ВсОШ по экономике 2021/22, заключительный этап, 10 класс, тур 2

Сначала пойми, кого из своих жителей деревня хочет видеть делегатом при любом делегате соседей, — и только потом усредняй две координаты.

Обозначим координату делегата Вилларибо через $a$, делегата Виллабаджо — через $b$; магазин строится в точке $\dfrac{a+b}{2}$.

а) Делегаты живут в своих деревнях, то есть $a \in [0; 1]$ и $b \in [2; 3]$. Тогда $\dfrac{a+b}{2}$ пробегает отрезок $[1; 2]$, причём любая точка $x$ из него достижима: достаточно взять $a = x - 1$ и $b = x + 1$. Ответ пункта а) — отрезок $[1; 2]$, ни одна точка вне него магазину не доступна.

б) Магазин всегда попадает в $[1; 2]$, то есть стоит не левее любого жителя Вилларибо. Расстояние до магазина у такого жителя тем меньше, чем левее магазин, а магазин тем левее, чем меньше $a$: для любых кандидатов $a_1 < a_2$ и любого $b$ верно $\dfrac{a_1+b}{2} < \dfrac{a_2+b}{2}$. Значит, из двух своих кандидатов житель Вилларибо всегда предпочитает того, кто живёт левее, причём это сравнение не зависит от $b$ — делегат соседей одинаково сдвигает обе середины. Сравнение проведено для произвольной пары кандидатов, а не только для пары с нулём. Симметрично жители Виллабаджо всегда хотят кандидата как можно правее.

в) Раз предпочтения у всех жителей Вилларибо одинаковы и монотонны, победитель по Кондорсе — самый левый житель, то есть точка $0$: против любого другого кандидата за него голосует вся деревня. Во второй деревне победитель по Кондорсе — самый правый житель, точка $3$. Магазин окажется в точке $\dfrac{0 + 3}{2} = 1{,}5$ — это и есть ответ пункта в).

г) Достаточно предъявить пример. Возьмём делегатов $a = 1$ и $b = 2$: магазин строится в $1{,}5$, и делегат $a$ живёт от него в $0{,}5$. Если он объявит координату $0$, магазин при том же $b$ поставят в точке $1$, и его собственное расстояние до магазина станет нулевым. Ложь принесла выгоду, следовательно, механизм манипулируем.

д) Подойдёт любой механизм, не зависящий от заявок, например $f(a, b) = 0$: магазин всегда строится в точке $0$, поэтому объявленная координата ни на что не влияет и врать о ней бессмысленно ни одному из делегатов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-21-22.pdf

Фирма продаёт валюту ровно настолько, насколько внутренней выручки не хватает на издержки; выпиши эту разницу как функцию курса и приравняй к спросу на доллары.

Из $TC = 200q^2$ получаем $MC = 400q$, а условие $P = MC$ даёт предложение фирмы $q = \dfrac{P}{400}$ и рыночное предложение $Q_s = \dfrac{P}{4}$.

а) Если фирма торгует на обоих рынках, внутренняя цена должна совпадать с экспортной в пересчёте по курсу: $P = 8e$, иначе фирма поставляла бы весь объём туда, где выручка выше. Внутренний спрос положителен при $P < 400$, а излишек для экспорта появляется при $\dfrac{P}{4} > 100 - \dfrac{P}{4}$, то есть при $P > 200$. Отсюда $200 < 8e < 400$ и $e \in (25; 50)$.

б) Фирме нужны тугрики на издержки, а прибыль она хранит в долларах, поэтому чистое предложение долларов одной фирмой равно $\dfrac{TC - TR_d}{e}$, где $TR_d$ — внутренняя выручка: если внутренней выручки не хватает на издержки, фирма продаёт валюту, а если её с избытком, то покупает. По всем 100 фирмам $100\,TC = 100 \cdot 200 \left(\dfrac{8e}{400}\right)^2 = 8e^2$, а $100\,TR_d = 8e\,(100 - 2e) = 800e - 16e^2$. Значит, $S(e) = \dfrac{8e^2 - 800e + 16e^2}{e} = 24e - 800$.

