ВсОШ по экономике 2023/24, заключительный этап, 9 класс, тур 1

В пункте г) сначала найди, при каких выпусках доля прибыли в выручке превышает половину, а потом вспомни, что налог по построению делает прибыль ровно половиной выручки.

а) Без налога прибыль фирмы равна $\pi(Q) = (50 - Q)Q - 10Q = (40 - Q)Q$. Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $Q = 20$, так что фирма выпускает $Q = 20$ единиц и получает прибыль $(40 - 20) \cdot 20 = 400$. Ответ: $Q = 20$.

б) Порог пройден там, где $(40 - Q)Q > 300$. Корни уравнения $(40 - Q)Q = 300$ — это $Q = 10$ и $Q = 30$, а раз парабола смотрит ветвями вниз, неравенство выполняется между ними, при $Q \in (10; 30)$. На этом участке прибыль после налога равна $(40 - Q)Q - 0{,}3\big((40 - Q)Q - 300\big) = 0{,}7(40 - Q)Q + 90$ — та же парабола, сжатая по вертикали и приподнятая, вершина осталась в $Q = 20$. Вне участка функция прежняя: она растёт при $Q \leqslant 10$ и убывает при $Q \geqslant 30$. Значит, максимум всё там же. Короткий путь к тому же выводу: прибыль после такого налога — возрастающая функция прибыли до налога, а такое преобразование точку максимума не сдвигает. Ответ: $Q = 20$.

в) Здесь при $Q \in (10; 30)$ прибыль равна $0{,}7(40 - Q)Q$, и на границах участка функция рвётся: $\pi(10) = \pi(30) = 300$ по построению, а в вершине $0{,}7 \cdot 400 = 280 < 300$. Значит, оптимум лежит в множестве $\{10,\ 20,\ 30\}$, и максимум $300$ дают сразу две точки — $Q = 10$ и $Q = 30$. По условию при безразличии фирма берёт меньший выпуск, поэтому ответ: $Q = 10$ (жюри принимало и $Q = 30$).

г) Сравним прибыль с половиной выручки: неравенство $\dfrac{(40 - Q)Q}{(50 - Q)Q} > 0{,}5$ сводится к $40 - Q > 0{,}5(50 - Q)$, то есть к $15 > 0{,}5Q$ и $Q < 30$. При $Q \geqslant 30$ налога нет и прибыль равна $(40 - Q)Q$ — на этом луче она убывает. При $Q < 30$ налог по построению срезает прибыль ровно до половины выручки, поэтому $\pi = 0{,}5(50 - Q)Q$. Это парабола с вершиной в $Q = 25$ (та же точка, что и максимум выручки) со значением $0{,}5 \cdot 25 \cdot 25 = 312{,}5$. В точке $Q = 30$ прибыль равна $300 < 312{,}5$, дальше только меньше. Ответ: $Q = 25$.

Итог по пунктам: а) $20$, б) $20$, в) $10$, г) $25$. Любопытно, что в последнем случае налог не сократил, а увеличил выпуск: сумма налога $T(Q)$ на участке обложения по $Q$ не растёт, поэтому обычного стимула сокращать производство у фирмы не возникает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-23-24.pdf

Подумай о скидке как о субсидии и вспомни, что субсидия делится между покупателем и продавцом.

Для всей задачи полезно держать в голове, что бизнес ищет баланс между доходом здесь и сейчас и доходом в длинной перспективе: скидка — это расход сегодня ради большей облагаемой комиссией базы завтра.

а) Подойдут любые три эффекта из списка: рост общего количества покупок; рост количества покупок одним пользователем; приток новых покупателей; приток новых продавцов; рост оборота, то есть суммы стоимостей всех проданных товаров; рост возвращаемости пользователей. Механизм у всех общий: площадка отбирает заказы и оборот у конкурентов, а покупатели и продавцы привыкают именно к ней. Денежная база, с которой берётся комиссия $10\,\%$, растёт, и хотя в краткосрочном периоде прибыль может просесть из-за расходов на скидки, в долгосрочном она, вероятно, вырастет — особенно если потом уменьшить размер скидки или увеличить комиссию.

б) Эластичность спроса по цене должна быть высокой по модулю. Тогда прирост количества заказов перекроет для компании снижение выручки с одного заказа, и прибыль вырастет. При низкой эластичности заказов прибавится мало, а платить за скидку придётся по каждому.

в) Нет, цена для потребителя снизится менее чем на $5\,\%$. У продавца появляется стимул немного поднять ранее установленную цену: часть этого повышения покупатель не почувствует, потому что её компенсирует маркетплейс. Продавцы такой возможностью пользуются, цена до скидки подрастает, и до потребителя доходит не вся скидка. Механика та же, что у субсидии в стандартных моделях: субсидия распределяется в некоторой пропорции между ценой потребителя и ценой производителя.

