Кружок 102 · олимпиады по экономикеПлатформа

ВсОШ по экономике 2021/22, заключительный этап, 11 класс, тур 2

4 задачи: условия, ответы и подробные решения. Для задач с развёрнутым решением — критерии оценивания, как у жюри.

Проходные баллы — по итогам: Россия: Протокол №3 жюри с рейтинговой таблицей (PDF, hse.ru). В других регионах пороги свои. Все проходные баллы по годам.

Сначала реши сам: на платформе этот тур открыт бесплатно, ответы проверяются сразу, разбор открывается после верного ответа.

Решить тур на платформе

Задача 5. Один магазин на две деревни

12 баллов · развёрнутое решение

Жители деревни Вилларибо расселены равномерно по отрезку $[0; 1]$ числовой прямой, жители Виллабаджо — равномерно по отрезку $[2; 3]$. Равномерно значит вот что: на любом куске длины $\alpha \leqslant 1$ внутри своего отрезка живёт доля $\alpha$ населения деревни.

В округу приехал владелец торговой сети «Кукумбрикс» и объявил, что построит здесь первый и единственный магазин, а место для него — любую точку прямой $(-\infty; +\infty)$ — выберут сами жители. Каждый житель хочет, чтобы магазин оказался как можно ближе к его дому.

Общие географические вопросы деревни решают механизмом «посередине между делегатами». Каждая деревня выдвигает одного делегата. Если дом делегата Вилларибо стоит в точке с координатой $a$, а дом делегата Виллабаджо — в точке с координатой $b$, то магазин строят в точке $\dfrac{a+b}{2}$. Делегата, живущего в точке $a$, дальше так и называем — делегат $a$.

а) (2 балла) Изобрази на прямой $(-\infty; +\infty)$ множество всех точек, в которых магазин может быть построен хотя бы при какой-нибудь паре делегатов.

б) (2 балла) Докажи, что жителям Вилларибо для выбора своего делегата не нужно знать делегата Виллабаджо: если житель Вилларибо $x$ предпочитает делегата $a_1$ делегату $a_2$ при делегате $b_1$ от Виллабаджо, то он предпочтёт $a_1$ делегату $a_2$ и при любом другом делегате $b_2$ от Виллабаджо.

в) (3 балла) В этом и только в этом пункте считаем, что каждая деревня выдвигает делегатом победителя по Кондорсе — такого своего жителя, которого при голосовании против любого другого жителя этой же деревни предпочтёт не меньше половины деревни (корректность такого определения следует из предыдущего пункта). Где построят магазин?

г) (3 балла) Механизм принятия решений называют манипулируемым, если найдётся такая пара делегатов, при которой хотя бы одному из них выгодно скрыть настоящее расположение своего дома и назвать для принятия решения другую координату. Докажи, что описанный механизм манипулируем.

д) (2 балла) Предложи какой-нибудь механизм принятия решений, который по паре делегатов $a$ и $b$ выдаёт место для магазина и при этом не является манипулируемым.

Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.

Подсказка

Пойми, в какую сторону каждая деревня хочет сдвинуть магазин, — и станет ясно, какой из краёв отрезка выберут делегатом.

Решение

а) Координата делегата Вилларибо лежит в $[0; 1]$, координата делегата Виллабаджо — в $[2; 3]$, поэтому $1 \leqslant \dfrac{a+b}{2} \leqslant 2$: за пределы отрезка $[1; 2]$ магазин уйти не может. Наоборот, любая точка $x \in [1; 2]$ достижима: возьми $a = x - 1$ и $b = x + 1$, тогда $a \in [0; 1]$, $b \in [2; 3]$ и середина как раз равна $x$. Ответ: отрезок $[1; 2]$.

б) Из пункта а) следует, что магазин всегда оказывается не левее точки $1$, то есть правее (или не левее) дома любого жителя Вилларибо. Значит любой житель Вилларибо хочет сдвинуть магазин как можно левее. Сравнивая двух кандидатов $a_1$ и $a_2$ при делегате $b$ от соседей, он сравнивает $\dfrac{a_1+b}{2}$ и $\dfrac{a_2+b}{2}$: координата $b$ входит в обе середины одинаково, поэтому левее окажется магазин при том кандидате, который сам живёт левее. Это рассуждение годится для любой пары $a_1$, $a_2$ и не зависит от $b$: житель $x$ предпочтёт $a_1$ кандидату $a_2$ ровно тогда, когда $a_1 < a_2$, при любом делегате от Виллабаджо.

