ВсОШ по экономике 2022/23, региональный этап, 9 класс

Вспомни, чему равна экономическая прибыль, и из скольких слагаемых складываются издержки в её формуле.

Ответ: 2

Разберём определение по частям. Явные издержки — это платежи внешним поставщикам: аренда, сырьё, зарплата наёмных работников. Неявные — упущенная выгода от собственных ресурсов владельца: зарплата, которую он мог бы получать на другой работе, процент на вложенные деньги, арендная плата за своё помещение.

Экономические издержки — это сумма тех и других: $TC_{econ} = TC_{expl} + TC_{impl}$. Именно поэтому экономическая прибыль меньше бухгалтерской.

В утверждении экономические издержки сведены только к неявной части, причём даже не ко всей, а лишь к стоимости времени владельца. Это уже, чем определение, поэтому утверждение неверно.

Ответ: 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Абсолютное преимущество и сравнительное — разные вещи; торговлю определяет второе.

Ответ: 2

Более высокая производительность труда в производстве товара $X$ означает, что у страны А есть абсолютное преимущество по этому товару. Но направление торговли определяется не абсолютным, а сравнительным преимуществом — тем, у кого альтернативные издержки производства $X$ ниже.

Пример: пусть в стране А за час делают $10$ единиц $X$ или $100$ единиц $Y$, а в стране B — $2$ единицы $X$ или $4$ единицы $Y$. Абсолютное преимущество по $X$ у А ($10 > 2$), но альтернативные издержки единицы $X$ в А равны $10$ единицам $Y$, а в B — всего $2$. Дешевле производить $X$ в стране B, поэтому А будет специализироваться на $Y$ и импортировать $X$.

Значит, вывод из утверждения не следует: оно неверно.

Ответ: 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Спроси себя, какое из двух неравенств создаёт стимулы, а какое мешает талантам реализоваться.

Ответ: 1

Разница между двумя видами неравенства в том, откуда оно берётся.

Неравенство доходов частично отражает разницу в усилиях, квалификации и готовности рисковать: больше получает тот, кто больше или лучше работает. Такой разрыв создаёт стимулы учиться и работать, и сам по себе он не считается бедой.

Неравенство возможностей — это когда способный и трудолюбивый человек не может получить образование или войти в профессию из-за места рождения, дохода семьи или связей. Здесь теряется не «справедливость» в абстрактном смысле, а реальный выпуск: талантливые люди не попадают туда, где они принесли бы наибольшую отдачу, и общий экономический «пирог» становится меньше.

Поэтому в экономической науке именно неравенство возможностей считают более серьёзной проблемой. Утверждение верно.

Ответ: 1 («Да»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Подумай, что происходит с качеством товара, когда у фирмы нет ни конкурентов, ни угрозы их появления.

Ответ: 2

Занижённый выпуск и завышенная цена дают чистые потери общества — это верно, но слово «единственный» делает утверждение ложным.

Монопольный рынок держится на высоких барьерах входа. Когда конкурентов нет и не предвидится, у фирмы пропадает необходимость бороться за покупателя качеством: она может выпускать товар хуже, чем выпускала бы под давлением конкурентов, и это тоже уменьшает благосостояние.

Сюда же добавляются два обычных пункта из учебника: издержки на удержание монопольного положения (лоббирование, суды, выкуп патентов) — ресурсы, потраченные впустую с точки зрения общества, — и ослабленный стимул внедрять новые технологии, снижающие издержки.

Значит, вред не сводится к одной паре «мало и дорого». Утверждение неверно.

Ответ: 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Попробуй развернуть причинно-следственную стрелку в обратную сторону и посмотри, не выйдет ли столь же правдоподобная история.

Ответ: 2

В условии описана корреляция: города с приложением и высокая доля пользователей метро встречаются вместе. Вывод же сделан о причинности — что приложение меняет поведение людей.

Стрелку можно развернуть. Разработчик выпускает приложение там, где на него есть спрос, то есть там, где метро и без того популярно. Тогда не приложение делает метро востребованным, а востребованность метро вызывает появление приложения.

Возможен и третий вариант: и то и другое тянет за собой общий фактор — размер города, плотность застройки, развитость сети, — а прямой связи между приложением и выбором транспорта нет вовсе.

Чтобы говорить о причинности, нужен эксперимент или хотя бы сравнение похожих городов до и после запуска приложения. Из приведённой статистики вывод не следует.

Ответ: 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Вспомни три фамилии лауреатов 2022 года и то, какому институту были посвящены их работы.

