ВсОШ по экономике 2023/24, региональный этап, 11 класс

Лауреат 2023 года был один, и премию дали за работы по рынку труда.

Ответ: г

Премию памяти Нобеля по экономике за 2023 год получила Клаудия Голдин — единственный лауреат того года. Формулировка комитета: за то, что она углубила наше понимание положения женщин на рынке труда.

Голдин обработала статистику США за два с лишним века и показала, что участие женщин в рабочей силе менялось не по прямой, а U-образно: при переходе от аграрной экономики к индустриальной оно сначала падало, а потом, с ростом сферы услуг, доступного образования и появлением надёжной контрацепции, снова росло. Вторая её большая тема — почему разрыв в оплате труда между мужчинами и женщинами держится даже внутри одной профессии и при одинаковом образовании.

Остальные три варианта списка — это темы премий других лет: предотвращение финансовых кризисов (Бернанке, Даймонд и Дибвиг, 2022), методы анализа естественных экспериментов (Кард, Ангрист и Имбенс, 2021), теория аукционов (Милгром и Уилсон, 2020).

Значит, верен четвёртый вариант списка — буква «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

У степенного спроса эластичность одинакова в любой точке, поэтому $MR$ выражается через $P$ одной формулой.

Ответ: в

Спрос $Q = 100/P^2$ — степенная функция, у неё одна и та же эластичность по цене в любой точке: $E_d = -2$.

При постоянной эластичности предельная выручка выражается через цену так:

$$MR = P\left(1 + \frac{1}{E_d}\right) = P\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{P}{2}.$$

Из $TC = Q$ следует $MC = 1$. Условие оптимума монополии $MR = MC$ даёт $P/2 = 1$, то есть $P = 2$.

Дальше считаем: $Q = 100/2^2 = 25$, выручка $TR = 2 \cdot 25 = 50$, издержки $TC = 25$, прибыль $\pi = 50 - 25 = 25$. Доля прибыли в выручке равна $25/50 = 0{,}5$, то есть 50 %. Это третий вариант списка — буква «в».

Можно и без формулы эластичности. Обратный спрос $P = 10/\sqrt{Q}$, прибыль $\pi(Q) = 10\sqrt{Q} - Q$. Замена $z = \sqrt{Q}$ превращает её в параболу $10z - z^2$ ветвями вниз с максимумом при $z = 5$, то есть $Q = 25$ и $P = 2$ — ответ тот же.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Выстрой инструменты по тому, кто раньше получит деньги при банкротстве и у кого есть государственная страховка.

Ответ: г

Сравниваем инструменты по тому, насколько надёжно инвестор получит деньги обратно.

Рублёвый банковский вклад в пределах страховой суммы — самый безопасный из трёх: доходность известна заранее, а сам вклад застрахован государственной системой страхования вкладов, так что даже при отзыве лицензии у банка деньги возвращают.

Корпоративная облигация рискованнее вклада: страховки нет, платить обязана сама компания. Но купоны и дата погашения зафиксированы в условиях выпуска, а держатели облигаций — кредиторы, и при банкротстве их требования удовлетворяют раньше, чем требования акционеров.

Акция — самый рискованный инструмент: дивиденды никто не обещает, цена может упасть, а акционеры в очереди стоят последними и получают только то, что осталось после расчётов со всеми остальными.

Порядок по возрастанию риска: вклад, корпоративные облигации, акции. Это четвёртый вариант списка — буква «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Умножение всех доходов на одно и то же число кривую Лоренца не двигает, а прибавление одного и того же числа — двигает.

Ответ: в

Коэффициент Джини измеряет относительное неравенство: он зависит только от долей, которые группы занимают в общем доходе, а не от абсолютных сумм.

Первый шаг. Пропорциональный налог по ставке $t$ умножает доход каждого человека на один и тот же множитель $(1 - t)$. Все доли в общем доходе остаются прежними, кривая Лоренца не сдвигается, значит $G_1 = G_0$.

