ВсОШ по экономике 2021/22, заключительный этап, 11 класс, тур 1

В пункте а) посмотри, на каком участке кривой спроса стоит рынок. В пункте б) курс влияет на гражданина через решения других покупателей и продавцов. В пункте в) торговля не нужна, когда наклоны КПВ в автарктических точках совпадают.

а) Посчитаем эластичность спроса по цене в текущей точке: $E = \dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}$. Спрос линейный, $dQ/dP = -1$, при $P = 35$ объём равен $Q = 100 - 35 = 65$. Значит, $E = -\dfrac{35}{65} = -\dfrac{7}{13} \approx -0{,}54$, по модулю меньше единицы — спрос неэластичен.

Монополист с возрастающими общими издержками, то есть с положительными $MC$, никогда не остановится на неэластичном участке спроса: снизив выпуск, он одновременно увеличил бы выручку и сократил издержки. Раз рынок стоит в неэластичной точке, фирмы монополистом себя не ведут, и сговора нет.

Тот же вывод получается без эластичности. Выручка $TR(Q) = Q(100 - Q)$ убывает при $Q > 50$, общие издержки по условию возрастают, поэтому прибыль $TR(Q) - TC(Q)$ при $Q > 50$ тоже убывает. Текущий объём $Q = 100 - 35 = 65 > 50$ не может быть оптимальным выпуском картеля: немного сократив выпуск, он увеличил бы прибыль.

Ответ: полного сговора, при котором фирмы вели бы себя как монополист, быть не может. Оговорка: сговор с ценой ниже монопольной этим рассуждением не исключается, и реальные оценки эластичности спроса на бензин как раз лежат в интервале от $-0{,}5$ до $-0{,}1$.

б) Гражданин рассуждает так, будто внутренние цены живут отдельно от валютного курса. Это не так: курс действует на него через поведение остальных участников рынка.

Объяснение со стороны спроса. При удешевлении национальной валюты импортные товары дорожают. Соотечественники гражданина, которые их покупали, переключаются на отечественные заменители. Спрос на отечественные товары растёт, вместе со спросом растут и их цены. Гражданин покупает тот же набор, но платит больше, и его благосостояние снижается.

Объяснение со стороны предложения. После удешевления валюты отечественным производителям выгоднее продавать за рубеж: та же выручка в иностранной валюте при пересчёте даёт больше национальной. Экспорт растёт, предложение внутри страны сокращается, внутренние цены поднимаются. Итог для гражданина тот же.

Достаточно одного из объяснений, но важно не пропустить ни одного звена: курс, реакция других покупателей или продавцов, внутренние цены, благосостояние гражданина.

в) Пока альтернативные издержки товара $x$ в двух странах до торговли не равны, взаимовыгодная торговля возможна. Нужно нарастить выпуск $x$ там, где он дешевле в терминах $y$, и сократить там, где дороже: суммарный выпуск $y$ вырастет при том же суммарном $x$, то есть страны попадут на суммарную КПВ. Дальше можно сдвинуться по ней и получить прирост обоих товаров, а прирост разделить между странами.

Если же альтернативные издержки равны, страны уже стоят на суммарной КПВ (здесь важно, что альтернативные издержки в каждой стране не убывают), и одновременно нарастить оба товара невозможно. Торговля бесполезна.

Считаем, при каком $a$ издержки совпадают. В стране A КПВ линейна, $y = 40 - x$, альтернативные издержки постоянны и равны 1. В стране B они равны $\left|\left(40 - \dfrac{x^2}{40}\right)'\right| = \dfrac{2x}{40} = \dfrac{x}{20}$.

Приравниваем: $\dfrac{x}{20} = 1$, откуда $x = 20$ и $y = 40 - \dfrac{20^2}{40} = 30$. Страна B без торговли производит набор $(20; 30)$, а это пропорция $x : y = 20 : 30 = 2/3$.

Проверяем страну A при $a = 2/3$: из $x = a(40 - x)$ получаем $x = 16$, $y = 24$, и $16 : 24 = 2/3$ — та же пропорция, точка лежит на КПВ страны A.

Ответ: $a = 2/3$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-21-22.pdf

В пункте а) проследи, что происходит с ЗВР, когда ЦБ защищает фиксированный курс, и что при этом происходит с денежной массой. В пункте г) подумай, чем ещё, кроме ставки ЦБ, можно двигать ставку процента.

