ВсОШ по экономике 2024/25, заключительный этап, 11 класс, тур 2

Классические каналы двигают кривую совокупного спроса, канал издержек — кривую предложения. А в последних двух пунктах объяснение ищи не в экономике фирм, а в направлении причинности и в самой формуле показателя.

а) Классические механизмы трансмиссии работают через совокупный спрос.

Процентный канал: повышение ключевой ставки удорожает заимствования и для бизнеса, и для домохозяйств. Потребительские и инвестиционные расходы сокращаются, совокупный спрос падает, рост цен замедляется.

Валютный канал: рублёвые финансовые активы становятся привлекательнее для инвесторов, курс рубля укрепляется, импорт дешевеет — и это тоже тянет цены вниз.

На графике AD-AS: по горизонтали выпуск $Y$, по вертикали уровень цен $P$. Кривая краткосрочного предложения $SRAS_0$ стоит на месте, а совокупный спрос сдвигается влево-вниз из $AD_0$ в $AD_1$. Новое равновесие лежит ниже и левее старого: $P_1 < P_0$ и $Y_1 < Y_0$. То есть повышение ставки по классическим каналам снижает и выпуск, и уровень цен.

б) Канал издержек действует с другой стороны — со стороны предложения. Рост ставки увеличивает процентные платежи фирм по кредитам, издержки производства растут, и краткосрочная кривая совокупного предложения сдвигается вверх-влево из $SRAS_0$ в $SRAS_1$.

Одновременно продолжает работать канал спроса из предыдущего пункта: $AD$ сдвигается из $AD_0$ в $AD_1$. Выпуск падает по обеим причинам, а вот на уровень цен эти сдвиги действуют в разные стороны: сдвиг $SRAS$ вверх толкает цены вверх, сдвиг $AD$ вниз — вниз.

Если сдвиг предложения сильнее сдвига спроса, равновесный уровень цен окажется выше исходного: $P_1 > P_0$ при $Y_1 < Y_0$. Именно так повышение ключевой ставки может обернуться ростом инфляции.

в) Аргумент 1. Доля процентных расходов в издержках мала: медиана около 1 %, среднее около 3 %. Даже сильное изменение ставки меняет себестоимость на доли процента, поэтому сдвиг $SRAS$ получается крошечным по сравнению со сдвигом $AD$.

Ограничение к нему: при росте ставок дорожает не только кредит — растёт и доходность депозитов. Даже фирма с нулевыми явными процентными расходами почувствует ставку через неявные, альтернативные издержки: держать деньги на депозите становится выгоднее, чем вкладывать их в производство. Настоящий эффект канала издержек больше, чем видно по отчётным процентным расходам.

Аргумент 2. Долгосрочные контракты. Значительная часть долга фирм взята по ранее заключённым договорам с фиксированной ставкой или по открытым кредитным линиям. Рост ключевой ставки доходит до таких фирм с большим лагом или не доходит вовсе, поэтому текущие издержки почти не реагируют.

Ограничение к нему: аргумент работает только для фирм с длинным фиксированным долгом. Компании, которые финансируют оборотный капитал короткими кредитами по плавающей ставке, ощущают повышение сразу, и для них канал издержек вполне заметен.

Аргумент 3, годится вместо любого из двух. Ожидание снижения ставки. Пики ставок обычно краткосрочны, до двух лет, а бизнес планирует на более длинном горизонте. Ожидая падения ставок, фирма закладывает это в NPV проекта, NPV остаётся положительной, и переключения с инвестиций в производство на депозиты не происходит. Краткосрочный всплеск ставки слабо влияет на совокупное предложение.

г) Альтернативное объяснение — сочетание неожиданных шоков и лага денежно-кредитной политики. Причинность здесь идёт в обратную сторону: не ставка разгоняет цены, а Банк России поднимает ставку в ответ на уже случившийся инфляционный шок, например на неожиданный запуск новой льготной ипотечной программы. Реагировать приходится сразу, а действие принятых мер доходит до цен с задержкой: сейчас лаг оценивают примерно в 6 месяцев.

В результате в данных мы сначала видим всплеск инфляции вместе с повышением ставки, и только потом — отсроченный тормозящий эффект. Промежуток, в котором новые проинфляционные факторы уже работают, а эффект денежно-кредитной политики ещё не проявился, и даёт на графике положительную корреляцию.

