ВсОШ по экономике 2023/24, заключительный этап, 10 класс, тур 1

Сначала найди, при каких объёмах налог вообще взимается: границы режут прибыль на куски, и максимум надо искать на каждом куске отдельно, а потом сравнить.

Обратный спрос — это $P = 50 - Q$, поэтому выручка равна $TR = (50 - Q)Q$, а прибыль до налога $\pi(Q) = (50 - Q)Q - 10Q = 40Q - Q^2 = Q(40 - Q)$. Эта парабола понадобится во всех четырёх пунктах.

Пункт а). Ветви параболы смотрят вниз, вершина стоит посередине между корнями $0$ и $40$, то есть при $Q = 20$; прибыль там равна $400$. Ответ пункта а): $Q = 20$.

Пункт б). Сначала найдём, когда налог вообще взимается: $Q(40 - Q) > 300$. Корни уравнения — $Q = 10$ и $Q = 30$, а раз парабола ветвями вниз, неравенство выполнено между ними, при $Q \in (10; 30)$. На этом промежутке после налога остаётся $Q(40 - Q) - 0{,}3\bigl(Q(40 - Q) - 300\bigr) = 0{,}7\,Q(40 - Q) + 90$, вне его прибыль прежняя. Полученная функция непрерывна, растёт при $Q \leqslant 10$ и убывает при $Q \geqslant 30$, а на среднем куске она получается из $Q(40-Q)$ возрастающим преобразованием, поэтому точка максимума не сдвигается. Ответ пункта б): $Q = 20$.

Пункт в). Границы те же, но теперь на промежутке $(10; 30)$ остаётся просто $0{,}7\,Q(40 - Q)$, и функция прибыли рвётся: в $Q = 10$ она прыгает вниз, в $Q = 30$ — вверх. Максимум может быть только в $Q = 10$, $Q = 20$ или $Q = 30$. Считаем: $\pi(10) = \pi(30) = 300$ (это сами границы налога), а $\pi(20) = 0{,}7 \cdot 400 = 280$. Побеждают концы, и по условию фирма выбирает меньший выпуск. Ответ пункта в): $Q = 10$.

Пункт г). Доля прибыли в выручке равна $\dfrac{(40 - Q)Q}{(50 - Q)Q} = \dfrac{40 - Q}{50 - Q}$. Неравенство $40 - Q > 0{,}5(50 - Q)$ сводится к $15 > 0{,}5Q$, то есть налог платится ровно при $Q < 30$. Там по построению налога прибыль равна половине выручки: $\pi = 0{,}5\,Q(50 - Q)$. При $Q \geqslant 30$ прибыль прежняя, $Q(40-Q)$, и убывает. Вершина параболы $0{,}5\,Q(50 - Q)$ стоит при $Q = 25$ (это же и точка максимума выручки) и даёт $312{,}5$, что больше любого значения справа от $30$, где максимум равен $300$. Ответ пункта г): $Q = 25$.

Любопытный итог: налог не сжал выпуск, а раздул его с $20$ до $25$. Так вышло потому, что сумма налога $T(Q)$ здесь не растёт монотонно вместе с выпуском, и привычного стимула сокращать производство у фирмы не возникает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-23-24.pdf

Держи в голове размен: скидка — это трата сегодня ради оборота и комиссии завтра. В пункте д) спроси себя, что ещё, кроме скидок, успело измениться между первым и вторым месяцем.

Общая рамка всей задачи: бизнес зарабатывает, балансируя между доходом здесь и сейчас и доходом на длинном горизонте. Скидка — это краткосрочная трата ради долгосрочной выручки, и почти каждый пункт про этот размен.

а) Позитивные эффекты запуска скидок, из которых достаточно назвать любые три с пояснением:

• растёт общее количество покупок на площадке;
• растёт количество покупок, которые делает один пользователь;
• растёт количество покупателей;
• растёт количество продавцов, потому что площадка становится для них выгоднее;
• растёт оборот, то есть суммарная стоимость всех проданных товаров;
• растёт возвращаемость пользователей.

