ВсОШ по экономике 2020/21, региональный этап, 11 класс, тур 2

Долгосрочная цена на рынке со свободным входом равна минимуму средних издержек и от спроса не зависит — найди её один раз и пользуйся в обоих долгосрочных равновесиях.

Начинаем с одной фирмы. Из $TC(q) = q^2 + 4$ получаем $MC = 2q$ и $AC = q + \dfrac{4}{q}$. Долгосрочное равновесие на конкурентном рынке со свободным входом задаётся условием $P = MC = AC$: $2q = q + \dfrac{4}{q}$, откуда $q^{\star} = 2$ и $P = 2q^{\star} = 4$. Предельные издержки возрастают, так что условие применимо; та же точка получается из минимума $AC$, поскольку $AC' = 1 - \dfrac{4}{q^2}$ меняет знак с минуса на плюс при $q = 2$.

Тот же результат даёт прямой счёт: $\pi(q) = Pq - q^2 - 4$ — парабола ветвями вниз с вершиной $q^{\star}(P) = 0{,}5P$, а её максимум $0{,}25P^2 - 4$ обращается в ноль ровно при $P = 4$. Это и есть цена, при которой вход перестаёт быть выгодным.

Пункт а). При $P = 4$ покупатели берут $Q_0(4) = 40 - 4 = 36$, каждая фирма выпускает $2$, значит фирм $\dfrac{36}{2} = 18$.

Пункт б). Индивидуальное предложение равно $q^{\star}(P) = 0{,}5P$, поэтому при восемнадцати фирмах рыночное предложение короткого периода $Q_s = 18 \cdot 0{,}5P = 9P$. Решаем $400 - P = 9P$: $P = 40$ и $Q = 360$. Цена подскочила в десять раз, потому что новые фирмы войти не успели, а каждая старая упирается в растущие предельные издержки.

Пункт в). Цена долгосрочного равновесия $P = 4$ выводится из издержек и от спроса не зависит, поэтому она возвращается к прежнему уровню. Объём: $Q_1(4) = 400 - 4 = 396$. Каждая фирма по-прежнему выпускает $2$, значит фирм $\dfrac{396}{2} = 198$.

Ответы: а) $P = 4$, $Q = 36$, $N = 18$; б) $P = 40$, $Q = 360$; в) $P = 4$, $Q = 396$, $N = 198$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-11-tur2-reg-20-21.pdf

Запиши чистую прибыль как сумму двух независимых парабол — по выпуску и по скрытой сумме, — тогда выпуск отделится от уклонения, а сборы окажутся функцией одной лишь ставки.

Сначала прибыль до налога. Обратный спрос $p = 15 - q$, поэтому $\pi_0(q) = (15 - q)q - 5q = 10q - q^2$. Парабола ветвями вниз, вершина при $q^{\star} = 5$, максимум $\pi_0 = 25$.

Пункт а). Налог забирает пятую часть, и в отсутствие уклонения фирма максимизирует $0{,}8\,\pi_0(q)$ — выпуск тот же $q^{\star} = 5$. Чистая прибыль $0{,}8 \cdot 25 = 20$ д.е.

Пункт б). Пусть фирма скрывает $x$ д.е. прибыли. Она платит налог с задекларированной суммы и отдельно — за услуги по уклонению: $\pi_{net}(q, x) = \pi_0(q) - t(\pi_0(q) - x) - 0{,}01x^2 = (1 - t)\pi_0(q) + tx - 0{,}01x^2$. Слагаемые независимы, и каждое — парабола ветвями вниз: выпуск по-прежнему $q^{\star} = 5$, а по $x$ максимум там, где $t = 0{,}02x$, то есть $x^{\star} = 50t = 10$. Считаем: $0{,}8 \cdot 25 + 0{,}2 \cdot 10 - 0{,}01 \cdot 100 = 20 + 2 - 1 = 21$ д.е. Уклоняться выгодно, выигрыш равен одной д.е.

Пункт в). При произвольной ставке всё то же: $q^{\star} = 5$, $\pi_0 = 25$, $x^{\star}(t) = 50t$ (точнее, $x^{\star} = \min\{50t;\ 25\}$ — скрыть больше фактической прибыли нельзя). Сборы равны налогу с задекларированной прибыли: $T(t) = t\,(25 - 50t)$. Это парабола ветвями вниз с вершиной при $t^{\star} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$.

Ответы: а) $20$ д.е.; б) $21$ д.е.; в) ставка $25\,\%$. Проверка последнего пункта: тогда $x^{\star} = 12{,}5 < 25$, ограничение не связывает, и сборы равны $0{,}25 \cdot 12{,}5 = 3{,}125$ д.е. Поднимать ставку выше бессмысленно: каждый лишний процент ставки уводит в тень вдвое больше прибыли.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-11-tur2-reg-20-21.pdf

Выведи из тождества выпуск и сальдо бюджета как линейные функции госзакупок и подставь обе прямо в функцию потерь — останется парабола от одной переменной.

Экономика закрытая, чистый экспорт равен нулю, поэтому $Y = C + I + G$. Располагаемый доход при ставке $25\,\%$ и отсутствии аккордных налогов равен $Y_d = Y - 0{,}25Y = 0{,}75Y$, а потребление $C = 10 + \dfrac{2}{3} \cdot 0{,}75Y = 10 + 0{,}5Y$.

