ВсОШ по экономике 2023/24, заключительный этап, 10 класс, тур 2

Выпиши истинное благосостояние на одного потребителя — ставка налога в нём сократится; в смешанном случае объёмы двух групп связаны одной ставкой, поэтому максимизировать придётся именно по ней.

а) Осознающий вред потребитель максимизирует настоящую полезность $120q - \dfrac{3q^2}{2} - pq - \dfrac{q^2}{2} = (120 - p)q - 2q^2$. Это парабола ветвями вниз, вершина даёт $q = \dfrac{120 - p}{4}$, то есть спрос $q_d(p) = 30 - \dfrac{p}{4}$. У неосознающего слагаемое вреда выпадает: он максимизирует $(120 - p)q - \dfrac{3q^2}{2}$ и предъявляет спрос $q_d(p) = 40 - \dfrac{p}{3}$. Второй спрос выше — логично, вред он не учитывает.

Средние издержки постоянны и равны $20$, рынок совершенно конкурентный, поэтому при ставке налога $t$ цена для потребителя равна $p = 20 + t$.

б) Ключевой шаг: истинное благосостояние в расчёте на одного потребителя равно его настоящей полезности плюс собранный с него налог, то есть $120q - \dfrac{3q^2}{2} - (20 + t)q - \dfrac{q^2}{2} + tq = 100q - 2q^2$. Ставка налога сократилась, осталась функция только от объёма, и её максимум достигается при $q = 25$.

Случай 1. Все осознают вред: решаем $30 - \dfrac{20 + t}{4} = 25$ и получаем $t^\star = 0$. Информация полна, внешних эффектов нет, конкурентное равновесие и так эффективно, любой положительный налог даёт чистые потери.

Случай 2. Никто не осознаёт: нужный объём тот же, $25$, но спрос другой, поэтому $40 - \dfrac{20 + t}{3} = 25$, откуда $t^\star = 25$.

Случай 3. Объёмы у двух групп разные: $q_1 = \dfrac{100 - t}{4}$ и $q_2 = \dfrac{100 - t}{3}$, поэтому максимизировать по объёму уже нельзя — они связаны одной ставкой. Подставляем в $W = 50(100q_1 - 2q_1^2) + 50(100q_2 - 2q_2^2)$ и делаем замену $x = 100 - t$: получаем $W(x) = 50\left(\dfrac{175}{3}x - \dfrac{25}{72}x^2\right)$. Парабола ветвями вниз, вершина при $x = \dfrac{175/3}{2 \cdot 25/72} = 84$, значит $t^\star = 100 - 84 = 16$.

Ответ по пункту б): $t^\star = 0$, $t^\star = 25$ и $t^\star = 16$ — чем больше людей осознают вред, тем меньше нужен налог.

в) Ответ — внешние эффекты (экстерналии) и корректирующий налог Пигу. При обычной отрицательной экстерналии агент вредит кому-то другому и не учитывает этого, поэтому объём его деятельности с точки зрения общества избыточен; здесь он вредит самому себе и тоже не учитывает вреда, поэтому государство лечит ситуацию тем же инструментом — налогом. Такой неосознаваемый внутренний эффект называют интерналией, и это уже сюжет поведенческой экономики.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-23-24.pdf

Спроси про каждый объект, что он приносит центру помимо собственной арендной платы: кто приводит людей, тот и торгуется за ставку.

а) Детская комната не благотворительность. Без неё часть семей вообще отказалась бы от похода в центр: с маленькими детьми заниматься покупками трудно. Центр платит за комнату и возвращает эти деньги потоком покупателей и арендной платой остальных магазинов, так что содержать её выгоднее, чем терять клиентов.

б) Пустые площади не обязательно ошибка администрации.

• При маленьком потоке покупателей фирме невыгодно арендовать площадь даже по очень низкой ставке: выручка не покроет зарплату продавцам, логистику и прочие издержки. Со своей стороны, и центр не может опустить ставку сколь угодно низко — сдача помещения стоит денег (услуги юристов, подготовка помещения, обслуживание).

• Держать площадь про запас бывает разумной стратегией максимизации долгосрочной прибыли: вместо того чтобы отдать её первому попавшемуся арендатору по низкой ставке, центр ждёт более платёжеспособного.

