ВсОШ по экономике 2025/26, заключительный этап, 11 класс, тур 1

Выпиши благосостояние и прибыль платформы как две параболы от объёма поездок и сравни, где у каждой вершина.

Общая часть. Перейдём к обратным функциям: $P_D = 400 - Q$ и $P_S = 100 + Q$. Суммарная выгода всех участников рынка до вычета постоянных издержек — это площадь фигуры между кривыми спроса и предложения на отрезке от $0$ до $Q$. Фигура — трапеция с основаниями $400 - 100 = 300$ и $(400 - Q) - (100 + Q) = 300 - 2Q$ и высотой $Q$, её площадь равна $\dfrac{300 + (300 - 2Q)}{2} \cdot Q = 300Q - Q^2$. Значит, при работающей платформе $W(Q) = 300Q - Q^2 - 10000$.

а) Без платформы постоянных издержек нет, поэтому $W_0 = 300 \cdot 20 - 20^2 = 6000 - 400 = 5600$.

б) Без регулирования платформа выбирает $Q_M = 75$, и тогда $W_M = 300 \cdot 75 - 75^2 - 10000 = 22500 - 5625 - 10000 = 6875$. Прирост равен $6875 - 5600 = 1275$ ден. ед., так что платформа благосостояние повышает. Вывод не автоматический из-за $FC$: например, при $Q_0 = 30$ платформа всё равно открылась бы, но благосостояние снизила бы.

в) Прибыль платформы равна $\pi(Q) = (P_D - P_S)Q - FC = (300 - 2Q)Q - 10000 = 300Q - 2Q^2 - 10000$. Работать платформа согласна только при $\pi(Q) \geqslant 0$, то есть при $Q \in [50;\ 100]$; вне этого отрезка она не открывается и благосостояние падает до $5600$. Вершина параболы $300Q - Q^2 - 10000$ лежит в точке $Q = 150$, поэтому на отрезке $[50;\ 100]$ функция $W$ возрастает, и лучший допустимый объём — $Q = 100$. Достаточно установить пол $Q = 100$: при больших объёмах прибыль платформы убывает, так что сама она выше не пойдёт. Итог: $W = 300 \cdot 100 - 100^2 - 10000 = 10000 > 5600$.

г) Субсидия снимает ограничение на участие, поэтому теперь достижим глобальный максимум $W$ — вершина параболы $Q^* = 150$, где $W_{max} = 300 \cdot 150 - 150^2 - 10000 = 45000 - 22500 - 10000 = 12500$. Без поддержки в этой точке платформа теряет: $\pi(150) = 45000 - 45000 - 10000 = -10000$. Чтобы она согласилась работать, нужно $\pi(150) + S(150) \geqslant 0$, то есть $S_{min} = 10000$ — меньше бюджету не отделаться. Схема должна ещё и делать объём $150$ строго лучшим для платформы: без субсидии её максимальная прибыль достигается при $Q = 75$ и равна $\pi(75) = 22500 - 11250 - 10000 = 1250$. Подходит, например, $f(Q) = 10000$ при $Q = 150$ и $f(Q) = -1251$ при любом другом объёме: тогда в точке $Q = 150$ прибыль платформы равна нулю, а везде ещё штраф перевешивает любую возможную прибыль. Ответ пункта г): максимальное благосостояние $12500$ ден. ед. при минимальных расходах бюджета $10000$ ден. ед.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-25-26.pdf

Спроси себя, что выгоднее команде вне гонки за плей-офф — выиграть последние матчи или занять место пониже.

Пункт а). Лига зарабатывает на билетах, рекламе и правах на трансляции, а платят за всё это зрители, которым интересен непредсказуемый спорт. Драфт отдаёт лучших новичков слабейшим командам, силы в следующем сезоне выравниваются, конкуренция обостряется, исход матчей становится менее предсказуемым — популярность турнира растёт, а с ней и доходы Лиги. Есть и второй канал: сам драфт превращается в отдельное шоу, за которым интересно следить, и тоже приносит внимание и деньги.

Пункт б). Как только команда понимает, что в плей-офф ей уже не попасть, её частная выгода меняет знак: последнее место теперь ценнее предпоследнего, потому что даёт право первого выбора и лучшие спортивные перспективы на следующий сезон. Команда начинает беречь лидеров и выпускать резервистов, то есть намеренно проигрывать — это и есть танкинг. Качество и зрелищность концовки сезона падают, зрители уходят от трибун и экранов, а Лига теряет сборы и рекламные контракты.

