ВсОШ по экономике 2022/23, заключительный этап, 10 класс, тур 2

Подумай про стимулы банка, который уверен, что перекредитуется у любого соседа, и проследи, на скольких банках останавливается волна изъятий в каждой из схем.

а) Часть средств вкладчиков банк уже выдал в виде кредитов, поэтому вернуть деньги всем вкладчикам одновременно он физически не может. Пусть часть вкладчиков по какой-то причине поверила, что банк разорится. Для них рационально закрыть депозиты прямо сейчас — чтобы успеть изъять средства до того, как деньги в банке закончатся, и оказаться среди тех, кто их получит. Остальные вкладчики, которые изначально банкротства не ждали, узнают о поведении первой группы и рассуждают так же: очередь конечна, надо успеть. В итоге для каждого вкладчика — независимо от того, ждал он банкротства или нет — рациональным действием становится забрать деньги.

Как следствие, требований предъявляется больше, чем банк способен удовлетворить в данный момент, и он объявляется неплатёжеспособным, то есть банкротом. Банкротства не случилось бы, если бы его не начали ждать: ожидания претворились в жизнь просто из-за того, что сформировались, — поэтому они и называются самосбывающимися. Важны две оговорки. Во-первых, вкладчики должны поверить в плохую новость: сама по себе новость ожиданий дефолта не создаёт. Во-вторых, банк падает не от любого набега, а только когда забрать деньги пришло больше вкладчиков, чем банк рассчитывал, — снятие депозитов вообще-то нормальный для банка процесс. При этом разориться так может и совершенно здоровый банк.

б) Из пункта а) видно, что набег тем масштабнее и быстрее, чем быстрее одни вкладчики узнают о действиях других. Соцсети и мессенджеры резко увеличивают скорость распространения такой информации, а вера агентов в неё превращает скорость новостей в скорость изъятий: всё больше людей в единицу времени идут снимать деньги со счетов.

Приложения онлайн-банкинга — тоже проявление развития коммуникационных технологий, только это коммуникация между вкладчиком и банком. Интернет-банкинг снижает издержки изъятия: снимают деньги и те «ленивые» вкладчики, которые хотели бы забрать вклад, но не пошли бы ради этого в отделение. Кроме того, не нужно тратить время на дорогу — тот, кто хочет снять деньги, делает это сразу, как услышал убедительную для него негативную новость, а не через день. Изъятия становятся синхронными, количество требований в единицу времени растёт.

Итог: развитие современных коммуникационных технологий увеличивает и скорость, и размер набега на банки.

в) Аргумент 1: моральный риск. В распределённой системе каждый банк чувствует себя более застрахованным, чем в кольце: в случае проблем он может перекредитоваться не у одного партнёра, а у любого из четырёх. Поэтому он изначально выбирает более рискованные вложения в реальный сектор. Так рассуждает каждый банк, и общий риск системы оказывается выше, чем в кольце, а системный кризис в полном графе случается с большей вероятностью. Это классическое проявление проблемы морального риска.

Аргумент 2: изъятие из предосторожности останавливает кризис в кольце, но не в распределённой системе. Во время паники банки вытаскивают депозиты друг из друга. Пусть в кольце разорился банк 3. Тогда банк 2, который держал в нём средства, начинает испытывать проблемы с ликвидностью. Банк 1 понимает это и заранее изымает свой депозит из банка 2: с одной стороны, он сам подталкивает банк 2 к банкротству (снова самосбывающиеся ожидания), с другой — создаёт себе буфер ликвидности и за счёт него устоит. Волна гаснет: сокращение депозитов затрагивает только банки 1, 2 и 3, остальные остаются нетронутыми. В полном графе такого предохранителя нет: при падении одного банка все остальные одновременно начинают тянуть депозиты друг у друга, денежная масса резко сжимается, и средств не хватает всем сразу для текущих расчётов и требований.

