ВсОШ по экономике 2020/21, заключительный этап, 9 класс

Посчитай, каким станет прирост второго года, если процент каждый год берётся от уже выросшего уровня.

а) Догонит. Возьмём нулевым тот год, в котором подушевые ВВП равны $64\,000$ и $10\,000$ долларов. Через $t$ лет они станут $64\,000 \cdot 1{,}02^{t}$ и $10\,000 \cdot 1{,}06^{t}$, а отношение китайского уровня к американскому равно $\dfrac{10\,000}{64\,000} \cdot \left(\dfrac{1{,}06}{1{,}02}\right)^{t}$. Множитель $\dfrac{1{,}06}{1{,}02} \approx 1{,}039$ больше единицы, поэтому при достаточно большом $t$ это отношение превысит $1$. Прикидка: нужно $1{,}039^{t} = 6{,}4$, откуда $t = \dfrac{\ln 6{,}4}{\ln 1{,}039} \approx 48$ лет.

Ошибка экономиста М. в том, что он заморозил абсолютные приросты, то есть посчитал по простым процентам вместо сложных. Прирост в $600$ долларов держится только первый год: во второй год он равен $600 \cdot 1{,}06 = 636$ долларам, в третий — примерно $674$, и растёт он в $1{,}06$ раза за год против $1{,}02$ раза у американского прироста в $1300$ долларов. Поэтому уже примерно через двадцать лет китайский годовой прирост обгонит американский, а сам уровень подушевого ВВП сравняется примерно через сорок восемь лет. Когда говорят о темпе прироста величины, всегда имеют в виду сложные проценты — именно это экономист М. и упустил.

б) Особенность восприятия в том, что часть покупателей читает цену по её левой части и мысленно округляет вниз: 999 руб. воспринимаются почти как 900 руб., а 1000 руб. — уже как «тысяча». Поэтому при переходе цены через круглое число величина спроса меняется резко.

График выглядит так. Оси подписаны: по вертикали цена $P$, по горизонтали количество $Q$; на вертикальной оси отмечены круглые значения цены ($900$, $1000$, $1100$ и так далее). Кривая спроса убывает всюду, но между круглыми числами идёт круто — там спрос малочувствителен к цене, эластичность по модулю мала. Сразу под каждым круглым числом кривая резко уходит вправо: либо становится почти горизонтальной на коротком участке, либо просто разрывается, и при снижении цены с $1000$ до $999$ величина спроса подскакивает. Если рисуется разрыв, выколотая точка ставится сверху: по цене ровно $1000$ покупателей мало, по цене $999$ — много.

Почему такая цена оптимальна для продавца, видно прямо из графика: цены $1000$ и $999$ отличаются на одну денежную единицу, а продажи при $999$ заметно больше, поэтому и выручка $P \cdot Q$, и прибыль в точке чуть ниже круглого числа выше. Стоять ровно на круглой цене невыгодно: продавец отдаёт скачок спроса почти даром. Годится любой убывающий график с этим свойством — с разрывами или без, важно лишь, что сразу под круглыми ценами спрос гораздо эластичнее, чем между ними.

в) У вакцинированных меняются стимулы: частичная защита снижает ожидаемую цену рискованного поведения, и осторожничать становится менее выгодно. Привитые перестают носить маски, возвращаются в офисы, встречаются большими компаниями, ездят в отпуск. Если вакцина защищает лишь на 60 %, прирост числа опасных контактов может перевесить снижение вероятности заразиться при одном контакте, и суммарная заболеваемость вырастет.

Это в точности эффект Пельцмана: обязательные ремни безопасности снижают риск гибели в аварии, но водители начинают ездить быстрее, число аварий растёт, и суммарная смертность может не упасть. Эффект подробно разобран в книге С. Ландсбурга «Экономист на диване».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

В «квадратичном» пункте посчитай, сколько Игрека остаётся второму региону при нулевом выпуске Икса, и попробуй сделать весь Икс в первом регионе.

Общая идея всех трёх пунктов: КПВ страны — это максимум суммы $y_1 + y_2$ по всем способам разделить заданный суммарный выпуск масла $X = x_1 + x_2$ между регионами. Поэтому «подходит» означает две вещи сразу: сумма никогда не превосходит объявленную КПВ страны и хотя бы при одном разделении выпуска достигает её.