в) Раз все жители Вилларибо из двух кандидатов выбирают более левого, победителем по Кондорсе становится житель точки $0$: против любого другого кандидата $a > 0$ за него голосует вся деревня. Симметрично магазин всегда оказывается не правее точки $2$, все жители Виллабаджо хотят сдвинуть его правее и выбирают жителя точки $3$. Магазин построят в точке $\dfrac{0+3}{2} = 1{,}5$.

г) Возьми пару делегатов $a = 1$ и $b = 2$: магазин встанет в точке $\dfrac{1+2}{2} = 1{,}5$. Делегату $a$ выгодно скрыть свой дом и назвать координату $a' = 0$: при том же $b = 2$ магазин окажется в точке $1$, то есть ровно у него дома, и это для него лучше, чем $1{,}5$. Значит механизм манипулируем.

д) Годится любой механизм, не зависящий от заявленных координат, например $f(a, b) = 0$: магазин при любых делегатах строится в точке $0$. Врать о своём доме бессмысленно — результат от заявления делегата не меняется, поэтому такой механизм неманипулируем.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-21-22.pdf

Критерии оценивания
  • 2 б. Пункт а): назван ответ — отрезок $[1; 2]$ (1 балл) и показано, что любая его точка достижима, например парой $a = x - 1$, $b = x + 1$, а за его пределы середина выйти не может (ещё 1 балл)
  • 2 б. Пункт б): доказано, что житель Вилларибо всегда предпочитает более левого делегата, причём перебраны все пары $a_1$ и $a_2$, а не только случай $a_1 = 0$; за неполный перебор снимается 1 балл
  • 3 б. Пункт в): доказано, что все жители Вилларибо предпочитают кандидата из точки 0 (1 балл), что все жители Виллабаджо предпочитают кандидата из точки 3 (1 балл), и при найденных точках 0 и 3 назван ответ — магазин в точке 1,5 (1 балл); правильный ответ без решения не засчитывается
  • 3 б. Пункт г): приведён конкретный пример пары делегатов и выгодного вранья (например, $a = 1$, $b = 2$ и заявленное $a = 0$) и доказано, что делегат от этого выигрывает; оценка бинарна — 3 или 0 баллов
  • 2 б. Пункт д): приведена конкретная функция $f(a, b)$ и доказано, что механизм неманипулируем (например, постоянный механизм); оценка бинарна, а при нескольких примерах хотя бы один некорректный обнуляет пункт

Задача 6. Фискальная политика и неравенство

12 баллов · развёрнутое решение

В закрытой экономике живут две равные по численности группы домохозяйств, доходы внутри каждой группы распределены равномерно. До налогов и трансфертов первая группа получает 20 % ВВП страны, а вторая — 80 %, и эта пропорция сохраняется при любом уровне ВВП.

Суммарное потребление каждой из групп зависит от её располагаемого дохода $Y_d$ (дохода с учётом налогов и трансфертов) одинаково:

$$C(Y_d) = \begin{cases} 40 + 0{,}75\,Y_d, & Y_d < 340; \\ 210 + 0{,}25\,Y_d, & Y_d \geqslant 340. \end{cases}$$

Автономные инвестиции равны $75$. Изначально госзакупки, налоги и трансферты нулевые. Потенциальный ВВП равен $1000$.

а) (3 балла) Определи равновесный ВВП и располагаемый доход каждой из групп в отсутствие вмешательства государства.

б) (4 балла) Пусть государство перераспределяет часть дохода второй группы в пользу первой с помощью аккордного налога $T$ и трансферта $Tr$. Бюджет сбалансирован, госзакупок нет. На какое наибольшее количество денежных единиц государство сможет увеличить ВВП такой политикой? Сможет ли оно так достичь потенциального ВВП?

в) (2 балла) Приведи содержательное экономическое объяснение того, почему в этой модели перераспределительная политика способна поднять ВВП.