Второй шаг. Собранный налог раздают поровну между группами и равномерно внутри каждой, то есть каждый получает одну и ту же прибавку. Для бедной группы эта прибавка — большой процент к доходу, для богатой — маленький, поэтому доходы сближаются и кривая Лоренца подтягивается к диагонали: $G_2 < G_1$.

Проверим на числах. Пусть в каждой группе по одному человеку с доходами 100 и 300, ставка $t = 0{,}2$. После налога: 80 и 240, доли те же (1 к 3), Джини не изменился. Собрано $20 + 60 = 80$, каждому по 40: получаем 120 и 280, доли уже 3 к 7 — неравенство меньше.

Итого $G_0 = G_1 > G_2$ — третий вариант списка, буква «в».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Вспомни, что в 2023 году показатель обновлял исторический минимум, а не рекорд.

Ответ: а

Росстат считает уровень безработицы по методологии МОТ: безработные — это люди без работы, которые её искали и готовы приступить, а уровень — их доля в рабочей силе.

В первом полугодии 2023 года показатель обновлял исторические минимумы: он держался около трёх с небольшим процентов и к июню опустился примерно до 3,1 %. Причины — сокращение рабочей силы по демографическим причинам и высокий спрос на работников.

Значит, значение попадает в первый промежуток, от нуля до пяти процентов — буква «а».

Ориентир на будущее: двузначная безработица для России — это уровень конца 1990-х, а в последние годы показатель ниже 5 %, так что варианты с 10 % и 15 % отпадают сразу.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Реши, какая кривая — спроса или предложения — определяет выпуск в каждом из двух периодов.

Ответ: а, г

Задача про модель AD–AS. Раз фирмы не могут менять цены в краткосрочном периоде, краткосрочное предложение горизонтально, и сдвиг совокупного спроса целиком уходит в выпуск. В долгосрочном периоде цены гибкие, кривая предложения вертикальна на уровне потенциального выпуска, и сдвиг спроса целиком уходит в цены.

Теперь по вариантам.

Первый: рост госзакупок — это рост $G$, то есть сдвиг $AD$ вправо; при жёстких ценах реальный ВВП растёт. Верно.

Второй: тот же сдвиг $AD$ вправо в долгосрочном периоде упирается в вертикальное предложение, выпуск возвращается к потенциальному. Неверно.

Третий: рост аккордных налогов уменьшает располагаемый доход и сдвигает $AD$ влево, но в долгосрочном периоде выпуск снова определяется только предложением. Неверно.

Четвёртый: снижение аккордных налогов сдвигает $AD$ вправо, а в долгосрочном периоде весь эффект достаётся уровню цен — это и есть инфляция. Верно.

Ответ: «а» и «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Расставь на оси выпуска три точки минимумов — $MC$, $AVC$ и $AC$ — и посмотри, какой участок вложен в какой.

Ответ: а, в

Опорные факты стандартного графика издержек: $MC$ пересекает и $AVC$, и $AC$ ровно в точках их минимумов; $AVC$ убывает там, где $MC < AVC$, и растёт там, где $MC > AVC$; то же самое верно для $AC$. Поскольку $AC = AVC + AFC$, а $AFC$ всё время убывает, минимум $AC$ лежит правее минимума $AVC$. А минимум самой $MC$ лежит левее минимума $AVC$. Итого по оси выпуска идут подряд: минимум $MC$, минимум $AVC$, минимум $AC$.

Первый вариант: если $MC$ убывает, мы левее минимума $MC$, а значит и левее минимума $AVC$ — там $AVC$ убывает. Верно.

Второй: $AC$ убывает на всём участке левее своего минимума, а туда попадает и кусок между минимумом $AVC$ и минимумом $AC$, где $AVC$ уже растёт. Неверно.

Третий: если $AC$ возрастает, мы правее минимума $AC$, то есть тем более правее минимума $AVC$ — там $AVC$ растёт. Верно.

