ВсОШ по экономике 2022/23, заключительный этап, 11 класс, тур 2

В пункте а) начни с того, почему банк физически не может вернуть всем сразу, и покажи, что снимать деньги выгодно даже тому, кто в банкротство не верил. В пункте в) ищи аргумент через поведение самих банков, а не через арифметику связей.

а) Банк выдал часть средств вкладчиков в виде кредитов, поэтому вернуть деньги всем вкладчикам одновременно он не может — ликвидных резервов на всех не хватит. Пусть часть вкладчиков по какой-то причине поверила, что банк А разорится. Эти вкладчики идут закрывать депозиты, чтобы успеть забрать деньги, пока они не кончились. Остальные вкладчики, изначально в банкротство не верившие, узнают о поведении первой группы и понимают: если деньги достанутся тем, кто пришёл раньше, то опоздавшим не достанется ничего. Значит, и для них рационально снять деньги, причём немедленно. В итоге снимать деньги выгодно каждому независимо от исходных ожиданий. Требований оказывается больше, чем банк способен в данный момент удовлетворить, он объявляется неплатёжеспособным. Банкротство произошло не потому, что банк был плох, а потому, что ожидания банкротства сформировались у части вкладчиков, — такие ожидания и называются самосбывающимися.

б) Из пункта а) видно: набег тем масштабнее и быстрее, чем быстрее одни вкладчики узнают о действиях других. Соцсети и мессенджеры резко ускоряют распространение такой информации, и при условии, что агенты в неё верят, за единицу времени деньги приходит снимать всё больше людей. Приложения онлайн-банкинга — тоже коммуникационная технология, только между вкладчиком и банком, и они снижают издержки самого изъятия. «Ленивый» вкладчик, которому раньше было лень идти в отделение, теперь снимает деньги сразу, как услышал убедительную для себя плохую новость. Никто не тратит время на дорогу, изъятия становятся синхронными. И то и другое увеличивает количество требований к банку в единицу времени, то есть современные коммуникационные технологии делают набег и быстрее, и крупнее.

в) Аргумент 1: моральный риск. В распределённой структуре каждый банк чувствует себя застрахованным сильнее, чем в кольце: при проблемах с ликвидностью он может перекредитоваться не у одного партнёра, а у четырёх. Поэтому он выбирает более рискованные вложения в реальный сектор. Так поступает каждый банк, и общий риск системы растёт, то есть системный кризис в полном графе может случаться чаще, чем в кольце. Это классическое проявление проблемы морального риска.

Аргумент 2: изъятие из предосторожности останавливает кризис в кольце и разгоняет его в полном графе. Во время паники банки вытягивают депозиты друг из друга. Пусть в кольце обанкротился банк 3. Тогда банк 2, державший в нём средства, испытывает проблемы с ликвидностью. Банк 1 понимает это и заранее изымает свой депозит из банка 2: с одной стороны, он подталкивает банк 2 к банкротству, с другой — создаёт себе буфер ликвидности и сам устоит. Распространение кризиса заканчивается на трёх банках (3, 2 и, возможно, потрёпанный, но живой 1), остальные не затронуты вовсе. В полном графе так не выйдет: при банкротстве одного банка все остальные связаны и с ним, и друг с другом, поэтому все одновременно начинают тянуть депозиты друг из друга. Паника охватывает всю систему, денежная масса резко сжимается, и банкам не хватает средств на текущие расчёты.

г) Главные неочевидные издержки связаны с потерей информации о заёмщиках, которую накопили разорившиеся банки.

1. Неоптимальное распределение средств. Не зная историю и специфику фирмы, новый банк хуже отличает хорошие проекты от плохих. Даже если общий объём выданных кредитов и ставка не изменятся, деньги пойдут не в те проекты, и общая отдача для общества окажется ниже максимальной.

1. Снижение производства из-за удорожания кредита. Новые банки не работали с этими фирмами, поэтому закладывают повышенную премию за риск. Кредит для фирм дорожает, это давит на реальный сектор через канал издержек: фирмы сокращают производство, выпуск в экономике падает, общество недополучает доход.

Замечания жюри. Потерю информации при банкротстве банков изучал на материале Великой депрессии нобелевский лауреат 2022 г. Бен Бернанке. Для физических лиц проблема слабее — есть бюро кредитных историй, а вот институт кредитных историй для фирм развит куда хуже. Не засчитываются примеры, которые сводятся к перераспределению доходов, а также издержки, которые фирма понесла бы и без банкротства банка (время на заключение договора она потратила бы и со старым банком).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-22-23.pdf

В пункте а) нужны два независимых рассуждения — одно про должников и кредиторов, другое про индексацию зарплат и пособий. В пунктах б) и в) сначала скажи, у кого какая склонность к потреблению и у кого какие активы, и только потом делай вывод.

