ВсОШ по экономике 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Посчитай прибавку Китая не за один год, а за два подряд, и посмотри, остаётся ли она равной 600 долларов.

а) Китай догонит США. Постоянный темп прироста — это геометрическая прогрессия, а не прибавка фиксированной суммы. Если считать нулевым тот год, в котором подушевой ВВП США и Китая равен 64 000 и 10 000 долларов, то через $t$ лет они равны $64\,000 \cdot 1{,}02^{t}$ и $10\,000 \cdot 1{,}06^{t}$.

Отношение китайского показателя к американскому равно $\dfrac{10\,000}{64\,000}\left(\dfrac{1{,}06}{1{,}02}\right)^{t}$, а множитель $\dfrac{1{,}06}{1{,}02} \approx 1{,}0392 > 1$ растёт неограниченно, поэтому при достаточно больших $t$ второе выражение превысит первое. Момент обгона можно посчитать: из $1{,}0392^{t} = 6{,}4$ получаем $t = \dfrac{\ln 6{,}4}{\ln 1{,}0392} \approx 48$ лет.

Ошибка экономиста М. в том, что прибавку он взял разовую и дальше считал её неизменной. Уже во второй год Китай прибавит не $600$, а $600 \cdot 1{,}06 = 636$ долларов на человека, в третий — ещё больше; прибавка США тоже растёт, но с множителем $1{,}02$ против $1{,}06$, поэтому китайская догонит и перегонит её. Короче говоря, экономист М. спутал простые проценты со сложными, а темп прироста всегда означает сложные.

Отдельно отметим, что аргумент «экономист М. неправ, потому что не учёл численность населения» жюри оценивало в ноль баллов: обе величины уже подушевые, население тут ни при чём.

б) Особенность восприятия в том, что покупатель смотрит в первую очередь на старшие разряды и цену 1000 рублей воспринимает как заметно более высокую, чем 999. Значит, при переходе цены через круглое число величина спроса падает резко, а между круглыми числами меняется слабо.

Подойдёт любая кривая спроса с отрицательным наклоном, у которой эластичность в точках чуть ниже круглых чисел по модулю гораздо больше, чем на промежутках между ними. Проще всего нарисовать ломаную: на участках между круглыми ценами она идёт полого, а в круглых ценах либо резко меняет наклон на почти вертикальный, либо имеет разрыв (выколотая точка ставится со стороны большей цены). Оси нужно подписать: по горизонтали $Q$, по вертикали $P$, на вертикальной оси отмечены пороговые значения $1000$, $20$, $30$ и т. п.

Из такого графика сразу видно, почему стратегия оптимальна: снижение цены с $1000$ до $999$ стоит продавцу одной денежной единицы с каждой продажи, но приводит к скачку числа покупателей, то есть выручка растёт. Дальнейшее снижение цены внутри промежутка почти не добавляет покупателей, поэтому останавливаться выгодно ровно чуть ниже круглого числа.

в) У вакцинированных больше стимулов к рискованному поведению и меньше стимулов к осторожному: привитый перестаёт носить маску, возвращается в офис, начинает встречаться большими компаниями. Вакцинация снижает для человека цену рискованного поведения, и он этого риска берёт больше.

Если вакцина эффективна лишь частично (скажем, на 60 %), прирост числа контактов может перевесить снижение вероятности заразиться при одном контакте, и общее число заражений вырастет. Это разновидность классического эффекта Пельцмана: внедрение ремней безопасности повышало рискованность вождения и могло увеличивать число аварий.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Посмотри, что происходит на левом конце каждой КПВ — там, где масло не производится вовсе.

а) Догадка. При $X = 0$ страна выпускает $4$ пушки, первый регион — $1$, значит второму остаётся $y_2(0) = 3$. При каждом фиксированном $x \leqslant 1$ две данные КПВ отличаются ровно на эту константу $3$, то есть при $X \leqslant 1$ всё масло выгодно производить в первом регионе. Тогда при $X > 1$ первый регион выпускает максимум масла (единицу), а остаток делает второй: $X = 1 + x_2$ и $Y(X) = y_1(1) + y_2(x_2) = y_2(x_2)$. Отсюда

