ВсОШ по экономике 2023/24, заключительный этап, 11 класс, тур 2

Сначала найди объём, максимизирующий истинное благосостояние, и заметь, что налог из него выпадает; в случае с двумя группами один объём выбрать нельзя — выражай оба через ставку и максимизируй по ней.

Пункт а). Осознающий вред максимизирует истинную полезность $(120-p)q - 2q^2$: парабола ветвями вниз, вершина даёт $q_d(p) = \dfrac{120-p}{4} = 30 - \dfrac{p}{4}$. Не осознающий максимизирует $(120-p)q - \dfrac{3q^2}{2}$, откуда $q_d(p) = \dfrac{120-p}{3} = 40 - \dfrac{p}{3}$. Кто не знает про вред, пьёт больше — так и должно быть.

Общая часть пункта б). Средние издержки постоянны и равны $20$, конкуренция совершенная, поэтому цена для потребителя ровно покрывает издержки вместе с налогом: $p = 20 + t$. Истинное благосостояние в расчёте на одного потребителя равно
$$120q - \frac{3q^2}{2} - (20+t)q - \frac{q^2}{2} + tq = 100q - 2q^2,$$
потому что уплаченный налог возвращается в бюджет и сокращается. Это парабола ветвями вниз с вершиной $q^{\star} = 25$: именно столько газировки обществу хотелось бы выпивать на человека.

Случай 1. Все осознают вред, значит спрос равен $30 - \dfrac{20+t}{4}$. Приравниваем к $25$ и получаем $t^{\star} = 0$: информация полна, внешних эффектов нет, рынок эффективен сам по себе, а любой положительный налог создал бы чистые потери.

Случай 2. Никто не осознаёт, спрос равен $40 - \dfrac{20+t}{3}$. Из $40 - \dfrac{20+t}{3} = 25$ получаем $t^{\star} = 25$.

Случай 3. Группы потребляют по-разному, но ставка у них общая, поэтому максимизировать по объёмам порознь нельзя. Выразим оба объёма через ставку: $q_1 = \dfrac{100-t}{4}$ и $q_2 = \dfrac{100-t}{3}$, и подставим в $W = 50(100q_1 - 2q_1^2) + 50(100q_2 - 2q_2^2)$. С заменой $x = 100 - t$ получаем
$$W = 50\left[\left(25x - \frac{x^2}{8}\right) + \left(\frac{100x}{3} - \frac{2x^2}{9}\right)\right] = 50\left[\frac{175}{3}x - \frac{25}{72}x^2\right].$$
Это снова парабола ветвями вниз; её вершина лежит в точке $x = \dfrac{175/3}{2 \cdot 25/72} = \dfrac{175 \cdot 24}{50} = 84$, то есть $t^{\star} = 100 - 84 = 16$.

Ответ по пункту б): 1) $t^{\star} = 0$; 2) $t^{\star} = 25$; 3) $t^{\star} = 16$. Проверка на здравый смысл: $25 > 16 > 0$ — чем больше людей понимают, что вредят себе, тем меньше нужен налог.

Пункт в). Тема — внешние эффекты (экстерналии) и налоги Пигу. Формально здесь эффект не внешний: потребитель вредит самому себе, но не учитывает этого при выборе, из-за чего потребление избыточно с точки зрения общества. Такой неосознаваемый внутренний эффект называют интерналией, и лечится он тем же инструментом — корректирующим налогом.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-23-24.pdf

В пункте а) спроси себя, что ещё происходит ровно в тот же день, когда выходит пресс-релиз; в пунктах б) и в) доводи каждый аргумент до последствия для инфляции и доверия.

Пункт а). Здесь речь об идентификации эффекта. Пресс-релиз и решение по ключевой ставке выходят одновременно, в один и тот же день заседания. Значит, на экономику разом действуют два события: меняется цена денег и приходит новая информация о будущем. В данных эти два воздействия слиты в одно, и любое движение инфляции после заседания одинаково хорошо объясняется и процентным, и коммуникационным каналом. Отделить вклад слов от вклада ставки нечем — в этом и состоит трудность. Жюри отдельно оговаривает, что ответы «мало данных», «ожидания субъективны, их меряют опросами», «инфляция считается за большой промежуток времени» или общее «на инфляцию влияет много других факторов» без указания на одновременность двух событий не засчитываются.