Четвёртый: $MC$ возрастает уже правее своего минимума, но между минимумом $MC$ и минимумом $AVC$ кривая $AVC$ ещё убывает. Неверно.

Ответ: «а» и «в».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Налог делится между сторонами обратно пропорционально модулям эластичностей, а точка $E_d = -1$ на линейном спросе особенная для выручки.

Ответ: в, г

Как делится потоварный налог. При одном и том же изменении равновесного объёма сильнее меняется цена у той стороны, чья кривая менее эластична. Для линейных функций изменения цен относятся обратно пропорционально модулям эластичностей:

$$\frac{\Delta P_d}{\Delta P_s} = \frac{|E_s|}{|E_d|} = \frac{6}{1}.$$

Весь налог, 7 руб. за литр, делится в отношении 6 к 1: цена для потребителей вырастет на 6 руб., цена для производителей упадёт на 1 руб.

Первый вариант: рост цены потребителя на все 7 руб. бывает при абсолютно неэластичном спросе или абсолютно эластичном предложении — не наш случай. Неверно.

Второй: цена производителя падает на 1 руб., а не на 6. Неверно.

Третий: ровно то, что мы посчитали. Верно.

Четвёртый: в исходном равновесии эластичность спроса равна $-1$, а на линейной кривой спроса точка единичной эластичности — это максимум общих расходов потребителей $P \cdot Q$. Раз расходы были максимальны, любое изменение цены их уменьшит. Верно.

Ответ: «в» и «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Нарисуй КТВ, посчитай площадь под ней и вспомни, может ли КПВ где-то оказаться выше КТВ.

Ответ: а, г

Главное различие: КПВ — это то, что страна может произвести сама, а кривая торговых возможностей (КТВ) — то, что она может себе позволить, произведя и обменяв на мировом рынке. Торговля не ухудшает положение страны, поэтому КПВ нигде не лежит выше КТВ.

КТВ задана как $Y + 2X = 100$, то есть $Y = 100 - 2X$. Подставляем точки.

Первый вариант: для точки $X = 30$, $Y = 50$ получаем $Y + 2X = 110 > 100$ — точка выше КТВ, а значит и выше КПВ, лежать на КПВ она не может. Верно.

Второй: для $X = 30$, $Y = 30$ выходит $90 < 100$ — точка ниже КТВ, никакого противоречия, она вполне может оказаться на КПВ. Неверно.

Третий: наклон КТВ задаёт мировые пропорции обмена. Отказавшись от 1 единицы $Y$, страна получает $0{,}5$ единицы $X$, а не 2. Неверно.

Четвёртый: КТВ пересекает оси в точках $X = 50$ и $Y = 100$, площадь под ней равна $\tfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot 100 = 2500$. Если площадь под КПВ тоже 2500, а КПВ нигде не выше КТВ, то кривые совпадают. Значит КПВ линейна, а альтернативные издержки производства $X$ постоянны. Верно.

Ответ: «а» и «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Подставь $tK$ и $tL$ и вынеси $t$ из-под корня — сравнивать останется только степень.

Ответ: а, в, г

Признак простой: увеличиваем все факторы в $t > 1$ раз и смотрим, во сколько раз вырос выпуск. Если меньше чем в $t$ раз — отдача убывающая. Пригодится неравенство $\sqrt{t} < t$ при $t > 1$.

Первый вариант, $Q = \sqrt{L}$: подставляем $tL$ и получаем $\sqrt{tL} = \sqrt{t}\,\sqrt{L} < t\sqrt{L}$. Убывающая. Верно.

Второй, $Q = \sqrt{KL}$: $\sqrt{tK \cdot tL} = \sqrt{t^2 KL} = t\sqrt{KL}$ — выпуск вырос ровно в $t$ раз. Это постоянная отдача, а не убывающая. Неверно.