$$y_2(x_2) = Y(1 + x_2) = 4 - (x_2 + 1)^2 = 3 - 2x_2 - x_2^2.$$

Обоснование. Проверим, что сумма КПВ $y_1(x_1) = 1 - x_1^2$ и $y_2(x_2) = 4 - (x_2 + 1)^2$ действительно даёт $Y(X) = 4 - X^2$. Альтернативные издержки масла равны $|y_1'(x_1)| = 2x_1$ в первом регионе и $|y_2'(x_2)| = 2 + 2x_2$ во втором, поэтому

$$|y_1'(x_1)| \leqslant |y_1'(1)| = 2 = |y_2'(0)| \leqslant |y_2'(x_2)|.$$

Любая единица масла в первом регионе обходится не дороже, чем во втором, значит масло нужно грузить сначала на первый регион: $x_1^{*}(X) = X$ при $X \leqslant 1$ и $x_1^{*}(X) = 1$ при $X > 1$. Подставляя, получаем ровно $Y(X) = 4 - X^2$, что и требовалось.

Ту же сумму можно найти без производной: при каждом $X$ решить задачу $Y = 1 - x_1^2 + 3 - 2(X - x_1) - (X - x_1)^2 \to \max$ по $x_1$ при $x_1 \in [0;\,1]$, $X - x_1 \in [0;\,1]$ — это парабола, достаточно найти её вершину и проверить попадание в допустимый отрезок.

Ответ: $y_2 = 4 - (x_2 + 1)^2$. (Доказательство единственности в задаче не требовалось.)

б) Здесь при $X = 0$ страна выпускает $8$ пушек, первый регион — $1$, значит $y_2(0) = 7$. Пусть нужно произвести $X \in (0;\,1]$ единиц масла. Всегда доступен вариант «всё масло в первом регионе, второй стоит на своём максимуме пушек»; он даёт

$$Y = (1 - X^2) + 7 = 8 - X^2.$$

Но по условию максимум выпуска пушек в стране равен $8 - 2X^2$, а $8 - 2X^2 < 8 - X^2$ при $X > 0$. Получается, что страна может выпустить больше пушек, чем позволяет её собственная КПВ, — противоречие.

Ответ: КПВ страны $A$ и региона $A_1$ такими одновременно быть не могут, никакая функция $y_2(x_2)$ не подойдёт.

в) Перепишем КПВ первого региона как $(1 - y_1)^2 + (1 - x_1)^2 = 1$. Это дуга окружности радиуса $1$ с центром в точке $(1;\,1)$, лежащая в области $x_1 \leqslant 1$, $y_1 \leqslant 1$; она выпукла к началу координат, то есть альтернативные издержки масла в этом регионе не растут, а убывают. Нам известно, что $y_2(0) = 2 - 1 = 1$ и $y_2(1) = 0$, а суммарная КПВ линейна, поэтому естественно попробовать самую простую линейную функцию с такими концами: $y_2(x_2) = 1 - x_2$.

Обоснование. Сначала покажем, что уровень выше $2 - X$ недостижим. Из вида дуги следует $y_1(x_1) \leqslant 1 - x_1$ при всех $x_1 \in [0;\,1]$, а $y_2 = 1 - x_2$ точно. Складывая,

$$Y = y_1 + y_2 \leqslant (1 - x_1) + (1 - x_2) = 2 - X.$$

Теперь покажем, что уровень $2 - X$ достижим. В выкладке выше равенство требует $y_1 = 1 - x_1$, а дуга совпадает с прямой только в своих концах: при $x_1 = 0$ (тогда $y_1 = 1$) и при $x_1 = 1$ (тогда $y_1 = 0$). Оба конца и дают нужные расстановки. При $X \leqslant 1$ всё масло производит регион $A_2$: $x_1 = 0$, $y_1 = 1$, $x_2 = X$, $y_2 = 1 - X$, и тогда $Y = 1 + (1 - X) = 2 - X$. При $X \geqslant 1$ регион $A_1$ целиком переходит на масло: $x_1 = 1$, $y_1 = 0$, остаток масла $x_2 = X - 1$ делает регион $A_2$, и тогда $Y = 0 + \bigl(1 - (X - 1)\bigr) = 2 - X$. При $X = 1$ годится любой из двух вариантов.

Ответ: $y_2 = 1 - x_2$.

