ВсОШ по экономике 2025/26, заключительный этап, 10 класс, тур 2

Фирма зарабатывает только тогда, когда технология досталась ей одной, — посчитай вероятность именно этого события и сравни ожидаемый приз со стоимостью исследований.

Игра симметричная, поэтому достаточно посчитать ожидаемый выигрыш одной фирмы.

а) Положительную операционную прибыль фирма получает только в одном случае — если новую технологию освоила она одна. Если инвестируют обе, вероятность этого равна $\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$.

Единоличный лидер ставит цену на уровне издержек отставшего, $P = 2$, и продаёт весь неэластичный спрос $Q = 300$: за год $(2-1)\cdot 300 = 300$ коинов, за два года — $600$ коинов.

Ожидаемая чистая прибыль от инвестиции при обоюдных вложениях: $\frac{1}{4}\cdot 600 - 100 = 50 > 0$. Если конкурент не вкладывается, тем выгоднее: $\frac{1}{2}\cdot 600 - 100 = 200 > 0$. Значит, инвестировать — доминирующая стратегия, и в равновесии вкладываются обе фирмы.

Технология появится, если повезёт хотя бы одной: $1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4}$, то есть $75\,\%$.

б) По новому закону преимущество живёт только первый год: на второй год издержки сравняются, цена упадёт до $1$ и прибыль обнулится. Приз падает с $600$ до $300$ коинов. При обоюдных инвестициях $\frac{1}{4}\cdot 300 - 100 = -25 < 0$, так что прежнее равновесие рушится; в одиночку вкладываться по-прежнему выгодно: $\frac{1}{2}\cdot 300 - 100 = 50 > 0$. В равновесии инвестирует ровно одна фирма, вероятность появления технологии падает до $50\,\%$, то есть на $25$ процентных пунктов.

Есть и равновесие в смешанных стратегиях. Пусть соперник инвестирует с вероятностью $\alpha$; тогда ожидаемая чистая прибыль инвестирующей фирмы равна $\frac{1}{2}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot 300 - 100 = 50 - 75\alpha$, и безразличие даёт $\alpha = \frac{2}{3}$. Каждая фирма изобретает с вероятностью $\frac{1}{3}$, а технология появляется с вероятностью $1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{5}{9}$ — это тоже меньше $\frac{3}{4}$, снижение на $\frac{7}{36}$. Полный балл жюри ставило за разбор любого из двух равновесий.

Смысл задачи: это упрощённая модель эндогенного роста Агийона и Ховитта — чрезмерно жёсткая антимонопольная политика гасит стимулы к инновациям.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-25-26.pdf

Приравняй альтернативные издержки обеих стран к цене, а затем используй комплектность: в мире произведено столько же единиц одного товара, сколько другого.

Кривые производственных возможностей вогнутые, поэтому каждая страна производит в точке, где её альтернативные издержки равны цене $p$.

а) Перепишем КПВ через $Y$: $Y_A = 600 - \dfrac{X_A^{2}}{2000}$ и $Y_B = 1200 - \dfrac{X_B^{2}}{400}$. Альтернативные издержки производства $X$ равны $\dfrac{X_A}{1000}$ и $\dfrac{X_B}{200}$, а условие $\dfrac{X_A}{1000} = \dfrac{X_B}{200} = p$ даёт $X_A = 1000p$, $X_B = 200p$, то есть $X_A = 5X_B$.

Полезность $U = \min(X, Y)$ означает, что мир потребляет товары поровну, а значит, суммарные выпуски совпадают: $6X_B = 1800 - \dfrac{3X_B^{2}}{200}$, то есть $X_B^{2} + 400X_B - 120000 = 0$ и $X_B = 200$.

Тогда $X_A = 1000$, мировая цена $p^{\star} = \dfrac{X_A}{1000} = 1$, а $Y_A = 100$ и $Y_B = 1100$. Экспортёр товара $X$ — Альфа, импортёр — Бета.

Бета ввозит $X_B^{c} - 200$ единиц $X$ и расплачивается товаром $Y$. При $p^{\star} = 1$ получаем $X_B^{c} - 200 = 1100 - X_B^{c}$, откуда $X_B^{c} = Y_B^{c} = 650$, а импорт (он же экспорт Альфы) равен $650 - 200 = 450$ единиц. Проверка: Альфа оставляет себе $1000 - 450 = 550$ единиц $X$ и получает $450$ единиц $Y$ сверх своих $100$, комплекты сходятся.