Обрати внимание: рассуждение «в полном графе страдают все, а в кольце только один» само по себе аргументом не является — в полном графе все страдают понемногу, а в кольце сосед страдает сильно, потому что связь между ним и банкротом гораздо теснее. Это довод как раз за распределённую систему, а не против неё.

г) Самые существенные издержки связаны с потерей информации о фирмах, которой обладали обанкротившиеся банки.

Во-первых, средства начинают распределяться неоптимально. Не зная истории заёмщика, банкам сложнее решить, какие именно проекты финансировать и в каком объёме. Общая отдача от проектов для общества оказывается ниже максимальной, даже если совокупный объём выданных средств и ставка процента не изменились.

Во-вторых, производство сокращается из-за роста стоимости кредитования. Новые банки не работали с этими фирмами, не знают специфики их бизнеса и их надёжности как партнёров, поэтому кредитуют только под более высокий процент — растёт премия за риск. Подорожавший кредит давит на реальный сектор через канал издержек: фирмы сокращают производство, выпуск в экономике падает, и всё общество недополучает доход.

Заметь, что чистое перераспределение доходов издержками общества не является, как и расходы, которые фирма понесла бы и без банкротства банка (договор с новым банком всё равно пришлось бы когда-то заключать). Для физических лиц проблема потери информации мягче: есть бюро кредитных историй, а для фирм этот институт развит заметно хуже. Потерю информации при банкротстве банков изучал на материале Великой депрессии нобелевский лауреат 2022 года Бен Бернанке.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-22-23.pdf

Выпиши целевую функцию отдельно для случая «порог не достигнут» и «порог пройден» — одна ветка растёт по энергии на математику, другая убывает, значит ответ на их стыке.

Формализуем условие. Энергии всего $180$: $e_1 + e_2 + e_3 = 180$, все величины неотрицательны. По математике $g_1 = 0{,}5e_1$. По информатике первые $8\sqrt{e_1}$ баллов идут «один к одному», дальше вдвое медленнее: при $e_2 \le 8\sqrt{e_1}$ имеем $g_2 = e_2$, а при $e_2 \ge 8\sqrt{e_1}$ получаем $g_2 = \dfrac{e_2 + 8\sqrt{e_1}}{2}$. Поскольку $e_1 = 2g_1$, порог удобно записывать как $8\sqrt{2g_1}$.

а) На КПВ вся энергия уходит в учёбу, поэтому $e_2 = 180 - e_1 = 180 - 2g_1$: иначе при том же $g_1$ можно было бы немного поднять $g_2$, а значит, мы не на границе. Порог пройден ровно тогда, когда $180 - 2g_1 \ge 8\sqrt{2g_1}$; подстановка $t = \sqrt{2g_1}$ даёт $t^2 + 8t - 180 \le 0$, то есть $t \le 10$ и $g_1 \le 50$. Значит, при $g_1 \le 50$ имеем $g_2 = 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}$, а при $50 \le g_1 \le 90$ порог не достигается и $g_2 = 180 - 2g_1$. Ветки стыкуются в точке излома $(g_1, g_2) = (50, 80)$.

Первая ветка сначала растёт: относительно $t = \sqrt{2g_1}$ это парабола ветвями вниз, и её производная по $g_1$, равная $-1 + \dfrac{4}{\sqrt{2g_1}}$, обращается в ноль при $g_1 = 8$, где $g_2 = 98$. Раз контрольную можно намеренно написать хуже, точки левее $g_1 = 8$ на границу не попадают: вместо них Рома берёт $(8, 98)$ и при желании занижает математику. Поэтому КПВ состоит из горизонтального участка $g_2 = 98$ при $0 \le g_1 \le 8$, убывающей дуги $g_2 = 90 - g_1 + 4\sqrt{2g_1}$ при $8 \le g_1 \le 50$ и отрезка прямой $g_2 = 180 - 2g_1$ при $50 \le g_1 \le 90$. Оценка $100$ нигде не достигается, так что верхнее ограничение на баллы не мешает. Рисунок нужно приложить обязательно: за его отсутствие жюри снимает балл.