а) Разберём на примере. Пусть капитал ходит через границу свободно, курс фиксирован, и ЦБ пытается провести стимулирующую политику — нарастить денежную массу.

Ставка процента внутри страны падает. Держать сбережения здесь становится невыгодно: за рубежом доходность выше, и капитал утекает. Уходящий капитал конвертируется, спрос на иностранную валюту растёт, национальная валюта начинает обесцениваться. Но курс обещано держать фиксированным, поэтому ЦБ обязан выйти на рынок и продать часть ЗВР, а продавая валюту, он изымает национальные деньги из экономики.

Круг замкнулся: попытка увеличить денежную массу закончилась её сокращением ровно на ту же величину. Денежная масса вернулась к исходному уровню, значит независимой монетарной политики при фиксированном курсе и свободном капитале не существует. Тот же вывод можно получить и с другого конца, например от изменения зарубежной ставки процента; важно, что в рассуждении участвуют все три компонента троицы.

б) Россия выбирала опцию (3): независимая монетарная политика со свободными потоками капитала при плавающем курсе.

С конца 2014 года Банк России отпустил рубль в свободное плавание и перешёл к таргетированию инфляции с целью 4 процента: ключевая ставка выбирается исходя из внутренних задач, а не ради удержания курса. Ограничений на трансграничное движение капитала в 2015–2021 годах по сути не было.

в) Первая причина — запас на чёрный день, мотив предосторожности. Кризис, остановка притока капитала, резкий скачок курса ударяют и по финансовой стабильности, и по инфляции, а таргетирующий инфляцию ЦБ отвечает именно за инфляцию. Резервы дают ему возможность вмешаться, когда рынок перестаёт работать нормально.

Вторая причина — эффект переноса курса в цены. При укреплении валюты импорт дешевеет и инфляция снижается, при ослаблении растёт. Страны-экспортёры ресурсов особенно уязвимы: их курс ходит вслед за ценой экспортного товара, а она очень волатильна. Чтобы лишние колебания курса не превращались в колебания инфляции вокруг цели, ЦБ накапливает резервы в хорошие годы и продаёт их в плохие. Формально это политика инфляционной цели, а не курса, хотя инструмент валютный.

г) Да, смягчить может. Если одновременно с ростом денежной массы правительство наращивает государственные расходы ровно настолько, чтобы ставка процента не изменилась, то оттока капитала не возникает и давления на валютный курс тоже. Фискальная политика здесь идёт в одну сторону с монетарной и именно дополняет её, а не заменяет: иначе выбор желаемой инфляции перешёл бы к фискальным властям.

Но подход работает не всегда. Рост расходов означает рост госдолга, а это не всегда доступно — возникает угроза дефолта. В обратную сторону тоже есть предел: сильно сократить расходы мешают минимально необходимые социальные траты, а поднять налоги мешает ограничение из кривой Лаффера. Наконец, у фискальной политики большие лаги: дополнительные расходы нужно согласовать и провести через бюджет, а ЦБ меняет ставку в один день.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-21-22.pdf

Начни с безразличной фирмы: её номер совпадает со стабильным размером сети, а её готовность платить и есть цена. В пункте б) сумму готовностей платить сверни формулой арифметической прогрессии и обязательно проверь края отрезка.

Рынок описан положительным сетевым внешним эффектом: полезность одного покупателя растёт вместе с числом остальных пользователей. Чем больше предприятий подключено к документообороту, тем быстрее идёт обмен и тем выше взаимная выгода.

а) Если все ожидают размер сети $Q$, готовность платить предприятия с номером $i$ равна $v(i) = \dfrac{Q}{75}(120 - i)$ и убывает по $i$. Лицензию берут все, у кого $v(i) \geqslant P$, поэтому размер $Q$ стабилен ровно тогда, когда безразличной, то есть с нулевым излишком, оказывается фирма с номером $x = Q$: $v(x) \geqslant P$ и $v(x+1) < P$.

Максимизируя прибыль, компания забирает весь излишек предельного покупателя, откуда обратная функция спроса $P(Q) = \dfrac{Q}{75}(120 - Q)$.