д) Инфляция на графике измерена год к году: это рост цен за последние 12 месяцев. В марте 2022 года уровень цен подскочил, и весь следующий год этот скачок сидел внутри двенадцатимесячного окна, завышая показатель.

В марте 2023 года цены сравниваются уже с очень высоким уровнем марта 2022-го, и скачок выпадает из окна. Показатель резко падает не потому, что что-то случилось в марте 2023-го, а из-за эффекта базы — чисто арифметического свойства формулы «год к году».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-24-25.pdf

В ситуации 2 «База» ходит первой и на «Штурм» не оглядывается, а холдинг учитывает, что объём первого участка задаёт размер рынка на втором. В последнем пункте сравнивай долю в холдинге не с половиной, а с собственной прибылью без интеграции.

а) Разбираем три ситуации по очереди.

1. Совершенная конкуренция. На каждом рынке цена равна предельным издержкам. На первом участке $p_1 = MC_1 = 10$, откуда $q_1 = 110 - 10 = 100$. На втором участке $p_2 = MC_2 = 20$, а спрос там зависит от уже поднятого объёма: $q_2 = q_1 - p_2 = 100 - 20 = 80$.

2. Две независимые монополии. Решение «Штурма» никак не влияет на выбор «Базы», поэтому «База» решает обычную задачу монополиста:
$\pi_1 = (p_1 - MC_1)q_1 = (110 - q_1 - 10)q_1 = (100 - q_1)q_1$.
Это парабола ветвями вниз с корнями $0$ и $100$, максимум в вершине: $q_1 = \dfrac{100}{2} = 50$.

«Штурм» знает, что $q_1 = 50$, и его обратный спрос равен $p_2 = 50 - q_2$:
$\pi_2 = (50 - q_2 - 20)q_2 = (30 - q_2)q_2$, максимум в $q_2 = \dfrac{30}{2} = 15$.

3. Вертикально интегрированный холдинг. Совместная прибыль:
$\Pi = (100 - q_1)q_1 + (q_1 - q_2 - 20)q_2 = -q_2^2 + (q_1 - 20)q_2 + 100q_1 - q_1^2$.

При фиксированном $q_1$ это парабола ветвями вниз по $q_2$, её вершина доступна, только если она неотрицательна:
$q_2 = 0$ при $q_1 \le 20$ и $q_2 = \dfrac{q_1 - 20}{2}$ при $q_1 \ge 20$.

Подставляем эту зависимость обратно и получаем функцию одной переменной:
$\Pi = 100q_1 - q_1^2$ при $q_1 \le 20$ и $\Pi = -\dfrac{3}{4}q_1^2 + 90q_1 + 100$ при $q_1 \ge 20$.

На первом участке вершина параболы ($q_1 = 50$) недоступна, поэтому там оптимум на границе $q_1 = 20$. На втором участке вершина $q_1 = \dfrac{90}{3/2} = 60$ доступна. Прибыль непрерывна, значит глобальный оптимум $q_1 = 60$, а тогда $q_2 = \dfrac{60 - 20}{2} = 20$.

Ответ: конкуренция — $100$ и $80$; две независимые монополии — $50$ и $15$; холдинг — $60$ и $20$.

б) Обе кривые спроса имеют наклон $-1$, поэтому излишек потребителя на каждом рынке — треугольник с катетом, равным объёму:
$CS_1 = \dfrac{q_1^2}{2}$, $CS_2 = \dfrac{q_2^2}{2}$, а благосостояние равно $SW = CS_1 + CS_2 + \Pi$ (государство в рынок не вмешивается, субсидий и налогов нет).

Прибыль конкурентных носильщиков нулевая: цена равна предельным издержкам, постоянных издержек нет. У двух монополий $\pi_1 = (110 - 50 - 10)\cdot 50 = 2500$ и $\pi_2 = (50 - 15 - 20)\cdot 15 = 225$. У холдинга $\Pi = (110 - 60 - 10)\cdot 60 + (60 - 20 - 20)\cdot 20 = 2400 + 400 = 2800$.

