависит от факторов, которых в данных нет. Пример такого ненаблюдаемого фактора — состояние здоровья: те, кто болеет чаще, покупают щедрую страховку, платят за визит из своего кармана меньше и при этом ходят к врачу больше. Их кривая спроса расположена правее, чем у здоровых. Похоже работает доход.

Из-за этого точки на графике — не одна кривая спроса, а пересечения разных кривых спроса с разными кривыми предложения. Наклон облака точек смешивает реакцию на цену с различиями в здоровье и доходе, и оценка получается систематически смещённой: низкая цена «объясняет» высокое потребление, которое на деле вызвано плохим здоровьем, так что эластичность по модулю оказывается завышенной.

В эксперименте RAND такой проблемы нет: долю оплаты назначили случайно. Группы сопоставимы по доходу, возрасту и здоровью — различия усредняются, кривая спроса у групп в среднем одна и та же, цена экзогенна, и вся разница в потреблении объясняется только ценой.

в) Ключ в том, что 64-летние и 65-летние — это одни и те же люди в разные годы жизни, и они знают своё будущее. Зная, что через год лечение оплатят полностью, человек в $64$ года откладывает несрочный визит к врачу, плановую операцию, дорогое обследование. Возникает отложенный спрос: измеренное количество при высокой цене занижено, а при нулевой — завышено (накопленные визиты приходят разом). Тот же эффект даёт и неоднородность спроса по возрасту: кривая, восстановленная только по пожилым, не описывает остальных.

Разрыв в количестве между двумя точками получается больше настоящей реакции на цену, а разница цен та же самая, поэтому измеренная эластичность по модулю будет завышена — спрос покажется более чувствительным к цене, чем он есть.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Сложи два сдвига совокупного спроса — от дотаций и от ответа ставки — и посмотри, что останется от прироста выпуска.

а) Пандемия ударила сразу с двух сторон. Отрицательный шок спроса: неуверенность, локдауны, люди перестали тратить на поездки, развлечения, фитнес. Отрицательный шок предложения: всё, что нельзя делать удалённо, остановилось, и выпуск соответствующих товаров и услуг упал. Выпуск в итоге сильно просел, а вот направление эффекта на инфляцию неочевидно: падение спроса тянет цены вниз, сжатие предложения — вверх, и в любом случае этот эффект мал по сравнению с провалом выпуска.

б) Пособия и безусловные дотации — это трансферты домохозяйствам, то есть стимулирующая фискальная политика. Располагаемый доход растёт, за ним совокупный спрос, а значит растут и выпуск, и инфляция. При этом налоги не повышают и расходы не режут — образуется дефицит бюджета, который закрывают займами, так что государственный долг увеличивается.

в) Если инфляционный эффект фискальных мер доминирующий, центробанк, таргетирующий инфляцию, поднимает ключевую ставку. Политика сдерживающая, она давит совокупный спрос, поэтому снижается не только инфляция, но и выпуск: часть фискального стимула гасится ответом центробанка, и меры правительства становятся менее действенными. Отсюда долгосрочное последствие: выпуск вырос слабо, налоговых поступлений бюджет недополучил, а долг уже набран и обслуживать его при высокой ставке дороже — возникает риск долгового кризиса.

г) Если центробанк соглашается профинансировать часть долга и выкупает государственные облигации, ставку он не поднимает. Отрицательного эффекта на совокупный спрос нет, поэтому фискальные меры остаются как минимум такими же действенными; более того, выкуп облигаций увеличивает денежную массу и добавляет выпуску. Долгового кризиса удаётся избежать, но инфляция окажется заметно выше целевого уровня.

Для больших развитых экономик это не так страшно: они годами живут при низкой инфляции или дефляции и упираются в ловушку ликвидности, когда ставка уже около нуля и снижать её некуда. Перелёт инфляции над целью выводит экономику из этой ловушки и возвращает обычным инструментам монетарной политики пространство для манёвра к следующему спаду. Именно поэтому согласованность двух политик в таких условиях может быть выгодной, хотя в обычное время независимость центробанка предпочтительнее.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Три числа на оси потолка — это две вершины парабол выручки и точка, где фирма безразлична между ними; из этого и собирается система.

а) Переменных издержек нет, поэтому максимизация прибыли — это максимизация выручки. Рыночный спрос кусочно-линеен: пусть спрос «богатой» группы равен $Q = a - bP$, а «бедной» $Q = c - dP$, причём максимальная цена спроса у первой группы выше, $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$. Тогда

$$Q_d(P) = \begin{cases} a + c - (b + d)P, & P \leqslant c/d, \\ a - bP, & c/d < P \leqslant a/b. \end{cases}$$

Выручка как функция цены склеена из двух парабол ветвями вниз: $f_1(P) = (a + c - (b + d)P)P$ на нижнем участке и $f_2(P) = (a - bP)P$ на верхнем.