г) (3 балла) Пусть кроме налога $T$ и трансферта $Tr$ государство может ещё и делать госзакупки $G$, а бюджет по-прежнему должен быть сбалансирован. Определи, какие значения $T$, $Tr$, $G$ следует ввести государству, чтобы коэффициент Джини, характеризующий неравенство располагаемых доходов групп, был минимален, а ВВП при этом достиг потенциального уровня.

Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.

Подсказка

Сбалансированный бюджет означает равенство налога и трансферта; ищи, до какого момента группы остаются по разные стороны излома функции потребления.

Решение

а) Равновесие задаётся условием $Y = C(0{,}2Y) + C(0{,}8Y) + 75$. Проверим гипотезу, что бедная группа сидит на левом куске функции потребления, а богатая — на правом: $Y = 40 + 0{,}75 \cdot 0{,}2Y + 210 + 0{,}25 \cdot 0{,}8Y + 75 = 325 + 0{,}35Y$, откуда $Y = \dfrac{325}{0{,}65} = 500$. Доходы групп $0{,}2 \cdot 500 = 100$ и $0{,}8 \cdot 500 = 400$, и $100 < 340 < 400$ — гипотеза подтвердилась. Корень единственный: перепишем условие как $Y - C(0{,}2Y) - C(0{,}8Y) = 75$; коэффициент при $Y$ в левой части при любом $Y$ положителен (он равен $1 - 0{,}2m_1 - 0{,}8m_2$, где каждая склонность $m$ не больше $0{,}75$), то есть левая часть строго возрастает и пересекает уровень 75 один раз. Ответ: $Y = 500$, располагаемые доходы 100 и 400.

б) Сбалансированный бюджет без госзакупок означает $T = Tr$, так что располагаемые доходы равны $Y_{d1} = 0{,}2Y + Tr$ и $Y_{d2} = 0{,}8Y - Tr$. Разберём все четыре расположения групп относительно излома $Y_d = 340$.

Обе группы слева: $C = 80 + 0{,}75Y$, откуда $Y = 80 + 0{,}75Y + 75$ и $Y = 620$ независимо от $Tr$; условия $124 + Tr < 340$ и $496 - Tr < 340$ дают непустой промежуток $156 < Tr < 216$, то есть такой режим возможен.

Обе группы справа: $C = 420 + 0{,}25Y$, откуда $Y = 660$; но условия $132 + Tr \geqslant 340$ и $528 - Tr \geqslant 340$ требуют одновременно $Tr \geqslant 208$ и $Tr \leqslant 188$ — система несовместна, случай отпадает.

Первая слева, вторая справа (исходная конфигурация): $C = 250 + 0{,}35Y + 0{,}5Tr$, откуда $Y = 500 + \dfrac{10}{13}Tr$ — ВВП растёт по трансферту. Ограничения: $0{,}2Y + Tr = 100 + \dfrac{15}{13}Tr < 340$ даёт $Tr < 208$, а $0{,}8Y - Tr = 400 - \dfrac{5}{13}Tr \geqslant 340$ даёт $Tr \leqslant 156$. Максимум при $Tr = 156$: $Y = 500 + \dfrac{10}{13} \cdot 156 = 620$.

Первая справа, вторая слева (бедные стали богаче богатых): $C = 250 + 0{,}65Y - 0{,}5Tr$, откуда $Y = \dfrac{6500}{7} - \dfrac{10}{7}Tr$ — функция убывает по $Tr$, а минимально допустимое здесь $Tr = 216$, что снова даёт $Y = 620$.

Выше 620 ВВП не поднимается, поэтому наибольший прирост равен $620 - 500 = 120$ ден. ед., а потенциальный ВВП 1000 такой политикой недостижим.

в) Предельная склонность к потреблению у бедной группы равна $0{,}75$, у богатой — $0{,}25$. Изъятый у богатых рубль сокращает их потребление лишь на 25 копеек, а переданный бедным рубль увеличивает их потребление на 75 копеек. Совокупный спрос при том же ВВП растёт, а дальше срабатывает мультипликатор и растёт сам выпуск. Заметь: важен не разброс склонностей сам по себе, а то, что деньги переходят к группе с более высоким $mpc$.

г) Группы равны по численности, поэтому минимальное значение коэффициента Джини — ноль, и достигается оно при равных располагаемых доходах. Ищем $T$, $Tr$, $G$, при которых доходы равны, а $Y = 1000$.

