ВсОШ по экономике 2025/26, заключительный этап, 11 класс, тур 2

Фирма зарабатывает только тогда, когда новинка оказалась у неё одной, — с этой вероятности и начинай, а вероятность появления технологии считай через противоположное событие.

а) Положительную прибыль приносит не сама технология, а исключительность обладания ею. Если технология оказалась у обеих фирм, издержки снова равны ($MC = 1$), цена падает до $1$ и прибыль нулевая. Значит, заработать можно только став единственным обладателем новинки. При обоюдных вложениях вероятность этого события равна $\tfrac12\cdot\left(1-\tfrac12\right)=\tfrac14$.

Единоличный лидер ставит цену на уровне издержек отставшего, то есть $P = 2$, а сам тратит $1$ на штуку. При спросе $300$ устройств в год это $(2-1)\cdot 300 = 300$ коинов за год и $600$ коинов за два года.

Ожидаемая чистая прибыль при обоюдных вложениях: $E(\pi)=\tfrac14\cdot 600-100=50>0$. Если конкурент от исследований отказался, шанс стать единственным обладателем равен $\tfrac12$, и тогда $E(\pi)=\tfrac12\cdot 600-100=200>0$. Инвестировать выгодно при любом ходе соперника — это доминирующая стратегия, и в равновесии вкладываются обе фирмы.

Технология появится, если повезёт хотя бы одной: $1-\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac34$, то есть $75\,\%$.

б) Обязанность поделиться технологией через год оставляет лидеру только один прибыльный год, то есть $300$ коинов вместо $600$. При обоюдных вложениях $E(\pi)=\tfrac14\cdot 300-100=-25<0$, так что «инвестируют обе» перестаёт быть равновесием. Одной фирме вкладываться всё ещё выгодно: $\tfrac12\cdot 300-100=50>0$. В равновесии в чистых стратегиях инвестирует ровно одна фирма, и вероятность появления технологии падает до $50\,\%$ — снижение на $25$ процентных пунктов.

Есть и равновесие в смешанных стратегиях. Пусть соперник вкладывается с вероятностью $\alpha$; тогда ожидаемая прибыль от инвестиций равна $\tfrac12\left(1-\tfrac12\alpha\right)\cdot 300-100=50-75\alpha$, и безразличие даёт $\alpha=\tfrac23$. Каждая фирма получает технологию с вероятностью $\tfrac13$, и в отрасли она появляется с вероятностью $1-\left(\tfrac23\right)^2=\tfrac59$ — это тоже меньше $\tfrac34$, снижение на $\tfrac{7}{36}$.

Вывод один при любом из двух равновесий: чрезмерно жёсткая антимонопольная норма гасит стимулы к инновациям (упрощённый сюжет модели эндогенного роста Агийона и Ховитта).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-25-26.pdf

Приравняй альтернативные издержки к цене в обеих странах, а потом используй то, что при жёсткой комплектности мир потребляет обоих товаров поровну.

а) Перепишем границы возможностей через $Y$: $Y_A = 600-\dfrac{X_A^2}{2000}$ и $Y_B = 1200-\dfrac{X_B^2}{400}$. В конкурентном равновесии альтернативные издержки производства $X$ (модуль производной) в обеих странах равны цене:
$$\dfrac{X_A}{1000}=\dfrac{X_B}{200}=p\ \Longrightarrow\ X_A = 1000p,\quad X_B = 200p,\quad X_A = 5X_B.$$

Полезность $U=\min(X,Y)$ означает, что мир потребляет оба товара поровну, а значит, суммарный выпуск $X$ равен суммарному выпуску $Y$:
$$6X_B = 1800-\dfrac{3X_B^2}{200}\ \Longrightarrow\ X_B^2+400X_B-120000=0\ \Longrightarrow\ X_B = 200.$$

Отсюда $X_A = 1000$ и $p^{\star}=\dfrac{1000}{1000}=1$; выпуск второго товара $Y_A = 100$, $Y_B = 1100$. Бета делает мало $X$ и много $Y$, поэтому импортёром товара $X$ будет именно она, а экспортёром — Альфа.

