ВсОШ по экономике 2025/26, заключительный этап, 9 класс, тур 1

Разбери отдельно случаи $x \leqslant 150$ и $x > 150$: во втором цена для дорогой группы упирается в сам порог, и суммарная выручка становится параболой ветвями вниз.

Сначала считаем, сколько фирма зарабатывает без подписки. Готовность платить клиента с номером $i$ равна $i$, поэтому при цене $P$ покупают все клиенты с номером не меньше $P$, то есть $Q = 299 - P + 1 = 300 - P$. Выручка $TR = P(300 - P)$ максимальна при $P = 150$ и равна $22\,500$ — других издержек у фирмы нет, так что это и прибыль.

Пункт а). При $x = 101$ нейросеть делит клиентов на группу $i$ от $1$ до $100$ и группу $i$ от $101$ до $299$. В дешёвой группе спрос $Q_1 = 101 - P_1$, выручка $P_1(101 - P_1)$ максимальна при $P_1 = 50$ или $P_1 = 51$ и равна $50 \cdot 51 = 2550$. Для дорогой группы оптимальная цена $150$ допустима, ведь $150 \geqslant 101$, поэтому там по-прежнему $22\,500$. Итого $25\,050$, прирост $2550$ — столько фирма и готова отдать за подписку.

Пункт б). Готовности платить целые, так что и порог достаточно брать целым. При пороге $x$ в дешёвой группе (номера от $1$ до $x-1$) спрос $Q_1 = x - P_1$, и максимум $TR_1$ равен $x^2/4$ при чётном $x$ (цена $x/2$) и $(x^2 - 1)/4$ при нечётном. В дорогой группе фирма максимизирует $P_2(300 - P_2)$ при ограничении $P_2 \geqslant x$: иначе дорогим клиентам достанется дешёвая цена. При $x \leqslant 150$ ограничение не мешает, $P_2 = 150$ и $TR_2 = 22\,500$; при $x > 150$ выгодна наименьшая допустимая цена $P_2 = x$, и $TR_2 = x(300 - x)$.

На участке $x \leqslant 150$ суммарная выручка просто растёт по $x$. При $x > 150$ для чётных порогов получаем $f_1(x) = \dfrac{x^2}{4} + x(300 - x) = 300x - \dfrac{3x^2}{4}$, для нечётных — ту же параболу минус $1/4$. Обе параболы ветвями вниз с вершиной $x = 200$, и вершина попала на чётное число, поэтому оптимум ровно $x^{*} = 200$: при любом нечётном $x$ значение строго меньше, чем $f_1(200)$.

Проверяем счётом: $P_1 = 100$ даёт $100 \cdot 100 = 10\,000$, $P_2 = 200$ даёт $200 \cdot 100 = 20\,000$, вместе $30\,000$. Максимальная готовность платить — это прирост выручки: $30\,000 - 22\,500 = 7500$ ден. ед.

Пункт в). Утверждение неверно. При $x = 200$ цены равны $100$ и $200$, а без нейросети была единая цена $150$. Клиенты с оценками от $101$ до $149$ раньше не покупали вовсе и имели нулевой излишек, а теперь покупают по $100$ и выигрывают; клиенты от $150$ до $199$ платили $150$, а теперь $100$, их излишек растёт на $50$. Достаточно одного такого примера, чтобы утверждение опровергнуть.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-25-26.pdf

Спроси, что теряет и что выигрывает команда, у которой плей-офф уже недостижим, когда она проигрывает очередной матч.

а) Драфт нужен самой Лиге, потому что он выравнивает силы клубов. Слабейшая команда получает лучшего новичка, разрыв между лидерами и аутсайдерами сокращается, матчи становятся менее предсказуемыми и потому интереснее. Растёт посещаемость, растут доходы от билетов, рекламы и прав на трансляции — а Лига зарабатывает именно на них. Дополнительно сам драфт превращается в отдельное шоу, на котором тоже можно заработать.

б) Посмотрим на команду в момент, когда плей-офф для неё уже недостижим. Победа в очередном матче почти ничего ей не приносит: доходы от плей-офф всё равно потеряны. А вот место пониже приносит ощутимую выгоду — более ранний выбор на драфте, то есть сильный новичок и лучшие перспективы в следующем сезоне. Значит, намеренный проигрыш становится выгоднее победы: клуб выпускает резервистов, не выкладывается, бережёт силы. В спортивной экономике это называют танкингом.

Ущерб Лиге возникает дальше. Концовка сезона наполняется матчами, где одна сторона не старается, качество игры падает, зрители перестают покупать билеты и включать трансляции. Доходы Лиги от билетов, рекламы и прав на показ снижаются. Команда максимизирует свою выгоду, а издержки несёт Лига — это классический внешний эффект: решение принимает один, платят другие.

в) Первое изменение — драфт-лотерея: последнее место даёт не гарантию первого выбора, а лишь наибольшую вероятность. Тогда ожидаемый выигрыш от проигранного матча резко падает, и танкинг теряет смысл. Недостаток: реально слабейшая команда может остаться без нужного ей усиления, и выравнивание сил работает хуже.

Второе изменение — расширить зону плей-офф или добавить турнир плей-ин для пограничных мест. Тогда до конца сезона борется большее число команд, и момент «нам уже нечего терять» наступает позже или не наступает вовсе. Недостаток: попадание в плей-офф обесценивается, для настоящих лидеров регулярный сезон теряет смысл.