а) Ответ зависит от того, какой канал влияния инфляции на неравенство окажется сильнее, и жюри принимает разбор любого из них — но по условию нужно показать оба направления.

Канал 1: неравенство растёт. Неожиданная инфляция обесценивает номинальные долги и тем самым перераспределяет богатство от кредиторов к заёмщикам. Кредиторами и сберегателями выступают в основном более состоятельные люди, поэтому неожиданная инфляция сама по себе сглаживает неравенство. Инфляционное таргетирование убирает неопределённость по поводу будущей инфляции и вместе с ней этот канал сглаживания. Значит, переход к таргетированию в этой логике способствует росту неравенства.

Канал 2: неравенство снижается. Из-за неполной индексации неожиданный всплеск инфляции снижает реальные заработные платы и реальные трансферты малоимущим — эти выплаты пересматриваются с запозданием. Доходы состоятельных людей представлены в большей степени прибылью и процентными платежами, которые реагируют на инфляцию быстрее. Значит, неожиданная инфляция бьёт прежде всего по группам с низкими доходами и обостряет неравенство, а её устранение в рамках таргетирования ведёт к снижению неравенства.

Вывод: оба эффекта существуют одновременно, и итоговое направление зависит от того, какой канал в данной экономике сильнее.

б) Обычно богатые граждане имеют более низкую предельную склонность к потреблению, чем бедные: тратить весь доход на насущные нужды им не нужно, и значительная часть прироста дохода уходит в сбережения. Тогда в экономике с высоким неравенством, где заметная доля дохода сосредоточена у небольшой группы наиболее состоятельных людей, совокупное потребление слабее реагирует на изменение дохода. Стимулирующая денежно-кредитная политика, увеличивая доходы, в меньшей степени поднимает совокупный спрос и, следовательно, слабее меняет равновесный выпуск.

Ответ: сильнее — в экономике с низким уровнем неравенства. Сравнивать при этом нужно страны одинакового размера по доходу и численности населения, иначе сопоставление некорректно.

в) В ответ на стимулирующую политику и неожиданное снижение ключевой ставки цены активов на фондовом рынке растут: будущие доходы дисконтируются по более низкой ставке, а оптимизм инвесторов усиливается. Владельцы этих активов становятся богаче. Но акциями и другими торгуемыми активами владеют преимущественно состоятельные люди — бедные граждане редко хранят богатство в такой форме. Значит, через канал фондового рынка богатые выигрывают сильнее бедных, и неравенство богатства в экономике увеличивается.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-22-23.pdf

Каждый пункт начинай с вопроса, выгодно ли аналитику вообще проводить исследование при данной схеме оплаты, и только потом считай ожидаемую прибыль инвестора. Вероятность правильной рекомендации при честном исследовании равна 2/3, при имитации — 1/3.

Общая идея всей задачи: сначала понять, что выгодно делать аналитику, и только потом считать, сколько его продукт стоит для инвестора.

а) У аналитика нет стимулов к добросовестному исследованию рынка: он получает $p - 2$, если проводит исследование, и $p$, если просто советует наугад. Значит, он советует наугад, и инвестор, знающий правила игры, это понимает. Рекомендация не содержит новой информации и не может изменить ни оптимальное решение инвестора, ни его прибыль. Без всякой информации покупка пакета даёт $\frac{1}{3}\cdot 54 + \frac{2}{3}\cdot 0 - 30 = -12$ млн руб., поэтому инвестор акции не покупает и получает ноль. С «рекомендацией-пустышкой» ровно то же самое. Максимальная цена, которую инвестор готов за неё заплатить, равна нулю: $p = 0$.

б) Если аналитик проводит исследование, то с вероятностью $\frac{1}{3}$ он выясняет, что проверенная компания $x$ успешна, и рекомендует именно её, а с вероятностью $\frac{2}{3}$ выясняет, что $x$ разорится, и тогда с равными вероятностями рекомендует одну из двух оставшихся, успешную с вероятностью $\frac{1}{2}$. Вероятность правильной рекомендации равна $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3}$, и ожидаемая прибыль аналитика составляет $p + \frac{2}{3}b - 2$. Имитируя исследование, он угадывает с вероятностью $\frac{1}{3}$ и получает $p + \frac{1}{3}b$ без всяких издержек. Исследовать выгодно, когда $p + \frac{2}{3}b - 2 \geqslant p + \frac{1}{3}b$, то есть $\frac{1}{3}b \geqslant 2$ и $b \geqslant 6$.