Доход Беты в равновесных ценах равен $1\cdot 200+1100=1300$, и, потребляя товары поровну, она берёт $X_B^{c}=Y_B^{c}=\dfrac{1300}{p^{\star}+1}=650$. Импорт Беты $650-200=450$ равен экспорту Альфы, а сама Альфа потребляет $X_A^{c}=Y_A^{c}=1000-450=550$.

б) Удобно выписать готовность Альфы поставлять и готовность Беты покупать как функции цены: $Ex_A(p)=\dfrac{500p^2+1000p-600}{p+1}$, $Im_B(p)=\dfrac{1200-200p-100p^2}{p+1}$. При $\bar p=0{,}9$ получаем $Ex_A\approx 371{,}1$ и $Im_B\approx 494{,}2$: возникает дефицит, ввезут только $371$ единицу. Внутренний выпуск Беты находим из баланса потребления: $X_B+371=1200-\dfrac{X_B^2}{400}-0{,}9\cdot 371$, откуда $X_B\approx 287{,}8$. Потребление $X$ равно $287{,}8+371\approx 658{,}8 > 650$ — потребители Беты выиграли, собственное производство тоже подросло.

в) При $\hat p = \tfrac23$ поставки падают: $Ex_A\approx 173{,}3$ при спросе $Im_B\approx 613{,}3$. Тот же баланс $X_B+173{,}3=1200-\dfrac{X_B^2}{400}-\tfrac23\cdot 173{,}3$ даёт $X_B\approx 436$, и потребление составляет $436+173{,}3\approx 609{,}3$. Это меньше и $650$, и $658{,}8$: слишком низкий потолок бьёт по тем, кого должен был защитить, потому что импорт сокращается быстрее, чем растёт внутренний выпуск.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-25-26.pdf

Спроси себя, что во второй группе меняется после публикации итогов: остаётся ли там вообще предмет для догадок.

а) Это сюжет про кейнсианский конкурс красоты: описанный эксперимент в 2010 году поставила программа Planet Money, а сама идея восходит к сравнению инвесторов с участниками газетного конкурса красоты у Кейнса. Первая группа голосует искренне, каждый называет лучшую для себя альтернативу, поэтому её распределение — честный срез предпочтений: у котёнка ровно $50\,\%$. Вторая группа решает другую задачу: приз даётся за совпадение с чужим большинством, а не за искренность. Рациональному участнику выгодно называть не своего фаворита, а того, кого, по его оценке, назовут остальные, — и он опирается на стереотипы, опрос знакомых, любые сигналы о чужих вкусах. Часть тех, кто сам предпочитает непопулярный вариант, тоже голосует за заметного фаворита. Такие «ожидания об ожиданиях» стягивают голоса к одной альтернативе, и доля котёнка вырастает до $75\,\%$.

б) После публикации итогов неопределённости не остаётся: все во второй группе знают, что в первой победил котёнок, и знают, что первая группа при повторе проголосует так же. Гадать больше не о чем, доминирующий ход — назвать котёнка. Ожидаемая доля голосов за победителя близка к $100\,\%$.

в) Третья группа угадывает уже вторую, то есть надстраивает ещё один уровень рассуждений поверх уже скоординированного поведения. В первом раунде концентрация голосов у неё не ниже, чем во второй группе, а скорее выше: её участники понимают, что вторая группа сама стягивается к заметной альтернативе. Во втором раунде, когда итоги известны всем, третья группа тоже даёт почти $100\,\%$ за котёнка.

г) Подходит торговля на фондовом рынке.

• Экономическое взаимодействие: торговля акциями и другими активами на бирже.
• Аналог первой группы: фундаментальные инвесторы. Они покупают актив, который кажется им лучшим по фундаментальным причинам — ожидаемым дивидендам, прибыли, низкому риску.
• Аналог второй группы: спекулянты и краткосрочные трейдеры. Они покупают то, что, по их мнению, станут позже покупать фундаментальные инвесторы и остальной рынок, чтобы заработать на росте цены. Им это выгодно, даже если сами они актив перспективным не считают: достаточно верить в чужой оптимизм.
• Альтернативы: купить актив A или купить актив B.
• Как устроено принятие решений: первая группа исходит из фундаментальной оценки — кому-то ближе A, кому-то B. Вторая смотрит не на фундаментал, а на вероятность того, что актив станут покупать массово и он подорожает.
• Ключевые последствия принятых решений: цена отрывается от фундаментальной стоимости, возникают самоусиливающиеся тренды и пузыри. Ожидание «это купят другие» делает покупку массовой и тем самым подтверждает себя.