в) Вне найденного интервала картина другая. При $e \geqslant 50$ весь объём уходит на экспорт, и на оплату издержек продают $S(e) = \dfrac{8e^2}{e} = 8e$. При $e \leqslant 25$ экспорта нет: цена равна $200$, объём рынка $50$, выпуск фирмы $0{,}5$, издержки всех фирм $100 \cdot 200 \cdot 0{,}5^2 = 5000$, прибыль тоже $50 \cdot 200 - 5000 = 5000$ тугриков, и фирмы, наоборот, покупают доллары: $S(e) = -\dfrac{5000}{e}$. Итоговое предложение кусочное: $-\dfrac{5000}{e}$ при $e \leqslant 25$, затем $24e - 800$ на $(25; 50)$ и $8e$ при $e \geqslant 50$. Пересечение со спросом лежит на среднем участке: $24e - 800 = 480 - 8e$, откуда $32e = 1280$ и $e = 40$. Значение попало в $(25; 50)$, ветка выбрана верно, равновесный курс — $40$ тугриков за доллар.

г) Валютная выручка равна $8\left(\dfrac{P}{4} - \left(100 - \dfrac{P}{4}\right)\right) = 4P - 800 = 32e - 800$. Покупать доллары теперь нельзя, а продать надо не меньше доли $\alpha$ выручки, поэтому предложение становится $S(e) = \max\{0;\ 24e - 800;\ \alpha(32e - 800)\}$; оно не уменьшилось, так что курс выше прежних $40$ не поднимется и ветку $e > 50$ можно не разбирать. В исходном равновесии фирмы продавали долю $\dfrac{24 \cdot 40 - 800}{32 \cdot 40 - 800} = \dfrac{1}{3}$ валютной выручки. Поэтому при $\alpha \leqslant \dfrac{1}{3}$ требование не связывает и курс остаётся $40$, а при $\alpha \in \left(\dfrac{1}{3}; 1\right]$ равенство $\alpha(32e - 800) = 480 - 8e$ даёт $e(\alpha) = \dfrac{60 + 100\alpha}{1 + 4\alpha}$.

д) Оплата нефти только тугриками означает, что иностранцы сами продают на рынке всю валютную выручку фирм, то есть это случай $\alpha = 1$. Подставляя, получаем курс $\dfrac{160}{5} = 32$ тугрика за доллар.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-21-22.pdf

Ищи вариант, где число детей изменилось не по решению самой семьи, а по чистой случайности.

а) Теория допускает любой знак связи, поэтому вопрос и приходится решать данными. Предложение труда матери может не измениться: семья живёт на доход мужа или родителей и работать матери незачем; с ребёнком готовы сидеть няня или бабушка с дедушкой; в обществе или в конкретной семье приняты установки, по которым мать и так не работает; наконец, у матери такая работа, где продолжительность дня не регулируется. Предложение труда может и вырасти — выросшую семью нужно содержать, а для этого зарабатывать больше. Раз возможны все три исхода, теоретического ответа на вопрос не существует.

б) Первое объяснение — пропущенная переменная, которая двигает сразу оба показателя. Таково благосостояние семьи: обеспеченная семья может позволить себе больше детей, и в ней же у женщины меньше стимулов работать. Сюда же относятся карьерные предпочтения: женщина одновременно определяет и желаемое количество детей, и своё предложение труда, так что связь в данных отражает её предпочтения, а не влияние детей. Второе объяснение — обратная причинность: сначала женщина сокращает предложение труда, освободившееся время можно посвятить воспитанию, и семья решается на ещё одного ребёнка. Каждый из механизмов сам по себе порождает отрицательную корреляцию без причинного влияния детей на занятость.

в) Естественный эксперимент требует случайного воздействия, которое меняет количество детей и не связано ни с характеристиками женщины, ни с её решениями. Такое воздействие всё время устраивает сама природа — это рождение двойни. Женщина, планировавшая одного ребёнка, получает двоих, и вся разница в количестве детей объясняется исключительно случайным фактором: пропущенных переменных здесь нет (количество детей не выбиралось), обратной причинности тоже (предложение труда на исход беременности не влияло). Подойдут и другие природные случайности: количество детей, родившихся после процедуры ЭКО, либо внезапная смерть ребёнка, не обусловленная характеристиками родителей. Обязательное требование — сопоставимость участниц исследования по всем прочим параметрам. Сама оценка устроена так: сравниваем женщин с одинаковыми возрастом, образованием, доходом и прочими характеристиками, у одной из которых один ребёнок, а у другой двойня, и разницу в часах работы считаем причинным эффектом дополнительного ребёнка. Не годятся сравнения, где количество детей выбирает сама семья: просто женщины с детьми против бездетных, приёмные дети либо незапланированная беременность, которая в обычных условиях не является чисто случайной.

