ВсОШ по экономике 2020/21, региональный этап, 9 класс, тур 2
4 задачи: условия, ответы и подробные решения. Для задач с развёрнутым решением — критерии оценивания, как у жюри.
- Время140 мин
- Максимум120 баллов
- Призёрот 104
- Победительот 147
Проходные баллы — по итогам в Москве: Протокол. В других регионах пороги свои. Все проходные баллы по годам.
Сначала реши сам: на платформе этот тур открыт бесплатно, ответы проверяются сразу, разбор открывается после верного ответа.
Решить тур на платформеЗадание 5. Шок на рынке масок
Рынок медицинских масок в стране A совершенно конкурентный. В 2019 году недельный рыночный спрос задавался уравнением $Q_d = 55 - P$, а недельное рыночное предложение — уравнением $Q_s = P - 11$; объём здесь измеряется в тыс. шт. в неделю, цена — в д.е. за штуку. Маски выпускали 10 одинаковых фирм.
В 2020 году из-за пандемии недельный спрос на маски резко вырос, причём кривая спроса сдвинулась параллельно. В первые месяцы пандемии производителей оставалось столько же, сколько в 2019 году, и цена маски выросла ровно в 4 раза. Во второй половине 2020 года на рынок вошли новые фирмы с той же технологией производства, что и у старых, после чего цена опустилась до уровня 2019 года.
а) Определи уравнение недельного спроса в 2020 году.
б) Определи, сколько фирм вошло на рынок в 2020 году.
в) Пусть после окончания пандемии спрос вернётся к уровню 2019 года, а число фирм останется таким же, каким стало в 2020 году. Какой будет цена на маски?
Все количества товара считай бесконечно делимыми, число фирм — целым.
Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.
Подсказка
Найди предложение одной фирмы из рыночного предложения десяти фирм, а объём рынка после входа новичков возьми из нового спроса при старой цене.
Решение
Сначала исходное равновесие: $55 - P = P - 11$, откуда $P = 33$ и $Q = 22$.
Пункт а). Цена выросла вчетверо, значит $P = 132$. Число фирм пока прежнее, поэтому предложение то же: $Q = 132 - 11 = 121$. Параллельный сдвиг спроса сохраняет наклон, так что новый спрос имеет вид $Q_d = a - P$, и из $121 = a - 132$ получаем $a = 253$. Спрос 2020 года: $Q_d = 253 - P$.
Пункт б). Во втором полугодии цена вернулась к $33$, значит объём рынка стал $Q = 253 - 33 = 220$. Прежнее рыночное предложение $Q_s = P - 11$ давали $10$ одинаковых фирм, поэтому одна фирма предлагает $q_s = 0{,}1\,(P - 11)$, и при цене $33$ это $2{,}2$. Всего фирм на рынке: $220 / 2{,}2 = 100$. Работало $10$, значит вошло $100 - 10 = 90$ фирм.
Пункт в). Спрос возвращается к $Q_d = 55 - P$, а предложение ста фирм равно $Q_s = 100 \cdot 0{,}1\,(P - 11) = 10P - 110$. Из $55 - P = 10P - 110$ получаем $11P = 165$ и $P = 15$.