Прочитаем график $P^{\star}(x)$. Если потолок ниже оптимальной цены, фирма упирается в него, и тогда $P^{\star}(x) = x$; если оптимальная цена уже внутри отрезка $[0; x]$, небольшое изменение потолка ничего не меняет, и участок горизонтален. Значит горизонтальные участки стоят ровно на локальных максимумах выручки. Их два: вершина параболы $f_1$ стоит при цене $7$, вершина параболы $f_2$ — при цене $21$. Скачок графика вверх в точке $x = 14$ означает, что до него фирме выгоднее держать цену $7$ и продавать обеим группам, а после — уйти вверх и обслуживать только «богатых»; в самой точке $x = 14$ фирме безразлично, то есть $f_2(14) = f_1(7)$. Отсюда же видно, что глобальный максимум выручки — правый, при цене $21$.

Получаем систему

$$\frac{a}{2b} = 21, \qquad \frac{a + c}{2(b + d)} = 7, \qquad (a - 14b) \cdot 14 = \big(a + c - 7(b + d)\big) \cdot 7.$$

Из второго уравнения $7(b + d) = \dfrac{a + c}{2}$; подставляем в третье и делим на $7$: $2(a - 14b) = \dfrac{a + c}{2}$. Из первого $a = 42b$, тогда $4 \cdot 28b = 42b + c$, то есть $c = 70b$. Наконец, из второго уравнения $\dfrac{42b + 70b}{2(b + d)} = 7$, откуда $d = 7b$.

При разрешённой дискриминации прибыль равна $(a - bP_1)P_1 + (c - dP_2)P_2$, слагаемые независимы, и каждое максимизируется отдельно: $P_1^{\star} = \dfrac{a}{2b} = 21$ и $P_2^{\star} = \dfrac{c}{2d} = \dfrac{70b}{14b} = 5$.

Ответ: $21$ для первой («богатой») группы и $5$ для второй.

б) Не пострадает никто. Монополист: его множество допустимых решений расширилось (единая цена осталась доступной), значит прибыль не уменьшилась, а на деле выросла. Первая группа: и без дискриминации фирма обслуживала только её по цене $21$ (глобальный максимум выручки), и при дискриминации цена для неё та же $21$ — ничего не изменилось. Вторая группа: при единой цене $21$ эти потребители товар вообще не покупали, а теперь покупают по $5$ и получают положительный излишек, то есть выигрывают.

Это учебный пример того, как ценовая дискриминация даёт улучшение по Парето: никому не хуже, а кому-то лучше. Заметим, что для вывода в пункте б) численные значения из пункта а) не нужны — достаточно понимать, что без дискриминации фирма продаёт только «богатым».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Сначала выбери качество как функцию производительности роботов, а потом посчитай, сколько квалифицированных людей под это качество нужно.

а) В производственной функции $Q = \sqrt{L_1 + aR}$ ресурсы входят линейно: одна единица труда роботов заменяет $a$ единиц труда рабочих, а стоят они одинаково, по $1$. Значит роботы выгодны при $a > 1$, при $a = 1$ фирме безразлично, и по условию она выбирает роботов.

Ответ: $a \geqslant 1$.

б) Пусть качество $z$ фиксировано. При $a \geqslant 1$ фирма берёт только роботов: из $Q = \sqrt{aR}$ получаем $R = \dfrac{Q^{2}}{a}$, и прибыль (без учёта расходов на качество) равна $\pi = 4zQ - \dfrac{Q^{2}}{a}$. Производная $4z - \dfrac{2Q}{a} = 0$ даёт $Q = 2az$, при этом $L_1 = 0$.

При $a < 1$ фирма берёт только людей: $L_1 = Q^{2}$, прибыль $4zQ - Q^{2}$ максимальна при $Q = 2z$, то есть $L_1 = 4z^{2}$.

Ответ: $Q(z, a) = 2az$ и $L_1 = 0$ при $a \geqslant 1$; $Q(z, a) = 2z$ и $L_1 = 4z^{2}$ при $a < 1$.

в) Качество обходится в $2L_2 = 2z^{4}$. При $a \geqslant 1$ прибыль равна

$$\pi(z) = 4z \cdot 2az - \frac{(2az)^{2}}{a} - 2z^{4} = 8az^{2} - 4az^{2} - 2z^{4} = 4az^{2} - 2z^{4}.$$

Заменой $t = z^{2} \geqslant 0$ получаем параболу $4at - 2t^{2}$ с вершиной $t = a$, то есть $z^{\star} = \sqrt{a}$. При $a < 1$ аналогично $\pi(z) = 8z^{2} - 4z^{2} - 2z^{4} = 4z^{2} - 2z^{4}$, вершина $t = 1$ и $z^{\star} = 1$.

Ответ: $z^{\star}(a) = \sqrt{a}$ при $a \geqslant 1$ и $z^{\star}(a) = 1$ при $a < 1$.

г) Квалифицированный труд равен $L_2 = z^{4}$. При $a \geqslant 1$ это $L_2 = a^{2}$, а $L_1 = 0$. При $a < 1$ это $L_2 = 1$, а $L_1 = 4z^{2} = 4$.