Прибыль: $\Pi(Q) = (P(Q) - 15)Q = \dfrac{Q^2(120 - Q)}{75} - 15Q$. Производная $\Pi'(Q) = \dfrac{240Q - 3Q^2}{75} - 15$ обращается в ноль при $Q^2 - 80Q + 375 = 0$, то есть при $Q = 5$ и $Q = 75$.

Отбираем корни: первый даёт минимум (цена $\dfrac{5}{75}\cdot 115 \approx 7{,}67$ ниже издержек 15, прибыль отрицательна), второй — максимум. Края тоже проверяем: $\Pi(0) = 0$, $\Pi(120) = -1800$.

При $Q = 75$ цена равна $P = \dfrac{75}{75}(120 - 75) = 45$, а прибыль $(45 - 15)\cdot 75 = 2250$.

Ответ: $Q = 75$, $P = 45$, прибыль 2250.

б) Компенсация убытков компании — это трансферт от государства производителю, на благосостояние он не влияет. Поэтому $SW$ складывается из потребительских излишков и выручки компании за вычетом издержек $TC = 15Q$, и цена из формулы уходит:

$$SW(Q) = \frac{Q}{75}\left(120Q - \frac{Q(Q+1)}{2}\right) - 15Q,$$

где сумма $\sum_{i=1}^{Q}(120 - i) = 120Q - \dfrac{Q(Q+1)}{2}$ свёрнута по формуле арифметической прогрессии.

Производная: $SW'(Q) = \dfrac{239Q}{75} - \dfrac{Q^2}{50} - 15$. Корни равны $\dfrac{239}{3} \pm \sqrt{\left(\dfrac{239}{3}\right)^2 - 750}$, то есть примерно 4,9 и 154,5. В официальном разборе корень из дискриминанта округлён до 75, и корни записаны как $\dfrac{239}{3} - 75$ и $\dfrac{239}{3} + 75$; на ответ это не влияет.

Первый корень — минимум, второй лежит правее 120 и недостижим. На отрезке от первого корня до 120 благосостояние растёт, поэтому максимум приходится на правый край. Сравниваем края: $SW(0) = 0$, а $SW(120) = \dfrac{120}{75}(14400 - 7260) - 1800 = 11424 - 1800 = 9624 > 0$.

Остаётся цена. Размер $Q = 120$ должен быть стабилен, то есть и 120-е предприятие должно быть готово платить. Его готовность равна $v(120) = \dfrac{120}{75}(120 - 120) = 0$, значит стабильность возможна только при $P = 0$: при любой положительной цене последнее предприятие откажется и сеть станет меньше.

Ответ: $Q = 120$, $P = 0$. Компания при этом терпит убыток $15 \cdot 120 = 1800$, который покрывается из бюджета.

в) Оптимальная для общества цена оказывается ниже предельных издержек: $P < MC$. Причина — положительный внешний эффект, из-за которого рыночный механизм несостоятелен. Подключаясь к системе, предприятие увеличивает ценность сети для всех остальных, но этот выигрыш в его решение не входит, и в расчёт продавца тоже.

Поэтому даже совершенная конкуренция с ценой на уровне $MC$ дала бы недопроизводство: подключилось бы слишком мало предприятий. Чтобы довести сеть до общественно оптимального размера, государству приходится опускать цену ниже $MC$ и компенсировать убытки производителя. В нашей задаче это ровно то, что и получилось: $P = 0 < MC = 15$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-21-22.pdf

Иди с конца: сначала равновесие в ценах при заданных качествах, потом выбор фирмы 2, потом фирмы 1. И не забудь разобрать случаи, когда качество второй фирмы ниже или совпадает с качеством первой.

а) Пусть $x_1 < x_2$ и $p_1 < p_2$. Товар более низкого качества купят те покупатели, для которых $w x_1 - p_1 > w x_2 - p_2$, то есть $w(x_2 - x_1) < p_2 - p_1$, откуда $w < \overline{w} = \dfrac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1}$.

Параметр $w$ распределён равномерно на отрезке $[0; 1]$, поэтому доля таких покупателей равна самому $\overline{w}$, но не больше единицы:

$$Q_1 = \min\left\{\frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1};\ 1\right\}.$$

б) Игра состоит из трёх стадий, поэтому идём обратной индукцией и начинаем с цен.