Случай «обе группы слева от излома» даёт систему: основное тождество $1000 = 40 + 0{,}75(200 + Tr) + 40 + 0{,}75(800 - T) + 75 + G$, сбалансированность бюджета $T = G + Tr$ и равенство доходов $200 + Tr = 800 - T$. Решение: $T = 490$, $G = 380$, $Tr = 110$. Располагаемые доходы при этом по $310 < 340$ — обе группы действительно слева, гипотеза верна.

Случай «обе группы справа» даёт располагаемый доход 330, что меньше 340 и противоречит самому предположению, так что он отпадает.

Ответ: $T = 490$, $Tr = 110$, $G = 380$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-21-22.pdf

Критерии оценивания
  • 3 б. Пункт а): найден равновесный ВВП $Y = 500$ (1 балл), найдены располагаемые доходы групп 100 и 400 (1 балл), доказано, что других корней нет — например разбором всех случаев или монотонностью левой части (1 балл); арифметическая ошибка минус 1 балл
  • 4 б. Пункт б): явно сформулировано, что сбалансированный бюджет без госзакупок означает $T = Tr$ (1 балл), и рассмотрены все четыре случая расположения групп относительно излома $Y_d = 340$ с выходом на верный ответ «прирост 120 ден. ед. до $Y = 620$, потенциальный ВВП недостижим» (3 балла); за пропущенный или ошибочно разобранный случай минус 1 балл за каждый
  • 2 б. Пункт в): указано, что предельная склонность к потреблению у бедной группы (0,75) выше, чем у богатой (0,25), и объяснено, что поэтому переброска дохода вниз увеличивает совокупное потребление, а через мультипликатор и ВВП; ответ без сопоставления склонностей к потреблению не засчитывается
  • 3 б. Пункт г): сказано, что минимальный (нулевой) коэффициент Джини достигается при равенстве располагаемых доходов групп, корректно разобраны случаи «обе группы слева от излома» и «обе справа» с отбрасыванием второго и получен ответ $T = 490$, $G = 380$, $Tr = 110$; арифметическая ошибка минус 1 балл, ответ без идеи о равенстве доходов — 0 баллов

Задача 7. Размер семьи и предложение труда

12 баллов · развёрнутое решение

Экономисты изучают поведение людей почти в любом контексте, и экономика семьи — один из важных разделов науки. Центральный вопрос этого раздела звучит так: верно ли, что увеличение числа детей в семье приводит — именно в смысле причинно-следственной связи — к снижению предложения труда их матери? Обсуждению исследований этого вопроса и посвящена задача.

а) (2 балла) Объясни, почему ответ на этот вопрос неочевиден: почему увеличение числа детей может, во-первых, вообще не повлиять на предложение труда матери, а во-вторых, даже увеличить его.

б) (4 балла) Допустим, в статистике видна отрицательная корреляция между числом детей у женщины и её предложением труда: без детей она работает в среднем 40 часов в неделю, с одним ребёнком — 30, с двумя — 25, с тремя и более — 20 часов. Объясни, почему отсюда ещё не следует, что именно рост числа детей является причиной снижения предложения труда. Приведи два разных объяснения.

в) (5 баллов) В 2021 году премию Банка Швеции по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля присудили за развитие метода естественных экспериментов, который позволяет получить ответы на исследовательские вопросы там, где обычный эксперимент поставить невозможно. Метод опирается на то, что часть людей подвергается случайному воздействию прямо по ходу жизни, естественным образом, и это воздействие не связано с их собственными характеристиками; сравнив подвергшихся с неподвергшимися, можно судить о причинности так, как если бы эксперимент ставили мы сами. Какой естественный эксперимент позволяет ответить на обсуждаемый в задаче вопрос? Объясни, как этот эксперимент работает. Подсказка: такой эксперимент постоянно ставит сама природа.

г) (1 балл) Вооружившись данными эксперимента из предыдущего пункта, можно ответить и на другие важные исследовательские вопросы. Приведи пример такого вопроса и объясни, почему важно знать на него ответ.

Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.

Подсказка

Нужно воздействие, которое меняет число детей помимо воли семьи, — подумай, какое такое воздействие постоянно устраивает сама природа.