Замечание жюри: в пункте в) использовались только свойства $y_1(0) = 1$, $y_1(1) = 0$ и $y_1(x_1) \leqslant 1 - x_1$, поэтому ответ не изменился бы для любой другой функции с этими свойствами. Обратное «вычитание» в общем случае неоднозначно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Сравни выручку рыбака с тем, что он получил бы, встав вплотную к конкуренту, — там ему достанется ровно четверть рынка.

Общее замечание: если рыбак стоит на дуге длины $l$ между двумя соседями, он делит пополам дугу слева и дугу справа от себя, то есть забирает долю рынка, равную половине суммы прилегающих дуг. Разберём случаи взаимного расположения.

Случай 1: все трое в одной точке. Каждый получает $\dfrac{1}{3}$ рынка. Если Борис сместится в любую другую точку, он станет ближайшим продавцом для всех жителей своей половины окружности и получит $\dfrac{1}{2}$. Значит, это не равновесие.

Случай 2: двое стоят в точке $A$, третий — в точке $B$. Рыбак из $B$ получает половину рынка, каждый из пары в $A$ — по четверти.

Случай 2a: точки $A$ и $B$ не на одном диаметре. Тогда одна из двух дуг $AB$ длиннее половины окружности, а её половина больше четверти окружности. Любому рыбаку из точки $A$ выгодно перейти во внутреннюю точку этой большей дуги: он станет получать больше четверти рынка. Это не равновесие.

Случай 2b: точки $A$ и $B$ диаметрально противоположны. Рыбаку из $B$ переход в $A$ снизил бы долю до $\dfrac{1}{3}$, а любое другое перемещение оставит ему ту же половину рынка — увеличить долю он не может. Рыбак из пары в $A$, перейдя в $B$, сохранит четверть, а встав во внутреннюю точку любой дуги $AB$, получит половину от половины, то есть снова четверть. Значит, двигаться незачем, и такие расстановки равновесны:

$$x = 0,\ y = z = \frac{1}{2}; \qquad y = 0,\ x = z = \frac{1}{2}; \qquad z = 0,\ x = y = \frac{1}{2}.$$

Случай 3: все трое в разных точках, то есть $x,\, y,\, z > 0$. Доли рынка равны: у Евгения $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2}$, у Бориса $\dfrac{x}{2} + \dfrac{z}{2}$, у Максима $\dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{2}$.

Сначала заметим, что сдвиг рыбака внутри той же дуги, ограниченной двумя другими рыбаками, его долю не меняет: в любой точке этой дуги он забирает потребителей с её половины, а длина дуги задана положением соседей. Поэтому остаётся проверить два типа отклонений.

Отклонение первое: встать в точку, занятую другим рыбаком. Тогда отклонившийся делит с ним половину рынка и получает $\dfrac{1}{4}$. Чтобы такое отклонение было невыгодно никому, нужно

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} \geqslant \frac{1}{4}, \qquad \frac{x}{2} + \frac{z}{2} \geqslant \frac{1}{4}, \qquad \frac{y}{2} + \frac{z}{2} \geqslant \frac{1}{4},$$

то есть $x + y \geqslant \dfrac{1}{2}$, $x + z \geqslant \dfrac{1}{2}$, $y + z \geqslant \dfrac{1}{2}$. С учётом $x + y + z = 1$ это ровно $z \leqslant \dfrac{1}{2}$, $y \leqslant \dfrac{1}{2}$, $x \leqslant \dfrac{1}{2}$.

Отклонение второе: перепрыгнуть на противоположную дугу, вклинившись между двумя соседями. Там рыбак получит половину этой дуги: Евгений $\dfrac{z}{2}$, Борис $\dfrac{y}{2}$, Максим $\dfrac{x}{2}$. Условия невыгодности:

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} \geqslant \frac{z}{2}, \qquad \frac{x}{2} + \frac{z}{2} \geqslant \frac{y}{2}, \qquad \frac{y}{2} + \frac{z}{2} \geqslant \frac{x}{2},$$

то есть $x + y \geqslant z$, $x + z \geqslant y$, $y + z \geqslant x$. Подставляя $x + y + z = 1$, получаем те же самые неравенства $x \leqslant \dfrac{1}{2}$, $y \leqslant \dfrac{1}{2}$, $z \leqslant \dfrac{1}{2}$.

