ВсОШ по экономике 2024/25, заключительный этап, 9 класс, тур 1

В пункте а) выпиши прибыль через число чипов и заметь, что относительно корня из этого числа она квадратичная.

Пункт а). Выручка равна $2q = 2a\sqrt{x}$, расходы на чипы равны $x$, других затрат нет, поэтому прибыль как функция закупки чипов равна $\pi(x) = 2a\sqrt{x} - x$. Относительно $\sqrt{x}$ это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $\sqrt{x} = a$, то есть оптимум $x = a^{2}$. При $a = 2$ фирма брала 4 чипа, при $a = 5$ берёт 25 чипов.

Направление изменения объясняет предельная денежная отдача чипа $MRP_x = 2 \cdot \dfrac{a}{2\sqrt{x}} = \dfrac{a}{\sqrt{x}}$: рост $a$ поднял её, а цена чипа осталась равной 1 д.е., поэтому закупку выгодно расширять, пока отдача не опустится до цены ресурса. Ссылаться на рост предельной выручки бессмысленно: цена продукта фиксирована, $MR = p = 2$ не менялась, работает именно скачок предельного продукта чипа. Получается, что ресурс стали использовать эффективнее, а потребляют его больше — классический парадокс Джевонса (экономичный двигатель поднимает суммарный расход топлива).

Пункт б). Пусть по новой дороге едет $y$ машин в час, по старой — $1000 - y$. В рублях поездка по старой обходится водителю в $10\left(40 + \dfrac{1000-y}{20}\right) = 400 + \dfrac{1000-y}{2}$, по новой — в $10\left(30 + \dfrac{y}{30}\right) + p = 300 + \dfrac{y}{3} + p$. Пока новая дешевле, водители переползают на неё, пока дороже — обратно, так что в равновесии затраты равны: $300 + \dfrac{y}{3} + p = 900 - \dfrac{y}{2}$, откуда $\dfrac{5}{6}y = 600 - p$ и спрос на новую дорогу равен $y(p) = 720 - 1{,}2p$.

Суммарные потери времени при потоке $y$ равны $(1000-y)\left(40 + \dfrac{1000-y}{20}\right) + y\left(30 + \dfrac{y}{30}\right) = \dfrac{y^{2}}{12} - 110y + 90\,000$. Это парабола ветвями вверх, минимум при $y = 660$. Подставляем в спрос: $720 - 1{,}2p = 660$, значит $p = 50$ рублей. В официальном разборе спрос напечатан как $720 - \dfrac{5}{6}p$, но это опечатка: с коэффициентом $\dfrac{5}{6}$ вышло бы $p = 72$, тогда как итоговая плата и там равна 50 рублям. Отдельно жюри снимало балл за счёт с 999 машинами: собственный вклад водителя в пробку по условию не учитывается.

Пункт в). Считаем ресурсоёмкость конечных благ. Единица хлеба — это единица пшеницы (5 единиц труда и 1 земли) плюс 1 единица труда на выпечку, итого 1 земли и 6 труда. Единица ткани — это единица льна (1 земли, труд не нужен) плюс 4 единицы труда, итого 1 земли и 4 труда. В деревне всего $60$ единиц земли и $60 \cdot 5 = 300$ единиц рабочего времени, поэтому $x + y \leqslant 60$ и $6x + 4y \leqslant 300$. Отсюда КПВ: $y = \min\{60 - x,\ 75 - 1{,}5x\}$ при $0 \leqslant x \leqslant 50$. Прямые пересекаются в точке $(30;\ 30)$: при $x < 30$ ограничивает земля, при $x > 30$ — труд. Больше 50 единиц хлеба и больше 60 единиц ткани деревня произвести не может. Взять верхнюю огибающую вместо нижней — грубая ошибка, за неё жюри обнуляет баллы за связку кусков.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-24-25.pdf

Каждый раз сначала проверяй, помещается ли монопольная цена под цену импорта: если нет, фирма работает по цене импорта, а не по правилу $MR = MC$.

Общая часть. Из спроса $D(p) = 100 - 0{,}5p$ получаем обратный спрос $p = 200 - 2q$ и предельную выручку $MR = 200 - 4q$; из $TC = 3q^{2}$ — предельные издержки $MC = 6q$.

Пункт а). Будь фирма изолированным монополистом, она решала бы $200 - 4q = 6q$, то есть выпускала $q = 20$ и ставила цену $160$. Но мировая цена $140$ ниже: по цене выше 140 фирма не продаст ничего. При цене 140 из условия $P_w = MC$ выпуск равен $\dfrac{140}{6} = \dfrac{70}{3} = 23\dfrac{1}{3}$, а спрос равен $100 - 0{,}5 \cdot 140 = 30$, значит импортируется $30 - 23\dfrac{1}{3} = 6\dfrac{2}{3}$ единицы.