Ответ: $8200 > 4800 > 4087{,}5$, наибольшее благосостояние даёт совершенная конкуренция. Интеграция снимает двойную маржинализацию и потому лучше двух независимых монополий, но до конкуренции не дотягивает.

в) Да, может — и это самое интересное место задачи. Первый рынок создаёт положительный внешний эффект: каждый дополнительный центнер, доставленный в первый лагерь, расширяет спрос на втором участке, ведь $q_2 = q_1 - p_2$. Конкурентные носильщики первого участка этого не учитывают, они смотрят только на свою цену и свои издержки, поэтому даже в конкурентном равновесии груза поднимают меньше общественно оптимального.

Субсидия носильщикам первого участка увеличит объём положительной экстерналии и поднимет общественное благосостояние выше уровня лучшего из трёх сценариев.

г) В сценарии 2 компании зарабатывают $2500$ («База») и $225$ («Штурм»). Это их резервные выгоды: отказавшись от интеграции, они получат ровно эти суммы.

После интеграции общая прибыль равна $\Pi = 2800$. Равный делёж даёт каждой стороне по $1400$, а $1400 < 2500$, поэтому «Базе» соглашаться невыгодно.

Взаимовыгодные дележи тем не менее существуют. Нужно одновременно, чтобы доля «Базы» была не меньше $2500$, доля «Штурма» — не меньше $225$, а их сумма равнялась $2800$. Сумма резервных выгод равна $2500 + 225 = 2725 < 2800$, то есть запас в $75$ есть. Подойдёт, например, делёж $2525$ и $275$: обе компании получают строго больше, чем без интеграции.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-24-25.pdf

Для двух однородных групп коэффициент Джини равен разности доли бедных в населении и их доли в доходе. Во втором пункте сначала выясни порядок четырёх групп по доходу — без него кривую Лоренца не построить.

а) Когда население делится на однородные группы, кривая Лоренца — ломаная, а для двух групп коэффициент Джини равен разности доли бедных в населении и их доли в доходе.

Пусть $N$ — население каждой страны. Доли бедных в суммарном доходе своей страны:
$y_1 = \dfrac{10\cdot 0{,}5N}{10\cdot 0{,}5N + 40\cdot 0{,}5N} = 0{,}2$,
$y_2 = \dfrac{20\cdot 0{,}5N}{20\cdot 0{,}5N + 130\cdot 0{,}5N} = \dfrac{2}{15}$.

Отсюда $G_1 = x_1 - y_1 = 0{,}5 - 0{,}2 = \dfrac{9}{30}$ и $G_2 = x_2 - y_2 = 0{,}5 - \dfrac{2}{15} = \dfrac{11}{30}$, а средний внутристрановой коэффициент равен
$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{30} + \dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{1}{3}$.

Среднедушевой доход страны 1 равен $0{,}5\cdot 10 + 0{,}5\cdot 40 = 25$, страны 2 — $0{,}5\cdot 20 + 0{,}5\cdot 130 = 75$. Значит, в гипотетическом мире с равномерным распределением внутри стран страна 1 и есть бедная группа. Её доля в мировом населении равна $0{,}5$, доля в мировом доходе — $\dfrac{25}{25 + 75} = 0{,}25$, поэтому межстрановой коэффициент равен $0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25$.

Мировой коэффициент считаем по четырём группам. Среднедушевые доходы групп: $10$, $20$, $40$, $130$; каждая группа — четверть мирового населения. В расчёте на человека мировой доход равен $10 + 20 + 40 + 130 = 200$, поэтому доли групп в доходе — $0{,}05$, $0{,}10$, $0{,}20$, $0{,}65$.

Отсортировав группы по возрастанию дохода, получаем точки излома мировой кривой Лоренца: $(0;0)$, $(0{,}25;0{,}05)$, $(0{,}5;0{,}15)$, $(0{,}75;0{,}35)$, $(1;1)$.

Площадь под ломаной считаем по трапециям с шагом $0{,}25$:
$S = 0{,}25\cdot(0{,}025 + 0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}675) = 0{,}25\cdot 1{,}05 = 0{,}2625$,
а мировой коэффициент равен $\dfrac{1/2 - S}{1/2} = 1 - 2S = 1 - 0{,}525 = 0{,}475$.