а) Подходит $y_2 = 1 - x_2$. Альтернативные издержки масла в обоих регионах постоянны и равны $1$, поэтому при любом разделении выпуска суммарный выпуск пушек один и тот же: $y_1 + y_2 = (1 - x_1) + (1 - x_2) = 2 - (x_1 + x_2) = 2 - X$ для всех $x_1, x_2 \in [0;\ 1]$. Значит, и максимум суммы равен $2 - X$, а суммарная КПВ — это в точности $Y = 2 - X$ при $X \in [0;\ 2]$.

Любопытно, что «разность» КПВ не единственна. Из решения пункта в) видно, что годится любая функция $y_2$, у которой $y_2(0) = 1$, $y_2(1) = 0$ и $y_2(x_2) \leqslant 1 - x_2$ — например, дуга окружности из пункта в).

Ответ: $y_2 = 1 - x_2$.

б) Такой пары КПВ быть не может. При $X = 0$ страна выпускает $Y = 8$ пушек, из них первый регион даёт $y_1(0) = 1$, значит второму остаётся $y_2(0) = 7$.

Теперь пусть нужно произвести $X \in (0;\ 1]$ единиц масла, и всё масло делает первый регион, а второй сидит на своём максимуме пушек. Стране тогда доступен набор $Y = (1 - X^2) + 7 = 8 - X^2$. Но по условию максимальный выпуск пушек при таком $X$ равен $8 - 2X^2$, и $8 - X^2 > 8 - 2X^2$ при любом $X > 0$. Получается, что доступный стране набор лежит выше её собственной КПВ — противоречие. Никакая функция $y_2(x_2)$ не спасает: мы нигде не пользовались её видом, кроме значения $y_2(0) = 7$.

Ответ: КПВ страны и первого региона такими одновременно быть не могут.

в) Перепишем уравнение КПВ первого региона: $y_1 = 1 - \sqrt{1 - (1 - x_1)^2}$ равносильно $(1 - y_1)^2 + (1 - x_1)^2 = 1$. Это окружность радиуса $1$ с центром в точке $(1;\ 1)$, а КПВ — её часть, лежащая в области $x_1 \leqslant 1$, $y_1 \leqslant 1$. Такая КПВ вогнута к началу координат: альтернативные издержки масла здесь не возрастают, а убывают. Нам понадобятся три её свойства: $y_1(0) = 1$, $y_1(1) = 0$ и $y_1(x_1) \leqslant 1 - x_1$ на всём отрезке (дуга лежит под хордой).

Догадка: суммарная КПВ линейна, а $y_2(0) = 1$ и $y_2(1) = 0$, так что самый простой кандидат — прямая $y_2 = 1 - x_2$. Покажем, что она подходит.

Сверху. Из $y_1 \leqslant 1 - x_1$ и $y_2 = 1 - x_2$ сложением получаем $y_1 + y_2 \leqslant 2 - x_1 - x_2 = 2 - X$, то есть уровня выше $Y = 2 - X$ достичь нельзя ни при каком разделении выпуска.

Снизу. Уровень $Y = 2 - X$ достижим. При $X \leqslant 1$ всё масло производим во втором регионе: $x_1 = 0$, $y_1 = 1$, $x_2 = X$, $y_2 = 1 - X$, сумма пушек равна $2 - X$. При $X \geqslant 1$ второй регион полностью уходит в масло, а первый догружаем: $x_1 = 1$, $y_1 = 0$, $x_2 = X - 1$, $y_2 = 1 - (X - 1) = 2 - X$, сумма пушек снова равна $2 - X$. При $X = 1$ годится любой из двух вариантов. Итак, верхняя граница достигается при каждом $X \in [0;\ 2]$, и сумма двух КПВ даёт ровно $Y = 2 - X$.

Ответ: $y_2 = 1 - x_2$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

Мировая цена оказывается средним арифметическим трёх местных — значит исход голосования решает страна со средней ценой.