Интересно, что после пандемии цена оказывается ниже, чем до неё: $15 < 33$. Причина — сильно наросшие за время пандемии мощности. Долго так продолжаться не будет: часть фирм постепенно уйдёт с рынка, и цена вернётся к уровню 2019 года.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-9-tur2-reg-20-21.pdf
Критерии оценивания
- 10 б. Пункт а): найдено равновесие 2019 года ($P = 33$, $Q = 22$), найден объём рынка 2020 года при выросшей вчетверо цене ($P = 132$, $Q = 121$), спрос записан через параметр так, что сдвиг параллельный ($Q_d = a - P$), и найдено $a = 253$
- 12 б. Пункт б): выписана функция предложения одной фирмы $q_s = 0{,}1\,(P - 11)$, найден её выпуск $2{,}2$ при цене $33$, найден объём рынка $220$ после входа новичков, найдено общее число фирм $100$ и дан ответ на вопрос задачи — вошло $90$ фирм
- 8 б. Пункт в): записано совокупное предложение ста фирм $Q_s = 10P - 110$, выписано условие равновесия со спросом $Q_d = 55 - P$ и найдена цена $P = 15$
Задание 6. Шарик-бизнесмен
Матроскин уехал в отпуск и оставил производство творога на Шарика. В Простоквашино Шарик — монополист. Недельный спрос на творог задаётся функцией $Q = 48 - 2P$, где $P$ — цена в д.е. за килограмм, а $Q$ — объём в килограммах. Чтобы произвести $Q$ кг творога, Шарику нужно потратить $t(Q) = Q^{2}/2$ часов: зависимость нелинейная, потому что Шарик устаёт и каждый следующий килограмм даётся ему труднее.
Кроме творога Шарик может давать уроки фотоохоты по цене 2 д.е. за час, причём число часов урока может быть нецелым. Всего на оба занятия у Шарика есть 50 часов в неделю, в остальное время он восстанавливает силы. Шарик максимизирует суммарный доход от двух видов деятельности.
а) Найди оптимальный для Шарика объём производства творога и его максимальный суммарный доход.
б) Почтальон Печкин предлагает привлечь покупателей из окрестных деревень, отчего спрос на творог вырастет до $Q = 72 - 2P$. За услугу Печкин просит 115 д.е. Какой объём производства выберет Шарик, если согласится на предложение? Стоит ли соглашаться?
в) Теперь Печкин просит не фиксированную сумму, а долю: треть выручки от продажи творога. Какой объём производства выберет Шарик, если согласится? Стоит ли ему соглашаться?
Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.
Подсказка
Время на уроки — это остаток от запаса часов, так что доход от уроков выражается через объём творога, и всё сводится к одной параболе на отрезке.
Решение
Ключ — свести всё к одной переменной $Q$.
Обратный спрос: $P = 24 - Q/2$, выручка от творога равна $(24 - Q/2)\,Q$. На творог уходит $Q^{2}/2$ часов, оставшиеся $50 - Q^{2}/2$ часов идут на уроки по $2$ д.е. в час. Суммарный доход:
$$R(Q) = \left(24 - \frac{Q}{2}\right)Q + 2\left(50 - \frac{Q^{2}}{2}\right) = 24Q - 1{,}5Q^{2} + 100.$$
Объём ограничен временем: $Q^{2}/2 \le 50$, то есть $Q \in [0;\,10]$.
Пункт а). Парабола ветвями вниз, вершина при $Q = 24/(2 \cdot 1{,}5) = 8$, и $8$ попадает в отрезок. Ответ: $Q^{*} = 8$ кг, доход $R_0 = 192 - 96 + 100 = 196$ д.е.
Пункт б). С расширенным спросом $P = 36 - Q/2$ доход равен $36Q - 1{,}5Q^{2} + 100$, вершина при $Q = 12$ лежит правее отрезка, поэтому оптимум на границе: $Q^{*} = 10$, доход $360 - 150 + 100 = 310$. За вычетом платы посреднику остаётся $310 - 115 = 195 < 196$, соглашаться не стоит. В официальном разборе в этом месте опечатка — напечатано «$210 - 115 = 195$», хотя доход равен $310$; на вывод это не влияет.
Пункт в). Если отдавать треть выручки, доход равен $\tfrac{2}{3}(36 - Q/2)Q + 100 - Q^{2} = 24Q - \tfrac{4}{3}Q^{2} + 100$. Вершина при $Q = 24 \cdot 3/8 = 9$, это внутри отрезка, доход $216 - 108 + 100 = 208 > 196$ — на такую сделку соглашаться стоит.