Объединяя обе системы с ограничением случая 3, получаем множество равновесий $0 < x,\, y,\, z \leqslant \dfrac{1}{2}$. Добавив сюда вырожденные равновесия случая 2b, где одно из расстояний обращается в ноль, получаем итог.

Ответ: устойчивы ровно те расстановки, для которых

$$0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \qquad 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2}, \qquad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2}, \qquad x + y + z = 1.$$

Неравенства именно нестрогие: за строгие жюри снимало балл, потому что расстановка «двое вместе, третий напротив» тоже равновесна.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Подумай, что сделает человек в 64 года с несрочным визитом к врачу, если знает дату, когда лечение станет бесплатным.

а) Государству важно понимать, как изменится загрузка системы здравоохранения при увеличении или уменьшении субсидирования, то есть при переходах к более «бесплатной» или менее «бесплатной» медицине. Если спрос почти неэластичен, расширение страхового покрытия почти не увеличит число обращений, и деньги в основном заместят частные расходы; если эластичность заметна, та же мера резко поднимет нагрузку на больницы и бюджет.

Кроме того, кривая спроса показывает готовность потребителей платить за медицину, то есть предельную норму замещения между медициной и другими благами. Государственная политика нацелена на благосостояние граждан, а здоровье — его часть, поэтому знание готовности платить нужно для конкретных решений: какую долю бюджета выделить на здравоохранение, какого размера сделать субсидию, при какой максимальной цене оплачивать то или иное лекарство из бюджета (это реальная практика в Европе).

В нашем случае оценка $E \approx -0{,}2$ говорит, что спрос на медицину хоть и слабо, но реагирует на цену: рост цены на 10 % сокращает потребление примерно на 2 %. Значит, соплатежи действительно сдерживают потребление, но ценой отказа части людей от нужной помощи — это и нужно взвешивать при выборе доли софинансирования.

б) В обычных наблюдательных данных цена, которую платит потребитель, эндогенна: она определяется в том числе его собственными решениями, а эти решения зависят от факторов, которые исследователь не видит и которые одновременно влияют на спрос.

Пример такого фактора находится сразу: это уровень здоровья человека, известный ему самому, но не исследователю. Менее здоровые люди покупают более щедрую страховку, из-за чего цена медуслуг для них ниже, и одновременно, в силу слабого здоровья, потребляют этих услуг больше. Полученная зависимость $Q_d(P)$ отразит не только эффект цены на количество, который мы хотим измерить, но и эффект этого третьего фактора сразу на цену и на количество. По сути точки в данных — это пересечения разных кривых спроса с разными кривыми предложения, а не одна кривая спроса. Смещение направленное: связь «ниже цена — больше услуг» усиливается искусственно, и эластичность выходит завышенной по модулю.

В эксперименте RAND такой проблемы нет: долю оплаты назначал организатор случайным образом, то есть цена полностью экзогенна. Случайное распределение делает группы сопоставимыми — в каждой в среднем одинаковые доходы, возрасты, состояния здоровья, — поэтому все различия в потреблении медуслуг объясняются только разницей в цене.

в) В эксперименте человек попадает ровно в одну группу, а здесь он проходит обе подряд: сначала оказывается в группе 64-летних, затем в группе 65-летних. Это ломает всю конструкцию.

Человек в 64 года знает, что через год страховка покроет всё. Несрочный визит, плановое обследование, необязательную операцию проще отложить на год. Такое поведение занижает измеренную величину спроса в группе с высокой ценой и завышает её в группе с нулевой ценой, то есть искусственно раздувает числитель в формуле $E = \dfrac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}$.

Ответ: причина — отложенный спрос (можно принять и другой аргумент: неоднородность спроса у людей разного возраста, из-за которой по одним пожилым общую кривую не восстановить). Измеренная эластичность спроса будет завышена по модулю: спрос покажется более чувствительным к цене, чем он есть на самом деле.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Нарисуй спрос на заёмные средства ступеньками по доходности проектов и наложи на него прямую сбережений.

а) Посчитаем доходность каждого проекта: делим доход на издержки и вычитаем единицу. Проект берут в работу, если доходность не ниже ставки процента (при нулевой прибыли компания всё же инвестирует — это стандартная предпосылка).

Ответ: при ставке 33 % проекты реализуют только компании E и F, объём заимствований составит $100 + 50 = 150$.