Третий, $Q = \sqrt[4]{KL}$: $\sqrt[4]{t^2 KL} = \sqrt{t}\,\sqrt[4]{KL} < t\sqrt[4]{KL}$. Убывающая. Верно.

Четвёртый, $Q = \sqrt{KL} + \sqrt[4]{KL}$: первое слагаемое растёт в $t$ раз, второе — в $\sqrt{t}$ раз, поэтому сумма растёт меньше чем в $t$ раз. Убывающая. Верно.

Удобная проверка: у функции Кобба-Дугласа отдача от масштаба определяется суммой степеней, и у вариантов 1 и 3 она равна $1/2$, у варианта 2 — единице. Сумма функций с разной отдачей ведёт себя как худшая из них.

Ответ: «а», «в» и «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

В долгосрочном периоде выпуск возвращается к потенциальному, так что в уравнении обмена меняться остаётся только цене.

Ответ: 10 %

Уравнение количественной теории денег: $MV = PY$. Скорость $V$ постоянна, поэтому совокупный спрос — гипербола $P = MV/Y$, и при росте $M$ она сдвигается вправо ровно пропорционально.

Ключ к задаче в том, что происходит в долгосрочном периоде. Там цены полностью гибкие, кривая долгосрочного предложения вертикальна, и выпуск возвращается к потенциальному уровню — тому самому, на котором экономика была в исходном долгосрочном равновесии. Уравнение краткосрочного предложения $Y = 2024P$ определяет только промежуточный результат и на долгосрочный ответ не влияет.

Значит, в равенстве $MV = PY^{*}$ справа меняется только $P$. Если $M$ вырос на 10 %, а $V$ и $Y^{*}$ не изменились, то и $P$ должен вырасти на 10 %.

По шагам: $M_1 = 1{,}1 M_0$, откуда $P_1 = \dfrac{M_1 V}{Y^{*}} = 1{,}1 \cdot \dfrac{M_0 V}{Y^{*}} = 1{,}1 P_0$. Инфляция равна $(P_1 - P_0)/P_0 = 0{,}1$.

Ответ: 10 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Приведи к сегодняшнему дню каждый поток отдельно, не забыв про деньги от продажи в конце третьего года.

Ответ: 91 млн руб.

Чистая приведённая стоимость — это сумма всех потоков, приведённых к сегодняшнему дню делением на $(1 + r)^t$. Ставка $r = 0{,}1$, поэтому делители по годам: $1{,}1$, $1{,}21$ и $1{,}331$.

Потоки: сегодня $-10$; в конце первого года $-5{,}5$; в конце второго года $2{,}42$; в конце третьего года прибыль $5{,}324$ плюс выручка от продажи $133{,}1$.

$$NPV = -10 - \frac{5{,}5}{1{,}1} + \frac{2{,}42}{1{,}21} + \frac{5{,}324 + 133{,}1}{1{,}331}.$$

Числа подобраны так, что всё делится нацело: $5{,}5/1{,}1 = 5$; $2{,}42/1{,}21 = 2$; $5{,}324/1{,}331 = 4$; $133{,}1/1{,}331 = 100$.

Итого $NPV = -10 - 5 + 2 + 4 + 100 = 91$.

Здесь две ловушки. Продажу стартапа тоже надо дисконтировать: деньги приходят в конце третьего года, а не сегодня. А первоначальные инвестиции дисконтировать не надо — они уже в нулевом году.

Ответ: 91 млн руб.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Запрет оптимален, если даже самая первая поездка обществу невыгодна.

Ответ: 80

Собираем предельные величины.

Предельная общественная выгода от ещё одной поездки — это готовность платить, то есть обратная функция спроса: из $Q = 100 - P$ получаем $MSB = 100 - Q$. Она максимальна у самой первой поездки и равна 100.

Предельные общественные издержки складываются из предельных частных издержек и предельного внешнего ущерба. Предложение $P = 20$ абсолютно эластично, значит частные издержки каждой поездки равны 20. Ущерб задан как $cQ$, поэтому предельный внешний ущерб постоянен и равен $c$. Итого $MSC = 20 + c$ — тоже постоянная величина.