г) На тех же данных можно оценить, например, как количество детей влияет на расходы семьи в расчёте на одного ребёнка: дополнительный ребёнок появился случайно, поэтому сравнение семей с двойней и с одним ребёнком показывает именно причинный эффект, а не разницу в достатке. Ответ на такой вопрос нужен государству для планирования политики поддержки рождаемости: от него зависит размер выплаты на второго и последующих детей, при котором уровень жизни каждого ребёнка не снижается.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-21-22.pdf

Сначала выпиши средний выигрыш Старика отдельно для случаев, когда зарплаты хватает на лодку и когда не хватает, — граница между ними и определяет минимальный бонус.

а) Если Старик не выходит в море, он получает $U_0 = w$. Если выходит, шансы равны, аренда стоит $5$, а нехватку он возвращает вдвое (под суммой долга понимаем именно недостающую часть, как в основной трактовке официального разбора).

При $w \geqslant 5$ зарплаты хватает на лодку в любом исходе, и $U_1 = \dfrac{w - 5}{2} + \dfrac{w + b - 5}{2} = w + \dfrac{b}{2} - 5$. При $w < 5 \leqslant w + b$ в случае неудачи денег не хватает, недостача $5 - w$ возвращается в двойном размере, и $U_1 = (w - 5 - (5 - w)) \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{w + b - 5}{2} = \dfrac{3w + b - 15}{2}$. При $w + b < 5$ доплата удваивается в обоих исходах: $U_1 = 2w + b - 10$.

Сравнивая с $U_0 = w$, получаем: в третьем случае $U_1 - U_0 = w + b - 10 < 0$ и ловить не надо; во втором $U_1 - U_0 = \dfrac{w + b - 15}{2}$, то есть ловить при $w + b \geqslant 15$; в первом $U_1 - U_0 = \dfrac{b}{2} - 5$, то есть ловить при $b \geqslant 10$. Итого Старик выходит в море, если $b \geqslant \max\{15 - w,\ 10\}$ (при безразличии он ловит, поэтому неравенства нестрогие).

б) Выигрыш Старухи при ловле равен $\Pi_1 = \dfrac{12 - w - b}{2} - \dfrac{w}{2} = 6 - w - \dfrac{b}{2}$, и максимизировать его нужно при ограничении $b \geqslant \max\{15 - w,\ 10\}$. Он убывает и по $w$, и по $b$, поэтому ограничение выполняется как равенство: $b = \max\{15 - w,\ 10\}$. Подстановка даёт $\Pi_1 = \min\left\{\dfrac{-w - 3}{2},\ 1 - w\right\}$ — тоже убывающую по $w$ функцию. Значит, $w = 0$ и $b = 15$, а прибыль Старухи равна $-1{,}5$. Проверка: при $w = 0$, $b = 15$ удача даёт Старику $15 - 5 = 10$, неудача — долг $-10$, в среднем $0$, ровно как при отказе идти в море, а при безразличии он по условию ловит.

в) Убыток $-1{,}5$ хуже нуля, который Старуха получает при контракте $w = b = 0$: Старик остаётся на берегу, выплат нет, рыбки тоже. Значит, стимулировать ловлю ей невыгодно, и оптимален любой контракт с $w = 0$ и $b < 15$, включая нулевой.

г) Если усилие наблюдаемо, платить можно и за неудачную вылазку. Старику нужно $\dfrac{w + b_0}{2} + \dfrac{w + b_1}{2} - 5 \geqslant w$, то есть $b_0 + b_1 \geqslant 10$; с учётом возможных доплат лодочнику это неравенство тем более обязано выполняться. Тогда выигрыш Старухи $\Pi = \dfrac{12}{2} - w - \dfrac{b_0 + b_1}{2} \leqslant 1 - w \leqslant 1$. Максимум $\Pi = 1$ достигается на $(w, b_0, b_1) = (0, 5, 5)$: в обоих исходах Старик получает ровно $5$, долга не возникает и компенсировать его Старухе не приходится. Это выгоднее нуля, который даёт отказ от ловли. Любой другой контракт хуже: в оптимуме $w = 0$ и $b_0 + b_1 = 10$, а при $(b_0, b_1) \neq (5, 5)$ один из бонусов меньше $5$, возникает удвоенный долг, и его тоже придётся оплатить из кармана Старухи. Наблюдаемость усилия превращает убыток $-1{,}5$ в прибыль $1$.

Официальный разбор упоминает и вторую трактовку условия, при которой Старик, которому не хватило монет, платит вдвое всю арендную плату, то есть $10$ вместо $5$. Условие выхода в море там иное — достаточно $b \geqslant 15$ либо пары $w \geqslant 5$ и $b \geqslant 10$, — но ответы пунктов б), в) и г) от трактовки не зависят.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-10-tur2-final-21-22.pdf