ВсОШ по экономике 2023/24, региональный этап, 9 класс

Три варианта из четырёх — это формулировки премий других лет; вспомни, чем именно занималась сама Голдин.

Ответ: 4

Формулировка Нобелевского комитета 2023 года — «за углубление нашего понимания положения женщин на рынке труда». Клаудия Голдин собрала данные за два столетия и показала, что участие женщин в рабочей силе менялось не монотонно: сначала оно снижалось при переходе от аграрной экономики к индустриальной, а потом росло вместе с развитием сферы услуг и доступностью образования.

Остальные три варианта — это премии соседних лет, и их полезно помнить отдельно. Предотвращение финансовых кризисов и роль банков — Бернанке, Даймонд и Дибвиг, 2022 год. Методы анализа естественных экспериментов — Кард, Ангрист и Имбенс, 2021 год. Теория аукционов и оптимальные правила их проведения — Милгром и Уилсон, 2020 год.

Значит верен четвёртый вариант — про изменение степени участия женщин в рабочей силе.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

У степенной функции спроса эластичность постоянна и равна показателю степени, а при постоянных издержках доля прибыли в выручке — это индекс Лернера.

Ответ: 3

Спрос $Q = \dfrac{100}{P^{2}}$ — степенная функция, у неё эластичность по цене постоянна и равна показателю степени: $E_d = -2$.

Издержки $TC = Q$ дают $MC = 1$ и $AC = 1$ — обе величины совпадают и не зависят от выпуска.

Монополист выбирает цену из условия $MR = MC$. Через эластичность: $MR = P\left(1 + \dfrac{1}{E_d}\right) = P\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{P}{2}$. Приравниваем к $MC = 1$ и получаем $P = 2$.

Тогда $Q = \dfrac{100}{4} = 25$, выручка $TR = 2 \cdot 25 = 50$, издержки $TC = 25$, прибыль $25$.

Доля прибыли в выручке: $\dfrac{25}{50} = 50\,\%$ — это третий вариант.

Короткий путь: раз $AC = MC$, то доля прибыли в выручке совпадает с индексом Лернера $\dfrac{P - MC}{P} = \dfrac{1}{|E_d|} = \dfrac{1}{2}$, и считать саму цену было не обязательно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Спроси про каждый инструмент, кому и в какой очереди достанутся деньги, если эмитент разорится.

Ответ: 4

Расставляем инструменты по тому, насколько надёжно инвестор получит свои деньги обратно.

Банковский вклад в пределах страховой суммы — самый безопасный: доходность зафиксирована договором, а при отзыве у банка лицензии вкладчику платит система страхования вкладов. Именно поэтому в условии оговорена сумма 1,4 млн руб. — это граница страхового покрытия.

Корпоративная облигация рискованнее: выплаты по ней тоже заранее известны, но никакой страховки нет, гарантия держится только на платёжеспособности эмитента. Зато держатель облигации — кредитор компании, и при банкротстве его требования удовлетворяются раньше, чем требования акционеров.

Акция — самый рискованный из трёх инструментов: дивиденды никто не обещает, курс может упасть, а при банкротстве акционер стоит в очереди последним и обычно не получает ничего.

Порядок «вклад, облигации, акции» — это четвёртый вариант.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Запиши экономическую прибыль через выручку и два вида издержек и просто перенеси явные издержки в другую часть равенства.

Ответ: 3

Выписываем определения. Бухгалтерская прибыль — это выручка минус явные (внешние, оплаченные деньгами) издержки. Экономическая прибыль вычитает ещё и неявные издержки — упущенные доходы от собственных ресурсов владельца.

Значит экономическая прибыль равна $TR - C_{expl} - C_{impl}$, где $TR$ — выручка, $C_{expl}$ — явные издержки, $C_{impl}$ — неявные.

Перенесём явные издержки в левую часть:
$$(TR - C_{expl} - C_{impl}) + C_{expl} = TR - C_{impl}.$$

Справа стоит ровно «разность выручки и неявных издержек» — это третий вариант.

