ВсОШ по экономике 2021/22, заключительный этап, 9 класс, тур 2

Сначала пойми, в какую сторону каждая деревня хочет сдвинуть магазин, — и тогда станет ясно, кто из жителей выигрывает любое парное голосование.

а) По условию $0 \leqslant a \leqslant 1$ и $2 \leqslant b \leqslant 3$, поэтому середина $\dfrac{a+b}{2}$ лежит в отрезке $[1;\,2]$. Весь этот отрезок и достижим: точку $x$ из него даёт пара делегатов $a = x - 1$ и $b = x + 1$. Ответ: отрезок $[1;\,2]$.

б) Магазин всегда встаёт не левее точки $1$, а любой житель Вилларибо живёт не правее точки $1$. Значит, магазин оказывается справа от его дома (в крайнем случае ровно в нём), и такой житель хочет сдвинуть магазин как можно левее. Возьмём любых двух кандидатов от Вилларибо $a_1 < a_2$: при одном и том же $b$ получаем $\dfrac{a_1+b}{2} < \dfrac{a_2+b}{2}$, то есть левый кандидат лучше — и это верно при каждом $b$, потому что делегат Виллабаджо сдвигает обе середины на одну и ту же величину. Перебор охватывает все пары, включая пары с двумя строго положительными координатами, а не только сравнение с нулём.

в) Из предыдущего пункта следует, что в Вилларибо любое парное голосование выигрывает кандидат, живущий левее. Значит, победитель по Кондорсе там — житель точки $0$: против любого другого кандидата за него голосует вся деревня. Симметрично магазин всегда оказывается левее домов Виллабаджо, её жители хотят сдвинуть его вправо, и их победителем по Кондорсе становится житель точки $3$. Магазин встанет в точке $\dfrac{0+3}{2} = 1{,}5$.

г) Достаточно одного примера. Возьмём делегатов $a = 1$ и $b = 2$: магазин строится в точке $1{,}5$, до дома делегата $a$ остаётся $0{,}5$. Делегату $a$ выгодно соврать и назвать координату $0$ — при том же $b$ магазин окажется в точке $1$, ровно в его настоящем доме, то есть на $0{,}5$ ближе. Выгода от вранья есть, значит механизм манипулируем.

д) Подойдёт любой механизм, вообще не зависящий от заявленных координат, например постоянная функция $f(a, b) = 0$. Врать в нём бессмысленно: магазин всё равно построят в точке $0$, и заявка делегата ни на что не влияет, так что отклоняться от правды невыгодно никому.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-21-22.pdf

Пока фирма торгует на обоих рынках, внутренняя цена привязана к мировой курсом, так что и издержки, и внутреннюю выручку можно выразить через один курс.

а) Из условия совершенной конкуренции $P = MC = 400q$, то есть предложение одной фирмы $q_s = \dfrac{P}{400}$, а всех ста фирм — $Q_s = \dfrac{P}{4}$. Если фирма торгует сразу на двух рынках, внутренняя цена обязана совпасть с экспортной в пересчёте на тугрики: $P = 8e$, иначе всю нефть везли бы туда, где выручка выше. Внутренний спрос положителен при $P < 400$, а излишек для экспорта появляется, когда $\dfrac{P}{4} > 100 - \dfrac{P}{4}$, то есть при $P > 200$. Из $200 < 8e < 400$ получаем $e \in (25;\,50)$.

б) Издержки фирма платит тугриками, а прибыль хранит в долларах, поэтому её чистое предложение валюты равно $\dfrac{TC - TR_{vn}}{e}$, где $TR_{vn}$ — внутренняя выручка: если внутренней выручки на издержки не хватает, фирма продаёт доллары, а если её с избытком, то покупает, и формула одна и та же со знаком. Считаем по всем ста фирмам: $100\,TC = 100 \cdot \dfrac{P^2}{800} = \dfrac{P^2}{8} = 8e^2$, а $100\,TR_{vn} = P\left(100 - \dfrac{P}{4}\right) = 8e(100 - 2e) = 800e - 16e^2$. Отсюда $S(e) = \dfrac{8e^2 - 800e + 16e^2}{e} = 24e - 800$.