Ответ: 4

Премию 2022 года получили Бен Бернанке, Дуглас Даймонд и Филип Дибвиг — за исследования банков и финансовых кризисов.

Даймонд и Дибвиг построили модель, объясняющую, почему банк уязвим к набегу вкладчиков: он берёт короткие вклады и выдаёт длинные кредиты, поэтому паника сама себя оправдывает. Отсюда выводится роль страхования вкладов и кредитора последней инстанции. Бернанке на данных Великой депрессии показал, что спад углубился именно из-за краха банков, а не только из-за падения денежной массы.

Всё это — про предотвращение финансовых кризисов и борьбу с ними, то есть вариант 4.

Остальные направления из списка тоже существуют в экономической науке — дорожные заторы и распределение донорских органов разбирали другие лауреаты (Викри и Ротс с Шепли), — но к 2022 году они отношения не имеют.

Ответ: 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Ставка налога — это разрыв между ценой покупателя и ценой продавца; посмотри, куда сдвинулась каждая из них.

Ответ: 1

Обозначим через $P_0$ равновесную цену до налога, через $P_d$ и $P_s$ — цены покупателя и продавца после введения налога. По определению потоварного налога $t = P_d - P_s$.

Налог сокращает равновесный объём. Спрос строго убывает, поэтому меньшему объёму отвечает более высокая цена спроса: $P_d > P_0$. Предложение строго возрастает, поэтому меньшему объёму отвечает более низкая цена предложения: $P_s < P_0$.

Складываем: $t = P_d - P_s > P_d - P_0$. А разность $P_d - P_0$ и есть заданный в условии рост цены для потребителя.

Экономический смысл прост: часть налога всегда ложится на продавца, поэтому вся ставка строго больше той доли, которую взял на себя покупатель. Равенство было бы возможно только при абсолютно эластичном предложении, но оно по условию строго возрастает.

Ответ: 1 (ставка налога больше 10 ден. ед.).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Перемножь коэффициенты роста за два года и сравни результат с квадратом числа $0{,}8$.

Ответ: 1

Главная ловушка — посчитать среднее арифметическое $(-10 - 30)/2 = -20$ и выбрать границу наугад. Темпы прироста перемножаются, а не складываются, поэтому среднее здесь геометрическое.

За два года ВВП изменился в $0{,}9 \cdot 0{,}7 = 0{,}63$ раза.

Среднегодовой множитель $x$ удовлетворяет $x^2 = 0{,}63$. Сравним с удобным ориентиром: $0{,}8^2 = 0{,}64 > 0{,}63$, поэтому $x < 0{,}8$, то есть среднегодовой темп прироста меньше $-20\,\%$.

Снизу оценка очевидна: $x = \sqrt{0{,}63} \approx 0{,}794$, то есть около $-20{,}6\,\%$, что заведомо больше $-30\,\%$.

Значит, среднегодовой темп лежит в промежутке $[-30\,\%;\ -20\,\%)$ — это вариант 1. Заметь, что среднее геометрическое оказалось строго меньше арифметического: так бывает всегда, когда числа различаются.

Ответ: 1.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Выпиши прибыль второй фирмы как параболу по её собственному выпуску и найди вершину при каждом из двух выпусков соперника.

Ответ: 2

Фирма 2 ходит второй, поэтому выпуск соперника для неё — известное число. Строим её функцию наилучшего ответа.

Прибыль второй фирмы при обратном спросе $P = 100 - q_1 - q_2$ и постоянных средних издержках $20$:
$$\pi_2 = (100 - q_1 - q_2)q_2 - 20q_2 = (80 - q_1 - q_2)q_2.$$

Это парабола ветвями вниз с корнями $q_2 = 0$ и $q_2 = 80 - q_1$, поэтому вершина лежит посередине:
$$q_2^{*}(q_1) = \frac{80 - q_1}{2} = 40 - \frac{q_1}{2}.$$

Подставляем оба значения выпуска соперника: при $q_1 = 40$ получаем $q_2^{*} = 40 - 20 = 20$, при $q_1 = 50$ получаем $q_2^{*} = 40 - 25 = 15$.

Сокращение составляет $20 - 15 = 5$ единиц от прежних $20$, то есть $5/20 = 25\,\%$.

Заметь общее правило: наклон функции наилучшего ответа равен $-1/2$, поэтому на каждую дополнительную единицу соперника фирма отвечает сокращением на половину единицы.