Как это влияет на бизнес. Сервис отбирает у конкурентов рыночную долю — заказы и оборот: часть пользователей перетекает от них, а новички чаще делают первую покупку именно здесь. Покупатели и продавцы привыкают к площадке. База, с которой берётся комиссия $10\,\%$, растёт, поэтому, хотя в краткосрочном периоде прибыль может просесть из-за самих скидок, в долгосрочном она, вероятно, вырастет — тем более если позже уменьшить скидку или поднять комиссию.

б) Спрос должен быть высокоэластичным по цене, то есть эластичность велика по модулю. Тогда прирост количества заказов перекроет для компании снижение выручки с одного заказа, и прибыль вырастет. При низкой по модулю эластичности заказов прибавится мало, а платить за скидку компания будет по каждому — прибыль упадёт.

в) Нет, конечная цена для потребителя снизится менее чем на $5\,\%$. Увидев, что часть цены оплачивает маркетплейс, продавцы получают стимул слегка поднять свою цену: покупатель этого повышения почти не почувствует, ведь часть его компенсирует площадка. Механика та же, что при субсидии в стандартных моделях: вся субсидия распределяется в некоторой пропорции между ценой потребителя и ценой производителя, и потребителю достаётся лишь часть.

г) По одному преимуществу на каждый вариант.

Скидка на первую покупку — самый дешёвый способ привести на площадку покупателя, который ею раньше никогда не пользовался. Скидка достаётся только новичкам, а не тем, кто и так покупает.

Скидка на четвёртую покупку — самый дешёвый способ поднять среднее число покупок на пользователя: она перетаскивает людей через порог в три заказа и вырабатывает привычку. Кроме того, ради скидочной четвёртой покупки человек сделает первые три без скидки, то есть более маржинальные для площадки: три раза купит носки, а четвёртым заказом возьмёт со скидкой ноутбук.

Скидка на все покупки даёт наибольший рост по каждому показателю сразу — числу покупок, числу покупателей и продавцов, обороту и возвращаемости, потому что распространяется на всех и на всегда.

Отдельная тонкость про издержки: скидка на первую покупку дешевле скидки на четвёртую, только если потенциальных первых покупок меньше, чем четвёртых, и наоборот. Поэтому аргумент про минимальные издержки годится обоим вариантам, но с разной оговоркой о том, кого на рынке осталось больше.

д) Нет, такой замер корректной оценкой не будет: сравниваемые месяцы несопоставимы. За время наблюдения происходит не только запуск скидок — меняется сезон, наступают праздники, вступают в силу новые законы, конкуренты запускают свои акции. Всё это само по себе двигает поведение пользователей и метрики, поэтому измеренную разницу нельзя целиком списать на эффект скидок. Оговорка про достаточность месяца снимает только вопрос охвата и к посторонним факторам отношения не имеет.

е) Правильный ответ — случайный эксперимент, он же А/Б-тест. Скидки запускают для случайно выбранной половины пользователей — это тестовая группа, или группа Б, — а вторая половина, контрольная группа А, живёт без скидок, и метрики двух групп сравнивают за один и тот же период. Случайность назначения здесь принципиальна: в среднем пользователи двух групп одинаковы, поэтому единственное, что объясняет разницу метрик, — сама скидка.

Годится и свитчбэк-тестирование: по чётным дням скидка доступна всем, по нечётным — никому, а дальше метрики чётных дней сравнивают с метриками нечётных.

А вот идея сделать два одинаковых маркетплейса, включив скидки только на одном, — это эксперимент с явным изъяном: покупатели просто перетекут на площадку со скидкой, и измеренный эффект окажется сильно завышен. Прогнозная модель, предсказывающая метрики следующего месяца без скидок для сравнения с фактом, тоже слабее: качество предсказания у таких моделей далеко от идеала, а условия задачи позволяют провести честный А/Б-тест.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-23-24.pdf

Вспомни, за что инвестору доплачивают при удлинении срока, и посмотри на баланс банка: что у него короткое, а что длинное. В пункте г) ищи одну общую причину и для формы кривой, и для кризиса.

