ВсОШ по экономике 2022/23, заключительный этап, 9 класс, тур 2

Подумай, как число партнёров влияет на готовность банка рисковать и далеко ли разбегается паника по кольцу по сравнению с полным графом.

а) Банк держит в ликвидной форме лишь часть депозитов, остальное выдано в кредиты. Поэтому обслужить одновременный приход всех вкладчиков он физически не может. Пусть часть клиентов по какой-то причине решила, что банк разорится: им рационально бежать за деньгами немедленно, чтобы попасть в число тех, кому средств хватит. Остальные вкладчики, узнав о поведении первой группы, бегут следом — ждать теперь опасно независимо от того, во что они верили изначально. Изъятий становится больше, чем банк способен выдать, текущие требования он удовлетворить не может и объявляется банкротом. Без веры в банкротство его бы не случилось, то есть ожидание исполнило само себя.

б) Из пункта а) видно, что масштаб и скорость набега определяются тем, как быстро вкладчики узнают о действиях друг друга. Соцсети и мессенджеры разносят новость почти мгновенно, поэтому за единицу времени за деньгами приходит гораздо больше людей. Онлайн-банкинг действует в ту же сторону: он обнуляет издержки изъятия, ведь ехать в отделение и стоять в очереди не нужно. В набег включаются даже те, кто при старых технологиях поленился бы дойти до банка. Итог — набег и быстрее, и массовее.

в) Первый аргумент — моральный риск. В распределённой структуре каждый банк чувствует себя застрахованным: при проблемах перекредитоваться можно сразу у четырёх партнёров. Поэтому он изначально выбирает более рискованные вложения в реальный сектор. Так рассуждают все пятеро, и суммарный риск системы растёт — вероятность того, что кто-то разорится, в полном графе выше.

Второй аргумент — предупредительное изъятие. В кольце банкротство банка 1 бьёт по банку 5, чьи деньги в нём лежали. Банк 4 это понимает и заранее вытягивает свой депозит из банка 5, набирая буфер ликвидности. Он, с одной стороны, подталкивает банк 5 к банкротству, но с другой — останавливает волну: кризис гаснет в пределах трёх банков, остальные не затронуты. В полном графе при банкротстве одного тянуть депозиты начинают все и у всех сразу, денежная масса резко сжимается, ликвидности не хватает никому для текущих расчётов, и паника охватывает систему целиком.

г) Главная неочевидная издержка — потеря информации. Разорившийся банк годами накапливал сведения о своих заёмщиках: кто дисциплинирован, какие проекты у фирмы получаются, насколько надёжен её менеджмент. Отсюда два последствия. Во-первых, средства распределяются хуже: новые банки не знают, какие проекты и в какой мере стоит финансировать, поэтому отдача от вложений для общества падает, даже если объём выданных кредитов и ставка останутся прежними. Во-вторых, кредит дорожает: не зная специфику бизнеса, банк требует более высокую премию за риск. Рост стоимости заимствований давит на реальный сектор через канал издержек, фирмы сокращают производство, выпуск в экономике падает, и общество недополучает доход.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-22-23.pdf

Выпиши КПВ в координатах оценок: она состоит из двух кусков, и максимум суммы оценок стоит искать в точке их стыка.

Математика линейна: $g_1 = 0{,}5\,e_1$, то есть $e_1 = 2g_1$. Порог в информатике поэтому равен $x = 8\sqrt{e_1} = 8\sqrt{2g_1}$.

а) Пусть на учёбу уходит вся энергия, тогда $e_2 = 180 - 2g_1$. Пока порог не пройден, каждая единица даёт балл: $g_2 = e_2 = 180 - 2g_1$. Если порог пройден, то $g_2 = x + \dfrac{e_2 - x}{2} = \dfrac{e_2 + x}{2} = 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}$. Режимы разделяет неравенство $180 - 2g_1 \leqslant 8\sqrt{2g_1}$: подстановка $u = \sqrt{2g_1}$ даёт $u^2 + 8u - 180 \geqslant 0$, положительный корень $u = 10$, то есть $g_1 \geqslant 50$. Итого $g_2 = 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}$ при $g_1 \leqslant 50$ и $g_2 = 180 - 2g_1$ при $g_1 \geqslant 50$.