Проверим остальные. Выручка получилась бы, если бы мы прибавили ещё и неявные издержки. Бухгалтерская прибыль — это $TR - C_{expl}$, а у нас явные издержки прибавляются, а не вычитаются. Четвёртый вариант даёт $TR - C_{expl} - C_{impl}$, то есть саму экономическую прибыль, а не искомую сумму.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Вспомни, что 2023 год был годом рекордно низкой безработицы, а не кризисным.

Ответ: 1

Это задание на знание порядка величины, а не на расчёт.

В 2023 году безработица в России держалась на исторических минимумах: по методологии МОТ Росстат публиковал с января по июнь значения в районе трёх с небольшим процентов, и к середине года показатель опустился примерно до $3{,}1\,\%$. Ежемесячные цифры лежат в докладах «Социально-экономическое положение России» на сайте Росстата.

Три процента попадают в первый промежуток — от нуля до пяти процентов.

Ориентир для проверки: двузначная безработица в России последний раз была в конце 1990-х, после кризиса 1998 года, а в 2020 году пик пандемии дал всего около $6{,}4\,\%$. Поэтому варианты с промежутками от десяти процентов и выше отбрасываются сразу, а промежуток от пяти до десяти процентов соответствует не спокойному, а кризисному году.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Абсолютное преимущество может быть в обоих делах сразу, а сравнительное — нет; разделение труда идёт по второму, а не по первому.

Ответ: 2, 4

Разбираем варианты по одному.

Абсолютное преимущество — это просто более высокая производительность. По условию она выше у Якова в обоих видах работы, значит утверждение про абсолютное преимущество в обоих делах верно. Это второй вариант.

Сравнительное преимущество в обоих видах деятельности невозможно, когда видов ровно два: альтернативные издержки двух дел взаимно обратны, и если у человека дешевле обходятся расчёты, то слайды у него обходятся дороже, чем у напарника. Первый вариант неверен.

Разделение труда идёт по сравнительным, а не по абсолютным преимуществам. Поэтому вполне возможна ситуация, когда более быстрый работник всё время занимается только одним делом — тем, в котором у него сравнительное преимущество. Третий вариант неверен из-за слова «обязательно».

Четвёртый вариант: если сравнительное преимущество в расчётах у Якова, то у Ивана оно в слайдах. Работа обоих видов нужна в положительном объёме, а работают они только по отдельности, поэтому при минимизации общего времени Иван хотя бы часть времени делает слайды. Верно.

Итог: верны второй и четвёртый варианты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Нарисуй три кривые и отметь порядок их минимумов: сначала MC, потом AVC, потом AC.

Ответ: 1, 3

Всё решает расположение трёх точек минимума. Предельные издержки $MC$ пересекают и $AVC$, и $AC$ ровно в их минимумах, причём минимум $MC$ лежит левее минимума $AVC$, а минимум $AVC$ — левее минимума $AC$ (постоянные издержки, размазываясь по выпуску, тянут $AC$ вниз дольше). Обозначим эти три точки $q_{MC} < q_{AVC} < q_{AC}$.

Первый вариант. $MC$ убывает только левее $q_{MC}$, а там левее и $q_{AVC}$, значит $AVC$ на этом участке тоже убывает. Верно.

Второй вариант. $AC$ убывает левее $q_{AC}$, но отрезок между $q_{AVC}$ и $q_{AC}$ тоже туда попадает, а на нём $AVC$ уже растёт. Неверно.

Третий вариант. $AC$ возрастает правее $q_{AC}$, а это правее $q_{AVC}$, значит там $AVC$ тоже возрастает. Верно.

Четвёртый вариант. $MC$ возрастает уже правее $q_{MC}$, а на куске от $q_{MC}$ до $q_{AVC}$ средние переменные издержки ещё снижаются. Неверно.

Итог: верны первый и третий варианты. Полезно нарисовать все три кривые на одном графике — тогда порядок минимумов виден сразу.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Раздели ставку налога между сторонами пропорционально эластичности другой стороны, а про расходы вспомни, где на линейном спросе выручка максимальна.

Ответ: 3, 4

Налоговое бремя делится обратно пропорционально эластичностям: чья сторона эластичнее, та уходит от налога.