а) Обозначим за $P$ единую равновесную цену, которая установится после открытия торговли. Посмотрим на любую страну. Если $P$ не совпала с её ценой в отсутствие торговли, то одна из двух местных групп выигрывает, а другая проигрывает, то есть один представитель голосует за, а другой против. Если же $P$ совпала с местной ценой, обе группы безразличны и по условию обе голосуют против.

Значит, в каждой стране за открытие подаётся не больше одного голоса, и всего за торговлю будет максимум $3$ голоса из $6$. До большинства в $4$ голоса не дотянуть ни при каких допустимых функциях спроса и предложения.

Ответ: нет, при таком правиле торговля не будет открыта никогда.

б) Сначала цены без торговли. Равновесие в стране с параметром спроса $k$: $\dfrac{k}{\sqrt{P}} = \sqrt{P}$, откуда $P = k$. Значит $P_A = a$, $P_B = 40$, $P_C = 60$.

Мировая цена при открытой торговле находится из равенства мирового спроса и мирового предложения: $\dfrac{a + 40 + 60}{\sqrt{P_w}} = 3\sqrt{P_w}$, откуда $P_w = \dfrac{a + 100}{3}$. Это в точности среднее арифметическое трёх местных цен, поэтому $P_1 \leqslant P_w \leqslant P_3$, где $P_1 \leqslant P_2 \leqslant P_3$ — упорядоченные цены $P_A$, $P_B$, $P_C$. Совпасть все три цены не могут ($P_B \ne P_C$), поэтому неравенства строгие: $P_1 < P_w < P_3$.

Теперь голоса. В стране с самой низкой ценой $P_1$ цена вырастет: её производители (2 голоса) за, потребители (1 голос) против. В стране с самой высокой ценой $P_3$ цена упадёт: потребители (1 голос) за, производители (2 голоса) против. Пока что $3$ голоса за и $3$ против, и ситуация, где все три представителя производителей голосуют за, невозможна — производители страны с ценой $P_3$ всегда против.

Всё решает страна со срединной ценой $P_2$. Если $P_w > P_2$, её производители добавляют $2$ голоса, получается ровно $5$ из $9$ — торговля открывается. Если $P_w \leqslant P_2$, производители этой страны против (при равенстве они безразличны и по условию голосуют против), и против набирается $5$ или $6$ голосов — торговли нет. Итак, условие открытия: $P_w > P_2$.

Разбираем три случая.

Случай 1: $a \leqslant 40$. Срединная цена — это $P_B = 40$, условие $\dfrac{a + 100}{3} > 40$ даёт $a > 20$. Пересечение: $a \in (20;\ 40]$.

Случай 2: $40 < a < 60$. Срединная цена — сама $P_A = a$, условие $\dfrac{a + 100}{3} > a$ даёт $2a < 100$, то есть $a < 50$. Пересечение: $a \in (40;\ 50)$.

Случай 3: $a \geqslant 60$. Срединная цена — это $P_C = 60$, условие $\dfrac{a + 100}{3} > 60$ даёт $a > 80$. Пересечение: $a \in (80;\ +\infty)$.

Объединяя, получаем ответ: торговля будет открыта при $a \in (20;\ 50) \cup (80;\ +\infty)$.

в) Неверно. Возьмём рост $a$ с $79$ до $81$, то есть переход через порог $80$. При $a = 79$ торговля не открывается (значение попадает в промежуток между $50$ и $80$), и производители страны A получают местную цену $P_A = 79$. При $a = 81$ торговля открывается, и они получают мировую цену $P_w = \dfrac{181}{3} \approx 60{,}3$, что заметно меньше $79$. Рост спроса ударил по своим же производителям.

Экономически это частный случай эффекта «спрос рождает предложение»: более высокий спрос в A делает экспорт из B и C в A выгодным, суммарное предложение на рынке страны A растёт, и цена в ней снижается.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

Посчитай, сколько рынка достанется продавцу, если он прыгнет ровно в точку соседа, и потребуй, чтобы такой прыжок был невыгоден.

Ключевое наблюдение: если рыбак стоит между двумя соседями, он забирает по половине каждой из двух примыкающих к нему дуг. Значит, стоя на дуге длины $l$ вдвоём с кем-то, он делит её пополам, а его дневная доля рынка складывается из половин дуг слева и справа.