Пункт б). Пошлина поднимает цену импорта до $140 \cdot 1{,}15 = 161$ и удорожает ту половину издержек, что приходится на металлы: $TC_б = 0{,}5 \cdot 3q^{2} + 0{,}5 \cdot 3q^{2} \cdot 1{,}15 = 3{,}225q^{2}$, откуда $MC_б = 6{,}45q$. Монопольный выпуск дало бы $200 - 4q = 6{,}45q$, то есть $q \approx 19{,}14$ и цена $\approx 161{,}72 > 161$ — монопольную цену снова не поставить. По цене 161 фирма готова выпустить $\dfrac{161}{6{,}45} \approx 24{,}96$, но спрос равен $100 - 0{,}5 \cdot 161 = 19{,}5$, и производить сверх спроса смысла нет. Фирма продаёт 19,5 единицы, импорт равен нулю.

Пункт в). Если ничего не менять, прибыль составит $161 \cdot 19{,}5 - 3{,}225 \cdot 19{,}5^{2} \approx 1913{,}19$ д.е. При переходе на отечественные металлы издержки возвращаются к прежнему уровню плюс доставка: $TC_в = 3q^{2} + 50$, а значит $MC = 6q$ и монопольная цена снова равна 160. Теперь она ниже цены импорта 161, то есть конкуренция с импортом фирму больше не связывает и она забирает всю монопольную прибыль: $160 \cdot 20 - 3 \cdot 20^{2} - 50 = 3200 - 1200 - 50 = 1950$ д.е. Это больше 1913,19, поэтому фирма принимает решение об импортозамещении.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-24-25.pdf

Спроси себя, чего стоит банку само обещание выдать деньги и кто делает выбор, когда клиенту дают меню из нескольких тарифов.

Пункт а). Линия даёт деньги немедленно и без повторной кредитной оценки: договор заключён заранее, лимит одобрен, выбирать его можно по частям в любой момент. Обычный кредит в момент шока фирма может и не получить: у банков сжимается ликвидность, а сама компания именно в этот момент выглядит плохим заёмщиком. Поэтому линия гасит кассовый разрыв сразу и уводит фирму от более тяжёлых последствий вплоть до дефолта. Важны обе половины механизма; довод «кредит просто дороже линии» жюри не засчитывало, ведь дорогой заём всё равно закрывает разрыв ликвидности.

Пункт б). Банк неплохо информирован о состоянии клиентов — отчётность он требует — и видит устойчивость денежных потоков. Стабильной фирме риск оценивается ниже, и условия по линии для неё лучше; фирме с волатильными потоками банк компенсирует риск ставкой и прочими условиями. Раз линия для волатильной фирмы дорога, ей сравнительно выгоднее держать собственный запас денег и тратить его по мере необходимости — отсюда и наблюдаемая картина. Жюри отдельно отклоняло рассуждения «волатильность — это чаще спады» (волатильность про масштаб колебаний, а не про их знак) и «свои средства бесплатны и безлимитны» (у собственных денег есть альтернативная стоимость, порой высокая).

Пункт в). Плата за неиспользованный лимит берётся потому, что само обещание выдать деньги связывает средства банка: под возможную выборку приходится держать резерв, который дохода не приносит. Меню опций работает на самоотбор: фирма, которая планирует активно брать деньги, выберет низкую ставку при высокой плате за неиспользование, а та, которой линия нужна как страховка, — обратную комбинацию. Это ценовая дискриминация второй степени: при единой цене часть клиентов из обеих групп отказалась бы от линии вовсе и доход банка был бы ниже. Побочная выгода — узнав тип клиента, банк точнее настраивает и остальные кредитные продукты. Не засчитываются объяснения «банк берёт плату, потому что может» (конкуренция сбила бы её до нуля), «плата подталкивает выбрать лимит целиком» (лимит задан договором, да и ставка по выбранным деньгам обычно выше платы за неиспользование) и указание неверного типа дискриминации.