Здесь $|E_d| = 1$, $E_s = 6$, ставка акциза $t = 7$ рублей за литр. Тогда
$$\Delta P_{d} = t \cdot \frac{E_s}{E_s + |E_d|} = 7 \cdot \frac{6}{7} = 6, \qquad \Delta P_{s} = t \cdot \frac{|E_d|}{E_s + |E_d|} = 7 \cdot \frac{1}{7} = 1.$$

Цена для потребителей растёт на $6$ рублей, цена для производителей падает на $1$ рубль, вместе как раз $7$.

Первый вариант (весь акциз лёг на потребителя) неверен: так было бы только при абсолютно неэластичном спросе. Второй вариант неверен по счёту: производители теряют $1$ рубль, а не $6$. Третий вариант совпадает с расчётом — верен.

Четвёртый вариант про общие расходы потребителей. Расходы $P_d \cdot Q$ на линейной кривой спроса максимальны ровно там, где эластичность по модулю равна единице, а по условию исходное равновесие стояло именно в этой точке. Любой сдвиг от неё расходы уменьшает, так что утверждение верно.

Итог: верны третий и четвёртый варианты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

КПВ не может проходить выше КТВ — значит равенство площадей под ними означает, что они просто совпадают.

Ответ: 1, 4

Ключевой факт: КТВ показывает наборы, доступные стране после производства и торговли, а КПВ — только после производства. Торговля не сужает возможности, поэтому КПВ нигде не лежит выше КТВ: она либо касается её, либо проходит ниже.

КТВ здесь: $Y + 2X = 100$, то есть отрезок от точки $(0;\,100)$ до точки $(50;\,0)$.

Первый вариант. Подставим предложенную точку: $50 + 2 \cdot 30 = 110 > 100$ — это выше КТВ, значит на КПВ такая точка лежать не может. Верно.

Второй вариант. Вторая точка даёт $30 + 2 \cdot 30 = 90 < 100$ — она под КТВ, ничего не нарушает и вполне может лежать на КПВ. Неверно.

Третий вариант. Из уравнения КТВ видно, что одна единица $X$ стоит двух единиц $Y$. Значит за одну единицу $Y$ на мировом рынке дадут лишь половину единицы $X$, а не две. Неверно.

Четвёртый вариант. Площадь под КТВ — прямоугольный треугольник: $\dfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot 100 = 2500$. Если площадь под КПВ такая же, а сама КПВ нигде не выше КТВ, то две кривые совпадают. Тогда КПВ линейна, и альтернативные издержки производства $X$ постоянны. Верно.

Итог: верны первый и четвёртый варианты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Сложи показатели степеней у всех факторов: меньше единицы — убывающая отдача, ровно единица — постоянная.

Ответ: 1, 3, 4

Приём один и тот же: умножаем все факторы на $t > 1$ и смотрим, во сколько раз вырос выпуск. Для функции вида $K^{a}L^{b}$ выпуск растёт в $t^{a+b}$ раз, так что вся работа сводится к сумме показателей степеней.

Первая функция $Q = \sqrt{L}$: единственный фактор входит в степени $\dfrac{1}{2}$, сумма показателей $\dfrac{1}{2} < 1$ — отдача убывающая. Верно.

Вторая функция $Q = \sqrt{KL}$: показатели $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1}{2}$, в сумме ровно $1$, выпуск растёт ровно в $t$ раз — отдача постоянная, а не убывающая. Неверно.

Третья функция $Q = \sqrt[4]{KL}$: показатели по $\dfrac{1}{4}$, сумма $\dfrac{1}{2} < 1$ — убывающая. Верно.

Четвёртая функция $Q = \sqrt[4]{KL} + \sqrt{KL}$ — сумма двух предыдущих. После замены получаем $\sqrt[4]{t}\,\sqrt[4]{KL} + \sqrt{t}\,\sqrt{KL}$, а сравнить это надо с $t\,\sqrt[4]{KL} + t\,\sqrt{KL}$. Оба множителя перед корнями меньше $t$, значит весь выпуск вырос менее чем в $t$ раз — отдача убывающая. Верно.

Итог: верны первый, третий и четвёртый варианты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Посчитай, сколько рублей один клиент оставляет сверх переменных издержек, и подели на них постоянные издержки.