Случай 1: все трое в одной точке. Каждый получает $\dfrac{1}{3}$ рынка. Если Борис сместится в любую другую точку, двое оставшихся поделят ту сторону, где стоят вдвоём, а Борису достанется половина всей окружности. Итого $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}$, отклоняться выгодно — это не равновесие.

Случай 2: двое стоят в точке $A$, третий — в точке $B$. Рыбак из $B$ получает половину рынка, а каждый из пары в $A$ — по четверти.

Случай 2a: точки $A$ и $B$ не на одном диаметре. Тогда одна из двух дуг $AB$ длиннее половины окружности, а её половина — больше четверти. Любому из пары в $A$ выгодно переехать во внутреннюю точку этой большей дуги: там он заберёт больше четверти потребителей. Это не равновесие.

Случай 2b: точки $A$ и $B$ лежат на одном диаметре, то есть обе дуги $AB$ равны $\dfrac{1}{2}$. Проверим все отклонения. Рыбак из $B$: переезд в $A$ превращает его в одного из трёх в одной точке, доля падает с $\dfrac{1}{2}$ до $\dfrac{1}{3}$; любой другой переезд оставляет ему ровно половину окружности (дуга между двумя другими рыбаками, стоящими в одной точке, — это вся окружность, и он забирает её половину). Увеличить долю ему нечем. Рыбак из пары в $A$: переезд в $B$ даёт ему четверть (делит половину рынка с бывшим одиночкой), переезд во внутреннюю точку любой из дуг $AB$ даёт половину от половины, то есть тоже четверть. Значит, и ему отклоняться незачем. Это равновесие, и в терминах расстояний оно описывается расстановками $x = 0,\ y = z = \dfrac{1}{2}$; $y = 0,\ x = z = \dfrac{1}{2}$; $z = 0,\ x = y = \dfrac{1}{2}$.

Случай 3: все три точки различны, то есть $x, y, z > 0$. Доли рынка: у Евгения $\dfrac{x + y}{2}$, у Бориса $\dfrac{x + z}{2}$, у Максима $\dfrac{y + z}{2}$; в сумме единица.

Первый тип отклонения — сдвиг вдоль своей дуги, то есть в другую точку между теми же двумя соседями. Доля не меняется: в любой точке такой дуги рыбак забирает ровно её половину, а длина дуги задана положением соседей.

Второй тип — прыжок ровно в точку, занятую другим рыбаком. Тогда двое делят пополам половину рынка, доставшуюся этой точке, и отклонившийся получает ровно $\dfrac{1}{4}$. Чтобы такое отклонение никому не было выгодно, нужно

$$\frac{x + y}{2} \geqslant \frac{1}{4},\qquad \frac{x + z}{2} \geqslant \frac{1}{4},\qquad \frac{y + z}{2} \geqslant \frac{1}{4},$$

то есть $x + y \geqslant \dfrac{1}{2}$, $x + z \geqslant \dfrac{1}{2}$, $y + z \geqslant \dfrac{1}{2}$. С учётом $x + y + z = 1$ это равносильно системе $z \leqslant \dfrac{1}{2}$, $y \leqslant \dfrac{1}{2}$, $x \leqslant \dfrac{1}{2}$.

Третий тип — прыжок на противоположную дугу, то есть на ту, которую рыбак сейчас не обслуживает. Оказавшись между двумя другими на дуге длины $z$ (для Евгения), он заберёт $\dfrac{z}{2}$; для Бориса это $\dfrac{y}{2}$, для Максима $\dfrac{x}{2}$. Невыгодность таких переездов означает

$$\frac{x + y}{2} \geqslant \frac{z}{2},\qquad \frac{x + z}{2} \geqslant \frac{y}{2},\qquad \frac{y + z}{2} \geqslant \frac{x}{2},$$

то есть $x + y \geqslant z$, $x + z \geqslant y$, $y + z \geqslant x$. Подставив $x + y = 1 - z$ и так далее, снова получаем ровно те же три условия $x \leqslant \dfrac{1}{2}$, $y \leqslant \dfrac{1}{2}$, $z \leqslant \dfrac{1}{2}$.

Итого в случае 3 равновесия — это все наборы с $0 < x, y, z \leqslant \dfrac{1}{2}$ и $x + y + z = 1$.