Подставляем: $Y = 10 + 0{,}5Y + 40 + G$, откуда $0{,}5Y = 50 + G$ и $Y = 100 + 2G$. Мультипликатор госзакупок равен $2$.

Сальдо бюджета — это разница доходов и расходов: $s = 0{,}25Y - G = 0{,}25\,(100 + 2G) - G = 25 - 0{,}5G$.

Пункт а). Для потенциального ВВП: $100 + 2G_1 = 300$, значит $G_1 = 100$. Для нулевого сальдо: $25 - 0{,}5G_2 = 0$, значит $G_2 = 50$. Цели противоречат друг другу: при $G = 100$ бюджет сводится с дефицитом $25$ д.е., а при $G = 50$ выпуск равен $200$ вместо $300$.

Пункт б). Подставляем обе зависимости в функцию потерь: $L(G) = (100 + 2G - 300)^2 + 4\,(25 - 0{,}5G)^2 = 4\,(G - 100)^2 + (G - 50)^2 = 5G^2 - 900G + 42500$. Парабола ветвями вверх, минимум в вершине: $G^{\star} = \dfrac{900}{2 \cdot 5} = 90$.

Ответы: а) $G_1 = 100$ д.е. и $G_2 = 50$ д.е.; б) $G^{\star} = 90$ д.е. Компромисс вышел ближе к цели по выпуску, хотя формально вторая цель весомее: сальдо реагирует на госзакупки вдвое слабее, чем выпуск, и вес $4$ этот разрыв ровно компенсирует.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-11-tur2-reg-20-21.pdf

Вырази добычу второго племени через первое, а потом обязательно проверь, попадает ли вершина параболы в допустимый отрезок: потолок второго племени иногда двигает оптимум на край.

Общая схема: максимизируем сумму плодов $y_1 + y_2 = 6 - x_1^2 - \dfrac{x_2^2}{8}$ при заданном суммарном мясе $x_1 + x_2 = X$ и при ограничениях $x_1 \in [0; 2]$, $x_2 \in [0; 4]$. Удобно выразить $x_2$ через $x_1$ и оптимизировать функцию одной переменной, не забывая проверить, попала ли вершина в допустимый отрезок.

Пункт а). Мяса нужно $3$, подставляем $x_2 = 3 - x_1$: максимизируем $6 - x_1^2 - \dfrac{(3 - x_1)^2}{8}$. Производная $-2x_1 + \dfrac{3 - x_1}{4}$ обращается в ноль при $9x_1 = 3$, то есть $x_1^{\star} = \dfrac{1}{3}$; парабола ветвями вниз, точка лежит внутри $[0; 2]$, а $x_2^{\star} = \dfrac{8}{3} \leqslant 4$ — оба ограничения соблюдены. Плодов: $6 - \dfrac{1}{9} - \dfrac{64}{9 \cdot 8} = 6 - \dfrac{1}{9} - \dfrac{8}{9} = 5$.

То же условие получается через равенство альтернативных издержек: у первого племени они равны $2x_1$, у второго $\dfrac{x_2}{4}$; из $2x_1 = \dfrac{x_2}{4}$ следует $x_2 = 8x_1$.

Пункт б). Мяса нужно $5$. Второе племя не даёт больше $4$, поэтому $x_1 \geqslant 1$, и оптимизировать надо на отрезке $[1; 2]$. Вершина параболы $6 - x_1^2 - \dfrac{(5 - x_1)^2}{8}$ стоит при $x_1 = \dfrac{5}{9} < 1$, а ветви направлены вниз, значит на $[1; 2]$ функция убывает и максимум достигается на левом краю: $x_1^{\star} = 1$, $x_2^{\star} = 4$, плодов $6 - 1 - 2 = 3$. Заметь: сослаться на симметрию с пунктом а) здесь нельзя, КПВ племён при отражении друг в друга не переходят.

Пункт в). Для произвольного $X \in [0; 6]$ вершина стоит при $x_1 = \dfrac{X}{9}$, то есть второе племя добывает $\dfrac{8X}{9}$. Это возможно, пока $\dfrac{8X}{9} \leqslant 4$, то есть до $X = 4{,}5$; тогда $Y = 6 - \dfrac{X^2}{9}$. При $X > 4{,}5$ упираемся в потолок второго племени: $x_2 = 4$, $x_1 = X - 4$ и $Y = 4 - (X - 4)^2$. Итого КПВ острова: $Y = 6 - \dfrac{X^2}{9}$ при $X \leqslant 4{,}5$ и $Y = 4 - (X - 4)^2$ при $4{,}5 \leqslant X \leqslant 6$. Проверка стыка: при $X = 4{,}5$ обе формулы дают $3{,}75$, причём наклон с обеих сторон стремится к единице, так что излома в этой точке нет.

Ответы: а) $5$ единиц плодов; б) $3$ единицы плодов; в) $Y = 6 - \dfrac{X^2}{9}$ при $X \leqslant 4{,}5$ и $Y = 4 - (X - 4)^2$ при $4{,}5 \leqslant X \leqslant 6$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-11-tur2-reg-20-21.pdf