Ответ: 5000 клиентов

Пусть $N$ — число клиентов.

Выручка растёт линейно: $TR = 1000N$. Переменные издержки тоже линейны, потому что средние переменные издержки по условию не зависят от числа клиентов: $VC = 700N$. Добавляем постоянные издержки $FC = 1\,500\,000$.

Каждый клиент приносит вклад в покрытие постоянных издержек $1000 - 700 = 300$ рублей.

Безубыточность — это неотрицательная прибыль: $1000N - 700N - 1\,500\,000 \ge 0$, то есть $300N \ge 1\,500\,000$ и $N \ge 5000$.

Минимальное подходящее целое число клиентов равно $5000$.

Проверка: выручка $5\,000\,000$, переменные издержки $3\,500\,000$, постоянные $1\,500\,000$, прибыль ровно ноль. При $4999$ клиентах прибыль уже отрицательна.

Ответ: $5000$ клиентов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Прибыль третьего года и цену продажи сложи в один поток и дисконтируй вместе.

Ответ: 91 млн руб.

Считаем по формуле $NPV = \sum \dfrac{CF_k}{(1+r)^{k}}$, ставка $r = 0{,}1$. Инвестиции делаются сейчас, поэтому не дисконтируются, а поток третьего года включает и прибыль, и выручку от продажи бизнеса.

Денежные потоки: $CF_0 = -10$, $CF_1 = -5{,}5$, $CF_2 = 2{,}42$, $CF_3 = 5{,}324 + 133{,}1 = 138{,}424$ млн рублей.

Дисконтируем по годам:
$$\frac{-5{,}5}{1{,}1} = -5, \qquad \frac{2{,}42}{1{,}21} = 2, \qquad \frac{138{,}424}{1{,}331} = 104.$$

Числа в задании подобраны так, что все три дроби делятся нацело, — это хороший способ проверить себя.

Складываем: $NPV = -10 - 5 + 2 + 104 = 91$.

Ответ: $91$ млн рублей. Проект выгоден, несмотря на убыток первого года: почти вся ценность сидит в цене продажи стартапа.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Запрет оптимален, когда предельные общественные издержки не меньше предельной выгоды уже на самой первой поездке.

Ответ: 80 д.е. за поездку

Запрет оптимален тогда, когда общественно оптимальный объём равен нулю. Значит надо найти этот объём и потребовать, чтобы он обнулился.

Спрос $Q = 100 - P$ даёт предельную общественную выгоду $MSB(Q) = 100 - Q$. Предложение горизонтально на уровне $P = 20$, то есть предельные частные издержки равны $20$. Внешний ущерб $cQ$ даёт предельный внешний ущерб $c$.

Предельные общественные издержки: $MSC = 20 + c$ — они не зависят от объёма.

Общественный излишек равен $\displaystyle\int_0^{Q}(100 - q)\,dq - (20 + c)Q$, его производная по $Q$ есть $100 - Q - 20 - c = 80 - c - Q$. Оптимум там, где производная равна нулю: $Q^{*} = 80 - c$, если это число положительно.

Заметь, что налог тут не ограничение: при ставке $t$ потребители платят $20 + t$ и покупают $80 - t$, так что налогом достижим любой объём от нуля до восьмидесяти, и оптимум всегда реализуем ставкой $t = c$.

Полный запрет становится не хуже любого налога, когда $Q^{*} \le 0$, то есть $c \ge 80$. Проверка: при $c = 80$ уже первая поездка приносит выгоду $100$, а стоит обществу $20 + 80 = 100$ — выигрыша нет ни на одной единице.

Ответ: минимальное $c$ равно $80$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Сначала вырази предложение через цену производителя, убрав из формулы старую ставку, и только потом подставляй новую.

Ответ: 9 %

Главная аккуратность здесь — отделить цену потребителя $P$ от цены производителя $p$: при ставке НДС $\tau$ выполнено $P = (1 + \tau)p$.

Старое равновесие. Приравниваем $12P - 140 = 280 - 9P$, откуда $21P = 420$, $P = 20$ и $Q = 280 - 180 = 100$.