Теперь условие участия инвестора. Он платит $p$, покупает рекомендованный пакет за 30 млн руб., с вероятностью $\frac{2}{3}$ получает 54 млн руб. и отдаёт из них премию $b$: ожидаемая прибыль равна $\frac{2}{3}(54 - b) - 30 - p = 6 - \frac{2}{3}b - p$. Сделка состоится при $p \leqslant 6 - \frac{2}{3}b$. Монополист выберет предельную цену $p = 6 - \frac{2}{3}b$, и тогда его собственная прибыль равна $\left(6 - \frac{2}{3}b\right) + \frac{2}{3}b - 2 = 4$ — премия сокращается, сколько аналитик добавляет к ней, столько же он теряет на фиксированной плате. Остаётся согласовать ограничения: $b \geqslant 6$ из требования честности и $p \geqslant 0$, то есть $b \leqslant 9$. Подойдёт любой контракт с $b \in [6; 9]$ и $p = 6 - \frac{2}{3}b \in [0; 2]$, например $b = 6$, $p = 2$. Прибыль аналитика равна 4 млн руб., инвестор получает ровно ноль.

в) Сертификат снимает проблему доверия: инвестор видит настоящий результат исследования. Если сертификат подтверждает успех компании $x$ (вероятность $\frac{1}{3}$), инвестор покупает её акции и получает $54 - 30 - p = 24 - p$. Если подтверждена неудача (вероятность $\frac{2}{3}$), то успешна одна из двух оставшихся, и покупка любой из них дала бы $\frac{1}{2}\cdot 54 - 30 - p = -3 - p < -p$, поэтому инвестор акции не покупает и теряет только цену сертификата, то есть получает $-p$. Ожидаемая прибыль инвестора до покупки равна $\frac{1}{3}(24 - p) + \frac{2}{3}(-p) = 8 - p$, он согласен при $p \leqslant 8$, а монополист поднимет цену до предела: $p = 8$. Издержки аналитика — 2 млн руб. на исследование и 1 млн руб. на сертификацию, так что его прибыль равна $8 - 2 - 1 = 5$ млн руб., больше, чем 4 в пункте б).

г) Пусть к сертификату добавили премию $b$ за успех. Инвестор по-прежнему покупает акции только при сертификате об успехе, а это вероятность $\frac{1}{3}$; тогда его прибыль равна $24 - p - b$, а при плохой новости он не покупает и теряет $p$. Условие участия: $\frac{1}{3}(24 - p - b) + \frac{2}{3}(-p) = 8 - p - \frac{1}{3}b \geqslant 0$, то есть $p + \frac{1}{3}b \leqslant 8$. Прибыль аналитика: цену он получает всегда, премию — в том же случае с вероятностью $\frac{1}{3}$, издержки 3 млн руб., итого $\frac{1}{3}(p + b) + \frac{2}{3}p - 3 = p + \frac{1}{3}b - 3 \leqslant 8 - 3 = 5$. Верхняя граница совпадает с результатом пункта в), значит, комбинация не даёт ничего сверх сертификата. Причина видна из пункта б): имитируя исследование, аналитик получил бы в среднем ту же премию $\frac{1}{3}b$, поэтому стимулирующая роль премии здесь пропадает, а работу по созданию доверия делает сертификация.

Ответ: а) $p = 0$; б) $b \geqslant 6$, например $b = 6$ и $p = 2$, прибыль аналитика 4; в) $p = 8$, прибыль 5; г) нет, больше 5 не получится.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-22-23.pdf

В пунктах а) и б) приведи прибыль к параболе по объёму и найди её вершину. В пункте в) сравни прибыль фирмы при выпуске 60 с прибылью при её обычном монопольном выпуске 30 и вспомни, что субсидия не может быть отрицательной.

Во всех пунктах прибыль фирмы с учётом субсидии равна $\pi(Q) = P(Q)Q - TC(Q) + f(Q) = (80 - Q)Q - 20Q + f(Q) = 60Q - Q^2 + f(Q)$.

а) При $f(Q) = aQ$ получаем $\pi(Q) = (60 + a)Q - Q^2$ — параболу ветвями вниз с вершиной в точке $Q^{*} = \frac{60 + a}{2}$. Проверка: при $a = 0$ вершина даёт $Q^{*} = 30$, то есть тот самый монопольный выпуск из условия. Нам нужно $\frac{60 + a}{2} = 60$, откуда $a = 60$. Расходы государства равны значению субсидии в выбранной фирмой точке: $S = aQ = 60 \cdot 60 = 3600$.