Пример обязан сохранять оба свойства механизма: нестратегическую первую группу с предпочтениями на заранее заданном множестве альтернатив и стратегическую вторую, которая угадывает агрегированный выбор первой. Поэтому олигополия, маркетинговые опросы потребителей, решения центрального банка и выдуманные конкурсы в ресторане или на концерте механизм не иллюстрируют.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-25-26.pdf

Приведи все жилищные траты к нулевому моменту — функция окажется линейной по моменту покупки, а у линейной функции минимум всегда на границе отрезка.

а) В каждый месяц $t \le t^{\star}$ на депозит уходит $Y_t-R_t=(Y_0-R_0)(1+r)^t$, и до момента $t^{\star}$ этот взнос успевает подрасти в $(1+r)^{t^{\star}-t}$ раз. Произведение от $t$ не зависит: любой взнос превращается ровно в $(Y_0-R_0)(1+r)^{t^{\star}}$. Взносов $t^{\star}+1$ (считая нулевой месяц), поэтому
$$S^{\star}=(t^{\star}+1)(Y_0-R_0)(1+r)^{t^{\star}},\qquad L^{\star}=P_0(1+r)^{t^{\star}}-S^{\star}=\big(P_0-(t^{\star}+1)(Y_0-R_0)\big)(1+r)^{t^{\star}}.$$

б) Приведённая стоимость аннуитета равна сумме кредита: $L^{\star}=M\dfrac{1-(1+r_c)^{-N}}{r_c}$, откуда $M=L^{\star}\dfrac{r_c}{1-(1+r_c)^{-N}}$.

в) Стоимость квартиры на горизонте планирования равна $P_0(1+r)^{480}$ и от момента покупки не зависит, поток доходов — тоже. Значит, максимизировать чистые активы — то же самое, что минимизировать приведённые к нулевому моменту жилищные расходы; дисконтировать надо по депозитной ставке $r$, ведь именно она превращает сэкономленный рубль в деньги на пенсии.

Считаем три части. Аренда: каждый платёж $R_0(1+r)^t$ после дисконтирования даёт ровно $R_0$, поэтому $PV_R=R_0(t^{\star}+1)$. Первоначальный взнос: $S^{\star}(1+r)^{-t^{\star}}=(t^{\star}+1)(Y_0-R_0)$. Ипотечные платежи: $PV_M=\dfrac{1-(1+r)^{-N}}{r}\cdot\dfrac{M}{(1+r)^{t^{\star}}}=K\big(P_0-(t^{\star}+1)(Y_0-R_0)\big)$, где $K=\dfrac{r_c\big(1-(1+r)^{-N}\big)}{r\big(1-(1+r_c)^{-N}\big)}$.

Складываем и собираем слагаемые с $t^{\star}$:
$$C(t^{\star})=const+t^{\star}\big[Y_0-K(Y_0-R_0)\big].$$

Функция линейна, поэтому оптимум всегда на границе допустимого отрезка $[0;\,480-N]$ — раньше нуля взять ипотеку нельзя, а позже $480-N$ она не успеет погаситься. Если $Y_0>K(Y_0-R_0)$, коэффициент положителен, издержки растут с $t^{\star}$, и брать ипотеку надо сразу: $t^{\star}=0$. Если $Y_0=K(Y_0-R_0)$, момент безразличен, годится любое $t^{\star}\in[0;\,480-N]$. Если $Y_0<K(Y_0-R_0)$, коэффициент отрицателен, и тянуть надо до последнего допустимого месяца: $t^{\star}=480-N$.

Содержательно откладывать покупку стоит тогда, когда аренда съедает малую долю дохода или когда ипотечная ставка $r_c$ заметно выше депозитной.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2025-26/final/econ/sol-econ-11-tur2-final-25-26.pdf