Очищаем предложение от налога. При $\tau = 0{,}1$ имеем $P = 1{,}1p$, поэтому $Q_s = 12 \cdot 1{,}1p - 140 = 13{,}2p - 140$ — это и есть предложение по цене производителя.

Новая ставка. При $\tau = 0{,}2$ получаем $p = \dfrac{P}{1{,}2}$ и $Q_s = 13{,}2 \cdot \dfrac{P}{1{,}2} - 140 = 11P - 140$.

Новое равновесие: $11P - 140 = 280 - 9P$, откуда $20P = 420$, $P = 21$ и $Q = 280 - 189 = 91$.

Цена для потребителя выросла на $1$, наклон спроса равен $9$, значит объём упал на $9$ единиц — с $100$ до $91$. Это $9\,\%$ от исходной сотни.

Ответ: потребление сократилось на $9\,\%$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Занятые женщины — это разность между всем спросом на труд и предложением труда мужчин.

Ответ: 32 д.е.

Раз среди женщин есть безработица, минимальная зарплата связывает рынок, и фактическая ставка равна $w = w_{min}$.

Спрос на труд равен $96 - w$. Мужчины предлагают $1{,}2w$ и заняты все, потому что их берут первыми. Женщинам достаются оставшиеся места:
$$L^{emp} = (96 - w) - 1{,}2w = 96 - 2{,}2w.$$

Предложение труда женщин равно $w$, значит безработных женщин $w - (96 - 2{,}2w) = 3{,}2w - 96$.

Уровень безработицы среди женщин — это отношение числа безработных женщин к их предложению труда, и по условию оно равно $0{,}2$:
$$\frac{3{,}2w - 96}{w} = 0{,}2 \;\Longrightarrow\; 3{,}2w - 96 = 0{,}2w \;\Longrightarrow\; 3w = 96 \;\Longrightarrow\; w = 32.$$

Проверка. При $w = 32$ спрос на труд равен $64$, мужчины предлагают $38{,}4$ и все заняты, женщинам остаётся $64 - 38{,}4 = 25{,}6$ мест при предложении $32$, безработных $6{,}4$, а это ровно $20\,\%$ от $32$.

Отдельно убедимся, что минимум действительно связывает рынок: без него равновесие дало бы $96 - w = 2{,}2w$, то есть $w = 30$, а найденные $32$ выше.

Ответ: $w_{min} = 32$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Переведи каждый курс в множитель «сколько получишь за единицу» и перемножь их вдоль каждой замкнутой цепочки обменов.

Переведём таблицу в множители «сколько получишь за единицу». Курс «Р на С» — 1,1 руб/сом, значит за рубль дают $\dfrac{1}{1{,}1}$ сома; курс «Р на Т» — 0,2 руб/тен, значит за рубль дают $5$ тенге. Курс «С на Р» — $a$ сом/руб, значит за сом дают $\dfrac{1}{a}$ рубля; курс «С на Т» — 0,25 сом/тен, значит за сом дают $4$ тенге. Курс «Т на Р» — $b$ тен/руб, значит за тенге дают $\dfrac{1}{b}$ рубля; курс «Т на С» — 5 тен/сом, значит за тенге дают $\dfrac{1}{5}$ сома.

а) Достаточно предъявить одну прибыльную цепочку обменов. Возьмём цепочку Р → Т → С → Р и проведём по ней всю тысячу рублей.

Меняем $1000$ рублей на тенге: получаем $1000 \cdot 5 = 5000$ тенге. Меняем $5000$ тенге на сомы: получаем $\dfrac{5000}{5} = 1000$ сомов. Меняем $1000$ сомов на рубли по курсу $a = 0{,}95$ сом/руб: получаем $\dfrac{1000}{0{,}95} \approx 1052{,}63$ рубля.

Начали с $1000$ рублей, закончили примерно с $1052{,}63$ рубля, то есть около $52{,}63$ рубля чистой прибыли за один круг. Прибыль положительна, что и требовалось. Повторяя цепочку снова и снова, Вася наращивает прибыль — ограничит его только капитал банка.