Ответ: 2 (на $25\,\%$).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Считай единицы по одной: пока очередная приносит больше, чем стоит, её стоит выпускать.

Ответ: 2

При целочисленном выпуске правило $MR = MC$ превращается в пошаговое сравнение: очередную единицу стоит выпускать, пока она добавляет к прибыли больше нуля, то есть пока $MR(Q) > MC(Q)$.

Подставляем данные тура: $MR(Q) = 99$ и $MC(Q) = 10Q$.

Условие $99 > 10Q$ выполняется при $Q \leqslant 9$: девятая единица приносит $99$ и стоит $90$, добавляя к прибыли $9$.

Десятая единица уже невыгодна: она приносит $99$, а обходится в $100$, то есть отнимает от прибыли $1$. Дальше разрыв только растёт, ведь $MC$ увеличивается, а $MR$ постоянен.

Значит, наращивать выпуск имеет смысл ровно до девятой единицы включительно.

Вариант с $Q = 10$ — ловушка для тех, кто решает уравнение $99 = 10Q$ и округляет вверх; вариант с $Q = 18$ — для тех, кто приравнивает $99$ к средним, а не к предельным издержкам.

Ответ: 2 ($Q = 9$).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Определи для каждой пары товаров, заменители они или дополняющие, и следи, какая кривая сдвигается — спроса или предложения.

Ответ: 3, 4

Сначала расставим связи между тремя товарами. Смартфоны A и B — заменители, а смартфон A и зарядное устройство X — дополняющие товары.

Шаг 1. Предельные издержки производства A выросли — предложение A сдвинулось влево, цена A поднялась, а продажи A упали.

Шаг 2. Подорожание A увеличивает спрос на заменитель B. Предложение B не менялось, поэтому вдоль возрастающей кривой предложения растут и цена B, и объём производства B. Значит, вариант 1 неверен (цена B изменится) и вариант 2 неверен (объём B вырастет, а не снизится).

Шаг 3. Устройство X нужно только вместе с A, а продажи A упали, поэтому спрос на X сокращается. Кривая предложения X возрастает и на месте, значит движение идёт вниз по ней: падают и цена X, и объём его производства. Варианты 3 и 4 верны.

Ключевой момент: у X меняется именно спрос, а не предложение, поэтому цена и объём идут в одну сторону, а не в разные.

Ответ: 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Домножь двойное неравенство на объём, а последний вариант проверь, вспомнив, что после налога фирма выберет уже другой выпуск.

Ответ: 1, 2, 3

Домножим данное в условии двойное неравенство на $Q^{*} > 0$:
$$VC(Q^{*}) < PQ^{*} < TC(Q^{*}).$$

Левая часть даёт $\pi(Q^{*}) = PQ^{*} - TC(Q^{*}) > -FC$, правая — $\pi(Q^{*}) < 0$. Фирма работает в убыток, но убыток меньше постоянных издержек, то есть закрываться ей невыгодно. Вариант 1 верен.

Вариант 2: по определению минимума $\min AVC \leqslant AVC(Q^{*}) < P$. Верен.

Вариант 3 напрямую так не получить — неравенство смотрит в другую сторону. Докажем от противного: если бы $P \geqslant \min AC$, нашёлся бы выпуск с неотрицательной прибылью, а мы уже знаем, что максимальная прибыль отрицательна. Противоречие, значит $P < \min AC$. Верен.

Вариант 4 правдоподобен, но неверен. После введения налога фирма не обязана держать прежний выпуск — она подстроится. Сравнивать ставку нужно не с $P - AVC(Q^{*})$, а с $P - \min AVC$. Возьмём $t$ так, что $P - AVC(Q^{*}) < t < P - \min AVC$. Тогда $P - t > \min AVC$, и найдётся положительный выпуск с убытком меньше $FC$, то есть нулевой выпуск не оптимален.

Ответ: 1, 2 и 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Найди в условии фразу про внешний эффект и определи его знак — от него зависит, что нужно рынку: налог или субсидия.

Ответ: 1, 2, 4

Проверяем признаки совершенной конкуренции: фирм много, товар однородный, барьеры входа низки. Все три выполнены, поэтому вариант 1 верен.

Последняя фраза условия задаёт положительный внешний эффект в потреблении: покупая полёт, турист делает картину в небе красивее для всех остальных, но в своей готовности платить эту выгоду не учитывает.

Значит, предельная общественная выгода выше предельной частной, и рыночное равновесие даёт объём меньше общественно оптимального. Отсюда сразу вариант 4: шаров поднимается недостаточно.