Решение

а) Не повлиять рост числа детей может по нескольким причинам: семья достаточно обеспечена (за счёт мужа или родителей) и матери просто незачем выходить на работу; с ребёнком сидит няня или бабушка с дедушкой; культурные установки в обществе или в самой семье таковы, что женщина не работает в любом случае; работа матери не допускает регулировать продолжительность рабочего дня. Увеличить предложение труда рост числа детей может через простую необходимость больше зарабатывать: выросшую семью надо содержать.

б) Корреляция сама по себе причинности не доказывает, и мешают ей два разных механизма.

Пропущенная переменная. Есть фактор, который влияет сразу и на число детей, и на часы работы. Например, благосостояние семьи: обеспеченные семьи могут позволить себе больше детей, и в них же у женщины меньше стимулов работать. Или карьерные предпочтения: женщина одновременно и по одним и тем же соображениям решает, сколько работать и сколько иметь детей.

Обратная причинность. Стрелка может смотреть в другую сторону: сначала женщина сокращает предложение труда, у неё освобождается время, которое можно посвятить детям, и семья решается ещё на одного ребёнка. Наблюдаемая связь та же, а причина и следствие поменялись местами.

в) Нужно воздействие, которое меняет число детей и при этом случайно — не зависит ни от характеристик женщины, ни от её планов по работе. Тогда пропущенных переменных нет (число детей не выбиралось) и обратной причинности нет (по той же причине).

Такой эксперимент ставит сама природа — это рождение двойни. Женщина планировала одного ребёнка, а получила двоих, и вся разница в числе детей объясняется чистой случайностью, а не решением родителей. Годятся и близкие сюжеты: число детей, родившихся в результате ЭКО, или внезапная смерть ребёнка, не связанная с характеристиками родителей. Важно при этом контролировать, чтобы по всем прочим параметрам (возраст, образование, доход, регион) сравниваемые женщины были сопоставимы.

Сама процедура оценки: берём похожих по характеристикам женщин, у одной из которых один ребёнок, а у другой двойня, и сравниваем их предложение труда. Разница в часах и есть причинный эффект дополнительного ребёнка.

Что естественным экспериментом не является: сравнение женщин с разным числом детей без случайного воздействия (это та же голая корреляция), сравнение женщин с детьми и без них, изучение незапланированных детей (не всякая беременность приводит к рождению, да и «незапланированность» человек оценивает сам), приёмные дети (усыновление — сознательный выбор). Сравнение бесплодных женщин с женщинами с детьми принимается только с оговорками: обе группы изначально хотели детей и о бесплодии не знали.

г) На тех же данных можно оценить, например, как число детей влияет на расходы семьи в расчёте на одного ребёнка. Знать ответ важно для планирования государственной политики поддержки рождаемости: размер выплат на второго и третьего ребёнка стоит назначать, понимая, как семья на самом деле перераспределяет расходы при появлении ещё одного ребёнка.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-21-22.pdf

Критерии оценивания
  • 2 б. Пункт а): по 1 баллу за каждый подвопрос — назван механизм, при котором число детей не влияет на предложение труда матери (высокий достаток семьи, бабушка или няня, негибкий график работы, культурные установки), и механизм, при котором оно растёт (возросшую семью надо содержать); повторённый дважды аргумент засчитывается один раз
  • 4 б. Пункт б): по 2 балла за каждое из двух разных объяснений с расписанным механизмом — пропущенная переменная (достаток семьи или карьерные установки женщины влияют сразу и на число детей, и на часы работы) и обратная причинность (сокращение работы освобождает время и ведёт к решению завести ещё ребёнка); формальное упоминание пропущенных переменных или обратной причинности без привязки к задаче — 1 балл
  • 5 б. Пункт в): 3 балла за верный пример случайного воздействия, меняющего число детей (рождение двойни, число детей после ЭКО), с обязательной оговоркой, что сравниваемые женщины должны быть сопоставимы по прочим характеристикам, и 2 балла за описание самой процедуры оценки — сравнение похожих женщин с одним ребёнком и с двойней; за второй, неверный пример естественного эксперимента штраф 3 балла
  • 1 б. Пункт г): приведён другой исследовательский вопрос, который решается на данных того же эксперимента и связан с числом детей (например, влияние числа детей на расходы семьи в расчёте на одного ребёнка), и объяснено, зачем важно знать на него ответ