• Если центр не может сдавать разные квадратные метры по разным ценам, максимум выручки может достигаться при неполной заполняемости.

в) Кафе стоят рядом не вопреки выгоде, а ради неё.

• Общий фудкорт эффективнее использует площадь: столики общие, их занимают посетители тех кафе, на которые в данный момент больше спрос.

• В центре есть поток людей, которые заходят поесть между покупками, а не идут в конкретное кафе, поэтому каждое кафе получает разнообразных клиентов.

• Кухня у соседей разная (русская и грузинская, итальянская и вьетнамская), так что прямая ценовая конкуренция слабее, чем кажется Даше.

• От кафе есть отрицательная экстерналия на другие магазины — запахи, шум, мусор, — и руководство центра само сгоняет их в одно место.

г) Супермаркет стоит на первом этаже потому, что так удобнее покупателю и дешевле самому магазину.

• Тяжёлую тележку гораздо проще вывезти на уровне выхода из центра и близко к парковке. Для пожилых покупателей и покупателей с ограниченными возможностями это решающий довод, так что размещение на первом этаже расширяет круг покупателей.

• Сам супермаркет экономит на приёмке товара и услугах грузчиков.

д) Низкие цены в супермаркете объясняются двумя вещами.

• Арендная плата для него необязательно высокая: центр в нём очень заинтересован, потому что многие покупатели приезжают в первую очередь за продуктами, а заодно заходят в остальные магазины и кафе. Это классический якорный арендатор, и переговорная сила по ставке аренды у него велика.

• Супермаркет большой, а заметная часть его издержек фиксирована — аренда, электричество, охрана. Отсюда экономия на масштабе продаж: низкая цена единицы товара не означает работы в убыток.

е) Кафе много, а супермаркет один по трём причинам.

• Кафе предлагают дифференцированную еду, а супермаркеты — почти один и тот же набор товаров, и конкуренция между двумя такими магазинами может быть строго невыгодной обоим.

• Супермаркет занимает большую площадь, и найти в центре место сразу под два непросто.

• С точки зрения самого центра второй супермаркет не приведёт новых посетителей, поэтому центру выгоднее разнообразие арендаторов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-23-24.pdf

После получения гражданства сдвинь отечественное предложение вправо и сравни его величину при обязательной ставке с величиной спроса — правило найма иностранцев включается только тогда, когда своих желающих не осталось.

а) Труд местных и приезжих взаимозаменяем, приезжих сколько угодно по $w_f = 30$, поэтому ставка на острове опускается до $30$: без миграции равновесие было бы при $w_a = 50$, но конкуренция с приезжими сбивает зарплату. Отечественное предложение при ставке $30$ равно $L_a^s = 30$, спрос фирм $L_a^d = 100 - 30 = 70$. Разницу закрывают иностранцы: $70 - 30 = 40$ тыс. человек.

На графике по горизонтали откладываем $L$, по вертикали $w$: убывающий спрос $L_a^d = 100 - w$ из точки $(0;\,100)$, возрастающее отечественное предложение $L_a^s = w$ и совокупное предложение, которое совпадает с отечественным до уровня $w = 30$, а дальше идёт горизонтальной линией на высоте $w_f = 30$. Равновесие — пересечение спроса с этой горизонталью при $L = 70$, из которых $30$ приходится на отечественную кривую предложения.

б) Прежнее равновесие невозможно: своих больше нельзя нанимать за $30$. При $w = 50$ отечественное предложение равно $50$ и спрос равен $50$ — это как раз равновесие замкнутого рынка, поэтому все $50$ тыс. местных трудоустроены по ставке $50$. Только после этого разрешено брать иностранцев, и остаточный спрос при ставке $30$ составляет $70 - 50 = 20$ тыс. человек. Итого: $50$ тыс. своих по $50$ и $20$ тыс. приезжих по $30$.

Благосостояние по сравнению с пунктом а). Отечественных работников наняли больше и по более высокой ставке, поэтому их излишек вырос: было $\dfrac{30 \cdot 30}{2} = 450$, стало $50 \cdot 50 - \dfrac{50 \cdot 50}{2} = 1250$. У фирм занятость та же $70$ тыс., но часть работников теперь обходится в $50$ вместо $30$, поэтому прибыль упала: было $\dfrac{(100 - 30) \cdot 70}{2} = 2450$, стало $4550 - (50 \cdot 50 + 20 \cdot 30) = 1450$.