Тот же результат получится, если максимизировать не суммарный доход, а экономическую прибыль от творога: явных издержек нет, а неявные — это упущенный доход от уроков, $2\,t(Q)$. Суммарный доход отличается от такой прибыли на константу $100$, поэтому оптимальные выпуски совпадают.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-9-tur2-reg-20-21.pdf
Критерии оценивания
- 9 б. Пункт а): правильно составлена функция суммарного дохода (или экономической прибыли) $R(Q) = 24Q - 1{,}5Q^{2} + 100$, найдено $Q = 8$, проверено, что $8$ лежит в допустимом отрезке $[0;\,10]$, проверены достаточные условия максимума и найден доход $196$
- 11 б. Пункт б): составлена функция дохода при спросе $Q = 72 - 2P$, найдено $Q = 12$ с проверкой достаточных условий максимума, показано, что $12$ не лежит в отрезке $[0;\,10]$, определён оптимальный выпуск $Q^{\star} = 10$ и доход $310$, проведено сравнение с $196$ и сделан вывод, что на предложение Печкина за $115$ д.е. соглашаться не стоит
- 10 б. Пункт в): составлена функция дохода при отдаче трети выручки, найдено $Q = 9$ с проверкой достаточных условий максимума и принадлежности отрезку $[0;\,10]$, найден доход $208$, проведено сравнение с $196$ и сделан вывод, что на долю соглашаться стоит
Задание 7. Повышенная ставка
Банки обычно предлагают не один тип вклада, а линейку вкладов с разными свойствами и ставками: например, если вклад нельзя пополнять, ставка по нему обычно выше. Разберём такую ситуацию.
Тебе предлагают на выбор два вклада сроком 12 месяцев. Ставка по первому равна 1 % в месяц, и его можно пополнять на любую сумму с интервалом не менее месяца. Ставка по второму равна 1,5 % в месяц, но пополнять его нельзя. Проценты в этом банке простые: если сумма $s$ пролежала на вкладе $t$ месяцев по ставке $100r$ % в месяц, то в конце срока по ней выплатят проценты в размере $t \cdot r \cdot s$.
а) У тебя есть 500 тыс. рублей, которые ты готов разместить на вкладе, и каждый месяц ты готов сберегать из зарплаты ещё 40 тыс. рублей; первая зарплата придёт через месяц после начала срока вклада. Какой из двух вкладов выгоднее, если ты хочешь накопить к концу срока как можно большую сумму?
б) Теперь ты менеджер банка и прогнозируешь расходы на процентные выплаты, для чего надо предсказать, сколько людей выберет каждый тип вклада. Пусть $M$ — сумма, которую человек готов разместить на вкладе в начале срока, $X$ — сумма, которую он готов сберегать в каждом из последующих месяцев, и $k = M/X$. Маркетинговое исследование показало, что $k$ принимает значения от 5 до 15, а доли людей распределены так:
| Интервал $k$ | Доля людей |
|---|---|
| $[5;\,7]$ | 10 % |
| $(7;\,9]$ | 20 % |
| $(9;\,11]$ | 30 % |
| $(11;\,13]$ | 30 % |
| $(13;\,15]$ | 10 % |
Считай, что человек, которому безразлично, какой вклад открывать, открывает пополняемый. Какой процент людей выберет вклад с возможностью пополнения?
Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.
Подсказка
Выпиши итоговые суммы обоих вкладов через стартовую сумму и ежемесячный взнос и найди пороговое значение их отношения.
Решение
Проценты простые, поэтому взнос, пролежавший $t$ месяцев по месячной ставке $r$, приносит ровно $t\,r$ от своей величины. Взносы приходят через $1, 2, \dots, 12$ месяцев после старта, значит лежат $11, 10, \dots, 1, 0$ месяцев, и сумма этих сроков равна $\tfrac{11 \cdot 12}{2} = 66$. На непополняемом вкладе взносы просто копятся дома и процентов не приносят вовсе.
Пункт а). Пополняемый вклад: $500 + 500 \cdot 12 \cdot 0{,}01 + 40 \cdot 12 + 40 \cdot 0{,}01 \cdot 66 = 500 + 60 + 480 + 26{,}4 = 1066{,}4$ тыс. руб. Непополняемый: $500 + 500 \cdot 12 \cdot 0{,}015 + 40 \cdot 12 = 500 + 90 + 480 = 1070$ тыс. руб. Выгоднее непополняемый.