Полный запрет оптимален тогда, когда общественно оптимальный объём равен нулю, то есть когда уже первая поездка приносит обществу больше издержек, чем выгоды. Нужно, чтобы $MSB \le MSC$ при всех $Q > 0$:

$$100 - Q \le 20 + c.$$

Левая часть тем больше, чем меньше $Q$, и в пределе при $Q \to 0$ равна 100. Значит условие сводится к $100 \le 20 + c$, откуда $c \ge 80$.

Минимальное значение: $c = 80$. Проверка: при $c = 79$ выгода первых поездок (почти 100) выше издержек 99, полностью запрещать невыгодно — лучше налог, оставляющий небольшой объём.

Ответ: $c = 80$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Сначала вытащи из предложения старый налог и получи поведение продавцов через их собственную цену.

Ответ: 9 %

Шаг 1. Исходное равновесие. Приравниваем $12P - 140 = 280 - 9P$, откуда $21P = 420$, $P_0 = 20$ и $Q_0 = 280 - 9 \cdot 20 = 100$.

Шаг 2. Убираем налог из функции предложения. При ставке 10 % цена потребителя и цена производителя связаны как $P_d = 1{,}1 P_s$. Предложение в задаче записано через $P_d$, значит через цену производителя оно выглядит так:

$$Q_s = 12 \cdot 1{,}1 P_s - 140 = 13{,}2 P_s - 140.$$

Это поведение продавцов само по себе, без налога, и оно не меняется от смены ставки.

Шаг 3. Новая ставка. Теперь $P_d = 1{,}2 P_s$, то есть $P_s = P_d/1{,}2$, и предложение через цену потребителя принимает вид

$$Q_s = 13{,}2 \cdot \frac{P_d}{1{,}2} - 140 = 11 P_d - 140.$$

Шаг 4. Новое равновесие: $11P - 140 = 280 - 9P$, откуда $20P = 420$, $P_1 = 21$ и $Q_1 = 280 - 9 \cdot 21 = 91$.

Потребление упало со 100 до 91, то есть на 9 единиц, а это ровно 9 % от исходного объёма.

Ответ: 9 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Женщинам достаётся то, что осталось от спроса на труд после найма всех мужчин.

Ответ: 32

Раз безработица на рынке есть, минимальная зарплата выше равновесной и связывает рынок, поэтому фактическая зарплата равна минимальной: $w = w_{\min}$.

Мужчин нанимают первыми, поэтому они заняты все: $L_m = 1{,}2w$. Женщинам достаются оставшиеся вакансии — разность между общим спросом на труд и числом мужчин:

$$L_f = (96 - w) - 1{,}2w = 96 - 2{,}2w.$$

Уровень безработицы среди женщин — это доля незанятых в женском предложении труда, а оно равно $w$:

$$u_f = \frac{w - (96 - 2{,}2w)}{w} = \frac{3{,}2w - 96}{w} = 0{,}2.$$

Отсюда $3{,}2w - 96 = 0{,}2w$, то есть $3w = 96$ и $w = 32$.

Проверка. При $w = 32$ спрос на труд равен $96 - 32 = 64$, мужчин выходит $1{,}2 \cdot 32 = 38{,}4$, женщинам остаётся $64 - 38{,}4 = 25{,}6$ мест при предложении 32. Безработных женщин $6{,}4$, а $6{,}4/32 = 0{,}2$ — сходится. Заодно видно, что вакансий женщинам хватает не на всех, то есть формула для $L_f$ применима.

Ответ: $w_{\min} = 32$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Сначала реши, растёт или падает желание продавать национальную валюту при росте ставки процента, а выпуск считай из тождества Y = C + I + G + NX при уже найденных ставке и курсе.