Полезно оценить масштаб: при $Q = 60$ выручка фирмы равна $(80 - 60)\cdot 60 = 1200$, издержки $20 \cdot 60 = 1200$, то есть без субсидии фирма работала бы в ноль, а с ней получает 3600 чистой прибыли — вся субсидия оседает у монополиста.

Ответ: $a = 60$, $S = 3600$.

б) При $f(Q) = aQ^2$ прибыль равна $\pi(Q) = 60Q - (1 - a)Q^2$. При $a < 1$ ветви по-прежнему направлены вниз, вершина находится в точке $Q^{*} = \frac{60}{2(1 - a)} = \frac{30}{1 - a}$. Приравниваем к 60: $\frac{30}{1 - a} = 60$, значит $1 - a = 0{,}5$ и $a = 0{,}5$. Расходы: $S = aQ^2 = 0{,}5 \cdot 60^2 = 1800$.

Квадратичная схема вдвое дешевле линейной при том же результате. Причина в форме выплаты: линейная субсидия платит одинаково за каждую единицу, в том числе за первые 30, которые фирма выпускала и так, а квадратичная растёт медленно на малых объёмах и круто на больших, то есть дешевле оплачивает уже выпускаемые единицы и сильнее вознаграждает прирост.

Ответ: $a = 0{,}5$, $S = 1800$.

в) Решаем в два шага: сначала доказываем, что дешевле 900 не выйдет ни при какой схеме, потом предъявляем схему ровно на 900.

Шаг 1: оценка снизу. Если при субсидии $f$ фирма выбирает выпуск 60, то для любого $Q \geqslant 0$ должно выполняться $60\cdot 60 - 60^2 + f(60) \geqslant 60Q - Q^2 + f(Q)$. Слева собственная прибыль без субсидии равна нулю, а $f(Q) \geqslant 0$, поэтому $f(60) \geqslant 60Q - Q^2$ для любого $Q$. Неравенство сильнее всего при том $Q$, где правая часть максимальна, то есть при $Q = 30$: $f(60) \geqslant 60 \cdot 30 - 30^2 = 900$. Короче то же самое: выпуск 60 должен быть для фирмы не хуже её монопольного выпуска 30, а там прибыль без субсидии равна 900, поэтому $0 + f(60) \geqslant 900 + f(30) \geqslant 900$.

Шаг 2: пример на 900. Возьмём $f^{*}(Q) = 900$ при $Q = 60$ и $f^{*}(Q) = 0$ при $Q \ne 60$, то есть субсидия платится только за выпуск ровно 60 и равна 900. При $Q \ne 60$ прибыль такая же, как без вмешательства: $60Q - Q^2$ с максимумом 900 в точке $Q = 30$. При $Q = 60$ прибыль равна $0 + 900 = 900$. Оба объёма, 30 и 60, дают одинаковую максимальную прибыль 900, а по условию из равновыгодных вариантов фирма выбирает наибольший, то есть 60. Расходы государства при этом равны 900.

Нижняя оценка совпала с достижимым значением, значит, минимум равен 900 — вчетверо дешевле линейной схемы и вдвое дешевле квадратичной.

Замечание 1. Оптимальная функция не единственна: годится, например, $f(Q) = 0$ при $Q < 60$ и $f(Q) = 900$ при $Q \geqslant 60$. Вообще подойдёт любая неотрицательная $f$, у которой $f(60) = 900$, $f(Q) \leqslant Q^2 - 60Q + 900$ при $Q \leqslant 60$ и $f(Q) < Q^2 - 60Q + 900$ при $Q \in (60; 80]$.

Замечание 2. Соблазнительный, но неверный путь: раз квадратичная субсидия лучше линейной, будем повышать степень. При $f(Q) = aQ^n$ из равенства производной прибыли нулю получается $a(n) = \frac{1}{60^{n-2}n}$ и расходы $\frac{3600}{n}$, то есть сколь угодно малые. Ошибка в том, что при $n \geqslant 4$ точка, где производная обращается в ноль, перестаёт быть максимумом прибыли, и фирма выберет совсем другой объём.

Замечание 3. Субсидия названа «дважды оптимальной», потому что она одновременно приводит к оптимальному для общества выпуску и требует минимальных расходов при достижении этого выпуска.

Ответ: а) $a = 60$, $S = 3600$; б) $a = 0{,}5$, $S = 1800$; в) функция $f^{*}$ выше, $S_{\min} = 900$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-22-23.pdf