Остаётся объединить случай 2b и случай 3. Расстановки из 2b — это как раз наборы, где одно из расстояний равно нулю, а два других равны $\dfrac{1}{2}$, то есть граница той же области. Поэтому итоговый ответ записывается одной системой:

$$0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2},\qquad 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2},\qquad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2},\qquad x + y + z = 1.$$

Обрати внимание на нестрогие неравенства: расстановка с $x = \dfrac{1}{2}$ устойчива, и её нельзя выбрасывать.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

Инвестиции упираются то в число выгодных проектов, то в объём сбережений — ищи ставку, где эти два ограничения встречаются.

а) Посчитаем доходность каждого проекта: делим доход на издержки и вычитаем единицу. Проект выгоден, если доходность не ниже ставки процента (при равенстве прибыль нулевая, и по стандартному соглашению фирма всё же инвестирует).

Ответ: при ставке 33 % проекты захотят реализовать только компании E и F; им нужно занять $100 + 50 = 150$.

б) Политик неправ. При $r = 0$ сбережения домашних хозяйств равны $S(0) = 1800 \cdot 0 = 0$: занимать просто нечего, и уровень инвестиций тоже нулевой. Ставка работает сразу в двух направлениях — снижая её, мы делаем выгодными новые проекты, но одновременно сушим источник денег.

Спрос на заёмные средства — это ступенчатая невозрастающая функция ставки. Расставим проекты по доходности и накопим издержки: при $r \in (0{,}35;\ 1]$ занимает только F, спрос равен $50$; при $r \in (0{,}3;\ 0{,}35]$ добавляется E, спрос $150$; при $r \in (0{,}2;\ 0{,}3]$ добавляется D, спрос $450$; при $r \in (0{,}1;\ 0{,}2]$ добавляется C, спрос $650$; при $r \leqslant 0{,}1$ добавляется A, спрос $750$. Фактические инвестиции равны минимуму из спроса и сбережений $1800r$.

Считаем по характерным точкам:

• $r \geqslant 0{,}35$: инвестиции $\min(50;\ 1800r) = 50$ (при $r = 0{,}35$ уже $\min(150;\ 630) = 150$);
• $r = 0{,}3$: $\min(450;\ 540) = 450$;
• $r = 0{,}25$: $\min(450;\ 450) = 450$;
• $r = 0{,}2$: $\min(650;\ 360) = 360$;
• $r = 0{,}1$: $\min(750;\ 180) = 180$;
• $r = 0$: $\min(750;\ 0) = 0$.

На отрезке $r \in [0{,}25;\ 0{,}3]$ спрос держится на уровне $450$, а сбережения $1800r$ лежат между $450$ и $540$, поэтому инвестиции равны ровно $450$ — это максимум. Правее $0{,}3$ уходит компания D, и спрос падает до $150$. Левее $0{,}25$ сбережений не хватает: $1800r < 450$, и инвестиции снижаются вместе со ставкой, пока при $r = 0$ не обнулятся. На отрезке $r \in (0{,}1;\ 0{,}2]$ спрос вырастает до $650$, но сбережения там не больше $360$, так что ограничением остаются именно деньги.

Ответ: политик неправ; максимальный уровень инвестиций равен $450$ и достигается при любой ставке $r \in [0{,}25;\ 0{,}3]$, наименьшая из оптимальных — $r = 0{,}25$, то есть 25 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

Две точки задают и прямую, и степенную функцию — посчитай оптимальную цену для каждой, а прибыль в обоих случаях считай по настоящему спросу.

Шаг 1. Линия, которую построил менеджер. Пусть $Q_d(P) = a - bP$. По точкам $(P;\ Q) = (20;\ 3)$ и $(5;\ 48)$ составляем систему $3 = a - 20b$, $48 = a - 5b$. Вычитая, получаем $45 = 15b$, откуда $b = 3$ и $a = 63$. Итак, менеджерский спрос $Q_d(P) = 63 - 3P$.