Пункт б). В общем виде пополняемый даёт $1{,}12M + 12{,}66X$, непополняемый — $1{,}18M + 12X$. Пополняемый не хуже, когда $1{,}12M + 12{,}66X \ge 1{,}18M + 12X$, то есть $0{,}66X \ge 0{,}06M$, откуда $k = M/X \le 11$. По условию при равенстве человек выбирает пополняемый, поэтому граница $k = 11$ уходит в его пользу.
По таблице долей интервалы $[5;\,7]$, $(7;\,9]$ и $(9;\,11]$ целиком лежат в зоне $k \le 11$ и дают $10 + 20 + 30 = 60\,\%$, а оставшиеся $40\,\%$ с $k > 11$ выберут непополняемый. Ответ: $60\,\%$.
Пункт а) можно было и не считать отдельно: там $k = 500/40 = 12{,}5 > 11$, и по найденному критерию выгоднее непополняемый вклад — ровно то, что получилось прямым расчётом.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-9-tur2-reg-20-21.pdf
Критерии оценивания
- 10 б. Пункт а): верно подсчитана сумма к концу года для пополняемого вклада ($1066{,}4$ тыс. руб.) и для непополняемого ($1070$ тыс. руб.), и на основании этих сумм сделан вывод, что предпочтительнее непополняемый вклад
- 20 б. Пункт б): корректно записаны выражения итоговых сумм через $M$ и $X$ ($1{,}12M + 12{,}66X$ и $1{,}18M + 12X$), составлено неравенство, показывающее, какой вклад при каких параметрах выгоднее, оно решено и получено граничное значение $k = 11$, названа доля людей, выбирающих пополняемый вклад, — $60\,\%$
Задание 8. Сложение квадратичных КПВ
На острове Паабалор живут два племени, промышляющие охотой и собирательством. Оба племени потребляют мясо ($x$) и плоды ($y$). Кривые производственных возможностей племён квадратичные:
$$y_1 = 4 - x_1^{2}, \qquad y_2 = 2 - \frac{x_2^{2}}{8}.$$
Каждая КПВ — вогнутая дуга, соединяющая точку на оси плодов с точкой на оси мяса. Первое племя может добыть максимум 2 единицы мяса (тогда плодов не будет совсем) либо собрать максимум 4 единицы плодов (тогда не будет мяса), то есть $x_1 \in [0;\,2]$. Второе племя может добыть максимум 4 единицы мяса либо собрать максимум 2 единицы плодов, то есть $x_2 \in [0;\,4]$.
а) Какое максимальное количество плодов может быть собрано на острове, если всего нужно добыть 3 единицы мяса?
б) Какое максимальное количество плодов может быть собрано на острове, если всего нужно добыть 5 единиц мяса?
в) Определи уравнение КПВ острова.
Дай развёрнутое решение всех пунктов: выкладки, обоснования и ответ по каждому.
Подсказка
Вырази мясо второго племени через мясо первого и максимизируй одну квадратичную функцию, не забыв про потолок добычи у каждого племени.
Решение
Суммарные плоды равны $y_1 + y_2 = 6 - x_1^{2} - x_2^{2}/8$, где $x_1 \in [0;\,2]$ и $x_2 \in [0;\,4]$ — мясо каждого племени.
Пункт а). При $x_1 + x_2 = 3$ подставляем $x_2 = 3 - x_1$ и максимизируем $6 - x_1^{2} - (3 - x_1)^{2}/8$ на отрезке $[0;\,2]$ (второе племя при таком $x_1$ добывает от 1 до 3 единиц, это ему по силам). Производная: $-2x_1 + (3 - x_1)/4 = 0$, то есть $9x_1 = 3$ и $x_1 = 1/3$; точка внутри отрезка, парабола ветвями вниз — значит это максимум. Тогда $x_2 = 8/3$, а плодов $6 - \tfrac{1}{9} - \tfrac{64/9}{8} = 6 - \tfrac{1}{9} - \tfrac{8}{9} = 5$. Ответ пункта а): $5$.