а) Чем выше ставка процента внутри страны, тем выгоднее держать сбережения в ругриках и тем меньше желание их продавать за иностранную валюту. Предложение ругриков на валютном рынке при росте $r$ должно падать, а за реакцию на ставку в функции $Q_S(P) = kr + P$ отвечает именно $k$. Значит, $k < 0$ — знак минус.

б) При $|k| = 1$ получаем $k = -1$ и $Q_S(P) = P - r$. При $r = 10$ предложение равно $Q_S = P - 10$, а спрос по условию $Q_D = 100 - P$. Баланс на валютном рынке:

$$100 - P = P - 10, \qquad 2P = 110, \qquad P = 55.$$

Проверка: $Q_D = 100 - 55 = 45$ и $Q_S = 55 - 10 = 45$ — объёмы совпали.

Выпуск находим из основного макроэкономического тождества открытой экономики $Y = C + I + G + NX$. Располагаемый доход при автономных налогах равен $Y_d = Y - T = Y - 50$, поэтому $C = 20 + 0{,}5(Y - 50) = 0{,}5Y - 5$. Инвестиции: $I = 40 - 10 = 30$. Госрасходы: $G = 30$. Чистый экспорт: $NX = 10 - 0{,}5 \cdot 55 = -17{,}5$ — курс ругрика высокий, и страна в дефиците по внешней торговле. Складываем:

$$Y = 0{,}5Y - 5 + 30 + 30 - 17{,}5 = 0{,}5Y + 37{,}5,$$

откуда $0{,}5Y = 37{,}5$ и $Y = 75$. Проверка подстановкой: $C = 0{,}5 \cdot 75 - 5 = 32{,}5$, и $32{,}5 + 30 + 30 - 17{,}5 = 75$.

в) Знак коэффициента прежний, $k = -1$, предложение остаётся $Q_S(P) = P - r$, а спрос теперь $Q_D(P) = 94 - P$. Находим курс как функцию ставки:

$$94 - P = P - r, \qquad 2P = 94 + r, \qquad P = \frac{94 + r}{2}.$$

Цель — вернуть курс к прежнему уровню $P = 55$:

$$\frac{94 + r}{2} = 55, \qquad 94 + r = 110, \qquad r = 16.$$

Исходная ставка была 10 %, новая — 16 %, значит, ставку нужно увеличить на 6 процентных пунктов. Логика простая: спрос на валюту упал, курс без вмешательства пошёл бы вниз; чтобы удержать курс, надо сжать предложение ругриков, а для этого сделать их хранение выгоднее. Спрашивают именно про процентные пункты: рост с 10 % до 16 % — это 6 процентных пунктов (и заодно 60 % прироста, но отвечать надо первым числом).

г) Новые условия: $r = 16$ и $P = 55$, вернуться надо к выпуску $Y = 75$. Пишем тождество с неизвестными налогами $T$:

$$Y = 20 + 0{,}5(Y - T) + (40 - 16) + 30 + (10 - 0{,}5 \cdot 55).$$

Считаем константы: $40 - 16 = 24$, $10 - 27{,}5 = -17{,}5$. Получаем

$$Y = 0{,}5Y - 0{,}5T + 20 + 24 + 30 - 17{,}5 = 0{,}5Y - 0{,}5T + 56{,}5.$$

Подставляем цель $Y = 75$:

$$75 = 37{,}5 - 0{,}5T + 56{,}5 = 94 - 0{,}5T, \qquad 0{,}5T = 19, \qquad T = 38.$$

Исходные налоги равнялись 50, новые — 38, значит, их нужно уменьшить на 12. Почему уменьшить, видно и без счёта: рост ставки с 10 до 16 срезал инвестиции на 6, и при мультипликаторе автономных расходов $1/(1 - 0{,}5) = 2$ выпуск упал бы на 12; налоговый мультипликатор равен $-0{,}5/(1 - 0{,}5) = -1$, поэтому компенсировать падение на 12 надо снижением налогов ровно на 12.