Лекарство от положительного внешнего эффекта — субсидия: она снижает цену для покупателя, увеличивает объём и двигает рынок к оптимуму, повышая благосостояние. Вариант 2 верен.

Налог работает в противоположную сторону: он сократит и без того недостаточный объём и только усилит потери. Вариант 3 неверен.

Ответ: 1, 2 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Нарисуй КПВ страны как ломаную и подумай, чем отличается точка излома от точки внутри отрезка.

Ответ: 3, 4

КПВ страны строится сложением региональных КПВ по правилу сравнительных преимуществ: сначала товар $X$ делают там, где он дешевле всего в единицах $Y$, затем подключается следующий регион, и так далее.

Поскольку наклоны попарно различны, порядок подключения определён однозначно, и КПВ страны — ломаная ровно из ста звеньев, по одному на регион.

Точка на этой ломаной бывает двух видов.

1. Точка излома. Все регионы уже «перевёрнуты» полностью: каждый производит только один товар. Специализируются все $100$ регионов.

1. Точка внутри звена. Регион, которому отвечает это звено, делит своё поле между двумя товарами и не специализируется, а все остальные $99$ — специализируются.

Никакой точки, где не специализируются сразу два региона, не бывает: если бы таких регионов было два, их можно было бы поменяться производством, сдвинувшись за пределы КПВ, а это невозможно — различие наклонов гарантирует выигрыш от такого обмена.

Значит, возможны только $99$ и $100$.

Ответ: 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Для каждого блага спроси, на что покупатель переключится при росте цены, и насколько это переключение легко.

Ответ: 2, 4

Главный признак эластичности — наличие близких заменителей и доля расхода в бюджете.

У соли заменителей попросту нет, а тратят на неё копейки: даже двукратный рост цены почти не изменит покупаемое количество. Спрос крайне неэластичен.

Бензин в коротком периоде тоже почти незаменим: чтобы перейти на другое топливо, нужно переделать автомобиль, а отказаться от поездок на работу трудно. Спрос неэластичен, хотя и заметно менее жёстко, чем у соли.

Апельсины — один фрукт из десятка похожих: подорожали — берём яблоки или бананы. Спрос эластичен.

Отдых в Турции — тем более: рядом стоят другие страны и внутренний туризм, да и сама поездка не является необходимостью, а доля в бюджете велика. Спрос эластичен.

Ответ: 2 и 4 (бензин и соль).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Посчитай, от скольких единиц хлопка приходится отказаться ради одной единицы энергии, и переведи это в деньги.

Ответ: 50 д.е.

КПВ линейна, поэтому выбор сводится к сравнению выручки в двух крайних точках: всё поле под хлопком либо всё поле под батареями. Промежуточные варианты при линейной КПВ никогда не дают строго большей выручки.

Выручка от хлопка: $100 \cdot 40 = 4000$.

Выручка от энергии: $80 \cdot P_e$.

Батареи выгодны (или фермер безразличен), когда $80 P_e \geqslant 4000$, то есть $P_e \geqslant 50$.

По условию при безразличии фермер выбирает батареи, поэтому граница входит в ответ и минимальная цена равна $50$.

То же самое через альтернативные издержки: чтобы получить единицу энергии, приходится отказаться от $100/80 = 1{,}25$ единицы хлопка, то есть от $1{,}25 \cdot 40 = 50$ денежных единиц выручки. Батареи окупаются ровно тогда, когда цена энергии не ниже этой альтернативной стоимости.

Ответ: $50$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Посчитай максимальную прибыль до и после снижения издержек, а затем приравняй то, что остаётся фирме, к старой прибыли.

Ответ: 19 %

Считаем прибыль в двух режимах и сравниваем то, что остаётся фирме.

До реорганизации: $\pi(Q) = \left(11 - \dfrac{Q}{2}\right)Q - 2Q = 9Q - \dfrac{Q^2}{2}$. Это парабола ветвями вниз, вершина при $Q^{*} = 9$, максимальная прибыль $81 - 40{,}5 = 40{,}5$.

После реорганизации средние издержки падают вдвое, до $1$, и прибыль до расчёта с консультантами равна $\left(11 - \dfrac{Q}{2}\right)Q - Q = 10Q - \dfrac{Q^2}{2}$. Вершина при $Q^{*} = 10$, максимум $100 - 50 = 50$.