б) Политик неправ. Если снизить ставку до нуля, предложение заёмных средств обратится в ноль: $S(0) = 1800 \cdot 0 = 0$. Реализовывать проекты будет не на что, и уровень инвестиций тоже окажется нулевым.

Теперь найдём ставку, максимизирующую инвестиции. Спрос фирм на заёмные средства — убывающая лесенка: при каждой ставке занимают все фирмы, чья доходность не ниже $r$, и объём спроса равен сумме их издержек:

$$I_d(r) = \begin{cases} 750, & r \leqslant 0{,}1; \\ 650, & 0{,}1 < r \leqslant 0{,}2; \\ 450, & 0{,}2 < r \leqslant 0{,}3; \\ 150, & 0{,}3 < r \leqslant 0{,}35; \\ 50, & r > 0{,}35. \end{cases}$$

Фактические инвестиции равны меньшей из двух величин — спроса фирм и сбережений $S(r) = 1800r$.

Пока ставка низкая, ограничением служат сбережения. При $r = 0{,}1$ сбережений всего $180$ при спросе $750$; при $r = 0{,}2$ — $360$ при спросе $650$; при $r = 0{,}24$ — $432$ при спросе $450$. Сбережения догоняют очередную ступеньку спроса, когда $1800r = 450$, то есть при $r = 0{,}25$: здесь инвестиции равны $450$.

Дальше, на отрезке $r \in [0{,}25;\,0{,}3]$, сбережений уже хватает ($1800r \geqslant 450$), а состав проектов не меняется — работают D, E и F, — поэтому инвестиции держатся ровно на уровне $450$. Как только ставка превысит $0{,}3$, проект D становится нерентабельным и объём инвестиций падает до $150$, а после $0{,}35$ — до $50$. Ниже $0{,}25$ инвестиции упираются в нехватку сбережений и меньше $450$.

Ответ: максимальный уровень инвестиций равен $450$ и достигается при любой ставке $r \in [0{,}25;\,0{,}3]$, то есть от 25 % до 30 % годовых.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Горизонтальные участки графика — это вершины двух парабол выручки, а скачок между ними означает равенство выручек в двух стратегиях.

а) Переменных издержек нет, поэтому фирма максимизирует выручку $TR(P)$. Рыночный спрос — сумма двух линейных спросов, то есть ломаная с одним изломом, а значит выручка склеена из двух парабол ветвями вниз:

$$TR(P) = \begin{cases} f_1(P), & P < P_0; \\ f_2(P), & P \geqslant P_0, \end{cases}$$

где $P_0$ — точка излома рыночного спроса, $f_1$ отвечает случаю, когда покупают обе группы, а $f_2$ — случаю, когда остаётся только группа с более высокой максимальной ценой спроса.

При потолке $x$ фирма максимизирует $TR(P)$ на отрезке $[0;\,x]$. Возможны три качественно разных случая: выручка сначала растёт, потом падает; у неё два локальных максимума и левый не ниже правого; у неё два локальных максимума и правый выше левого. В первых двух случаях зависимость $P^{\star}(x)$ была бы простой — фирма упиралась бы в потолок до глобального максимума и стояла бы на нём дальше, то есть в графике был бы всего один излом. Приведённый в условии график со скачком возможен только в третьем случае.

Отсюда читаются горизонтальные участки: $7$ — вершина параболы $f_1$, $21$ — вершина параболы $f_2$. А скачок ровно в точке $x = 14$ означает, что при этом потолке фирма безразлична между обслуживанием обеих групп по цене $7$ и обслуживанием только «богатой» группы по цене $14$:

$$f_2(14) = f_1(7).$$

Пусть спросы групп имеют вид $Q = a - bP$ и $Q = c - dP$, причём $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$, то есть первая группа — «богатая». Тогда рыночный спрос равен

$$Q_D(P) = \begin{cases} a + c - (b + d)P, & P \leqslant c/d; \\ a - bP, & c/d < P \leqslant a/b, \end{cases}$$

и вершины парабол выручки таковы:

$$f_1(P) = \bigl(a + c - (b + d)P\bigr)P \ \Rightarrow \ \frac{a + c}{2(b + d)} = 7; \qquad f_2(P) = (a - bP)P \ \Rightarrow \ \frac{a}{2b} = 21.$$