г) Скидка на первую покупку — самый дешёвый способ привести на площадку покупателя, который ей раньше вообще не пользовался. Скидка на четвёртую покупку — самый дешёвый способ поднять среднее количество покупок на одного пользователя: она помогает перешагнуть порог в три заказа и закрепить привычку, а вдобавок подталкивает совершать первые три заказа без скидки, то есть более маржинальные (человек тремя заказами берёт по паре носков, а четвёртым — ноутбук со скидкой). Скидка на все покупки даёт максимальный рост сразу по любой метрике: и числа покупок, и покупок на пользователя, и числа покупателей и продавцов, и оборота, и возвращаемости.

д) Нет, такая оценка некорректна: сравниваемые метрики несопоставимы. За время между замерами наступают праздники, меняется сезон, вступают в силу новые законы — всё это само по себе двигает поведение пользователей, и измеренная разница объясняется не только запуском скидок.

е) Нужен случайный эксперимент, он же АБ-тест: скидки включают только случайно выбранной половине пользователей (тестовая группа, или группа Б) и сравнивают метрики с контрольной группой А без скидок. Пользователи двух групп в среднем одинаковые, поэтому единственное, чем объясняется разница метрик, — наличие скидки. Случайность назначения здесь принципиальна: если вместо этого создать два идентичных маркетплейса и включить скидки только на одном, покупатели просто уйдут на площадку со скидками и измеренный эффект окажется сильно завышен. Годится и свитчбэк-тестирование: по чётным дням скидка доступна всем, по нечётным — никому, и сравниваются метрики чётных и нечётных дней.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-23-24.pdf

Вспомни, на какой срок банк берёт деньги у вкладчиков и на какой выдаёт кредиты.

а) Кривая растёт из-за премий за риск и за ликвидность. Чем дальше горизонт, тем выше неопределённость относительно платёжеспособности заёмщика и тем больше вероятность, что долг не вернут; эту растущую вероятность приходится компенсировать всё большей надбавкой к ставке — так в доходностях появляется премия за риск. По той же логике работает премия за ликвидность: чем дольше срок, тем выше вероятность, что деньги понадобятся раньше, а возможностей быстро их изъять всё меньше, и за отказ от быстрого доступа к своим средствам инвестор требует доплату. Поэтому и по длинным депозитам банки предлагают более высокий процент.

б) Работает арбитраж. Если короткие доходности упали, а длинные остались прежними, появляется возможность заработать: занимать по относительно заниженной короткой ставке и давать в долг по относительно завышенной длинной. Рынок выходит из равновесия, и агенты массово пользуются этой возможностью. Но спрос на короткие займы толкает короткие ставки вверх, а рост предложения длинных заёмных средств толкает длинные ставки вниз — и так до тех пор, пока возможность получить гарантированную прибыль не исчезнет. В новом равновесии длинные ставки тоже оказываются ниже: кривая сдвигается вниз целиком.

в) При падении доходности финансовых активов инвестиции в реальный сектор становятся сравнительно привлекательнее. Средства перетекают туда, предложение заёмных средств в реальном секторе растёт, доходность в нём начинает снижаться. Значит, больше проектов проходят по доходности: их NPV растёт и становится положительным, они начинают финансироваться, и инвестиции увеличиваются.

г) Инвертированная кривая — индикатор того, что инвесторы ожидают кризиса, а не его причина. Механизм такой: при негативных ожиданиях относительно недалёкого будущего инвесторы отказываются от краткосрочных инструментов и переходят в долгосрочные, чтобы на период кризиса обезопасить свои средства. Спрос на короткие бумаги падает, на длинные растёт, цены коротких падают, а длинных растут — доходности двигаются в обратную сторону: короткие вырастают, длинные снижаются. Вдобавок, ожидая рецессии, агенты рассчитывают, что ЦБ будет снижать ключевую ставку, а вместе с ней упадут и остальные ставки, поэтому длинные доходности уходят ниже коротких уже сейчас. И те же самые пессимистичные ожидания работают как самосбывающееся пророчество: фирмы сокращают инвестиции и производство, домохозяйства откладывают покупки товаров длительного пользования, совокупный спрос и выпуск падают — спад действительно наступает. То есть у кризиса и у инверсии одна общая причина, ожидания, поэтому инверсия кризис и предсказывает.