Пункт в). Нужны два изменения с обоснованием и недостатком у каждого. Первое — драфт-лотерея: последнее место даёт лишь наибольшую вероятность первого выбора, а не гарантию, поэтому ожидаемый выигрыш от намеренного проигрыша резко падает; недостаток — случайность может оставить действительно слабейшую команду без усиления. Второе — расширение зоны плей-офф или стыковые матчи за пограничные места: тогда борьба сохраняется у гораздо большего числа команд до конца сезона; недостаток — попадание в плей-офф обесценивается для настоящих лидеров регулярного чемпионата. Подойдёт и третий вариант: фиксировать порядок драфта по положению в середине сезона, когда шансы на плей-офф ещё есть у всех; недостаток — рейтинг середины сезона случайнее и хуже выравнивает силы.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-25-26.pdf

Выразите $x_1$ и $x_2$ через одну ставку $i_1$ и вспомните, что минимум максимума двух модулей ищется там, где графики пересекаются.

Пункт а), адаптивные ожидания. В первом периоде $\pi_1^e = \pi_0 = 8$, поэтому $x_1 = 2 - 0{,}5(i_1 - 8 - 4) = 8 - 0{,}5 i_1$ и $\pi_1 = x_1 + 8 = 16 - 0{,}5 i_1$. Во втором периоде $\pi_2^e = \pi_1 = 16 - 0{,}5 i_1$, а условие достижения цели $\pi_2 = 4$ вместе с кривой Филлипса даёт $x_2 = 4 - \pi_2^e = 0{,}5 i_1 - 12$. Подставляя $x_1$ и $x_2$ в кривую IS второго периода, получаем связь ставок $i_2 = 60 - 2{,}5\, i_1$.

Смысл этой связи. Зависимость отрицательная: мягкая политика сегодня (низкая $i_1$) разгоняет инфляцию первого периода, адаптивные ожидания переносят её на следующий год, и гасить импульс приходится жёсткой ставкой завтра. Коэффициент по модулю больше единицы ($2{,}5$), потому что рост $i_1$ работает дважды — прямо снижает инфляцию первого периода и заодно сбивает ожидания на второй период.

Оптимум в пункте а). Сумма разрывов не зависит от ставки: $x_1 + x_2 = (8 - 0{,}5 i_1) + (0{,}5 i_1 - 12) = -4$. Когда сумма фиксирована, минимум наибольшего по модулю значения достигается при равенстве: $8 - 0{,}5 i_1 = 0{,}5 i_1 - 12$, откуда $i_1 = 20\,\%$, $i_2 = 60 - 2{,}5 \cdot 20 = 10\,\%$ и $x_1 = x_2 = -2$.

Пункт б), частично заякоренные ожидания. Теперь $\pi_1^e = \dfrac{8 + 4}{2} = 6$, значит $x_1 = 2 - 0{,}5(i_1 - 6 - 4) = 7 - 0{,}5 i_1$ и $\pi_1 = x_1 + 6 = 13 - 0{,}5 i_1$. Далее $\pi_2^e = \dfrac{\pi_1 + 4}{2} = 8{,}5 - 0{,}25 i_1$, а из $\pi_2 = 4$ следует $x_2 = 0{,}25 i_1 - 4{,}5$. Подстановка в IS второго периода даёт $i_2 = 35{,}5 - 1{,}75\, i_1$ — это и есть множество всех подходящих комбинаций.

Оптимум в пункте б). Сумма разрывов больше не постоянна, поэтому минимизируем функцию $f(i_1) = \max(|7 - 0{,}5 i_1|,\ |0{,}25 i_1 - 4{,}5|)$ напрямую. Обе ветви — модули линейных функций, минимум их максимума лежит в точке пересечения графиков. Из $7 - 0{,}5 i_1 = 0{,}25 i_1 - 4{,}5$ получаем $0{,}75 i_1 = 11{,}5$, то есть $i_1 = \dfrac{46}{3} \approx 15{,}33\,\%$, тогда $i_2 = 35{,}5 - 1{,}75 \cdot \dfrac{46}{3} = \dfrac{26}{3} \approx 8{,}67\,\%$ и $x_1 = x_2 = -\dfrac{2}{3}$. Есть и вторая точка пересечения — из условия $x_1 = -x_2$ выходит $i_1 = 10\,\%$, $i_2 = 18\,\%$, но там $\max(|x_1|, |x_2|) = 2$, то есть втрое хуже, и этот кандидат отбрасывается.