Годится и третий вариант — фиксировать порядок выбора на драфте по итогам первой половины сезона, когда шансы на плей-офф ещё у всех; но такой рейтинг сильнее зависит от случайного распределения календаря.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-25-26.pdf

Подумай, что происходит с занятостью и накоплением навыков при каждом из двух сценариев, а не только с издержками фирмы сегодня.

Пункт г) разбираем по механизмам.

Автоматизация: ИИ берёт на себя уже существующие задачи вместо человека. Средние издержки фирмы падают, предложение растёт, выпуск может немного увеличиться. Производительность труда оставшихся работников формально растёт — тот же или чуть больший выпуск делится на меньшее количество труда.

Расширение возможностей: ИИ не вытесняет работника, а добавляет ему инструмент. Рутина уходит машине, человек переключается на содержательные задачи вроде глубокой персонализации, растёт и количество, и качество продукции. Это рост предельной производительности труда, а не арифметический эффект от сокращения знаменателя.

Теперь про долгосрочный рост. В современных моделях роста главный его источник — человеческий капитал: образование, навыки, идеи. Массовая замена труда машинами поднимает структурную, а значит и естественную безработицу: из производственной функции выпадает и труд, и связанный с ним человеческий капитал. Меньше людей заняты — медленнее накапливаются навыки и меньше рождается идей по улучшению бизнес-процессов, поэтому темп роста ВВП в долгом периоде падает. При расширении возможностей занятость сохраняется, работники осваивают новый инструмент, человеческий капитал продолжает расти. Значит долгосрочный эффект выше именно здесь — верен второй вариант.

Остальные не проходят: снижение издержек в первом варианте — краткосрочный эффект уровня, а не темпа роста; третий игнорирует разную судьбу человеческого капитала в двух сценариях; четвёртый противоречит самой постановке задачи о вкладе технологии в ВВП.

Коротко об остальных пунктах. а) Годятся луддизм и недоверие к новинке, из-за которых купленную технологию просто не используют; период адаптации, когда работник переучивается и временно работает хуже; дублирование процессов, когда для страховки ведут и бумажный, и электронный учёт; инвестиции ради имиджа, а не ради выпуска; ошибки в выборе направлений вложений. б) Эффект проявляется через сетевые эффекты (ценность почты, интернета, баз данных растёт быстрее числа пользователей), обучение в процессе работы, приход поколения, для которого компьютер естественен, и доводку самой технологии под реальные сценарии применения. в) Специфика генеративного ИИ: модели обучены на открытых данных и плохо работают с закрытым корпоративным контуром, вплоть до замедления работы; правовая неопределённость с авторскими правами и ответственностью тормозит внедрение в крупных компаниях; нужен этап дообучения, в течение которого решения модели ещё не лучшие.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-25-26.pdf

Сначала выведи кривую реакции того, кто ходит вторым, и только потом подставляй её в прибыль первого.

Пункт а). Прибыль пекарни-монополиста как функция цены: $\pi = (p - 10)(1200 - 20p) = 1400p - 20p^2 - 12\,000$. Это парабола ветвями вниз, вершина даёт $p^{*} = \dfrac{1400}{2 \cdot 20} = 35$ руб. Тогда $q = 1200 - 20 \cdot 35 = 500$ пончиков, а прибыль $(35 - 10) \cdot 500 = 12\,500$ руб. в день.

Пункт б). Та же парабола монотонно растёт на всём участке $0 < p < 35$, поэтому ради недопуска конкурента пекарня ставит самую высокую допустимую цену — $16$ руб., ровно на уровне издержек новичка, при которой тому нет смысла входить. Продажи: $1200 - 20 \cdot 16 = 880$ штук, прибыль $(16 - 10) \cdot 880 = 5280$ руб.

Пункт в). Переходим к обратному спросу: из $q = 1200 - 20p$ получаем $p = 60 - 0{,}05q$, где $q = q_1 + q_2$ — поставки пекарни и новичка.

Сначала задача того, кто ходит вторым. Новичок видит $q_1$ и максимизирует $\pi_2 = (60 - 0{,}05q_1 - 0{,}05q_2 - 16)q_2 = 44q_2 - 0{,}05q_2^2 - 0{,}05q_1q_2$. Парабола ветвями вниз по $q_2$, вершина даёт кривую реакции $q_2 = \dfrac{44 - 0{,}05q_1}{2 \cdot 0{,}05} = 440 - 0{,}5q_1$.

Теперь пекарня-лидер подставляет эту реакцию в свою прибыль: $\pi_1 = \bigl(60 - 0{,}05q_1 - 0{,}05(440 - 0{,}5q_1) - 10\bigr)q_1 = (28 - 0{,}025q_1)q_1$. Максимум снова в вершине: $q_1 = \dfrac{28}{2 \cdot 0{,}025} = 560$ пончиков.

Отсюда $q_2 = 440 - 0{,}5 \cdot 560 = 160$, суммарные поставки $720$, цена $p = 60 - 0{,}05 \cdot 720 = 24$ руб. Прибыль пекарни: $(24 - 10) \cdot 560 = 7840$ руб.

Сравнение стратегий: $7840 > 5280$, поэтому выгоднее пустить конкурента и сыграть роль лидера, чем душить его искусственно заниженной ценой.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-25-26.pdf