Важный момент: доля $\alpha$ — постоянный множитель, она не меняет точку максимума, поэтому оптимальный выпуск после реорганизации остаётся равным $10$, а фирме достаётся $(1 - \alpha)\cdot 50$.

Фирма не проигрывает, если $(1 - \alpha)\cdot 50 \geqslant 40{,}5$, откуда $1 - \alpha \geqslant 0{,}81$ и $\alpha \leqslant 0{,}19$.

Ответ: $0{,}19$, то есть $19\,\%$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Из каждой пары «цена — номинал» вытащи множитель наращения за свой период, а потом перемножь их.

Ответ: 400 д.е.

Бескупонная облигация — это обещание одной выплаты, поэтому её цена равна номиналу, делённому на множитель наращения за оставшийся срок.

Ставка от момента 1 до момента 2. Облигация A: $80 = \dfrac{100}{1 + r_{12}}$, откуда $1 + r_{12} = \dfrac{100}{80} = \dfrac{5}{4}$.

Ставка от момента 2 до момента 3. Облигация B в момент 2 будет стоить $200$ при номинале $240$: $200 = \dfrac{240}{1 + r_{23}}$, откуда $1 + r_{23} = \dfrac{240}{200} = \dfrac{6}{5}$.

Облигация C платит $600$ в момент 3, поэтому дисконтируем через оба периода:
$$P_C = \frac{600}{(1 + r_{12})(1 + r_{23})} = \frac{600}{\tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{6}{5}} = \frac{600}{1{,}5} = 400.$$

Ожидания у всех агентов одинаковы, поэтому будущая цена B честно переводится в ставку второго периода — это и есть ключ к задаче.

Ответ: $400$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Сначала найди вершину параболы по зарплате, а затем запиши ту же прибыль как произведение наценки на объём труда.

Ответ: 6 единиц труда

Приём задачи в том, что прибыль дана сразу как функция зарплаты, поэтому оптимум находится в одну строчку.

Шаг 1. Максимизируем $\pi(w) = 8w - w^2 + 20$. Парабола ветвями вниз, вершина при $w^{*} = \dfrac{8}{2} = 4$. Максимальная прибыль: $\pi(4) = 32 - 16 + 20 = 36$.

Шаг 2. Запишем ту же прибыль через объём труда. Выручка равна $P \cdot Q = 2 \cdot 5L = 10L$, затраты на труд равны $wL$, поэтому
$$\pi = (10 - w)L.$$

Шаг 3. Подставляем найденные числа: $36 = (10 - 4)L^{\star} = 6L^{\star}$, откуда $L^{\star} = 6$.

Заодно восстанавливается кривая предложения труда для этой фирмы: $L^{s}(w) = \dfrac{8w - w^2 + 20}{10 - w} = w + 2$. Проверка: при $w = 4$ получаем $L = 6$ — сходится.

Ответ: $6$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Функция издержек компании — это минимум по всем способам разделить добычу, поэтому неравенство может выполняться только как равенство.

Ответ: 2 млн куб. м

Функция $TC(Q)$ — это минимальные издержки добычи объёма $Q$, то есть результат наилучшего распределения добычи между месторождениями. Деление пополам — лишь один из вариантов, поэтому всегда верно $TC(Q) \leqslant TC_1(Q/2) + TC_2(Q/2)$.

Значит, требуемое в задании неравенство $\geqslant$ может выполняться только как равенство, то есть ровно тогда, когда делить добычу пополам оптимально.

Находим оптимум. Пусть на первом месторождении добывают $q_1$, на втором — $Q - q_1$. Суммарные издержки:
$$C(q_1) = 5q_1^2 + 10(Q - q_1).$$

Это парабола ветвями вверх, её вершина не зависит от $Q$:
$$q_1^{*} = \frac{10}{2 \cdot 5} = 1.$$

Тот же результат даёт правило равенства предельных издержек: $MC_1 = 10q_1$, $MC_2 = 10$, откуда $q_1 = 1$.

При $Q > 0$ точка $Q/2$ лежит строго внутри отрезка $[0;\,Q]$, поэтому минимум достигается в ней только если она и есть вершина: $Q/2 = 1$, то есть $Q = 2$.

Ответ: $Q = 2$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Подставь имеющийся капитал в производственную функцию и найди вершину параболы прибыли по объёму труда; в пункте б) проделай то же самое при шести единицах капитала и сравни две максимальные прибыли.

а) Капитал фиксирован на уровне $K = 4$, поэтому производственная функция превращается в функцию одного аргумента: $Q(L) = 4L - \dfrac{L^2}{2}$.