Ответ: средний внутристрановой $= 1/3$, межстрановой $= 1/4$, мировой $= 0{,}475$.

б) Сначала выясним, как расположены четыре среднедушевых дохода — без этого мировую кривую Лоренца не построить.

Пусть $Y_i$ — суммарный доход страны $i$; не нарушая общности, $Y_1 \le Y_2$. Из межстранового коэффициента $0{,}5 - \dfrac{Y_1}{Y_1 + Y_2} = 0{,}3$ получаем $\dfrac{Y_2}{Y_1} = 4$.

Пусть $y_i$ — доля дохода бедных в общем доходе своей страны. Из среднего внутристранового коэффициента
$\dfrac{1}{2}\big((x_1 - y_1) + (x_2 - y_2)\big) = \dfrac{1}{2}(1{,}6 - y_1 - y_2) = 0{,}2$
следует $y_1 + y_2 = 1{,}2$.

Теперь покажем, что богатые первой страны беднее бедных второй. Имеем $b_1 = \dfrac{(1 - y_1)Y_1}{(1 - x_1)N}$ и $a_2 = \dfrac{y_2 Y_2}{x_2 N}$, поэтому
$b_1 < a_2 \iff 1 - y_1 < y_2\cdot\dfrac{Y_2}{Y_1}\cdot\dfrac{1 - x_1}{x_2} \iff 1 - y_1 < y_2\cdot 4\cdot\dfrac{0{,}2}{0{,}8} \iff y_1 + y_2 > 1$,
а последнее верно, ведь $y_1 + y_2 = 1{,}2$. Значит, $a_1 \le b_1 < a_2 \le b_2$: группы идут по возрастанию дохода в порядке бедные страны 1, богатые страны 1, бедные страны 2, богатые страны 2.

Доли групп в мировом населении равны $0{,}4$, $0{,}1$, $0{,}4$, $0{,}1$, а на страну 1 приходится пятая часть мирового дохода, ведь $Y_2 = 4Y_1$. Поэтому мировая кривая Лоренца ломается в точках $(0;0)$, $(0{,}4;\,0{,}2y_1)$, $(0{,}5;\,0{,}2)$, $(0{,}9;\,0{,}2 + 0{,}8y_2)$, $(1;1)$.

Считая площадь по трапециям, получаем $2S = 0{,}1y_1 + 0{,}4y_2 + 0{,}3$, то есть
$G = 1 - 2S = 0{,}7 - 0{,}1y_1 - 0{,}4y_2$.

Максимизируем и минимизируем это выражение при ограничениях $y_i \ge 0$, $y_i \le 0{,}8$ (коэффициенты Джини внутри стран неотрицательны, то есть $x_i - y_i \ge 0$) и $y_1 + y_2 = 1{,}2$. Подставляя $y_2 = 1{,}2 - y_1$:
$G = 0{,}7 - 0{,}1y_1 - 0{,}4(1{,}2 - y_1) = 0{,}22 + 0{,}3y_1$.

Функция растёт по $y_1$, а сам $y_1$ меняется от $0{,}4$ (иначе $y_2 = 1{,}2 - y_1 > 0{,}8$) до $0{,}8$. Значит,
минимум равен $0{,}22 + 0{,}3\cdot 0{,}4 = 0{,}34$, максимум равен $0{,}22 + 0{,}3\cdot 0{,}8 = 0{,}46$.

Ответ: мировой коэффициент Джини лежит в пределах от $0{,}34$ до $0{,}46$, и обе границы достижимы.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-24-25.pdf

Всё держится на том, что выпуск монополиста при субсидии равен $(a - c + s)/(2b)$, а цена — $(a + c - s)/2$. Дальше смотри, какие комбинации неизвестных вообще попадают в наблюдаемые величины.

а) При потоварной субсидии $s$ прибыль монополиста равна $\pi = (a - bQ)Q + sQ - cQ$. Условие максимума $a - 2bQ + s - c = 0$ даёт
$Q(s) = \dfrac{a - c + s}{2b}$, а цена для потребителя равна $P(s) = a - bQ(s) = \dfrac{a + c - s}{2}$.