б) Здесь $e_3 = 0$ и $e_2 = 180 - e_1$. На участке «порог пройден» ($e_1 < 100$) цель равна $\dfrac{g_1+g_2}{2} = \dfrac{e_1}{4} + \dfrac{180 - e_1}{4} + 2\sqrt{e_1} = 45 + 2\sqrt{e_1}$ и растёт по $e_1$; на участке «порог не достигнут» ($e_1 \ge 100$) она равна $\dfrac{e_1}{4} + \dfrac{180 - e_1}{2} = 90 - \dfrac{e_1}{4}$ и убывает. Значит, оптимум ровно на стыке веток: $180 - e_1 = 8\sqrt{e_1}$, что при $t = \sqrt{e_1}$ даёт $t^2 + 8t - 180 = 0$, откуда $t = 10$ и $e_1 = 100$.

Тогда $g_1 = 50$, на информатику остаётся $e_2 = 80$, а порог равен $8\sqrt{100} = 80$ — он исчерпан ровно, поэтому $g_2 = 80$. Средний балл равен $65$. Это в точности точка излома КПВ, её и отмечаем на рисунке. Ответ пункта б): $g_1 = 50$, $g_2 = 80$.

в) К цели добавилось $\dfrac{e_3}{3}$, и равенство $e_2 = 180 - e_1$ теперь выполняться не обязано. Единица энергии, потраченная на информатику до порога, даёт балл, то есть $\dfrac{1}{2}$ полезности, и это больше $\dfrac{1}{3}$, которые приносит отдых; единица после порога даёт лишь $\dfrac{1}{4}$, что меньше $\dfrac{1}{3}$. Поэтому при любом $e_1$ полезность растёт по $e_2$ до порога и убывает после него: в оптимуме всегда $e_2 = 8\sqrt{e_1}$, то есть Рома учит информатику ровно до снижения производительности.

Остаётся максимизировать функцию одной переменной: $\dfrac{0{,}5e_1 + 8\sqrt{e_1}}{2} + \dfrac{180 - e_1 - 8\sqrt{e_1}}{3} = 60 + \dfrac{4}{3}\sqrt{e_1} - \dfrac{e_1}{12}$. По переменной $t = \sqrt{e_1}$ это парабола ветвями вниз с вершиной $t = 8$, откуда $e_1 = 64$, $e_2 = 8\sqrt{64} = 64$, а на отдых остаётся $e_3 = 52$. Оценки: $g_1 = 32$ и $g_2 = 64$. Точка лежит строго под КПВ (при $g_1 = 32$ граница дала бы $g_2 = 90$), и это нормально: часть сил сознательно отдана отдыху, поэтому выжимать максимум из информатики при заданной математике Роме уже невыгодно. Ответ пункта в): $g_1 = 32$, $g_2 = 64$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-22-23.pdf

Посчитай отдельно, что инвестор сделает при каждом из двух возможных содержаний сертификата, и вспомни, что монополист оставляет покупателю ровно нулевую ожидаемую прибыль.

а) Плата фиксирована и от исхода не зависит, поэтому исследование для аналитика — чистый убыток в $2$ млн: он получит $p - 2$, если исследует рынок, и $p$, если просто даст рекомендацию наугад. Значит, он имитирует исследование, и рекомендация оказывается случайной. Инвестор это понимает: совет не несёт новой информации и не может изменить его оптимальное решение, а покупать акции наугад невыгодно — ожидаемая прибыль равна $\frac{1}{3}(54-30) + \frac{2}{3}(0-30) = -12$ млн руб. Поэтому инвестор акции не купит, его прибыль от всего предприятия нулевая, и за информацию-пустышку он не заплатит ничего. Ответ: максимальная цена равна нулю.