Цена выпуска равна $1$, расходы на уже имеющийся капитал понесены и на выбор труда не влияют, поэтому
$$\pi(L) = 4L - \frac{L^2}{2} - wL = (4 - w)L - \frac{L^2}{2}.$$

Это парабола с ветвями вниз — отсюда и название фирмы. Вершина:
$$L^{*} = \frac{4 - w}{2 \cdot \tfrac{1}{2}} = 4 - w.$$

Тот же ответ даёт правило $P \cdot MP_L = w$: предельный продукт труда равен $MP_L = 4 - L$, значит $4 - L = w$ и $L = 4 - w$. Это именно максимум, потому что $MP_L$ убывает.

На отрезке $w \in [0;\,4]$ величина $4 - w$ неотрицательна, так что ограничение $L \geqslant 0$ не связывает.

Ответ пункта а): $L^{d}(w) = 4 - w$.

б) Фирма согласится на аренду, пока её прибыль от этого не уменьшается, поэтому $S_{max}$ — разность максимальных прибылей с арендой (до вычета платы) и без неё.

Без аренды подставляем $L = 4 - w$ в функцию прибыли из пункта а):
$$\pi_1^{*} = (4 - w)(4 - w) - \frac{(4 - w)^2}{2} = \frac{(4 - w)^2}{2}.$$

С арендой капитал становится равен $4 + 2 = 6$, и всё повторяется с шестёркой вместо четвёрки: $\pi(L) = (6 - w)L - \dfrac{L^2}{2} - S$, оптимум $L = 6 - w$, максимальная прибыль
$$\pi_2^{*} = \frac{(6 - w)^2}{2} - S.$$

Условие $\pi_2^{*} \geqslant \pi_1^{*}$ даёт
$$S_{max}(w) = \frac{(6 - w)^2 - (4 - w)^2}{2} = \frac{(6 - w - 4 + w)(6 - w + 4 - w)}{2} = 10 - 2w.$$

На отрезке $w \in [0;\,4]$ это положительная величина, так что аренда фирме всегда интересна.

Ответ пункта б): $S_{max}(w) = 10 - 2w$.

в) Функция $S_{max}(w) = 10 - 2w$ убывает, поэтому в первый пропуск идёт «убывает», а во второй — «дополняющими».

Ответ пункта в): убывает; дополняющими.

Пояснение (от участника оно не требуется): $S_{max}(w)$ — это готовность платить за капитал, то есть характеристика спроса на капитал. Он убывает по цене труда, а когда спрос на одно благо падает при подорожании другого, блага дополняют друг друга. Здесь предельный продукт капитала равен $L$: чем выше зарплата, тем меньше труда нанимает фирма и тем меньше отдача от капитала.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Посчитай благосостояние отдельно при конкуренции и при монополии и сравни два линейных выражения от параметра ущерба; в пункте б) найди объём, максимизирующий благосостояние, и потребуй, чтобы он совпал с монопольным.

а) Считаем благосостояние в двух рыночных структурах.

Конкуренция. Предложение горизонтально на уровне $5$, значит $MC = 5$; постоянных издержек нет, поэтому $AC = 5$, цена равна $AC$ и прибыль фирм нулевая. Равновесие: $Q^{c} = 25 - 5 = 20$. Излишек потребителей $CS = 0{,}5 \cdot 20^2 = 200$, ущерб экологии $a \cdot 20^2 = 400a$. Итого
$$SW^{c} = 200 + 0 - 400a = 200 - 400a.$$

Монополия. Издержки те же, $TC(Q) = 5Q$, поэтому $\pi(Q) = (25 - Q)Q - 5Q = (20 - Q)Q$. Это парабола ветвями вниз с корнями $0$ и $20$, вершина при $Q^{m} = 10$; тот же ответ даёт условие $MR = MC$, то есть $25 - 2Q = 5$. Цена $P^{m} = 15$, прибыль $\pi^{m} = 100$, излишек потребителей $CS = 0{,}5 \cdot 10^2 = 50$, ущерб $100a$. Итого
$$SW^{m} = 50 + 100 - 100a = 150 - 100a.$$

Монополизация повышает благосостояние, когда $150 - 100a > 200 - 400a$, то есть $300a > 50$ и $a > \dfrac{1}{6}$.

Логика такая: монополия режет выпуск вдвое, общество теряет на этом $50$ единиц излишка, но выигрывает $300a$ на сокращении выбросов. При сильном внешнем эффекте выигрыш перевешивает.