б) Прибыль в рублях приносит только замкнутая цепочка, которая начинается и кончается рублём. Коротких таких цепочек ровно четыре: Р–С–Р, Р–Т–Р, Р–С–Т–Р и Р–Т–С–Р. Любая более длинная цепочка раскладывается на эти четыре и на петли внутри пары «сом — тенге» (С–Т–С и Т–С–Т), а петли прибыли не приносят: $\dfrac{1}{5} \cdot 4 = 0{,}8 < 1$. Поэтому достаточно потребовать, чтобы ни одна из четырёх коротких цепочек не была прибыльной. Стартуем в каждой с одного рубля и перемножаем множители.

Р–С–Р: рубль даёт $\dfrac{1}{1{,}1}$ сома, сом даёт $\dfrac{1}{a}$ рубля, итого $\dfrac{1}{1{,}1a}$. Прибыли нет, если $\dfrac{1}{1{,}1a} \le 1$, то есть $a \ge \dfrac{10}{11}$.

Р–Т–Р: рубль даёт $5$ тенге, тенге даёт $\dfrac{1}{b}$ рубля, итого $\dfrac{5}{b}$. Прибыли нет, если $b \ge 5$.

Р–С–Т–Р: $1 \to \dfrac{1}{1{,}1} \to \dfrac{4}{1{,}1} \to \dfrac{4}{1{,}1b}$. Прибыли нет, если $b \ge \dfrac{40}{11} \approx 3{,}64$.

Р–Т–С–Р: $1 \to 5 \to 1 \to \dfrac{1}{a}$. Прибыли нет, если $a \ge 1$.

Неравенства именно нестрогие: при равенстве круг возвращает ровно исходную сумму, а прибыль требуется положительная. Решаем систему из четырёх условий. Из двух условий на $a$ сильнее $a \ge 1$, из двух условий на $b$ сильнее $b \ge 5$.

Ответ пункта б): $a \ge 1$ и $b \ge 5$. Заодно видно, почему работал пункт а): там $a = 0{,}95 < 1$, то есть нарушено ровно то условие, которое отвечает за цепочку Р–Т–С–Р.

Полученные неравенства называют условиями отсутствия арбитража: арбитраж — это возможность заработать без риска на разнице курсов, и банк обязан выставлять курсы так, чтобы её не было.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Максимальная аренда — это разница между прибылью с двумя ценами и прибылью с одной единой ценой.

Издержки $TC = 20Q + 500$ дают $MC = 20$ и постоянную часть $500$, которая на выбор цены не влияет — она лишь уменьшает прибыль в любом сценарии.

а) Сначала рыночный спрос. При $P \ge 44$ пенсионеры уже не летают, и $Q = 80 - P$; при $P < 44$ покупают обе группы, и $Q = (44 - P) + (80 - P) = 124 - 2P$. Спрос ломаный, поэтому разбираем оба участка отдельно, а потом сравниваем прибыли.

Верхний участок ($P \ge 44$): обратный спрос $P = 80 - Q$, предельная выручка $MR = 80 - 2Q$. Из $80 - 2Q = 20$ получаем $Q = 30$ и $P = 50$; цена попала в свой участок. Прибыль: $(50 - 20) \cdot 30 - 500 = 400$.

Нижний участок ($P < 44$): обратный спрос $P = 62 - \dfrac{Q}{2}$, предельная выручка $MR = 62 - Q$. Из $62 - Q = 20$ получаем $Q = 42$ и $P = 41$; цена тоже попала в свой участок. Прибыль: $(41 - 20) \cdot 42 - 500 = 382$.

Обе функции прибыли — параболы ветвями вниз, поэтому найденные точки действительно максимумы на своих участках. Сравниваем: $400 > 382$, значит компания назначит единую цену $P = 50$ и фактически откажется от пенсионеров — при такой цене они не летают вовсе.

б) Максимум, который фирма готова отдать за офис, — это прирост её прибыли от возможности назначить две цены вместо одной. С офисом прибыль распадается на два независимых слагаемых, каждое зависит только от своей цены, поэтому максимизируем их по отдельности.

Пенсионеры: $P = 44 - Q$, из $44 - 2Q = 20$ получаем $Q = 12$ и $P = 32$, вклад в прибыль $(32 - 20) \cdot 12 = 144$. Непенсионеры: та же задача, что и на верхнем участке пункта а), $Q = 30$, $P = 50$, вклад $(50 - 20) \cdot 30 = 900$.