Ответы: а) знак минус, $k < 0$; б) $P = 55$ и $Y = 75$; в) увеличить ставку на 6 процентных пунктов, до 16 %; г) уменьшить налоги на 12, до $T = 38$. Жюри отдельно оговаривает ошибку в пункте а): если участник взял $k > 0$, решение проверяют как если бы знак действительно был плюсом, но за каждый выполненный критерий ставят половину балла с округлением вниз.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Рыночный спрос ломается на цене, где отпадает одна из групп, поэтому максимум надо искать на каждом куске; при линейных издержках задача с дискриминацией распадается на две независимые.

а) Сначала складываем спросы по горизонтали. Пенсионеры перестают покупать при цене 44 и выше, поэтому рыночный спрос кусочный:

$$Q(P) = \begin{cases} 124 - 2P, & P \le 44,\\ 80 - P, & P > 44.\end{cases}$$

Из $TC = 20Q + 500$ следует $MC = 20$, а постоянные 500 на выбор цены не влияют. Максимум прибыли ищем на каждом куске отдельно — там это парабола ветвями вниз.

Верхний кусок, $P > 44$: $\pi = (80 - P)(P - 20) - 500$. Вершина посередине между корнями 80 и 20, то есть $P = 50$, и она попадает в свой участок. Прибыль: $30 \cdot 30 - 500 = 400$.

Нижний кусок, $P \le 44$: $\pi = (124 - 2P)(P - 20) - 500$. Корни $P = 62$ и $P = 20$, вершина $P = 41$ — тоже попадает в свой участок. Прибыль: $42 \cdot 21 - 500 = 382$.

Сравниваем: $400 > 382$, значит, глобальный оптимум — цена 50. Вывод любопытный: компании выгоднее поставить цену выше 44 и вообще отказаться от пенсионеров, чем снижать цену ради них. Ответ: $P^{*} = 50$.

б) Максимальная аренда — это ровно прирост прибыли от возможности разделить цены. С дискриминацией прибыль распадается на два независимых слагаемых, потому что издержки линейны и группы друг другу не мешают:

$$\pi = (44 - P_1)(P_1 - 20) + (80 - P_2)(P_2 - 20) - 500.$$

Каждое слагаемое — парабола ветвями вниз, максимум в вершине. Пенсионеры: корни 44 и 20, вершина $P_1 = 32$, объём $44 - 32 = 12$, вклад в прибыль $12 \cdot 12 = 144$. Непенсионеры: корни 80 и 20, вершина $P_2 = 50$, объём 30, вклад $30 \cdot 30 = 900$. Прибыль с офисом до вычета аренды: $144 + 900 - 500 = 544$. Без офиса прибыль равна 400, отсюда

$$R_{\max} = 544 - 400 = 144.$$

Короткий путь к тому же числу: для непенсионеров оптимальная цена и так была 50, их вклад не изменился, а разница — это ровно вновь появившаяся прибыль от пенсионеров, то есть $12 \cdot 12 = 144$.

в) Спрос пенсионеров не изменился, поэтому их часть та же: цена 32, объём 12, вклад $144$. У непенсионеров новый спрос $Q = 90 - P$. Максимизируем $(90 - P)(P - 20)$: корни 90 и 20, вершина $P = 55$, объём $90 - 55 = 35$, вклад $35 \cdot 35 = 1225$. Прибыль с офисом до вычета аренды:

$$\pi = 1225 + 144 - 500 = 869.$$

Главная тонкость — с чем сравнивать. Если офиса нет, то нет и прироста узнаваемости, поэтому альтернатива — ровно ситуация пункта а) с прибылью 400. Сравнивать с прибылью при новом спросе и единой цене было бы ошибкой: без офиса новый спрос не возникает. Значит, $R_{\max} = 869 - 400 = 469$.