д) Основной бизнес банка — трансформация сроков (maturity transformation): пассивы у него короткие (вклады до года, счета до востребования), а активы длинные (ипотека, кредиты бизнесу на годы). Зарабатывает банк на разнице между ставкой длинного актива и ставкой короткого пассива, и при нормальной возрастающей кривой эта разница положительна. Инверсия переворачивает картину: короткие ставки оказываются выше длинных, платить вкладчикам приходится дороже, а выданные раньше длинные кредиты приносят прежний, теперь уже относительно низкий процент. Маржа сжимается, прибыль падает, возможны проблемы с ликвидностью вплоть до банкротства. Добавим сюда ожидания: если вкладчики верят, что инверсия предвещает кризис, они могут начать забирать деньги, и банк столкнётся с набегом.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-23-24.pdf

Считай не расстояния, а длины дорог по обе стороны от магазина, и отдельно разбери случай, когда «Лидер» занимает сам перекрёсток.

Общее соображение. Игра здесь с фиксированной суммой: доли фирм в сумме дают единицу, поэтому «Лидеру» хорошо ровно то, что плохо «Последователю». Отсюда удобный приём: чтобы отвергнуть какое-то размещение «Лидера», достаточно указать одно выгодное для «Последователя» действие, а не искать его наилучший ответ — при наилучшем ответе «Лидеру» будет только хуже.

Суммарная длина дорог равна $13 + x$, где тройка — периметр треугольника $AFE$ у точки $A$. Половине рынка отвечает длина $(13 + x)/2$. Треугольник из-за малости сторон особой роли не играет: важна лишь сумма длин его сторон, и точка $A$ никогда не работает так же, как перекрёсток $B$.

а) При $x = 9$ вся сеть имеет длину $3 + 9 + 8 + 2 = 22$, то есть половина рынка — это длина $11$. Точка на $AB$ на расстоянии $1$ км от $B$ как раз делит сеть пополам: со стороны $C$ и $D$ от неё $8 + 2 + 1 = 11$, со стороны $A$ — $8 + 3 = 11$. Если «Лидер» встанет в неё, «Последователь» пристроится впритык слева или справа, и рынок разделится ровно пополам, доля «Лидера» — $1/2$. Любое другое размещение хуже: тогда «Последователь» сам займёт эту делящую точку, получит весь свой фланг и ещё часть потребителей между магазинами, то есть строго больше половины, а «Лидеру» останется меньше половины. Ответ: на участке $AB$ на расстоянии $1$ км от точки $B$.

б) Ключевое наблюдение то же: если на одном из трёх отростков перекрёстка $B$ есть точка, по обе стороны от которой ровно по половине жителей, «Лидер» встанет именно в неё и получит ровно $1/2$. Посмотрим, когда такая точка существует. На $BD$ её нет никогда, потому что $(13 + x)/2 > 2$. На $BC$ она есть при $(13 + x)/2 < 8$, то есть при $x < 3$, и отстоит от $B$ на $(3 - x)/2$. На $AB$ она есть при $3 < (13 + x)/2 < 3 + x$, то есть при $x > 7$, и отстоит от $B$ на $(x - 7)/2$. В обоих случаях доля «Лидера» равна $1/2$, а обоснование дословно повторяет пункт а).

При $3 \leqslant x \leqslant 7$ делящей точки нет, и «Лидер» встаёт прямо на перекрёсток $B$. От него отходят куски длиной $8$ (к $C$), $2$ (к $D$) и $x + 3$ (к $A$ вместе с треугольником). «Последователь» пристроится впритык со стороны самого длинного куска и заберёт его: при $x < 5$ это $BC$, и «Лидеру» остаётся $2 + 3 + x = 5 + x$; при $x > 5$ это $BA$ с треугольником, и «Лидеру» остаётся $2 + 8 = 10$; при $x = 5$ «Последователю» оба варианта равнозначны, и «Лидеру» тоже безразлично. Отклоняться от $B$ «Лидеру» невыгодно: сойдя на самый длинный отросток, он столкнётся с «Последователем», вставшим в саму точку $B$, и получит длину меньше этого отростка, тогда как до отклонения имел не меньше неё.

Итоговая доля «Лидера»: $1/2$ при $x < 3$; $\dfrac{5 + x}{13 + x}$ при $3 \leqslant x < 5$; $\dfrac{10}{13 + x}$ при $5 \leqslant x < 7$; снова $1/2$ при $x \geqslant 7$. Первое выражение равно $1 - \dfrac{8}{13 + x}$ и растёт по $x$, второе убывает, значит максимум достигается на стыке, при $x = 5$, и равен $\dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556$ — больше половины.

Ответ: «Лидер» размещается на $BC$ на расстоянии $(3 - x)/2$ от $B$ при $x < 3$; в точке $B$ при $3 \leqslant x \leqslant 7$; на $AB$ на расстоянии $(x - 7)/2$ от $B$ при $x > 7$. Рыночная доля максимальна при $x = 5$ и равна $5/9$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/final/econ/sol-econ-9-tur1-final-23-24.pdf