Задача 8. У самого синего моря

12 баллов · развёрнутое решение

Старуха посылает Старика к синему морю за золотой рыбкой, которую сама она ценит в 12 монет; больше рыбка никому не нужна. Старуха обещает Старику зарплату $w$ монет за поход к морю и сверх того бонус $b$ монет, если он принесёт рыбку. Эти обещания она обязана исполнить. Узнав $w$ и $b$, Старик выбирает одно из двух действий:

Аренда лодки стоит 5 монет и платится уже после того, как получены все выплаты от Старухи. Если выплат на аренду не хватит, Старик отдаст лодочнику сумму долга позже — когда у него появятся монеты (предположим, что когда-нибудь это произойдёт), — но в двойном размере.

Старуха не видит, что Старик делает у моря. Она выбирает неотрицательные $w$ и $b$ так, чтобы максимизировать свой усреднённый выигрыш $\Pi$ — ценность рыбки, если Старик её поймает, за вычетом всех выплат Старику. Например, если Старуха рассчитывает, что Старик попробует ловить, её выигрыш равен $\Pi = \dfrac{1}{2}(12 - w - b) + \dfrac{1}{2}(-w)$. Старик, видя $w$ и $b$, выбирает действие, максимизируя свои усреднённые выплаты за вычетом того, что придётся отдать лодочнику; усреднение по тем же шансам. Если Старику безразлично, ловить или нет, он ловит.

а) (3 балла) Найди оптимальное действие Старика при заданных $w, b \geqslant 0$.

б) (3 балла) Предположим, что Старуха хочет, чтобы Старик ловил рыбку. С учётом ответа предыдущего пункта найди оптимальные для неё $w$ и $b$.

в) (2 балла) А действительно ли Старуха хочет, чтобы Старик ловил рыбку? Как устроен оптимальный контракт $(w, b)$ с учётом ответа на этот вопрос?

г) (4 балла) Предположим теперь, что Старуха видит, что Старик делает у моря, и может поставить бонус $b \geqslant 0$ в зависимость от этого: выходил в море на лодке и поймал — $b = b_1$, выходил, но не поймал — $b = b_0$. Теперь Старуха предлагает Старику контракт $(w, b_0, b_1)$. Какой контракт будет для неё оптимальным?

Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.

Подсказка

Сначала выпиши условие, при котором Старику выгоднее ловить, — оно распадается на случаи по тому, хватает ли зарплаты на аренду лодки.

Решение

а) Под «суммой долга» понимаем ту часть арендной платы, которой Старику не хватило (это основная трактовка жюри). Если Старик не ловит, он получает только зарплату: $U_0 = w$.

Если ловит, надо разобрать три случая.

При $w \geqslant 5$ монет хватает на лодку в любом исходе: $U_1 = \dfrac{w-5}{2} + \dfrac{w+b-5}{2} = w + \dfrac{b}{2} - 5$, и $U_1 - U_0 = \dfrac{b}{2} - 5$, то есть ловить стоит при $b \geqslant 10$.

При $w < 5 \leqslant w + b$ в случае неудачи не хватает $5 - w$, и эта недостача возвращается вдвойне: Старик отдаёт лодочнику имеющиеся $w$ монет и позже ещё $2(5 - w)$, так что исход неудачи равен $w - w - 2(5 - w) = 2w - 10$. Тогда $U_1 = \dfrac{2w-10}{2} + \dfrac{w+b-5}{2} = \dfrac{3w+b-15}{2}$, и после приведения $U_1 - U_0 = \dfrac{w+b-15}{2}$: ловить стоит при $w + b \geqslant 15$ (неравенство нестрогое, потому что при безразличии Старик ловит).

При $w + b < 5$ не хватает в обоих исходах, и $U_1 - U_0 = w + b - 10 < 0$ — ловить не стоит никогда.

Итог: Старик выходит в море тогда и только тогда, когда $b \geqslant \max\{15 - w,\ 10\}$.