Пункт б). Главная цель Банка России — низкая и стабильная инфляция, а для этого нужно управлять инфляционными ожиданиями. Публикуя прогноз ставки, регулятор делает своё будущее поведение предсказуемым, укрепляет доверие к себе и привязывает ожидания к целевому уровню инфляции; снижение ожиданий тянет вниз и саму инфляцию. Второй аргумент: определённость по ставкам помогает фирмам и домохозяйствам планировать потребление и инвестиции на длинном горизонте, что снижает волатильность макропоказателей и сглаживает циклические колебания. Годится и третий вариант: если публика верит прогнозам, политика через самосбывающиеся ожидания работает быстрее и дешевле — ставку можно поднимать меньше, а потери выпуска и рост безработицы окажутся слабее. Важно в каждом аргументе довести мысль до конца: назвать причину изменения и её последствие именно для целей регулятора, а не, скажем, для роста инвестиций сам по себе.

Пункт в). Во-первых, агенты могут принять прогноз по ставке за обязательство держать её на заявленном уровне. Если прогноз не сбудется, публика сочтёт себя обманутой и перестанет доверять регулятору — эффект ровно обратный тому, ради чего прозрачность вводили: ожидания и инфляция растут, политика дорожает. Во-вторых, готовый прогноз снижает стимулы анализировать экономику самостоятельно. Отраслевые эксперты, которые видят свою отрасль лучше всех, начинают просто доверять прогнозу Центрального банка, качество отраслевых прогнозов падает, а ошибка регулятора транслируется сразу во все решения в экономике: все ошибаются в одну сторону, и волатильность выпуска растёт.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-23-24.pdf

Разбери все четыре равновероятных исхода отдельно и помни, что без премии второй тестировщик проверять ничего не станет.

Пункт а). Работая добросовестно, Анна тратит $15$ и получает премию только тогда, когда ошибка в её части действительно есть, а это вероятность $\tfrac{1}{2}$. Отлынивание даёт ровно $0$. Условие $\tfrac{b_A}{2} - 15 \geqslant 0$ даёт $b_A \geqslant 30$.

Пункт б). Чтобы работали оба, каждому надо пообещать не меньше $30$. Но в исходе, когда ошибки нашлись у обоих, Виктору придётся отдать не меньше $60$, а обман обойдётся ему всего в $50$ — значит, он обманет. Тестировщики это предвидят, обещанию не верят и работать не станут. Ответ: нет.

Пункт в). Премируем только Анну. Ей нужно $b_A \geqslant 30$, а Виктор сдержит слово, пока $b_A \leqslant 50$; оптимально взять минимум из допустимого — $b_A = 30$. Борис без премии отлынивает, поэтому серверные ошибки остаются в сайте. Считаем ожидаемые потери Виктора по четырём равновероятным исходам: ошибок нет — $0$; ошибка только у Анны — премия $30$; ошибка только у Бориса — убыток $80$; ошибки у обоих — $30 + 80 = 110$. Среднее равно
$$\frac{0 + 30 + 80 + 110}{4} = 55.$$
То есть $55$ тыс. руб. Без премий сайт ломается с вероятностью $\tfrac{3}{4}$, и ожидаемые потери равны $\tfrac{3}{4} \cdot 80 = 60$ тыс. руб. Значит, премировать Анну выгодно.

Пункт г). Если оба работают добросовестно, каждый получает $b_1$ с вероятностью $\tfrac{1}{4}$ (его ошибка есть, у напарника нет) и $b_2$ с вероятностью $\tfrac{1}{4}$ (ошибки у обоих). Условие стимулирования: $\tfrac{1}{4}b_1 + \tfrac{1}{4}b_2 \geqslant 15$, то есть $b_1 + b_2 \geqslant 60$. Правдоподобность: если платить надо одному, обман экономит $b_1$ и стоит $50$, отсюда $b_1 \leqslant 50$; если обоим — $2b_2 \leqslant 50$, то есть $b_2 \leqslant 25$. Ожидаемые выплаты Виктора равны $\tfrac{1}{4}b_1 + \tfrac{1}{4}b_1 + \tfrac{1}{4} \cdot 2b_2 = \dfrac{b_1 + b_2}{2}$, и минимум по области достигается на границе $b_1 + b_2 = 60$, то есть равен $30$. С учётом $b_1 \leqslant 50$ и $b_2 \leqslant 25$ оптимальны все пары с $b_1 \in [35; 50]$ и $b_2 = 60 - b_1 \in [10; 25]$. Теперь работают оба, ошибок в рабочей версии не остаётся, и потери Виктора — только $30$ против $55$ в пункте в). Схема выгоднее.