Ответ пункта а): $a > 1/6$.

б) Сначала найдём объём, максимизирующий благосостояние. В общем виде излишек потребителей равен $CS(Q) = \dfrac{Q^2}{2}$, прибыль перевозчиков $\pi(Q) = (20 - Q)Q$, ущерб равен $aQ^2$, поэтому
$$SW(Q) = \frac{Q^2}{2} + (20 - Q)Q - aQ^2 = 20Q - \left(\frac{1}{2} + a\right)Q^2.$$

Это парабола ветвями вниз, её вершина
$$Q^{*} = \frac{20}{2\left(\tfrac{1}{2} + a\right)} = \frac{20}{1 + 2a}.$$

Монополия даёт максимум благосостояния тогда и только тогда, когда её собственный выпуск совпадает с этим числом. Из пункта а) известно, что $Q^{m} = 10$, поэтому
$$10 = \frac{20}{1 + 2a} \;\Longrightarrow\; 1 + 2a = 2 \;\Longrightarrow\; a = 0{,}5.$$

Тот же ответ даёт длинный путь: максимально возможное благосостояние равно $SW(Q^{*}) = \dfrac{200}{1 + 2a}$, приравнивая его к $150 - 100a$, получаем $4a^2 - 4a + 1 = 0$, то есть $(2a - 1)^2 = 0$ и $a = 0{,}5$.

Парадокс тут только кажущийся: при сильном отрицательном внешнем эффекте обществу нужен меньший выпуск, и монополия своим ограничением выпуска делает работу корректирующего налога.

Ответ пункта б): $a = 0{,}5$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Выведи формулу аннуитетного платежа: распиши долг через $S_0$, обнули его на сроке $T$ и сверни сумму геометрической прогрессии, а потом сравни два платежа и вырази скидку.

Сначала выведем формулу аннуитетного платежа в общем виде. Пусть долг равен $S_0$, ставка равна $100i$ процентов в месяц, платёж равен $X$.

Через месяц долг составит $S_1 = S_0(1+i) - X$. Через два месяца
$$S_2 = \big(S_0(1+i) - X\big)(1+i) - X = S_0(1+i)^2 - X(1+i) - X,$$
через три — $S_3 = S_0(1+i)^3 - X(1+i)^2 - X(1+i) - X$, и по индукции
$$S_t = S_0(1+i)^t - X\left[(1+i)^{t-1} + \ldots + (1+i) + 1\right].$$

К концу срока долг обнуляется, поэтому при $t = T$
$$S_0(1+i)^T = X\left[1 + (1+i) + \ldots + (1+i)^{T-1}\right].$$

Скобка — геометрическая прогрессия с $b = 1$ и $q = 1 + i$; по формуле из условия она равна $\dfrac{1 - (1+i)^{T}}{1 - (1+i)} = \dfrac{(1+i)^{T} - 1}{i}$. Отсюда
$$X = \frac{S_0\, i\, (1+i)^T}{(1+i)^T - 1} = \frac{S_0\, i}{1 - (1+i)^{-T}}.$$

Платёж по банковской ипотеке обозначим $X_1$: он получается при $S_0 = P(1-d)$ и $i = R$:
$$X_1 = \frac{P(1-d)R(1+R)^T}{(1+R)^T - 1}.$$

Платёж по ипотеке от застройщика обозначим $X_2$: он получается при $S_0 = P$ и $i = r$:
$$X_2 = \frac{P r (1+r)^T}{(1+r)^T - 1}.$$

Ипотека от банка строго выгоднее, когда $X_1 < X_2$:
$$\frac{P(1-d)R(1+R)^T}{(1+R)^T - 1} < \frac{P r (1+r)^T}{(1+r)^T - 1}.$$

Сокращаем на $P$ и выражаем скидку:
$$d > 1 - \frac{r}{R} \cdot \frac{(1+r)^T}{(1+R)^T} \cdot \frac{(1+R)^T - 1}{(1+r)^T - 1},$$
что то же самое, что
$$d > 1 - \frac{r}{R} \cdot \frac{1 - (1+R)^{-T}}{1 - (1+r)^{-T}}.$$

Ответ: ипотека от банка строго предпочтительнее при $d > 1 - \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{1 - (1+R)^{-T}}{1 - (1+r)^{-T}}$. От самой стоимости квартиры $P$ граница не зависит: оба платежа пропорциональны $P$.