Ответ: суммарный спрос на труд людей $L(a) = 5$ при $a < 1$ и $L(a) = a^{2}$ при $a \geqslant 1$. Функция разрывна в точке $a = 1$: спрос падает с $5$ до $1$, а дальше растёт.

д) Нет, утверждение неверно. Возьмём $a_1 = 0{,}5$ и $a_2 = 3$: спрос на неквалифицированный труд падает с $L_1 = 4$ до нуля (всех рабочих уволили), но суммарный спрос на труд людей растёт с $L(0{,}5) = 5$ до $L(3) = 9$.

Объяснение: более производительные роботы увеличивают объём выпуска, а выгода от каждого пункта качества умножается на объём. Поэтому стимулы вкладываться в качество растут, и фирма нанимает больше инженеров и дизайнеров. На языке замещения и дополнения: неквалифицированный труд людей — субститут труда роботов, а квалифицированный труд — его комплемент (через связку количества и качества). Рост $a$ поднимает спрос на роботов, поэтому спрос на субститут падает, а на комплемент растёт, и сумма двух эффектов может оказаться положительной. Именно это и происходит при переходе от $a = 0{,}5$ к $a = 3$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf

Ищи портфель, при котором сожаление одинаково во всех сценариях, и не забудь, что в кризисном сценарии лучший исход — вовсе не покупать акции.

а) Пусть $x$ — доля средств в акциях Alset, остальное вложено в Drof, наличных нет.

При Сценарии 1 прибыль равна $0{,}3x - 0{,}2(1 - x) = 0{,}5x - 0{,}2$, а максимум по портфелям равен $0{,}3$ (всё в Alset), поэтому сожаление равно $0{,}3 - (0{,}5x - 0{,}2) = 0{,}5 - 0{,}5x$. При Сценарии 2 прибыль равна $-0{,}1x + 0{,}2(1 - x) = 0{,}2 - 0{,}3x$, максимум равен $0{,}2$ (всё в Drof), сожаление равно $0{,}3x$.

Первая функция убывает по $x$, вторая возрастает, поэтому их максимум минимален там, где они равны: $0{,}5 - 0{,}5x = 0{,}3x$, откуда $x^{\star} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$. Левее максимум задаёт убывающая ветвь и он больше, правее — возрастающая, и он тоже больше.

Ответ: $5/8$ средств в Alset, минимальное максимальное сожаление равно $0{,}3 \cdot \dfrac{5}{8} = 0{,}1875$ млн руб.

б) Добавим третий сценарий. Прибыль равна $-0{,}3x - 0{,}2(1 - x) = -0{,}2 - 0{,}1x$, а максимально возможная прибыль при кризисе равна $-0{,}2$ (всё в Drof, ведь наличные пока держать нельзя). Сожаление равно $-0{,}2 - (-0{,}2 - 0{,}1x) = 0{,}1x$.

Это сожаление при любом $x \in [0; 1]$ не больше сожаления при Сценарии 2, равного $0{,}3x$, поэтому максимум из трёх функций совпадает с прежним максимумом из двух. Точка минимума не сдвигается.

Ответ: тот же, $x^{\star} = 5/8$; максимальное сожаление по-прежнему $0{,}1875$ млн руб.

в) Теперь $x$ — доля в Alset, $y$ — доля в Drof, $x + y \leqslant 1$, остальное лежит наличными под $0\,\%$. В кризисном Сценарии 3 лучший портфель — вообще не покупать акции, поэтому максимальная прибыль там равна нулю. Сожаления по сценариям:

$$r_1 = 0{,}3 - (0{,}3x - 0{,}2y) = 0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y,$$

$$r_2 = 0{,}2 - (-0{,}1x + 0{,}2y) = 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y,$$

$$r_3 = 0 - (-0{,}3x - 0{,}2y) = 0{,}3x + 0{,}2y.$$

Ищем точку, где все три равны. Из $r_1 = r_3$: $0{,}3 - 0{,}3x = 0{,}3x$, то есть $x = 0{,}5$. Подставляя в $r_2 = r_3$: $0{,}25 - 0{,}2y = 0{,}15 + 0{,}2y$, откуда $y = 0{,}25$. Проверяем: $r_1 = 0{,}3 - 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}2$, $r_2 = 0{,}2 + 0{,}05 - 0{,}05 = 0{,}2$, $r_3 = 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}2$. Ограничение выполнено: $x + y = 0{,}75 \leqslant 1$, четверть денег остаётся наличными.

Докажем, что меньше $0{,}2$ не бывает. Пусть все три сожаления строго меньше $0{,}2$. Тогда $r_1 + r_2 = 0{,}5 - 0{,}2x < 0{,}4$, откуда $x > 0{,}5$. Но $r_2 + r_3 = 0{,}2 + 0{,}4x < 0{,}4$, откуда $x < 0{,}5$. Противоречие, значит максимум сожалений не меньше $0{,}2$.

Ответ: $0{,}5$ млн руб. в Alset, $0{,}25$ млн руб. в Drof, $0{,}25$ млн руб. наличными; минимально возможное максимальное сожаление равно $0{,}2$ млн руб.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-11-final-20-21.pdf