б) Выигрыш Старухи, если Старик ловит, равен $\Pi_1 = \dfrac{12-w-b}{2} + \dfrac{-w}{2} = 6 - w - \dfrac{b}{2}$. Он убывает по $b$, поэтому ограничение из пункта а) выполняется как равенство: $b = \max\{15-w,\ 10\}$. Подставляя, получаем $\Pi_1 = \min\left\{\dfrac{-w-3}{2},\ 1 - w\right\}$. Обе ветви убывают по $w$, значит $w = 0$ и $b = 15$.

Короче то же самое: необходимое условие выхода в море — $w + b \geqslant 15$; в прибыли Старухи коэффициент при $w$ равен $-1$, а при $b$ равен $-\tfrac12$, поэтому всю сумму выгодно перенести в бонус, а $w$ обнулить. Пара $(0; 15)$ удовлетворяет и второму ограничению $b \geqslant 10$.

в) При контракте $(0; 15)$ выигрыш Старухи равен $\Pi_1 = 6 - 0 - 7{,}5 = -1{,}5$, то есть она в минусе. Контракт $w = b = 0$ даёт ей ровно $0$: Старик не ловит, но и платить не за что. Значит стимулировать ловлю невыгодно, и оптимален любой контракт, при котором Старик не выходит в море и Старухе ничего не стоит: $w = 0$ и любой $b < 15$.

г) Чтобы Старику было не хуже ловить, чем сидеть на берегу, нужно $\dfrac{w+b_0}{2} + \dfrac{w+b_1}{2} - 5 \geqslant w$, то есть $b_0 + b_1 \geqslant 10$; если вдобавок возникает долг лодочнику, требование только ужесточается. При выполненном неравенстве выигрыш Старухи равен $\Pi = \dfrac{12}{2} - w - \dfrac{b_0+b_1}{2} \leqslant 1 - w \leqslant 1$.

Верхняя граница $1$ достигается контрактом $(w, b_0, b_1) = (0;\ 5;\ 5)$: бонус ровно покрывает аренду в обоих исходах, долг перед лодочником не возникает, компенсировать его не приходится. Это выгоднее, чем не стимулировать ловлю (там выигрыш нулевой).

Других оптимумов нет: в оптимуме оба неравенства обращаются в равенства, то есть $w = 0$ и $b_0 + b_1 = 10$; если при этом $(b_0, b_1) \neq (5, 5)$, то один из бонусов меньше 5, у Старика возникают дополнительные расходы на удвоенный долг, и Старухе приходится их компенсировать, из-за чего её прибыль падает. Ответ: $(0;\ 5;\ 5)$. Наблюдаемость действия превратила убыток $-1{,}5$ в прибыль $1$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-21-22.pdf

Критерии оценивания
  • 3 б. Пункт а): выписаны выигрыши Старика при каждом действии и каждом исходе с учётом удвоенного долга лодочнику (1 балл), выписаны усреднённые по успеху и неудаче выигрыши (1 балл), получено правило «ловить тогда и только тогда, когда $b \geqslant \max\{15 - w, 10\}$» (1 балл)
  • 3 б. Пункт б): выписана задача максимизации ожидаемой прибыли Старухи при ограничении из пункта а) (1 балл) и решена — установлено, что ограничение выполняется как равенство $b = \max\{15 - w, 10\}$ (1 балл) и получен ответ $w = 0$, $b = 15$ (1 балл)
  • 2 б. Пункт в): найден оптимальный контракт, не стимулирующий Старика ловить рыбку, с нулевым выигрышем Старухи (1 балл) и проведено сравнение с контрактом пункта б), где выигрыш равен $-1{,}5$, с выводом об оптимальном контракте $w = 0$, $b < 15$ (1 балл)
  • 4 б. Пункт г): доказано, что ожидаемый выигрыш Старика должен быть не меньше $w$, откуда $b_0 + b_1 \geqslant 10$ (1 балл), доказано, что в оптимуме расходов на возврат долга нет (1 балл), доказано, что $w = 0$ (1 балл), и получен окончательный ответ $(w, b_0, b_1) = (0; 5; 5)$ с выигрышем Старухи 1 (1 балл)

Оригинал заданий: PDF на сайте олимпиады.

Хочешь разбирать такие задачи с победителями ВсОШ? Мини-группа 3–4 человека, лекция и семинар каждую неделю, первое занятие бесплатно.

Записаться на пробное

Заключительный этап 2021/22: другие классы

Заключительный этап, 11 класс: другие годы