Смысл ответа: низкая ставка застройщика оплачивается отказом от скидки, и чем короче срок, тем меньше весит разница ставок и тем меньшей скидки хватает, чтобы банковская ипотека оказалась выгоднее.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf

Сдвинь предложение на ставку налога, раздели случаи с экспортом и без него и найди вершину каждой из двух парабол налоговых сборов, проверяя, попадает ли вершина на свой участок.

Налог берут с каждой добытой единицы, поэтому он поднимает кривую предложения: $P = 30 + Q + t$, то есть $Q_s(P) = P - 30 - t$. Прямая функция внутреннего спроса: $Q_d(P) = 30 - \dfrac{P}{3}$.

Экспорт есть тогда и только тогда, когда при мировой цене внутреннего спроса не хватает на всё предложение: $30 - \dfrac{x}{3} < x - 30 - t$, то есть $t < \dfrac{4x}{3} - 60$. В этом случае добыча определяется мировой ценой: $Q = x - 30 - t$. Иначе нефть идёт только на внутренний рынок, и объём находится из равновесия $90 - 3Q = 30 + Q + t$, откуда $Q = \dfrac{60 - t}{4}$. Итого
$$Q(t) = \begin{cases} x - 30 - t, & t < \tfrac{4x}{3} - 60; \\ \tfrac{60 - t}{4}, & t \geqslant \tfrac{4x}{3} - 60. \end{cases}$$

Значит, сборы $T(t) = tQ(t)$ склеены из двух парабол ветвями вниз (в точке стыковки функция непрерывна):
$$T(t) = \begin{cases} t(x - 30 - t), & t < \tfrac{4x}{3} - 60; \\ \tfrac{t(60 - t)}{4}, & t \geqslant \tfrac{4x}{3} - 60. \end{cases}$$

Вершина левой параболы $t_1 = \dfrac{x - 30}{2}$, вершина правой $t_2 = 30$. Левая вершина лежит на своём участке при $\dfrac{x - 30}{2} < \dfrac{4x}{3} - 60$, то есть при $x > 54$; правая вершина лежит на своём участке при $30 > \dfrac{4x}{3} - 60$, то есть при $x < 67{,}5$. Кроме того, при $x \leqslant 45$ граница $\dfrac{4x}{3} - 60$ неположительна, и левого участка просто нет: мировая цена ниже внутренней равновесной, экспорта не будет даже без налога.

Разбираем четыре случая.

1. $x \leqslant 45$: левого участка нет, сборы — одна парабола, оптимум $t^{*} = t_2 = 30$.
2. $x \in (45;\,54]$: левый участок есть, но его вершина лежит правее участка, поэтому слева сборы растут; правая вершина на своём участке, значит $t^{*} = t_2 = 30$.
3. $x \in (54;\,67{,}5]$: обе вершины на своих участках, сравниваем значения. $T(t_1) = \dfrac{(x - 30)^2}{4}$, $T(t_2) = \dfrac{900}{4}$. Первое больше второго при $(x - 30)^2 > 900$, то есть при $x > 60$. Значит, при $x > 60$ оптимум $t^{*} = t_1 = \dfrac{x - 30}{2}$, при $x < 60$ оптимум $t^{*} = 30$, а при $x = 60$ государство безразлично и по условию выбирает меньшую ставку $t_1 = 15$.
4. $x > 67{,}5$: правая вершина лежит левее своего участка, значит справа сборы только убывают, и максимум достигается в левой вершине, $t^{*} = t_1 = \dfrac{x}{2} - 15$.

Собирая всё вместе:
$$t^{*}(x) = \begin{cases} 30, & x < 60; \\ \tfrac{x}{2} - 15, & x \geqslant 60. \end{cases}$$

График: горизонтальный отрезок на уровне $30$ при $x < 60$, затем скачок вниз до $15$ в точке $x = 60$ (там ставка равна $60/2 - 15 = 15$) и дальше луч с наклоном $1/2$, уходящий вверх.

Дилемма государства здесь в том, назначить ли ставку побольше, задушив экспорт, или поменьше, но собрать больше за счёт большого объёма экспорта. Любопытно, что на экспортном участке модель даёт ровно ту форму зависимости $t^{*}$ от мировой цены, которая используется в реальной формуле НДПИ.

Ответ: $t^{*}(x) = 30$ при $x < 60$ и $t^{*}(x) = x/2 - 15$ при $x \geqslant 60$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-9-reg-22-23.pdf