Шаг 2. Цена, назначенная в марте. Прибыль при линейном спросе удобно максимизировать сразу по цене: $\pi(P) = Q_d(P)(P - 3) = (63 - 3P)(P - 3) = 3(21 - P)(P - 3)$. Это парабола ветвями вниз с корнями $3$ и $21$, вершина посередине: $P = \dfrac{3 + 21}{2} = 12$. Тот же ответ через объём: $P = 21 - \dfrac{Q}{3}$, $\pi(Q) = Q\left(21 - \dfrac{Q}{3}\right) - 3Q = 18Q - \dfrac{Q^{2}}{3}$, вершина при $Q = 27$, и тогда $P = 21 - 9 = 12$.

Шаг 3. Истинный спрос. Подставляем обе точки в $Q = \dfrac{A}{P^{k}}$: $3 = \dfrac{A}{20^{k}}$ и $48 = \dfrac{A}{5^{k}}$. Делим второе на первое: $16 = \left(\dfrac{20}{5}\right)^{k} = 4^{k}$, откуда $k = 2$ и $A = 3 \cdot 20^{2} = 1200$. Истинный спрос $Q_d(P) = \dfrac{1200}{P^{2}}$.

Шаг 4. Фактическая прибыль марта. По назначенной цене $P = 12$ покупатели взяли $\dfrac{1200}{144} = \dfrac{25}{3}$ единицы (а вовсе не $27$, как думал менеджер). Прибыль составила $(12 - 3) \cdot \dfrac{25}{3} = 9 \cdot \dfrac{25}{3} = 75$.

Шаг 5. Как надо было. Истинная прибыль как функция цены: $\pi(P) = \dfrac{1200}{P^{2}}(P - 3) = 1200\left(\dfrac{1}{P} - \dfrac{3}{P^{2}}\right)$. Замена $t = \dfrac{1}{P}$ даёт параболу ветвями вниз $\pi(t) = 1200(t - 3t^{2})$ с вершиной $t = \dfrac{1}{6}$, то есть $P = 6$. Короткий путь — индекс Лернера: при постоянной эластичности $|E| = k = 2$ имеем $\dfrac{P - MC}{P} = \dfrac{1}{|E|} = \dfrac{1}{2}$, и при $MC = 3$ снова $P = 6$. Тогда $Q = \dfrac{1200}{36} = \dfrac{100}{3}$.

Шаг 6. Максимальная прибыль: $(6 - 3) \cdot \dfrac{100}{3} = 100$.

Шаг 7. Доля недополученной прибыли: $\dfrac{100 - 75}{100} = 0{,}25$, то есть 25 %.

Ответ: фирма недополучила 25 % максимально возможной прибыли. Обрати внимание: обе точки менеджер использовал честно, ошибка только в форме кривой — прямая, проведённая через две точки степенного спроса, вдвое завышает оптимальную цену.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

При большом параметре неквалифицированных рабочих не нанимают вовсе, так что весь спрос на труд людей — это квалифицированные сотрудники.

а) Из вида производственной функции ясно, что $a$ единиц труда рабочих и одна единица труда роботов взаимозаменяемы: подкоренное выражение от такой замены не меняется. Цена единицы каждого ресурса равна $1$, поэтому $a$ единиц труда людей стоят $a$, а заменяющая их единица труда роботов — $1$. Роботы строго выгоднее при $a > 1$, при $a = 1$ фирме безразлично, и по условию она тоже выбирает роботов.

То же через предельные продукты: $MP_{L_1} = \dfrac{1}{2\sqrt{L_1 + aR}}$ и $MP_R = \dfrac{a}{2\sqrt{L_1 + aR}}$. При одинаковой цене ресурсов роботы предпочтительнее ровно тогда, когда $a \geqslant 1$.

Ответ: $a \geqslant 1$.

б) Пусть $a \geqslant 1$. Тогда $L_1 = 0$, а $Q = \sqrt{aR}$, то есть $R = \dfrac{Q^{2}}{a}$. Издержки на квалифицированный труд при фиксированном $z$ постоянны, их можно не учитывать. Прибыль $\pi = P(z)\,Q - R = 4zQ - \dfrac{Q^{2}}{a}$ — парабола ветвями вниз по $Q$; её вершина даёт $Q = 2az$, а значит $R = 4az^{2}$.

Пусть $a < 1$. Роботы не используются, $Q = \sqrt{L_1}$, то есть $L_1 = Q^{2}$, и $\pi = 4zQ - Q^{2}$. Вершина параболы даёт $Q = 2z$ и $L_1 = 4z^{2}$.