а) В нормальной экономической ситуации кривая доходности возрастает, и держится это на двух премиях.

Первая — премия за риск. Чем длиннее рассматриваемый промежуток, тем выше неопределённость относительно платёжеспособности заёмщика и тем больше вероятность, что долг не вернут. Эту растущую вероятность приходится компенсировать всё сильнее, поэтому с удлинением срока премия за риск в ставке растёт. По той же логике за депозиты на более долгий срок банки готовы предлагать более высокий процент.

Вторая — премия за ликвидность. Чем длиннее срок, тем выше неопределённость относительно будущей экономической ситуации и тем вероятнее, что деньги придётся перераспределить, а забрать их из длинного инструмента быстро не получится. За эту несвободу инвестору тоже доплачивают, и премия за ликвидность растёт вместе со сроком.

Жюри не засчитывает аргументы про компенсацию инфляции, про более высокую стоимость денег в будущем и обоснование через сложный процент, а также любой аргумент, в котором не сказано, о каком именно риске идёт речь.

б) Пусть доходности коротких инструментов упали, а длинные остались на месте. Тогда у агентов появляется возможность заработать наверняка: занимать по относительно заниженной короткой ставке и давать в долг по относительно завышенной длинной. Рынок перестаёт быть равновесным, и агенты начинают этой возможностью пользоваться.

Их же массовые действия эту возможность и уничтожают. Спрос на короткие займы растёт, поэтому короткая ставка ползёт вверх и в какой-то момент перестаёт быть заниженной. Предложение длинных заёмных средств растёт, поэтому длинная ставка идёт вниз и перестаёт быть завышенной. Движение прекращается, когда ставки примут справедливые значения и гарантированной прибыли больше не останется — в равновесии таких возможностей быть не должно. Именно поэтому снижение коротких доходностей утягивает за собой длинные, и кривая сдвигается вниз целиком.

в) При падении доходностей на финансовом рынке вложения в реальные активы становятся сравнительно привлекательнее. Деньги перетекают из финансовых инструментов в реальные проекты, предложение заёмных средств для реального сектора растёт, и требуемая доходность в нём снижается. Значит, больше проектов проходят порог окупаемости: их NPV становится положительным, они начинают финансироваться, и инвестиции увеличиваются.

Работает и второй канал. Снижение ставки делает сбережения менее выгодными, люди больше потребляют, совокупный спрос и выпуск растут, доходы фирм увеличиваются — и фирмы наращивают инвестиции.

г) Инвертированная кривая не вызывает кризис, а сигнализирует о нём: и она, и сам кризис — два следствия одной причины, ожиданий инвесторов.

Если инвесторы ждут неприятностей в недалёком будущем, они уходят из краткосрочных инструментов в долгосрочные, чтобы пересидеть кризис. Спрос на короткие активы падает, на длинные растёт, предложение при этом как минимум не увеличивается. Цены коротких бумаг падают, длинных — растут, а доходности двигаются в обратную сторону: короткие вырастают, длинные снижаются. Кривая становится убывающей. Тот же вывод даёт и второй ход рассуждения: ожидая рецессию, агенты ждут, что Центральный банк начнёт снижать ключевую ставку, а вместе с ней упадут и остальные ставки, то есть длинный конец кривой опустится уже сегодня.

Вторая половина той же причины: негативные ожидания работают как самосбывающееся пророчество. Фирмы сокращают инвестиции и производство, распродают запасы, домохозяйства откладывают покупку товаров длительного пользования. Совокупный спрос и предложение падают, выпуск снижается — кризис действительно наступает. Поэтому инвертированная кривая и оказывается его предвестником, оставаясь при этом не причиной, а индикатором.