б) Если аналитик исследует рынок честно, рекомендация верна с вероятностью $\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3}$: с вероятностью $\frac{1}{3}$ он узнаёт успешную компанию и указывает на неё точно, с вероятностью $\frac{2}{3}$ он узнаёт неудачницу и угадывает из двух оставшихся. При имитации вероятность попасть равна $\frac{1}{3}$. Ожидаемые выигрыши аналитика: $p + \frac{2}{3}b - 2$ при честной работе и $p + \frac{1}{3}b$ при имитации. Честность выгодна, когда $p + \frac{2}{3}b - 2 \ge p + \frac{1}{3}b$, то есть $\frac{1}{3}b \ge 2$ и $b \ge 6$.

Инвестор, рассчитывая на честное исследование, получает $\frac{2}{3}(54 - b) - p - 30 = 6 - p - \frac{2}{3}b$ и соглашается, пока эта величина неотрицательна, то есть при $p \le 6 - \frac{2}{3}b$. Монополист выжимает участие инвестора в ноль и берёт $p = 6 - \frac{2}{3}b$; тогда его прибыль равна $p + \frac{2}{3}b - 2 = 4$ млн при любом $b$ из отрезка $[6; 9]$ (верхняя граница — из требования $p \ge 0$), а сама цена пробегает отрезок $[0; 2]$. Подойдёт, например, $b = 6$ и $p = 2$. Ответ: премия $b \ge 6$, оптимальный контракт $b = 6$, $p = 2$, прибыль аналитика $4$ млн руб.

в) Сертификат снимает проблему стимулов: инвестор сам видит, что исследование проведено, и премия больше не нужна. С вероятностью $\frac{1}{3}$ в сертификате сказано, что изученная компания успешна, — инвестор покупает именно её акции и получает $54 - 30 - p = 24 - p$. С вероятностью $\frac{2}{3}$ сертификат сообщает, что изученная компания разорится; покупать одну из двух оставшихся невыгодно, потому что это дало бы $\frac{1}{2}(54-30) + \frac{1}{2}(0-30) - p = -3 - p$, что меньше, чем $-p$. Поэтому инвестор не покупает ничего и теряет только цену продукта.

Ожидаемая прибыль инвестора равна $\frac{1}{3}(24-p) + \frac{2}{3}(-p) = 8 - p$, так что он готов купить продукт при $p \le 8$. Монополист забирает весь излишек и назначает $p = 8$ млн руб. Его собственная прибыль с учётом издержек на исследование и сертификацию равна $8 - 2 - 1 = 5$ млн, то есть больше, чем $4$ млн из пункта б).

г) Нет, не может. Добавим к сертификату премию $b$ за успех. Ожидаемая прибыль инвестора становится $\frac{1}{3}(24 - p - b) + \frac{2}{3}(-p) = 8 - p - \frac{1}{3}b$, а прибыль аналитика равна $\frac{1}{3}(p + b) + \frac{2}{3}p - 3 = p + \frac{1}{3}b - 3$. Условие участия инвестора даёт $p + \frac{1}{3}b = 8$, поэтому прибыль аналитика равна $5$ млн — ровно столько же, сколько в пункте в). Премия лишь перекладывает те же $8$ млн между ценой и доплатой.

Причина в том, что как стимулирующий инструмент премия здесь не работает: имитируя исследование, аналитик получил бы в среднем те же $\frac{1}{3}b$. Стимулирующую функцию берёт на себя сама сертификация.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-22-23.pdf

Сравни выпуск 60 не со всеми объёмами подряд, а с тем единственным, который выгоден фирме без всякой субсидии.

Общая часть. Обратный спрос равен $P = 80 - Q$, издержки равны $TC = 20Q$, поэтому прибыль без субсидии составляет $\pi(Q) = (80-Q)Q - 20Q = 60Q - Q^2$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $Q = 30$, где прибыль равна $900$. При $Q = 60$ прибыль без субсидии равна нулю — именно этот разрыв государству и придётся закрывать.