Условие скачка запишется как $(a - 14b) \cdot 14 = \bigl(a + c - 7(b + d)\bigr) \cdot 7$. Получаем систему

$$\frac{a}{2b} = 21, \qquad \frac{a + c}{2(b + d)} = 7, \qquad (a - 14b)\cdot 14 = \bigl(a + c - 7(b+d)\bigr)\cdot 7.$$

Из второго уравнения $7(b + d) = \dfrac{a + c}{2}$. Подставим это в правую часть третьего и сократим на $7$: $2(a - 14b) = \dfrac{a + c}{2}$. Из первого уравнения $a = 42b$, тогда $2 \cdot 28b \cdot 2 = 42b + c$, то есть $c = 70b$. Наконец, из второго уравнения $\dfrac{42b + 70b}{2(b + d)} = 7$, откуда $d = 7b$.

Если дискриминация разрешена, фирма максимизирует прибыль по двум ценам сразу:

$$\pi(P_1, P_2) = (a - bP_1)P_1 + (c - dP_2)P_2 \to \max.$$

Слагаемые независимы, поэтому каждая цена берётся в вершине своей параболы: $P_1^{\star} = \dfrac{a}{2b} = 21$ и $P_2^{\star} = \dfrac{c}{2d} = \dfrac{70b}{2 \cdot 7b} = 5$.

Ответ: $21$ для первой («богатой») группы и $5$ для второй.

б) Не пострадает никто.

Монополист: разрешение дискриминации расширяет множество доступных ему стратегий (единая цена остаётся возможной), поэтому его прибыль не может уменьшиться.

Потребители «богатой» группы: из анализа пункта а) следует, что без потолка и без дискриминации фирма выбирает цену $21$ и обслуживает только их. С дискриминацией для этой группы цена тоже $21$ — ничего не меняется.

Потребители «бедной» группы: при единой цене $21$ они товар не покупали вовсе, так как их максимальная цена спроса $\dfrac{c}{d} = 10$ ниже. При дискриминации им назначат цену $5$, и они начнут покупать, получив положительный излишек. Значит, они выигрывают.

Это классический пример того, как ценовая дискриминация ведёт к Парето-улучшению: никому не хуже, а кому-то лучше. Для этого вывода достаточно понять, что график выручки имеет вид с двумя максимумами и более высоким правым; числовой ответ пункта а) на рассуждение не влияет.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Считай качество переменной величиной и не забудь, что расходы на квалифицированный труд растут как четвёртая степень качества.

а) Под корнем труд рабочих и труд роботов входят линейно: одна единица труда роботов даёт столько же, сколько $a$ единиц труда рабочих, и при замене одного другим выпуск не меняется. Стоят обе единицы одинаково, по $1$. Значит, если $a > 1$, роботы строго выгоднее, при $a = 1$ фирме безразлично, а по условию при безразличии она выбирает роботов.

То же самое видно через предельные продукты:

$$MP_{L_1} = \frac{1}{2\sqrt{L_1 + aR}}, \qquad MP_R = \frac{a}{2\sqrt{L_1 + aR}},$$

и при одинаковой цене ресурсов сравнение сводится к сравнению $1$ и $a$.

Ответ: фирма использует труд роботов при $a \geqslant 1$.

б) Случай $a \geqslant 1$. Рабочие не нанимаются, $L_1 = 0$, и производственная функция даёт $R = \dfrac{Q^2}{a}$. Прибыль (расходы на квалифицированный труд здесь фиксированы, качество задано) равна

$$\pi = 4zQ - \frac{Q^2}{a}.$$

Относительно $Q$ это парабола ветвями вниз с вершиной $Q = 2az$.

Случай $a < 1$. Роботы не используются, $Q = \sqrt{L_1}$, то есть $L_1 = Q^2$, и прибыль равна $\pi = 4zQ - Q^2$ — парабола с вершиной $Q = 2z$, откуда $L_1 = 4z^2$.

Итого

$$Q(a, z) = \begin{cases} 2z, & a < 1; \\ 2az, & a \geqslant 1, \end{cases} \qquad L_1(a, z) = \begin{cases} 4z^2, & a < 1; \\ 0, & a \geqslant 1, \end{cases} \qquad R(a, z) = \begin{cases} 0, & a < 1; \\ 4az^2, & a \geqslant 1. \end{cases}$$

Функция $R$ в вопросе не спрашивалась, но пригодится дальше.