Удобно записать готовность торговать как функции цены: $Ex_A(p) = \dfrac{500p^{2} + 1000p - 600}{p+1}$ и $Im_B(p) = \dfrac{1200 - 200p - 100p^{2}}{p+1}$; их равенство снова даёт $p^{2} + 2p - 3 = 0$ и $p^{\star} = 1$.

б) При потолке $0{,}9$ Альфа готова вывезти $Ex_A(0{,}9) = \dfrac{705}{1{,}9} \approx 371$, а Бета хотела бы ввезти $Im_B(0{,}9) = \dfrac{939}{1{,}9} \approx 494$ — возникает дефицит, реально ввозится $371$. Из баланса комплектов $X_B + 371 = 1200 - \dfrac{X_B^{2}}{400} - 0{,}9\cdot 371$ получаем собственное производство Беты $X_B \approx 287{,}8$, а потребление $287{,}8 + 371 \approx 658{,}8 > 650$: потребители Беты выигрывают. Тот же ответ выходит сразу, если писать баланс через потребление: $X_B^{c} = 1200 - \dfrac{(X_B^{c} - 371)^{2}}{400} - 333{,}9$.

в) При жёстком потолке $\dfrac{2}{3}$ экспорт Альфы всего $Ex_A\left(\frac{2}{3}\right) = \dfrac{520}{3} \approx 173{,}3$, тогда как Бета хотела бы ввезти $\dfrac{1840}{3} \approx 613{,}3$. Дефицит ещё сильнее: из того же баланса производство Беты $X_B \approx 436$, а потребление $436 + 173{,}3 \approx 609{,}3$ — меньше и $650$ из пункта а), и $658{,}8$ из пункта б). Здесь потребители уже проигрывают: умеренный потолок им помог, слишком жёсткий — навредил.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-25-26.pdf

Сравни, за что платят участнику каждой группы: за честность или за совпадение с чужим большинством.

а) У двух групп разные цели. Первая отвечает на вопрос «что милее лично мне» и голосует искренне, поэтому её доли примерно отражают распределение предпочтений: $50\,\%$, $27\,\%$ и $23\,\%$. Участник второй группы получает приз за совпадение с победителем первой группы, поэтому он ставит не на своё любимое животное, а на то, которое вероятнее всего победит у других. Информацию о чужих вкусах он берёт откуда может — из стереотипов, из сетевых эффектов, из опроса случайных знакомых. Даже тот, кто сам предпочитает лори, рационально выбирает котёнка, если считает его популярным у остальных. Такая логика «ожиданий об ожиданиях» стягивает голоса к заведомо популярной альтернативе, и доля котёнка вырастает с $50\,\%$ до $75\,\%$. Это классический кейнсианский конкурс красоты: Кейнс сравнивал инвесторов с участниками газетного конкурса, где надо угадать не самое красивое лицо, а то, которое выберет большинство.

б) После публикации результатов второй группе уже известно, что в первой группе победил котёнок. Угадывать больше нечего: все обновляют ожидания о предпочтениях первой группы в одну сторону, и рациональный выбор — голосовать за котёнка. Во втором раунде доля котёнка во второй группе должна приблизиться к $100\,\%$.

в) Первый раунд. Третья группа угадывает выбор второй, то есть надстраивает ещё один уровень рассуждений поверх уже стратегической группы: её участники учитывают не только собственные предпочтения и догадки о первой группе, но и то, что вторая группа сама координируется на популярном варианте. Поэтому концентрация голосов у третьей группы не меньше, чем у второй, а скорее выше.

Второй раунд. Третья группа получает тот же сигнал: в первой группе побеждает котёнок, а значит, вторая группа почти в полном составе за него и проголосует. Следовательно, почти $100\,\%$ третьей группы во втором раунде выберут котёнка.

г) Подходит пример, где есть нестратегические агенты, голосующие по своим предпочтениям, и стратегические, которые угадывают массовый выбор первых; набор альтернатив у обеих групп общий и задан извне. Например, торговля на фондовом рынке.