в) Двадцать тысяч бывших иностранцев стали гражданами и от высокой ставки не отказываются, поэтому при $w \geqslant 30$ отечественное предложение сдвигается вправо: $L_a^s = w + 20$. При обязательной ставке $50$ желающих работать $70$ тыс., а спрос фирм всего $50$ тыс. Значит, нанимают $50$ тыс. граждан, ещё $20$ тыс. граждан, согласных на ставку $50$, остаются безработными, и пока они не трудоустроены, иностранцев брать запрещено — их занятость нулевая.

Ответ: $50$ тыс. отечественных работников и ни одного иностранного. Мера, задуманная как защита своих, в итоге создала безработицу среди них же.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-23-24.pdf

Каждая КТВ — прямая, лежащая не ниже КПВ и касающаяся её ровно при своей цене, поэтому КПВ получается минимизацией уравнения КТВ по цене; замена $t = \sqrt{p}$ превращает выражение в обычную параболу.

Обозначения из условия: $G(p) = 1 + 2p - 2\sqrt{p}$ на отрезке $p \in [1/4;\,1]$.

а) Альтернативные издержки строго возрастают, поэтому страна производит в точке касания КПВ и КТВ (или в крайней точке КПВ), а оптимальный объём $X^\star(p)$ по цене не убывает. Если бы при самой высокой цене $p = 1$ выпуск $X^\star(1)$ был меньше $X_{\max}$, то объёмы из интервала $(X^\star(1);\,X_{\max})$ не достигались бы ни при какой цене отрезка — а по условию достигаются любые. Значит, $X^\star(1) = X_{\max}$ и $Y^\star(1) = 0$; симметрично при $p = 1/4$ производится только Y. Отсюда $X_{\max} = G(1) = 1 + 2 - 2 = 1$ и $Y_{\max} = G(1/4) = 1 + \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.

б) Вдоль КТВ стоимость набора в мировых ценах постоянна и равна ВВП, поэтому $pX + Y = G(p)$, то есть $Y(X) = 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X)$.

в) КПВ — нижняя огибающая семейства прямых КТВ. Формально: при любой цене КПВ лежит не выше КТВ, поэтому для всех $p \in [1/4;\,1]$ значение КПВ в точке $X$ не превосходит $1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X)$. При этом по условию для каждого $X$ найдётся цена $p_0(X)$, при которой страна производит ровно этот объём, и при ней КПВ и КТВ совпадают, то есть неравенство обращается в равенство. Значит, при каждом $X$ нужно взять минимум правой части по цене.

Сделаем замену $t = \sqrt{p} \in [1/2;\,1]$: получаем параболу $f(t) = (2 - X)t^2 - 2t + 1$, ветви вверх, так как $X \leqslant X_{\max} = 1 < 2$. Вершина при $t = \dfrac{1}{2 - X}$, и она попадает в отрезок $[1/2;\,1]$ при $0 \leqslant X \leqslant 1$, то есть минимум достигается именно в вершине. Отсюда $p_0(X) = \dfrac{1}{(2 - X)^2}$.

Подставляем: $f = 1 - \dfrac{2}{2 - X} + \dfrac{2 - X}{(2 - X)^2} = 1 - \dfrac{1}{2 - X} = \dfrac{1 - X}{2 - X}$. Это и есть уравнение КПВ.

Проверка крайних точек: при $X = 0$ выходит $1/2$, при $X = 1$ выходит $0$ — совпало с пунктом а). Сама КПВ оказалась куском гиперболы, альтернативные издержки вдоль неё действительно строго возрастают, а обратным ходом из неё получается ровно та функция ВВП, что дана в условии.

Тот же ответ даёт способ с производной: продифференцировав тождество $Y(p) + pX(p) = G(p)$ и учтя, что наклон КПВ в точке касания равен $-p$, получаем $X(p) = 2 - \dfrac{1}{\sqrt{p}}$, откуда та же цена $p_0(X) = \dfrac{1}{(2 - X)^2}$ и та же КПВ.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-23-24.pdf