То же самое на языке альтернативных издержек: у первого племени они равны $2x_1$, у второго $x_2/4$, и в оптимуме совпадают: $2 \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{8/3}{4}$.
Пункт б). При $x_1 + x_2 = 5$ второе племя не вытянет больше $4$, поэтому $x_1 \ge 1$ и оптимизировать надо на $[1;\,2]$. Вершина параболы теперь при $x_1 = 5/9 < 1$, значит оптимум на левом конце: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, плодов $6 - 1 - 2 = 3$.
Пункт в). Для произвольного $X$ вершина находится при $x_1 = X/9$. Пока $X \le 4{,}5$, распределение $\left(\tfrac{X}{9},\ \tfrac{8X}{9}\right)$ допустимо, и $Y = 6 - X^{2}/9$. При $X > 4{,}5$ второе племя упирается в потолок $4$, остаётся $x_1 = X - 4$ и $Y = 4 - (X - 4)^{2}$. Итоговая КПВ острова:
$$Y = \begin{cases} 6 - X^{2}/9, & 0 \le X \le 4{,}5; \\ 4 - (X - 4)^{2}, & 4{,}5 \le X \le 6. \end{cases}$$
В точке стыка $(4{,}5;\,3{,}75)$ излома нет: наклон и слева, и справа стремится к единице.
Обрати внимание: альтернативные издержки у обоих племён растут и обращаются в ноль при малых $x$, поэтому привычный приём «выстроить производителей по возрастанию издержек» здесь не работает. Но результат отражает ту же логику: издержки первого племени растут быстрее, поэтому при небольшом $X$ оно добывает лишь одну девятую общего объёма мяса, и только когда второму племени не хватает возможностей, доля первого начинает расти.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-9-tur2-reg-20-21.pdf
Критерии оценивания
- 8 б. Пункт а): выписана максимизируемая функция двух переменных $y_1 + y_2 = 6 - x_1^{2} - x_2^{2}/8$ при $x_1 + x_2 = 3$, сделан переход к одной переменной, найден кандидат $x_1 = 1/3$ (вершина параболы, производная или равенство альтернативных издержек), проверены достаточные условия максимума и принадлежность $x_1 \in [0;\,2]$, $x_2 \in [0;\,4]$, найдено $Y = 5$
- 8 б. Пункт б): выписана та же задача при $x_1 + x_2 = 5$ с переходом к одной переменной, обосновано, что оптимизировать надо на отрезке $[1;\,2]$, правильно определён краевой оптимум $(x_1, x_2) = (1;\,4)$ со ссылкой на направление ветвей параболы или на монотонность функции, найдено $Y = 3$
- 14 б. Пункт в): поставлена задача максимизации при произвольном $X$ с переходом к одной переменной, для каждого $X$ верно указан отрезок оптимизации, найдена вершина $x_1 = X/9$, получено критическое значение $X = 4{,}5$ с обоснованием, почему при больших $X$ оптимум краевой, и выписана КПВ острова: $Y = 6 - X^{2}/9$ при $X \le 4{,}5$ и $Y = 4 - (X - 4)^{2}$ при $4{,}5 \le X \le 6$
Оригинал заданий: PDF на сайте олимпиады.
Хочешь разбирать такие задачи с победителями ВсОШ? Мини-группа 3–4 человека, лекция и семинар каждую неделю, первое занятие бесплатно.
Записаться на пробноеРегиональный этап 2020/21: другие классы
- 2020/21, региональный этап, 9 класс, тур 1
- 2020/21, региональный этап, 10 класс, тур 1
- 2020/21, региональный этап, 10 класс, тур 2
- 2020/21, региональный этап, 11 класс, тур 1
- 2020/21, региональный этап, 11 класс, тур 2