• Экономическое взаимодействие: торговля акциями или иными активами на бирже.
• Аналог первой группы: фундаментальные инвесторы, выбирающие актив по ожидаемым дивидендам, прибыли и риску.
• Аналог второй группы: спекулянты и краткосрочные трейдеры, которые покупают то, что, по их мнению, станет покупать большинство; им это выгодно, даже если сами они актив перспективным не считают, — достаточно верить в чужой оптимизм.
• Альтернативы: купить актив A или купить актив B.
• Как устроено принятие решений: первая группа опирается на фундаментальную оценку, кому-то ближе A, кому-то B; вторая группа смотрит не на фундаментал, а на вероятность того, что актив станет массово востребованным и подорожает.
• Ключевые последствия принятых решений: цена отрывается от фундаментальной стоимости, возникают самоподдерживающиеся тренды и пузыри — актив покупают потому, что ждут покупок других, и ожидания подтверждают сами себя.

Жюри не засчитывало примеры, где нестратегической группы нет вовсе, где вторая группа сама формирует набор альтернатив для первой, где у групп разные альтернативы или где предпочтений на альтернативах не задано; по этим основаниям отклонялись, в частности, олигополия, маркетинговые исследования предпочтений и политика центрального банка. Не проходили и пересказы самого конкурса в другой обёртке: акция в ресторане на любимое блюдо, конкурс лучшей песни на концерте.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-25-26.pdf

Приведи все жилищные расходы к нулевому моменту по ставке депозита и посмотри, в какой степени момент покупки входит в получившееся выражение.

а) В каждый момент $t \le t^{\star}$ на депозит уходит $Y_t - R_t = (Y_0 - R_0)(1+r)^{t}$, и эти деньги лежат оставшиеся $t^{\star}-t$ месяцев, превращаясь к моменту $t^{\star}$ в $(Y_0-R_0)(1+r)^{t^{\star}}$. Будущая стоимость любого взноса одна и та же, а взносов ровно $t^{\star}+1$, поэтому $S^{\star} = (t^{\star}+1)(Y_0-R_0)(1+r)^{t^{\star}}$. Квартира к этому моменту стоит $P_0(1+r)^{t^{\star}}$, значит кредит равен $L^{\star} = \left(P_0 - (t^{\star}+1)(Y_0-R_0)\right)(1+r)^{t^{\star}}$.

б) Приведённая по ставке $r_c$ стоимость $N$ платежей равна сумме кредита: $L^{\star} = M\dfrac{1-(1+r_c)^{-N}}{r_c}$, откуда $M = L^{\star}\dfrac{r_c}{1-(1+r_c)^{-N}}$.

в) К пенсии квартира стоит $P_0(1+r)^{480}$ независимо от $t^{\star}$, поток доходов от выбора тоже не зависит. Значит, максимизация чистых активов сводится к минимизации приведённой к моменту $0$ по ставке депозита $r$ стоимости жилищных расходов: аренды, первоначального взноса и платежей по кредиту.

Аренда: каждый платёж растёт ровно как ставка дисконта, поэтому $PV_R = R_0(t^{\star}+1)$. Первоначальный взнос: $PV_S = (t^{\star}+1)(Y_0-R_0)$, ведь дисконт в точности съедает набежавшие проценты. Платежи по кредиту: $PV_M = K\left(P_0 - (t^{\star}+1)(Y_0-R_0)\right)$, где $K = \dfrac{r_c\left(1-(1+r)^{-N}\right)}{r\left(1-(1+r_c)^{-N}\right)}$.

Сложив три части, получаем $C(t^{\star}) = \mathrm{const} + t^{\star}\left[Y_0 - K(Y_0-R_0)\right]$. Функция линейна по $t^{\star}$, поэтому минимум лежит на краю отрезка $[0;\ 480-N]$: при $Y_0 > K(Y_0-R_0)$ коэффициент положителен и ипотеку берут сразу, $t^{\star}=0$; при $Y_0 < K(Y_0-R_0)$ коэффициент отрицателен и покупку тянут до последнего возможного месяца, $t^{\star}=480-N$; при равенстве $Y_0 = K(Y_0-R_0)$ издержки от момента покупки не зависят, и годится любое $t^{\star}$ из отрезка.

Внутреннего оптимума здесь нет: целевая функция линейна, а не выпукла, так что приравнивать производную к нулю бессмысленно. Заодно видно, что распространённый совет брать ипотеку в тот месяц, когда аренда сравнялась с аннуитетным платежом, из модели не следует.

Интуиция: откладывать покупку стоит, когда аренда съедает малую долю дохода ($R_0/Y_0$ мало) или когда ипотечная ставка $r_c$ высока — тогда дорогой кредит выгоднее брать поменьше и попозже.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-25-26.pdf