Третья стадия при $x_1 < x_2$. Первой фирме выгодно держать $p_1 < p_2$, иначе её прибыль нулевая. Кроме того, должно выполняться $p_2 - p_1 \leqslant x_2 - x_1$: иначе первая фирма забирает весь рынок по слишком низкой цене, которую можно было бы поднять, не теряя ни одного покупателя. На промежутке $p_2 - x_2 + x_1 \leqslant p_1 < p_2$ её прибыль равна

$$\pi_1 = \overline{w}\,(p_1 - x_1) = \frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1}(p_1 - x_1).$$

Это парабола ветвями вниз, поэтому кривая реакции — вершина, если та не вылезла за левую границу: $\hat{p}_1(p_2) = \max\left\{\dfrac{p_2 + x_1}{2};\ p_2 - x_2 + x_1\right\}$. Той же логикой для второй фирмы, чья прибыль равна $(1 - \overline{w})(p_2 - x_2)$, получаем $\hat{p}_2(p_1) = \max\left\{\dfrac{2x_2 + p_1 - x_1}{2};\ p_1\right\}$.

Пересечение кривых реакции даёт равновесие

$$p_1 = \frac{x_1 + 2x_2}{3}, \qquad p_2 = \frac{4x_2 - x_1}{3},$$

а доли рынка равны $Q_1 = \dfrac{2}{3}$ и $Q_2 = \dfrac{1}{3}$. Краевое равновесие, где одна фирма держит весь рынок, невозможно: другая получала бы нулевую прибыль и отклонилась бы.

Предположение $x_1 < x_2$ в пункте б) не обязано выполняться. При $x_2 < x_1$ формулы те же с перестановкой индексов: $p_1 = \dfrac{4x_1 - x_2}{3}$, $p_2 = \dfrac{x_2 + 2x_1}{3}$, доли рынка $\dfrac{1}{3}$ и $\dfrac{2}{3}$. Получается любопытный факт: две трети рынка всегда достаются фирме с более низким качеством. При $x_1 = x_2$ начинается война по Бертрану, обе фирмы назначают цену, равную качеству, и получают ноль: любая положительная наценка сбивается конкурентом ценой чуть ниже.

Вторая стадия. Подставляем равновесные цены в прибыль второй фирмы:

$$\pi_2(x_2) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}(x_2 - x_1), & x_1 < x_2,\\[4pt] \dfrac{4}{3}(x_1 - x_2), & x_2 < x_1,\\[4pt] 0, & x_2 = x_1.\end{cases}$$

Это V-образная кусочно-линейная функция, максимум достигается на краю отрезка $[0; 1]$. Сравнивая значения при $x_2 = 0$ и $x_2 = 1$, получаем отклик второй фирмы: $x_2 = 1$ при $x_1 < 1/5$, $x_2 = 0$ при $x_1 > 1/5$, а при $x_1 = 1/5$ годится любой из краёв.

Первая стадия. Подставляем отклик второй фирмы в прибыль первой:

$$\pi_1(x_1) = \begin{cases} \dfrac{4}{9}(1 - x_1), & x_1 < 1/5,\\[4pt] \dfrac{1}{9}x_1, & x_1 > 1/5.\end{cases}$$

На первом участке максимум равен $4/9$ при $x_1 = 0$, на втором — $1/9$ при $x_1 = 1$. Значит, лидер выбирает $x_1 = 0$, а фирма 2 отвечает $x_2 = 1$.

Остаётся подставить качества в равновесие ценового шага: $p_1 = \dfrac{0 + 2}{3} = \dfrac{2}{3}$, $p_2 = \dfrac{4 - 0}{3} = \dfrac{4}{3}$. Проверка: $\overline{w} = \dfrac{4/3 - 2/3}{1 - 0} = \dfrac{2}{3}$, прибыли равны $\pi_1 = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$ и $\pi_2 = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{4}{3} - 1\right) = \dfrac{1}{9}$.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $p_1 = 2/3$, $p_2 = 4/3$.

Смысл результата: между фирмами действуют силы отталкивания. Одинаковое качество означает ценовую войну и нулевую прибыль, поэтому вторая фирма всегда уходит в самую дальнюю от конкурента точку, а максимально разные качества сегментируют рынок и смягчают ценовую конкуренцию.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-21-22.pdf