Верхняя ветвь — парабола ветвями вниз относительно $\sqrt{g_1}$, её вершина при $\sqrt{2g_1} = 4$, то есть $g_1 = 8$, где $g_2 = 98$. Левее восьмёрки кривая убывала бы, но Роме там делать нечего: он может взять точку $g_1 = 8$, $g_2 = 98$ и написать математику хуже. Поэтому КПВ содержит горизонтальный участок от $(0;\ 98)$ до $(8;\ 98)$, дальше идёт парабола до точки излома $(50;\ 80)$ и затем прямая $180 - 2g_1$ до $(90;\ 0)$. Жюри засчитывало и решение, в котором горизонтальный участок не добавляют, а кривую обрывают в вершине.

б) Максимизировать среднее — то же самое, что максимизировать сумму $g_1 + g_2$. На параболическом куске сумма равна $90 + 4\sqrt{2g_1}$ и растёт по $g_1$, на прямом куске она равна $180 - g_1$ и убывает. Значит максимум ровно в точке излома $g_1 = 50$, где $g_2 = 180 - 100 = 80$. Сумма оценок 130, среднее 65. Проверка через энергию: $e_1 = 100$, $e_2 = 80$, порог $8\sqrt{100} = 80$ достигнут и не превышен.

Ответ: по математике 50 баллов, по информатике 80.

в) Теперь тратить всю энергию необязательно. При любом $e_1$ полезность растёт по $e_2$ до порога (балл за единицу энергии против трети балла за единицу отдыха) и падает после порога (там уже полбалла за единицу). Значит в оптимуме всегда $e_2 = 8\sqrt{e_1}$: информатику Рома учит ровно до начала спада производительности. Тогда $g_1 = e_1/2$, $g_2 = 8\sqrt{e_1}$, $e_3 = 180 - e_1 - 8\sqrt{e_1}$, и целевая функция равна $U(e_1) = 60 - \dfrac{e_1}{12} + \dfrac{4}{3}\sqrt{e_1}$.

Это парабола ветвями вниз относительно $t = \sqrt{e_1}$ с вершиной при $t = 8$, то есть $e_1 = 64$. Тогда $e_2 = 64$, на отдых остаётся $e_3 = 52$, а оценки равны $g_1 = 32$ и $g_2 = 64$. Эта точка лежит строго под КПВ, и это нормально: человек, ценящий отдых, не выжимает из себя максимум оценок.

Ответ: по математике 32 балла, по информатике 64.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-22-23.pdf

Одних балансов по товарам мало: посчитай, что происходит с общим числом единиц товара у отдельного острова после любой сделки.

а) Волшебник двигает товары как угодно, поэтому важен только суммарный баланс по каждому товару в отдельности: для каждого товара $j$ должно выполняться $s_{Aj} + s_{Bj} + \dots + s_{Gj} \geqslant d_{Aj} + d_{Bj} + \dots + d_{Gj}$.

Необходимость: если по какому-то товару суммарный выпуск меньше суммарной потребности, никакое перераспределение нехватку не закроет. Достаточность: волшебник собирает весь выпуск и выдаёт каждому острову ровно $d_{ij}$ единиц каждого товара, а остатки раздаёт произвольно. Всего это 2023 неравенства.

б) Те же 2023 неравенства по-прежнему необходимы. Но появляется второе ограничение. В любой сделке остров отдаёт ровно столько единиц, сколько получает, значит общее число единиц товара у острова при обмене не меняется. Поэтому для счастья острова нужно, чтобы его собственный суммарный запас покрывал его суммарную потребность: для каждого острова $i$ должно выполняться $s_{i1} + s_{i2} + \dots + s_{i\,2023} \geqslant d_{i1} + d_{i2} + \dots + d_{i\,2023}$. Островов семь, это ещё 7 неравенств.

Итого система из $2023 + 7 = 2030$ неравенств — это и есть искомое условие.

Необходимость разобрана выше: при нарушении неравенства первой группы товар недопроизведён, при нарушении неравенства второй группы острову просто нечего отдать в обмен на недостающее.

Достаточность доказывается алгоритмом. Возьмём остров $A$ и какой-нибудь товар $k$, которого ему не хватает (если дефицита нет, переходим к следующему острову). По первой группе неравенств излишек товара $k$ у остальных островов найдётся, по второй группе у самого $A$ найдётся излишек других товаров в объёме не меньшем его дефицита. Значит $A$ может серией обменов «единица за единицу» добрать товар $k$, отдавая то, что у него в избытке, и ни у кого не создавая нового дефицита. Повторяем по всем дефицитным товарам острова $A$, затем переходим к $B$, $C$ и так далее, пока счастливы не станут все.