а) С линейной субсидией прибыль равна $60Q - Q^2 + aQ = (60+a)Q - Q^2$, максимум достигается в вершине параболы $Q^{\star} = \dfrac{60+a}{2}$. Приравниваем к $60$: $a = 60$. Расходы государства равны $S = aQ = 60 \cdot 60 = 3600$. Ответ: $a = 60$, $S = 3600$.

б) С квадратичной субсидией прибыль равна $60Q - Q^2 + aQ^2 = 60Q - (1-a)Q^2$, максимум при $Q^{\star} = \dfrac{30}{1-a}$ (нужно $a < 1$, иначе прибыль растёт неограниченно). Приравниваем к $60$: $1 - a = 0{,}5$, то есть $a = 0{,}5$. Расходы равны $S = aQ^2 = 0{,}5 \cdot 60^2 = 1800$ — вдвое меньше, чем при линейной схеме. Ответ: $a = 0{,}5$, $S = 1800$.

в) Решаем в два шага: сначала докажем, что при любой схеме, заставляющей фирму выбрать $60$, расходы не меньше $900$, затем предъявим схему ровно на $900$.

Нижняя оценка. Прибыль фирмы теперь равна $\pi(Q) = 60Q - Q^2 + f(Q)$. Чтобы фирма добровольно выбрала $60$, этот выпуск должен быть для неё не хуже любого другого: $60\cdot 60 - 60^2 + f(60) \ge 60Q - Q^2 + f(Q)$ при всех $Q \ge 0$. Слева первые два слагаемых дают ноль, а справа неотрицательное $f(Q)$ можно отбросить, усилив неравенство: $f(60) \ge 60Q - Q^2 + f(Q) \ge 60Q - Q^2$ для любого $Q$. Самое жёсткое требование получается там, где правая часть максимальна, то есть при $Q = 30$: $f(60) \ge 60\cdot 30 - 30^2 = 900$. Короче то же самое: выпуск $60$ должен быть для фирмы не хуже её монопольного выпуска $30$, откуда сразу $0 + f(60) \ge 900 + f(30) \ge 900$. По сути субсидия обязана компенсировать фирме всю потерянную монопольную прибыль, так что дешевле $900$ не получится.

Пример. Возьмём

$$f^{\star}(Q) = \begin{cases} 0, & Q \ne 60; \\ 900, & Q = 60. \end{cases}$$

То есть субсидия платится только за выпуск ровно $60$ и в размере $900$. При $Q \ne 60$ прибыль такая же, как без вмешательства, — $60Q - Q^2$, с максимумом $900$ при $Q = 30$; при $Q = 60$ прибыль равна $0 + 900 = 900$. Оба выпуска, $30$ и $60$, дают одинаковую максимальную прибыль, а из равновыгодных объёмов фирма по условию выбирает наибольший, то есть $60$. Расходы государства равны ровно $900$. Ответ: подходит функция $f^{\star}(Q)$, минимальные расходы $S = 900$.

Оптимальная функция не единственна: годится, например, и $f(Q) = 0$ при $Q < 60$, $f(Q) = 900$ при $Q \ge 60$. Вообще подойдёт любая неотрицательная $f$, у которой $f(60) = 900$, $f(Q) \le Q^2 - 60Q + 900$ при $Q \le 60$ и $f(Q) < Q^2 - 60Q + 900$ при $Q \in (60; 80]$.

Естественная, но неверная идея: раз квадратичная субсидия дешевле линейной, будем повышать степень. При $f(Q) = a_n Q^n$ из равенства производной прибыли нулю получается $a_n = \dfrac{1}{60^{n-2}\,n}$ и расходы $\dfrac{3600}{n}$, то есть сколь угодно малые. Противоречие с оценкой $900$ разрешается просто: при $n \ge 4$ точка $Q = 60$ вовсе не является максимумом прибыли — равенства производной нулю для этого недостаточно. Субсидию называют дважды оптимальной, потому что она одновременно устанавливает оптимальный для общества выпуск и минимизирует расходы казны на его достижение.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-22-23.pdf