в) Теперь качество переменное, а вместе с ним переменны и расходы на квалифицированный труд: $L_2 = z^4$, затраты $2L_2 = 2z^4$. Подставляя результаты пункта б) в прибыль (выручка $4z \cdot Q$ минус затраты на рабочих или роботов минус $2z^4$), получаем

$$\pi = \begin{cases} 4z \cdot 2z - 4z^2 - 2z^4, & a < 1; \\ 4z \cdot 2az - 4az^2 - 2z^4, & a \geqslant 1. \end{cases}$$

Замена $t = z^2$ превращает обе ветви в параболы ветвями вниз:

$$\pi = \begin{cases} 8t - 4t - 2t^2 = 4t - 2t^2, & a < 1; \\ 8at - 4at - 2t^2 = 4at - 2t^2, & a \geqslant 1. \end{cases}$$

Вершины: $t = 1$ при $a < 1$ и $t = a$ при $a \geqslant 1$. Возвращаясь к $z = \sqrt{t}$,

$$z^{\star}(a) = \begin{cases} 1, & a < 1; \\ \sqrt{a}, & a \geqslant 1. \end{cases}$$

г) Подставим $z^{\star}$ в функции спроса на труд. При $a < 1$ имеем $L_1 = 4z^2 = 4$ и $L_2 = z^4 = 1$. При $a \geqslant 1$ имеем $L_1 = 0$ и $L_2 = z^4 = a^2$. Значит,

$$L_1(a) = \begin{cases} 4, & a < 1; \\ 0, & a \geqslant 1, \end{cases} \qquad L_2(a) = \begin{cases} 1, & a < 1; \\ a^2, & a \geqslant 1, \end{cases} \qquad L(a) = L_1(a) + L_2(a) = \begin{cases} 5, & a < 1; \\ a^2, & a \geqslant 1. \end{cases}$$

График $L(a)$ разрывен в точке $a = 1$: слева он равен $5$, справа падает до $1$ и дальше растёт как парабола, снова достигая $5$ примерно при $a \approx 2{,}24$ и $9$ при $a = 3$.

д) Утверждение неверно. Возьмём $a_1 = 0{,}5$ и $a_2 = 3$. Спрос на неквалифицированный труд падает с $L_1 = 4$ до $L_1 = 0$, то есть рабочих действительно увольняют. Но суммарный спрос на труд людей при этом растёт: $L(0{,}5) = 5$, а $L(3) = 3^2 = 9$.

Объяснение. Более производительные роботы увеличивают объём производства, а значит и стимулы вкладываться в качество: выгода от каждой единицы качества умножается на большее количество товара. Фирма нанимает больше инженеров и дизайнеров, и этот прирост может перекрыть увольнение рабочих.

То же самое на языке субститутов и комплементов: неквалифицированный труд людей — субститут труда роботов, а квалифицированный труд — его комплемент (через связку количества и качества). При росте $a$ спрос на роботов растёт, поэтому спрос на их субститут падает, а на комплемент растёт, и сумма двух эффектов может оказаться положительной.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf

Выпиши сожаление для каждого сценария как линейную функцию долей и потребуй, чтобы все три оказались равны.

а) Пусть $x$ — доля средств, вкладываемых в Alset, тогда в Drof уходит $1 - x$.

При Сценарии 1 максимальная прибыль равна $0{,}3$ (всё в Alset), фактическая равна $0{,}3x - 0{,}2(1 - x)$, поэтому сожаление равно

$$0{,}3 - \bigl(0{,}3x - 0{,}2(1 - x)\bigr) = 0{,}5 - 0{,}5x.$$

При Сценарии 2 максимум равен $0{,}2$ (всё в Drof), фактическая прибыль равна $-0{,}1x + 0{,}2(1 - x)$, поэтому сожаление равно

$$0{,}2 - \bigl(-0{,}1x + 0{,}2(1 - x)\bigr) = 0{,}3x.$$

Максимальное сожаление равно $R_1(x) = \max\{0{,}5 - 0{,}5x;\ 0{,}3x\}$. Первое выражение убывает по $x$, второе растёт, и они равны при $0{,}5 - 0{,}5x = 0{,}3x$, то есть при $x = \dfrac{5}{8}$. Слева от этой точки максимум задаётся убывающей веткой, справа — растущей:

$$R_1(x) = \begin{cases} 0{,}5 - 0{,}5x, & x < 5/8; \\ 0{,}3x, & x \geqslant 5/8. \end{cases}$$

Значит, минимум достигается ровно в точке излома.