Совершенно конкурентный рынок с тем же спросом и теми же издержками даёт $P = c$ и $Q = \dfrac{a - c}{b}$. Приравнивая $P(s) = c$ (или приравнивая $Q(s)$ конкурентному объёму), получаем
$s^{\star} = a - c$.

Параметр $b$ в ответ не входит. Проверка на числах $a = 10$, $b = 1$, $c = 6$: без субсидии монополист выпускает $2$, при ставке $s^{\star} = 4$ выпускает $4$ по цене $6$ — ровно конкурентный исход.

б) Наблюдая рынок при $t = 0$ (субсидии нет, $s_0 = 0$) и при $t = 1$ (ставка $s_1 > 0$), государство получает систему
$Q_0 = \dfrac{a - c}{2b}$, $Q_1 = \dfrac{a - c + s_1}{2b}$.

Вычитая одно уравнение из другого, получаем $Q_1 - Q_0 = \dfrac{s_1}{2b}$, то есть $2b = \dfrac{s_1}{Q_1 - Q_0}$ (знаменатель не ноль, ведь $s_1 > 0$). Подставляя в первое уравнение:
$s^{\star} = a - c = 2bQ_0 = s_1\cdot\dfrac{Q_0}{Q_1 - Q_0}$.

Одних наблюдений нулевого периода не хватает: зная только $Q_0 = \dfrac{a - c}{2b}$, величину $a - c$ определить нельзя — она входит в наблюдаемое лишь в паре с неизвестным $b$. Контрпример: спрос $P = 10 - Q$ при $c = 6$ и спрос $P = 12 - Q$ при $c = 4$ дают один и тот же выпуск $Q_0 = 2$ (и даже одну и ту же цену $8$), но $s^{\star} = 4$ в первом случае и $s^{\star} = 8$ во втором.

Ответ: данных хватит уже в конце первого периода, минимальное $t$ равно $1$, а ставка считается по формуле $s^{\star} = s_1\cdot\dfrac{Q_0}{Q_1 - Q_0}$. Для примера: если без субсидии рынок даёт $Q_0 = 10$, а при ставке $s_1 = 4$ объём становится $Q_1 = 12$, то $s^{\star} = 4\cdot\dfrac{10}{2} = 20$.

в) Здесь ответ отрицательный: данных не хватит никогда.

В нулевом периоде государство видит $P_0 = \dfrac{a + c}{2}$. Из одного этого уравнения найти $a - c$ нельзя: сумма $a + c$ ничего не говорит о разности.

Главное — новые периоды не добавляют информации. При ставке $s_t$ цена равна
$P_t = \dfrac{a + c - s_t}{2} = P_0 - \dfrac{s_t}{2}$,
а ставку $s_t$ государство назначает само и знает заранее. Значит, каждое следующее наблюдение цены оно может вычислить ещё до эксперимента: цена ровно на $s_t/2$ ниже уже известной $P_0$. Никакое наблюдение не сужает множество наборов параметров, совместимых с данными, поэтому величина $s^{\star} = a - c$ остаётся неопределённой при любом числе периодов.

Ответ: такого $t$ не существует, по одним ценам оптимальную субсидию определить нельзя.

г) Разбираем нулевой период отдельно, иначе задача выродится в ссылку на предыдущие пункты. При $t = 0$ известны два уравнения:
$\dfrac{a - c}{2b} = Q_0$ и $\dfrac{a + c}{2} = P_0$, а неизвестных три.

Этого недостаточно. Увеличим $a$ и уменьшим $c$ на одну и ту же малую величину $x$: сумма $a + c$, а с ней и $P_0$, не изменится. Затем подправим $b$ так, чтобы отношение $\dfrac{a - c}{2b}$ осталось прежним, — тогда не изменится и $Q_0$. Оба наблюдения те же, а оптимальная ставка $s^{\star} = a - c$ выросла на $2x$. Значит, по данным нулевого периода её определить нельзя.

Зато в периоде $t = 1$ хватит одних объёмов: по доказанному выше $s^{\star} = s_1\cdot\dfrac{Q_0}{Q_1 - Q_0}$, а цены при этом даже не нужны.

Ответ: минимальное $t$ равно $1$, формула та же, что и при наблюдении одних объёмов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-24-25.pdf