Ответы: а) единая цена 50; б) $R_{\max} = 144$; в) $R_{\max} = 469$. Жюри предупреждает: если в решении нет указания на направление ветвей параболы или ссылки на другие достаточные условия максимума, баллы не снижаются, но за каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf

Жёсткая пропорция в комплекте — это луч: в пункте а) его пересекают с каждой КПВ отдельно, в пункте б) условие связывает уже суммы, а специализацию подскажет сравнение альтернативных издержек товара X.

а) Комплект — это одна единица $X$ и пять единиц $Y$, поэтому без торговли производство каждой страны обязано лежать на луче $y = 5x$, а число комплектов равно $x$.

Линея. Подставляем $y_1 = 5x_1$ в $y_1 = 280 - 2x_1$:

$$5x_1 = 280 - 2x_1, \qquad 7x_1 = 280, \qquad x_1 = 40.$$

Квадратия. Подставляем $y_2 = 5x_2$ в $y_2 = 252 - x_2^2/7$ и умножаем на 7:

$$35x_2 = 1764 - x_2^2, \qquad x_2^2 + 35x_2 - 1764 = 0.$$

Дискриминант: $35^2 + 4 \cdot 1764 = 1225 + 7056 = 8281 = 91^2$, положительный корень $x_2 = \dfrac{-35 + 91}{2} = 28$.

Суммарно $40 + 28 = 68$ комплектов. Проверка: в Линее $y_1 = 280 - 80 = 200 = 5 \cdot 40$; в Квадратии $y_2 = 252 - 784/7 = 252 - 112 = 140 = 5 \cdot 28$.

б) При сотрудничестве пропорция комплекта должна выполняться для суммы, а не для каждой страны: $y_1 + y_2 = 5(x_1 + x_2)$, при этом обе страны производят на своих КПВ. Складываем КПВ:

$$y_1 + y_2 = (280 - 2x_1) + \left(252 - \frac{x_2^2}{7}\right) = 532 - 2x_1 - \frac{x_2^2}{7}.$$

Приравниваем к $5(x_1 + x_2)$ и выражаем $x_1$:

$$532 - 2x_1 - \frac{x_2^2}{7} = 5x_1 + 5x_2, \qquad x_1 = 76 - \frac{x_2^2}{49} - \frac{5x_2}{7}.$$

Максимизировать надо число комплектов, то есть суммарный выпуск товара $X$:

$$x_1 + x_2 = 76 - \frac{x_2^2}{49} + \frac{2x_2}{7}.$$

Это парабола ветвями вниз по $x_2$: производная $-\dfrac{2x_2}{49} + \dfrac{2}{7} = 0$ даёт $x_2 = 7$. Подставляем: $x_1 + x_2 = 76 - \dfrac{49}{49} + \dfrac{14}{7} = 76 - 1 + 2 = 77$.

Проверяем допустимость: $x_1 = 70$ при максимуме Линеи 140, $x_2 = 7$ при максимуме Квадратии 42 — обе точки лежат на своих КПВ. Выпуск $Y$: $y_1 = 280 - 140 = 140$ и $y_2 = 252 - 49/7 = 245$, вместе $385 = 5 \cdot 77$, пропорция комплекта соблюдена.

Экономический смысл (это же и второй способ — через суммарную КПВ): альтернативные издержки $X$ в Линее постоянны и равны 2, а в Квадратии равны $2x_2/7$ и растут. При $x_2 < 7$ производить $X$ дешевле в Квадратии, дальше выгоднее переключиться на Линею, а вернуться в Квадратию только когда возможности Линеи исчерпаны; суммарная КПВ поэтому состоит из трёх участков, и линия комплектов $Y = 5X$ пересекает её средний участок ровно в точке $X = 77$.

По сравнению с пунктом а) суммарное потребление выросло с 68 до 77, то есть на 9 комплектов.

Ответы: а) 68 комплектов; б) 77 комплектов, на 9 больше, чем без сотрудничества.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-11-reg-23-24.pdf