Ответ: $x^{\star} = \dfrac{5}{8} = 62{,}5\,\%$ средств в Alset, остальные $37{,}5\,\%$ — в Drof; сожаление при этом равно $0{,}3 \cdot \dfrac{5}{8} = 0{,}1875$ млн руб.

б) Добавим третий сценарий. Инвестор по-прежнему вкладывает всё, поэтому в кризисе лучший исход — вложить всё в Drof и потерять $0{,}2$; фактический результат равен $-0{,}3x - 0{,}2(1 - x)$. Сожаление равно

$$-0{,}2 - \bigl(-0{,}3x - 0{,}2(1 - x)\bigr) = 0{,}1x.$$

Теперь максимальное сожаление равно $R_2(x) = \max\{0{,}5 - 0{,}5x;\ 0{,}3x;\ 0{,}1x\}$. Но при всех $x \geqslant 0$ выполнено $0{,}3x \geqslant 0{,}1x$, то есть третий сценарий никогда не даёт большего сожаления, чем второй, и в максимуме он не участвует: $R_2(x) = R_1(x)$.

Ответ: ответ не меняется, $x^{\star} = \dfrac{5}{8}$.

в) Пусть $x$ и $y$ — доли средств, вложенные в Alset и Drof, $x,\, y \geqslant 0$, $x + y \leqslant 1$; остаток $1 - x - y$ лежит без доходности.

Сценарий 1: максимум $0{,}3$, фактическая прибыль $0{,}3x - 0{,}2y$, сожаление $0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y$.

Сценарий 2: максимум $0{,}2$, фактическая прибыль $-0{,}1x + 0{,}2y$, сожаление $0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y$.

Сценарий 3: обе бумаги падают, поэтому лучший исход — вообще не вкладываться, максимум равен $0$; фактическая прибыль равна $-0{,}3x - 0{,}2y$, сожаление равно $0{,}3x + 0{,}2y$.

Минимизируем

$$R(x, y) = \max\{0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y;\ 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y;\ 0{,}3x + 0{,}2y\}$$

при $x,\, y \geqslant 0$, $x + y \leqslant 1$.

По аналогии с пунктом а) предположим, что в оптимуме все три сожаления равны:

$$0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}2y = 0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y = 0{,}3x + 0{,}2y.$$

Первое равенство даёт $y = x - 0{,}25$, третье выражение вместе со вторым даёт $0{,}2 + 0{,}1x - 0{,}2y = 0{,}3x + 0{,}2y$, то есть $y = 0{,}5 - 0{,}5x$. Отсюда $x - 0{,}25 = 0{,}5 - 0{,}5x$, $x = 0{,}5$, $y = 0{,}25$. Сожаление в этой точке равно $R(0{,}5;\ 0{,}25) = \max\{0{,}2;\ 0{,}2;\ 0{,}2\} = 0{,}2$ млн руб.

Докажем, что меньше не бывает. Предположим противное: нашлись $x_0,\, y_0$ с $R(x_0, y_0) < 0{,}2$. Тогда каждое из трёх сожалений меньше $0{,}2$:

$$0{,}3 - 0{,}3x_0 + 0{,}2y_0 < 0{,}2, \qquad 0{,}2 + 0{,}1x_0 - 0{,}2y_0 < 0{,}2, \qquad 0{,}3x_0 + 0{,}2y_0 < 0{,}2.$$

Сложив первые два неравенства, получаем $0{,}5 - 0{,}2x_0 < 0{,}4$, откуда $x_0 > 0{,}5$. Сложив второе и третье, получаем $0{,}4x_0 < 0{,}2$, откуда $x_0 < 0{,}5$. Противоречие, значит минимально возможное сожаление действительно равно $0{,}2$ млн руб.

Ответ: $50\,\%$ средств в акции Alset, $25\,\%$ в акции Drof, оставшиеся $25\,\%$ не вкладывать никуда.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/final/econ/sol-econ-10-final-20-21.pdf