Сравнение. Доверие к цели само по себе работает как дезинфляционный фактор: ожидания превышают целевые $4\,\%$ уже не на 4 процентных пункта, а на 2, причём и в первом, и во втором периоде. Поэтому ЦБ обходится более мягкой политикой ($15{,}33\,\%$ и $8{,}67\,\%$ вместо $20\,\%$ и $10\,\%$) и охлаждает экономику втрое слабее (разрыв $-\dfrac{2}{3}$ вместо $-2$). Издержки дезинфляции падают именно из-за заякоренных ожиданий.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-25-26.pdf

Сначала найдите, как новичок отвечает на любой выпуск пекарни, и только потом максимизируйте прибыль пекарни.

Пункт а). Выразим прибыль через цену: $\pi(p) = (p - 10)(1200 - 20p) = 1400p - 20p^2 - 12000$. Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $p^* = \dfrac{1400}{2 \cdot 20} = 35$ руб. Тогда $q = 1200 - 20 \cdot 35 = 500$ пончиков, а прибыль равна $(35 - 10) \cdot 500 = 12500$ руб. в сутки.

Пункт б). На отрезке $0 < p < 35$ функция прибыли возрастает, поэтому блокирующую цену выгодно ставить как можно выше — ровно на уровне издержек новичка, $p = 16$ руб. При такой цене конкурент не может получить положительную прибыль и не входит. Объём продаж $q = 1200 - 20 \cdot 16 = 880$ штук, прибыль $(16 - 10) \cdot 880 = 5280$ руб.

Пункт в). Обратный спрос: $p = 60 - 0{,}05 q = 60 - 0{,}05 q_1 - 0{,}05 q_2$. Новичок принимает $q_1$ как данность и максимизирует $\pi_2 = (60 - 0{,}05 q_1 - 0{,}05 q_2) q_2 - 16 q_2 = 44 q_2 - 0{,}05 q_2^2 - 0{,}05 q_1 q_2$. Вершина этой параболы даёт кривую реакции $q_2 = \dfrac{44 - 0{,}05 q_1}{0{,}1} = 440 - 0{,}5 q_1$.

Подставим реакцию новичка в прибыль пекарни: $\pi_1 = (60 - 0{,}05 q_1 - 0{,}05(440 - 0{,}5 q_1) - 10) q_1 = (28 - 0{,}025 q_1) q_1$. Максимум при $q_1 = \dfrac{28}{2 \cdot 0{,}025} = 560$ пончиков. Тогда $q_2 = 440 - 0{,}5 \cdot 560 = 160$, суммарно $720$, цена $p = 60 - 0{,}05 \cdot 720 = 24$ руб., и прибыль пекарни составляет $(24 - 10) \cdot 560 = 7840$ руб. Поскольку $7840 > 5280$, выгоднее пустить конкурента и сыграть роль лидера по выпуску, чем душить его заниженной ценой.

Пункт г). Такого примера не существует. Пусть обратный спрос $p = a - b(q_1 + q_2)$, а средние издержки равны $c_1$ у пекарни и $c_2 > c_1$ у новичка. Блокирующая стратегия: цена $p = c_2$, объём $q_1 = \dfrac{a - c_2}{b}$, прибыль $\pi_1^{lim} = \dfrac{(c_2 - c_1)(a - c_2)}{b}$. Стратегия лидера: кривая реакции новичка $q_2 = \dfrac{a - c_2}{2b} - 0{,}5 q_1$, оптимальный выпуск лидера $q_1^* = \dfrac{a + c_2 - 2 c_1}{2b}$ и прибыль $\pi_1^{lead} = \dfrac{(a + c_2 - 2 c_1)^2}{8b}$.

Обозначим $x = a - c_2$ и $y = c_2 - c_1$, тогда $a + c_2 - 2c_1 = x + 2y$, и разность прибылей равна $\dfrac{(x + 2y)^2}{8b} - \dfrac{xy}{b} = \dfrac{x^2 - 4xy + 4y^2}{8b} = \dfrac{(x - 2y)^2}{8b} \geqslant 0$. Лидерство никогда не хуже блокировки. Содержательно это очевидно и без формул: лидер всегда может просто поставить тот же объём, что и при блокирующей цене, — цена тогда окажется не выше прежней, новичок всё равно не войдёт, и результат будет как минимум таким же. Значит, строго выгоднее блокировка быть не может.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur1-final-25-26.pdf