Ответ: $Q(a, z) = 2z$ при $a < 1$ и $Q(a, z) = 2az$ при $a \geqslant 1$; $L_1(a, z) = 4z^{2}$ при $a < 1$ и $L_1(a, z) = 0$ при $a \geqslant 1$. Попутно $R(a, z) = 0$ при $a < 1$ и $R(a, z) = 4az^{2}$ при $a \geqslant 1$ — это пригодится дальше.

в) Теперь $z$ переменная, и издержки на квалифицированный труд тоже: из $z = \sqrt[4]{L_2}$ следует $L_2 = z^{4}$, а расходы на него равны $2z^{4}$. Подставляем результаты пункта б):

при $a < 1$: $\pi = 4z \cdot 2z - 4z^{2} - 2z^{4} = 8z^{2} - 4z^{2} - 2z^{4}$;

при $a \geqslant 1$: $\pi = 4z \cdot 2az - 4az^{2} - 2z^{4} = 8az^{2} - 4az^{2} - 2z^{4}$.

Замена $t = z^{2}$ превращает обе в параболы ветвями вниз: $\pi = 4t - 2t^{2}$ при $a < 1$ с вершиной $t = 1$ и $\pi = 4at - 2t^{2}$ при $a \geqslant 1$ с вершиной $t = a$.

Ответ: $z^{\star} = 1$ при $a < 1$ и $z^{\star} = \sqrt{a}$ при $a \geqslant 1$.

г) Подставляем найденное качество в спрос на оба вида труда. При $a < 1$: $L_1 = 4(z^{\star})^{2} = 4$, $L_2 = (z^{\star})^{4} = 1$, суммарно $L = 5$. При $a \geqslant 1$: $L_1 = 0$, $L_2 = (z^{\star})^{4} = a^{2}$, суммарно $L = a^{2}$.

Ответ: $L(a) = 5$ при $a < 1$ и $L(a) = a^{2}$ при $a \geqslant 1$. Функция разрывна в точке $a = 1$: там она падает с $5$ до $1$, а дальше растёт как $a^{2}$ и возвращается к $5$ при $a = \sqrt{5}$.

д) Утверждение неверно. Пример: $a_1 = 0{,}5$ и $a_2 = 3$. Спрос на неквалифицированный труд падает с $4$ до $0$ — рабочих действительно уволили, — а суммарный спрос на труд людей растёт с $L(0{,}5) = 5$ до $L(3) = 9$.

Содержательное объяснение. Более производительные роботы увеличивают объём производства, а значит и отдачу от вложений в качество: выигрыш от каждой дополнительной единицы качества умножается на больший объём продаж. Поэтому фирма нанимает больше инженеров и дизайнеров, и спрос на квалифицированный труд растёт. Этот рост может с избытком перекрыть падение спроса на рабочих.

То же в терминах «субституты — комплементы»: неквалифицированный труд людей — субститут труда роботов, а квалифицированный труд — комплемент к нему через связку количества и качества. Рост $a$ увеличивает спрос на роботов, поэтому спрос на субститут падает, а на комплемент растёт, и сумма этих двух эффектов вполне может оказаться положительной.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf

Выпиши сожаление для каждого сценария как линейную функцию долей и потребуй, чтобы все они оказались равны.

а) Пусть $x$ — доля средств, вложенная в Alset; вся сумма идёт в акции, поэтому в Drof вложено $1 - x$.

Сценарий 1: максимум прибыли равен $0{,}3$ (всё в Alset), фактическая прибыль равна $0{,}3x - 0{,}2(1 - x)$, сожаление равно $0{,}3 - (0{,}3x - 0{,}2(1 - x)) = 0{,}5 - 0{,}5x$.

Сценарий 2: максимум прибыли равен $0{,}2$ (всё в Drof), фактическая прибыль равна $-0{,}1x + 0{,}2(1 - x)$, сожаление равно $0{,}2 - (-0{,}1x + 0{,}2(1 - x)) = 0{,}3x$.