в) Нет, условия из пункта б) уже недостаточно. Контрпример: острова $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ ничего не производят и ни в чём не нуждаются; остров $A$ производит единицу товара 1 и не нуждается ни в чём; остров $B$ производит единицу товара 2 и нуждается в единице товара 1. Формально ненулевые величины только $d_{B1} = 1$, $s_{A1} = 1$ и $s_{B2} = 1$, все остальные $d_{ij}$ и $s_{ij}$ равны нулю. Все 2030 неравенств выполнены, и по правилам пункта б) обмен состоялся бы: $A$ отдал бы единицу товара 1 за единицу товара 2. Но по новому правилу остров $A$ уже счастлив, товар 2 ему не нужен, поэтому в сделку он не вступит, и остров $B$ останется несчастливым.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-22-23.pdf

Фирма согласится на большой выпуск, только если он не хуже её собственного монопольного, — сравни прибыль в этих двух точках.

Обратный спрос $P = 80 - Q$, издержки $TC = 20Q$. Без субсидии прибыль равна $\pi(Q) = (80 - Q)Q - 20Q = 60Q - Q^2$: парабола ветвями вниз с вершиной $Q = 30$, где $\pi = 900$. При конкуренции цена равна средним издержкам, $80 - Q = 20$, то есть $Q = 60$ и прибыль нулевая.

а) С линейной субсидией прибыль равна $60Q - Q^2 + aQ = (60 + a)Q - Q^2$, максимум при $Q = \dfrac{60 + a}{2}$. Приравниваем к 60 и получаем $a = 60$. Расходы казны $S = 60 \cdot 60 = 3600$.

б) С квадратичной субсидией прибыль равна $60Q - (1 - a)Q^2$, максимум при $Q = \dfrac{30}{1 - a}$. Приравниваем к 60: $1 - a = 0{,}5$, то есть $a = 0{,}5$. Расходы $S = 0{,}5 \cdot 60^2 = 1800$, вдвое дешевле линейной схемы.

в) Задача решается в два шага: сначала доказываем, что дешевле 900 не выйдет, потом предъявляем схему ровно на 900.

Нижняя оценка. С произвольной субсидией прибыль равна $\pi(Q) = 60Q - Q^2 + f(Q)$. Раз фирма выбирает 60, для любого $Q$ выполнено $\pi(60) \geqslant \pi(Q)$, то есть $f(60) \geqslant 60Q - Q^2 + f(Q) \geqslant 60Q - Q^2$, где мы воспользовались неотрицательностью субсидии. Правая часть максимальна при $Q = 30$ и равна 900. Значит расходы $S = f(60) \geqslant 900$. Короче то же самое: выпуск 60 должен быть для фирмы не хуже её собственного монопольного выпуска 30, а там прибыль равна 900 даже без всякой субсидии.

Достижимость. Возьмём функцию, которая равна 900 ровно при $Q = 60$ и нулю при всех остальных объёмах. При $Q \ne 60$ прибыль равна $60Q - Q^2$ и не превосходит 900, а при $Q = 60$ она равна $60 \cdot 60 - 60^2 + 900 = 900$. Максимум прибыли достигается сразу в двух точках, 30 и 60, а по условию при безразличии фирма берёт больший объём, то есть 60. Расходы казны равны 900. Подойдёт и ступенька: $f(Q) = 0$ при $Q < 60$ и $f(Q) = 900$ при $Q \geqslant 60$. Вообще годится любая неотрицательная функция, у которой $f(60) = 900$ и $f(Q) \leqslant 900 - 60Q + Q^2$ при прочих $Q$.

Ответ: минимальные расходы равны 900 денежных единиц.

Соблазн просто повышать степень обманчив. Для $f(Q) = aQ^n$ из равенства производной прибыли нулю выходит, что расходы равны $3600/n$ и убывают с ростом $n$. Но при $n \geqslant 4$ найденная точка перестаёт быть максимумом прибыли: равенства производной нулю для максимума недостаточно, и выпуск 60 фирма не выберет.

Субсидия названа дважды оптимальной, потому что она одновременно выводит рынок на оптимальный для общества выпуск и делает это с минимальными расходами казны.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-22-23.pdf