д) Бизнес коммерческого банка — это преобразование сроков: пассивы у него в основном короткие (депозиты), а активы длинные (ипотека, кредиты бизнесу). Прибыль складывается из разницы между доходностью длинных активов и стоимостью коротких пассивов.

При инвертированной кривой короткий конец выше длинного: привлекать деньги дорого, а размещать их приходится под меньший процент. Маржа банка сжимается, прибыль падает, могут начаться проблемы с ликвидностью вплоть до банкротства. Заметь, что ссылка на зафиксированную договором ставку по уже открытым депозитам банк не спасает: новые деньги он привлекает по новым, выросшим коротким ставкам.

Добавляется и второй механизм. Если вкладчики сами считают инвертированную кривую предвестником кризиса, они начинают переживать за свои депозиты и могут устроить набег на банк. Массовый набег способен довести банк до банкротства, но даже без этого он бьёт по бизнесу.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-23-24.pdf

Ищи точку, по обе стороны от которой поровну жителей; если её нет ни на одном отростке, лидеру остаётся встать на сам перекрёсток.

Общая длина дорог равна $3 + x + 8 + 2 = 13 + x$: треугольник даёт $1+1+1=3$, дальше $AB = x$, $BC = 8$, $BD = 2$. Половине рынка отвечает длина $\dfrac{13 + x}{2}$.

Игра здесь с фиксированной суммой: доли фирм в сумме дают единицу, значит чем лучше последователю, тем хуже лидеру. Отсюда рабочий приём. Если на дорогах есть точка, по обе стороны от которой ровно половина жителей, лидер встаёт именно туда и получает ровно $1/2$: последователь приткнётся впритык слева или справа и заберёт вторую половину. Отклонись лидер куда-то ещё — последователь сам займёт эту точку, возьмёт больше половины, и лидеру достанется меньше $1/2$. Поэтому отклоняться невыгодно.

Где живёт такая точка. На $BD$ — никогда, потому что $\dfrac{13 + x}{2} > 2$ при любом $x > 0$. На $BC$ — при $\dfrac{13 + x}{2} < 8$, то есть при $x < 3$; это точка на расстоянии $\dfrac{3 - x}{2}$ от $B$. На $AB$ — при $3 < \dfrac{13 + x}{2} < 3 + x$, то есть при $x > 7$; это точка на расстоянии $\dfrac{x - 7}{2}$ от $B$.

Пункт а). При $x = 9$ вся длина равна $22$, половина — $11$, и такая точка лежит на $AB$ на расстоянии $\dfrac{9 - 7}{2} = 1$ км от $B$. Лидер встаёт туда и получает долю $1/2$.

Пункт б), середина диапазона. При $3 \leqslant x \leqslant 7$ делящей пополам точки нет ни на одном отростке, и лидер занимает сам перекрёсток $B$. От $B$ расходятся три ветки: $8$ в сторону $C$, $2$ в сторону $D$ и $x + 3$ в сторону $A$ вместе с треугольником. Последователь встанет впритык к лидеру со стороны самой длинной ветки, а лидеру достанется всё остальное. При $x < 5$ длиннее ветка $BC$, и лидер получает $2 + 3 + x = 5 + x$; при $x > 5$ длиннее ветка в сторону $A$, и лидер получает $2 + 8 = 10$; при $x = 5$ последователю всё равно, и лидеру тоже. Отклоняться с перекрёстка лидеру невыгодно: уйдя на самый длинный отросток, он нарвётся на последователя, вставшего в $B$, и получит меньше, чем имел.

Собираем долю лидера целиком: $1/2$ при $x < 3$; $\dfrac{5 + x}{13 + x}$ при $3 \leqslant x < 5$; $\dfrac{10}{13 + x}$ при $5 \leqslant x < 7$; снова $1/2$ при $x \geqslant 7$.

Первая дробь переписывается как $1 - \dfrac{8}{13 + x}$ и растёт по $x$, вторая убывает. Значит максимум достигается ровно на стыке: $x = 5$, и доля лидера равна $\dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556$ — заметно больше половины.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur1-final-23-24.pdf