в) За пределами интервала картина другая. При $e \geqslant 50$ вся нефть уходит на экспорт, и фирмам нужно продать долларов ровно на оплату издержек: $S(e) = \dfrac{100\,TC}{e} = 8e$. При $e \leqslant 25$ экспорта нет вовсе, внутреннее равновесие даёт $P = 200$, $Q = 50$, $q = 0{,}5$, издержки ста фирм $100 \cdot 200 \cdot 0{,}5^2 = 5000$ и прибыль $50 \cdot 200 - 5000 = 5000$ тугриков, которые меняют на доллары, то есть $S(e) = -\dfrac{5000}{e}$. Собирая всё вместе, $S(e) = -\dfrac{5000}{e}$ при $e \leqslant 25$, $S(e) = 24e - 800$ при $e \in (25;\,50)$ и $S(e) = 8e$ при $e \geqslant 50$. Равновесие ищем на среднем участке: $24e - 800 = 480 - 8e$, откуда $32e = 1280$ и $e = 40$ — значение попадает в $(25;\,50)$, так что ветка выбрана верно.

г) Вся валютная выручка равна $8Q_{exp} = 8\left(\dfrac{P}{4} - \left(100 - \dfrac{P}{4}\right)\right) = 4P - 800 = 32e - 800$. Покупать доллары фирмам запретили, а продать они обязаны не меньше доли $\alpha$ этой выручки, поэтому при $e < 50$ предложение равно $S(e) = \max\{0;\ 24e - 800;\ \alpha(32e - 800)\}$. Предложение точно не упало, значит курс не поднимется выше прежних $40$, и участок $e > 50$ разбирать не нужно. В исходном равновесии фирмы добровольно продавали долю $\dfrac{24 \cdot 40 - 800}{32 \cdot 40 - 800} = \dfrac{160}{480} = \dfrac{1}{3}$ валютной выручки, поэтому при $\alpha \leqslant \dfrac{1}{3}$ требование государства ни к чему не обязывает и курс остаётся равным $40$. При $\alpha > \dfrac{1}{3}$ ограничение связывает, из $\alpha(32e - 800) = 480 - 8e$ получаем $e(32\alpha + 8) = 480 + 800\alpha$ и $e(\alpha) = \dfrac{60 + 100\alpha}{1 + 4\alpha}$.

д) Продажа нефти только за тугрики означает, что иностранцы сами идут на рынок и меняют на тугрики всю валютную выручку фирм целиком. Это в точности случай $\alpha = 1$, поэтому курс равен $e(1) = \dfrac{60 + 100}{1 + 4} = 32$ тугрика за доллар.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-21-22.pdf

Ищи ситуацию, где лишний ребёнок появился не по решению семьи, а по жребию природы.

а) Теория допускает любой знак, поэтому вопрос и приходится решать данными. Занятость матери может не измениться вовсе: семья живёт на доход мужа или родителей, и работать матери незачем; с ребёнком готовы сидеть няня или бабушка с дедушкой; в обществе или в самой семье приняты установки, по которым мать и так не работает; наконец, у неё такая работа, где продолжительность дня не регулируется. А может и вырасти: увеличившуюся семью надо на что-то содержать, и матери приходится зарабатывать больше. Раз возможны и снижение, и отсутствие эффекта, и рост, из одних рассуждений ответ не выводится.

б) Первое объяснение — пропущенная переменная, которая двигает сразу оба показателя. Например, благосостояние семьи: обеспеченная семья может позволить себе больше детей, и в ней же у матери меньше стимулов работать. Сюда же относятся карьерные предпочтения: женщина одновременно решает, сколько ей детей и сколько часов отдавать работе, так что корреляция отражает её предпочтения, а не влияние детей. Второе объяснение — обратная причинность: не дети снижают занятость, а наоборот, сначала женщина сокращает часы, у неё появляется время на воспитание, и семья решается ещё на одного ребёнка. Оба механизма дают ту же отрицательную корреляцию вообще без причинного влияния детей на занятость.

в) Нужен случайный толчок, который меняет число детей, но не зависит ни от характеристик женщины, ни от её решений. Такой эксперимент всё время ставит сама природа — это рождение двойни. Женщина, планировавшая одного ребёнка, получает сразу двоих, и вся разница в числе детей возникла не по её выбору. Поэтому здесь не работают ни пропущенные переменные (количество детей случайно), ни обратная причинность (занятость на исход беременности не влияла). Годятся и другие природные случайности: число детей, родившихся в результате процедуры ЭКО, или внезапная смерть ребёнка, не обусловленная характеристиками родителей. Обязательное условие — сопоставимость групп по всем прочим параметрам. Сама процедура оценки такая: берём женщин с одинаковыми возрастом, образованием, доходом и прочими характеристиками, у одной из них один ребёнок, у другой двойня, и разрыв в часах работы трактуем как причинный эффект дополнительного ребёнка. Не годятся сравнения, где число детей определяет сама семья: просто женщины с детьми против бездетных, приёмные дети или незапланированная беременность — в обычных условиях она не является чисто случайной, да и не каждая беременность заканчивается рождением ребёнка.