Максимально возможное сожаление равно $R_1(x) = \max\{0{,}5 - 0{,}5x;\ 0{,}3x\}$. Первая функция убывает, вторая растёт, поэтому минимум максимума достигается в точке их пересечения: $0{,}5 - 0{,}5x = 0{,}3x$ даёт $0{,}8x = 0{,}5$ и $x = \dfrac{5}{8}$. Слева от этой точки $R_1$ совпадает с убывающей веткой, справа — с растущей, так что это действительно минимум, и он равен $0{,}3 \cdot \dfrac{5}{8} = 0{,}1875$ млн руб.

Ответ: $x^{\ast} = \dfrac{5}{8} = 62{,}5\ \%$ в Alset.

б) Добавился Сценарий 3. Инвестор по-прежнему вкладывает всю сумму, поэтому лучшее, что он мог сделать при кризисе, — купить только Drof и потерять $0{,}2$. Сожаление при третьем сценарии равно $-0{,}2 - (-0{,}3x - 0{,}2(1 - x)) = -0{,}2 + 0{,}3x + 0{,}2 - 0{,}2x = 0{,}1x$.

Теперь $R_2(x) = \max\{0{,}5 - 0{,}5x;\ 0{,}3x;\ 0{,}1x\}$. Но при всех $x \geqslant 0$ выполнено $0{,}1x \leqslant 0{,}3x$, то есть третий сценарий никогда не бывает самым обидным — его график целиком лежит под графиком второго. Значит $R_2(x) = R_1(x)$ и точка минимума та же.

Ответ: ничего не меняется, $x^{\ast} = \dfrac{5}{8}$.

в) Пусть $x$ и $y$ — доли средств, вложенные в Alset и Drof, $x, y \geqslant 0$, $x + y \leqslant 1$; остаток $1 - x - y$ лежит в деньгах под $0\ \%$.

Важное изменение: при третьем сценарии лучшее, что можно было сделать, — вообще не вкладываться в акции, то есть максимальная прибыль равна $0$. Выписываем сожаления:

сценарий 1: $0{,}3 - (0{,}3x - 0{,}2y) = 0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y$;

сценарий 2: $0{,}2 - (-0{,}1x + 0{,}2y) = 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y$;

сценарий 3: $0 - (-0{,}3x - 0{,}2y) = 0{,}3x + 0{,}2y$.

Нужно минимизировать $R(x, y) = \max\{0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y;\ 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y;\ 0{,}3x + 0{,}2y\}$.

Догадка: как и в пункте а), минимум достигается там, где все сожаления равны. Приравняем первое к третьему: $0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y = 0{,}3x + 0{,}2y$ даёт $0{,}6x = 0{,}3$, то есть $x = 0{,}5$. Подставим во второе и третье: $0{,}2 + 0{,}05 - 0{,}2y = 0{,}15 + 0{,}2y$, откуда $0{,}4y = 0{,}1$ и $y = 0{,}25$. Ограничения выполнены: $0{,}5 + 0{,}25 \leqslant 1$. Само сожаление равно $R(0{,}5;\ 0{,}25) = \max\{0{,}2;\ 0{,}2;\ 0{,}2\} = 0{,}2$ млн руб.

Доказательство, что меньше нельзя. Предположим противное: нашлись $x_0, y_0$ с $R(x_0, y_0) < 0{,}2$. Тогда каждое из трёх сожалений меньше $0{,}2$:

$0{,}3 - 0{,}3x_0 + 0{,}2y_0 < 0{,}2$, $\quad 0{,}2 + 0{,}1x_0 - 0{,}2y_0 < 0{,}2$, $\quad 0{,}3x_0 + 0{,}2y_0 < 0{,}2$.

Сложим первые два неравенства: слагаемые с $y_0$ сокращаются, остаётся $0{,}5 - 0{,}2x_0 < 0{,}4$, откуда $x_0 > 0{,}5$. Сложим второе и третье: снова сокращаются $y_0$, остаётся $0{,}2 + 0{,}4x_0 < 0{,}4$, откуда $x_0 < 0{,}5$. Противоречие.

Значит, минимально возможное сожаление равно $0{,}2$ млн руб. и достигается в найденной точке.

Ответ: вложить 50 % средств в акции Alset и 25 % в акции Drof, оставшиеся 25 % оставить в деньгах.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-9-final-20-21.pdf