Прибыль с офисом (без учёта аренды): $144 + 900 - 500 = 544$. Без офиса было $400$. Значит
$$R_{max} = 544 - 400 = 144.$$
Тот же ответ можно получить короче: цена для непенсионеров не изменилась, поэтому весь прирост прибыли — это ровно то, что компания теперь снимает с пенсионеров, то есть $144$.

в) Спрос пенсионеров тот же, для них по-прежнему $Q = 12$, $P = 32$ и вклад $144$. Для непенсионеров новый спрос $Q = 90 - P$: из $90 - 2Q = 20$ получаем $Q = 35$, $P = 55$ и вклад $(55 - 20) \cdot 35 = 1225$.

Прибыль с офисом: $1225 + 144 - 500 = 869$. Без офиса компания живёт в прежних условиях, её прибыль всё те же $400$. Значит $R_{max} = 869 - 400 = 469$.

Задача не выдумана: авиакомпания «Ижавиа» продаёт билеты по льготному тарифу «Социальный» только в офисе — оформить его на сайте нельзя.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf

Число комплектов равно суммарному выпуску X — выразите его через выпуск X в стране с параболой и найдите вершину.

Комплект состоит из одной единицы $X$ и пяти единиц $Y$, поэтому число комплектов всегда равно произведённому количеству $X$, а $Y$ должно быть ровно впятеро больше.

а) Каждая страна замкнута, значит условие $y = 5x$ должно выполняться внутри каждой.

Линея: подставляем $y_1 = 5x_1$ в $y_1 = 280 - 2x_1$, получаем $7x_1 = 280$ и $x_1 = 40$ — сорок комплектов.

Квадратия: из $5x_2 = 252 - \dfrac{x_2^{2}}{7}$ выходит $x_2^{2} + 35x_2 - 1764 = 0$, дискриминант $1225 + 7056 = 8281 = 91^{2}$, положительный корень $x_2 = \dfrac{-35 + 91}{2} = 28$ — двадцать восемь комплектов.

Порознь страны собирают $40 + 28 = 68$ комплектов.

б) Теперь ограничение одно на двоих: суммарный выпуск $Y$ должен быть впятеро больше суммарного выпуска $X$, а внутри каждой страны производство лежит на её КПВ. Комплекты можно потом поделить между странами как угодно.
$$(280 - 2x_1) + \left(252 - \frac{x_2^{2}}{7}\right) = 5(x_1 + x_2).$$
Отсюда $7x_1 = 532 - 5x_2 - \dfrac{x_2^{2}}{7}$, и число комплектов равно суммарному выпуску $X$:
$$N = x_1 + x_2 = 76 - \frac{5}{7}x_2 - \frac{x_2^{2}}{49} + x_2 = 76 + \frac{2}{7}x_2 - \frac{x_2^{2}}{49}.$$

Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине: $\dfrac{2}{7} = \dfrac{2x_2}{49}$, то есть $x_2 = 7$. Тогда $N = 76 + 2 - 1 = 77$ и $x_1 = 77 - 7 = 70$.

Проверка допустимости: у Линеи $y_1 = 280 - 2 \cdot 70 = 140$, у Квадратии $y_2 = 252 - \dfrac{49}{7} = 245$; вместе $140 + 245 = 385 = 5 \cdot 77$, и оба выпуска $X$ не выходят за пределы своих КПВ ($x_1 = 70 \le 140$, $x_2 = 7 \le 42$).

Ответ пункта б): $77$ комплектов, это на $77 - 68 = 9$ комплектов больше, чем в пункте а).

Экономический смысл выигрыша виден через альтернативные издержки $X$. В Линее они постоянны и равны $2$, в Квадратии равны $\left|\dfrac{dy_2}{dx_2}\right| = \dfrac{2x_2}{7}$ и растут. Пока $x_2 < 7$, производить $X$ дешевле в Квадратии; дальше выгоднее переключиться на Линею. Раздельное производство эту выгоду теряет, потому что каждая страна вынуждена сама закрывать свой спрос на оба товара.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-9-reg-23-24.pdf