Пункт д). Фонд, делящийся поровну, означает $b_1 = 2b_2$. Вместе с $b_1 + b_2 = 60$ это даёт $b_1 = 40$, $b_2 = 20$ — пара попадает в оптимальную область, так что фонд в $40$ тыс. руб. существует.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-23-24.pdf

Каждая прямая торговых возможностей лежит не ниже КПВ и где-то её касается — значит КПВ в точке равна наименьшему из значений этих прямых.

Пункт а). Альтернативные издержки строго возрастают, поэтому КПВ вогнута, и при каждой цене страна производит в точке касания КПВ с прямой торговых возможностей (либо в крайней точке КПВ). Из геометрии касания следует, что $X^{\star}(p)$ не убывает по цене. Если бы оказалось $X^{\star}(1) < X_{\max}$, то объёмы из интервала $(X^{\star}(1);\, X_{\max})$ не производились бы ни при какой цене отрезка, а по условию любой объём достижим. Значит $X^{\star}(1) = X_{\max}$ и $Y^{\star}(1) = 0$; симметрично $X^{\star}(1/4) = 0$ и $Y^{\star}(1/4) = Y_{\max}$.

Остаётся подставить крайние цены в формулу ВВП:
$$X_{\max} = 1 \cdot X^{\star}(1) + Y^{\star}(1) = \mathrm{GDP}(1) = 1 + 2 - 2 = 1,$$
$$Y_{\max} = \tfrac{1}{4} \cdot X^{\star}(1/4) + Y^{\star}(1/4) = \mathrm{GDP}(1/4) = 1 + \tfrac{1}{2} - 1 = \tfrac{1}{2}.$$

Пункт б). Вдоль КТВ стоимость набора в мировых ценах постоянна и равна ВВП: $pX + Y = \mathrm{GDP}(p)$. Отсюда
$$Y(X) = 1 + 2p - 2\sqrt{p} - pX = 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X).$$

Пункт в). Ключевая идея: КПВ — нижняя огибающая семейства КТВ. Любая КТВ лежит не ниже КПВ, то есть при всех $p$ выполнено $Y_{\mathrm{PPF}}(X) \leqslant 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X)$, где $Y_{\mathrm{PPF}}$ — искомая КПВ, а при «своей» цене $p_0(X)$, при которой страна как раз производит объём $X$, достигается равенство. Значит при каждом $X$ значение КПВ равно минимуму функции $f(p) = 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X)$ по $p \in [1/4;\, 1]$ — производная не нужна.

Сделаем замену $t = \sqrt{p} \in [1/2;\, 1]$: получается квадратичная функция $(2 - X)t^2 - 2t + 1$. Так как $X \leqslant X_{\max} = 1 < 2$, ветви направлены вверх, а абсцисса вершины равна $t_0 = \dfrac{1}{2 - X}$ и попадает в отрезок $[1/2;\, 1]$ при $0 \leqslant X \leqslant 1$ — значит это и есть точка минимума. Соответствующая цена $p_0(X) = \dfrac{1}{(2 - X)^2}$, и
$$Y_{\mathrm{PPF}}(X) = 1 - \frac{2}{2 - X} + \frac{1}{(2-X)^2}(2 - X) = 1 - \frac{2}{2-X} + \frac{1}{2-X} = \frac{1 - X}{2 - X}.$$

Проверка концов: $Y(0) = \tfrac{1}{2}$ и $Y(1) = 0$ — совпало с пунктом а). Это участок гиперболы, альтернативные издержки вдоль него действительно строго возрастают.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-23-24.pdf