Пункт г). Дополнительный мотив в кризис — опасение, что банк ограничит доступ к уже одобренному лимиту, поэтому фирмы выбирают его заранее «на всякий случай», формируя буфер ликвидности; засчитывается и арбитраж, когда дешёвые деньги линии размещают на лучших условиях. Для системы это набег заёмщиков: одновременная массовая выборка вынуждает банки сокращать обычное кредитование и фирм, и домохозяйств, а в крайнем случае оборачивается дефицитом ликвидности у банков и банковским кризисом. Уместно и обратное рассуждение: доступные линии помогают фирмам пережить шок, меньше банкротств — банки продолжают получать платежи по займам; но переход от реального сектора к финансовому нужно проговорить явно, иначе балл не ставится. Прямое противоречие между названным мотивом и выводом о последствиях снижает оценку.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-24-25.pdf

Реши игру с конца: сначала найди лучший ответ «Беллы» на выпуск «Анны», подставь его в прибыль лидера и посмотри, где лежит вершина параболы.

Пункт а). При фиксированном $q$ издержки равны $(0{,}5 - I)q + 0{,}5kI^{2}$ — парабола ветвями вверх относительно $I$ с вершиной $I = \dfrac{q}{k}$. Если вершина упирается в потолок, берём $I = 0{,}5$. Значит, $I = \dfrac{q}{k}$ при $q \leqslant 0{,}5k$ и $I = 0{,}5$ при $q \geqslant 0{,}5k$. Подстановка даёт $TC = 0{,}5q - \dfrac{q^{2}}{2k}$ при $q \leqslant 0{,}5k$ и $TC = 0{,}125k$ при $q \geqslant 0{,}5k$.

Пункт б). При фиксированном $q$ максимизация прибыли требует минимизации издержек, поэтому подставляем результат предыдущего пункта: $\pi = (1-q)q - TC$. На первом участке это $0{,}5q - \left(1 - \dfrac{1}{2k}\right)q^{2}$ с вершиной $q = \dfrac{k}{2(2k-1)}$, на втором — $q - q^{2} - 0{,}125k$ с вершиной $0{,}5$, недоступной при $k > 1$, так что там оптимум лежит на общей границе $q = 0{,}5k$ и глобального максимума не даёт (функция прибыли непрерывна, а на первом участке выбрана другая точка). Итог: $q^{\star} = \dfrac{k}{2(2k-1)}$ и $I^{\star} = \dfrac{q^{\star}}{k} = \dfrac{1}{2(2k-1)}$.

Пункт в). Решаем игру с конца. «Белла» максимизирует $(1 - q_A - q_B)q_B - 0{,}5q_B = (0{,}5 - q_A)q_B - q_B^{2}$, откуда $q_B = \dfrac{0{,}5 - q_A}{2}$ при $q_A \leqslant 0{,}5$ и $q_B = 0$ при $q_A \geqslant 0{,}5$. Подставив это в прибыль лидера, на участке $q_A \leqslant 0{,}5$ получаем $0{,}25q_A - \left(0{,}5 - \dfrac{1}{2k}\right)q_A^{2}$ с вершиной $q_A = \dfrac{k}{4(k-1)}$, а на участке $0{,}5 \leqslant q_A \leqslant 0{,}5k$ — прежнюю монопольную параболу, вершина которой при $k > 1$ лежит левее $0{,}5$, то есть на этом участке оптимум всегда на левой границе. Поэтому всё решает первый участок.

Вершина $\dfrac{k}{4(k-1)}$ не меньше $0{,}5$ ровно при $k \leqslant 2$. Тогда лидер упирается в границу: $q_A^{\star} = 0{,}5$, $I^{\star} = \dfrac{1}{2k}$, $q_B^{\star} = 0$ — конкурент полностью вытеснен. При $k > 2$ вытеснение слишком дорого: $q_A^{\star} = \dfrac{k}{4(k-1)}$, $I^{\star} = \dfrac{1}{4(k-1)}$ и $q_B^{\star} = \dfrac{k-2}{8(k-1)} > 0$. Порог единственный и равен $k = 2$: при нём выпуск «Беллы» ещё нулевой, а при любом большем $k$ она выходит на рынок и производит тем больше, чем дороже лидеру обходятся инновации.

Пункт г). При $k > 1$ верно $2(2k-1) > 2k$ и $2(2k-1) > 4(k-1)$, поэтому $\dfrac{1}{2(2k-1)}$ меньше и $\dfrac{1}{2k}$, и $\dfrac{1}{4(k-1)}$: в пункте в) инноваций больше. Угроза входа подстёгивает инновации — это эффект возмещения Эрроу, описанный нобелевским лауреатом 1972 года Кеннетом Эрроу.

Пункт д). Нет. При $1 < k \leqslant 2$ на рынке остаётся одна «Анна», но её выпуск $0{,}5$ больше монопольного $\dfrac{k}{2(2k-1)}$: объём взят с запасом ради вытеснения конкурента. Единственная фирма на рынке не обязана вести себя как монополист, если её сдерживает угроза входа.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-24-25.pdf