г) На тех же данных можно оценить, например, как число детей влияет на расходы семьи в расчёте на одного ребёнка: дополнительный ребёнок появился случайно, поэтому сравнение семей с двойней и с одним ребёнком даёт именно причинный эффект, а не отражение достатка семьи. Ответ на такой вопрос нужен для государственной политики поддержки рождаемости: от него зависит, какой должна быть выплата на второго и последующих детей, чтобы уровень жизни каждого ребёнка в семье не падал.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-21-22.pdf

Сначала выпиши, при каких парах зарплаты и бонуса Старику вообще выгодно выйти в море, а потом двигайся по границе этого условия: каждая лишняя монета бонуса стоит Старухе вдвое дешевле лишней монеты зарплаты.

а) Если Старик не ловит, он получает $U_0 = w$. Если ловит, исходы равновероятны, аренда стоит $5$ монет, а нехватку он потом возвращает лодочнику в двойном размере (под «суммой долга» понимаем именно недостающую часть).

При $w \geqslant 5$ денег на аренду хватает при любом исходе: $U_1 = \dfrac{w-5}{2} + \dfrac{w+b-5}{2} = w + \dfrac{b}{2} - 5$, поэтому $U_1 - U_0 = \dfrac{b}{2} - 5$ и ловить стоит при $b \geqslant 10$.

При $w < 5 \leqslant w + b$ неудача оставляет Старика с $w - 5 - (5 - w) = 2w - 10$, а удача — с $w + b - 5$. Тогда $U_1 = \dfrac{3w + b - 15}{2}$ и $U_1 - U_0 = \dfrac{w + b - 15}{2}$: ловить стоит при $w + b \geqslant 15$.

При $w + b < 5$ доплата удваивается в обоих исходах, $U_1 = 2w + b - 10$ и $U_1 - U_0 = w + b - 10 < 0$, так что ловить не стоит. Итог: Старик выходит в море ровно при $b \geqslant \max\{15 - w,\ 10\}$.

б) Выигрыш Старухи при ловле равен $\Pi_1 = \dfrac{12 - w - b}{2} - \dfrac{w}{2} = 6 - w - \dfrac{b}{2}$, и его надо максимизировать при ограничении $b \geqslant \max\{15 - w,\ 10\}$. Выражение убывает по $b$, поэтому ограничение выполняется как равенство: $b = \max\{15 - w,\ 10\}$. Подстановка даёт $\Pi_1 = \min\left\{\dfrac{-w-3}{2},\ 1 - w\right\}$ — правая часть убывает по $w$, значит максимум достигается при $w = 0$, откуда $b = 15$ и $\Pi_1 = -1{,}5$.

в) Полторы монеты убытка хуже нуля, который Старуха получит, если Старик никуда не поплывёт: при $w = b = 0$ он остаётся на берегу, выплат нет и $\Pi_0 = 0$. Значит, стимулировать ловлю ей невыгодно, и оптимален контракт $w = b = 0$; годится и любой контракт с $w = 0$ и $b < 15$ — он тоже не побуждает Старика выходить в море и даёт Старухе ровно ноль.

г) Когда действие наблюдаемо, платить можно и за сам выход в море. Чтобы Старик согласился выйти, его средний выигрыш должен быть не меньше $w$: $\dfrac{w+b_0}{2} + \dfrac{w+b_1}{2} - 5 \geqslant w$, то есть $b_0 + b_1 \geqslant 10$ (с учётом возможных доплат лодочнику это неравенство тем более обязано выполняться). Тогда $\Pi = \dfrac{12}{2} - w - \dfrac{b_0 + b_1}{2} \leqslant 1 - w \leqslant 1$, и единица достигается на контракте $(w, b_0, b_1) = (0,\ 5,\ 5)$: в обоих исходах Старик получает ровно $5$ монет, долга не возникает. Это лучше нуля, который даёт отказ от ловли, так что наблюдаемость усилия превращает убыток $-1{,}5$ в прибыль $1$. Других оптимумов нет: в оптимуме оба неравенства обращаются в равенства, $w = 0$ и $b_0 + b_1 = 10$, а при $(b_0, b_1) \neq (5, 5)$ один из бонусов меньше $5$, у Старика возникает долг с двойной платой, и Старухе пришлось бы его компенсировать.

Небольшая оговорка: в официальном разборе рассматривается и вторая трактовка условия, при которой не хватившему монет Старику приходится платить удвоенную всю аренду, то есть $10$ вместо $5$. Условие выхода в море там выглядит иначе (достаточно $b \geqslant 15$ либо пары $w \geqslant 5$, $b \geqslant 10$), но ответы пунктов б), в) и г) не меняются.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-9-tur2-final-21-22.pdf