ВсОШ по экономике 2020/21, региональный этап, 10 класс, тур 2

Долгосрочная цена на таком рынке равна минимуму средних издержек и не зависит от того, каким стал спрос, — посчитай её один раз и подставь новый спрос.

Общая часть. Из $TC(q) = q^2 + 4$ получаем $MC = 2q$ и $AC = q + 4/q$. Прибыль вошедшей фирмы $\pi(q) = Pq - q^2 - 4$ — парабола ветвями вниз, значит её максимум лежит в вершине $q^{*}(P) = 0{,}5P$; это и есть индивидуальная функция предложения. Прибыль при таком выпуске составляет $P \cdot 0{,}5P - (0{,}5P)^2 - 4 = 0{,}25P^2 - 4$ и обнуляется при $P = 4$. Тот же результат даёт условие $MC = AC$, то есть $2q = q + 4/q$, $q = 2$, или минимизация средних издержек: $AC' = 1 - 4/q^2 = 0$ при $q = 2$, производная меняет знак с минуса на плюс, и $AC(2) = 4$.

а) Долгосрочное равновесие описывается условием $P = MC = AC$ (предельные издержки растут, поэтому условие применимо), значит $P = 4$ и $q^{*} = 2$. По цене $4$ покупатели возьмут $Q_0(4) = 40 - 4 = 36$ тыс. масок, поэтому на рынке работает $36 / 2 = 18$ фирм. Ответ: $P = 4$, $Q = 36$, $N = 18$.

б) Число фирм зафиксировано на уровне $18$, поэтому рыночное предложение равно $Q_S(P) = 18 \cdot 0{,}5P = 9P$. Приравнивая его к новому спросу, получаем $400 - P = 9P$, откуда $P = 40$ и $Q = 360$. Цена выросла в десять раз, а объём — только вдвое: в коротком периоде расширяться некому. Ответ: $P = 40$, $Q = 360$.

в) Долгосрочная цена снова равна $4$: она определяется только издержками и от функции спроса не зависит. По этой цене спрос равен $Q_1(4) = 400 - 4 = 396$, каждая фирма по-прежнему выпускает $q^{*}(4) = 2$, значит фирм на рынке $396 / 2 = 198$. Проверка: прибыль каждой фирмы равна $4 \cdot 2 - (2^2 + 4) = 0$, так что входить дальше действительно незачем. Ответ: $P = 4$, $Q = 396$, $N = 198$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur2-reg-20-21.pdf

Запиши чистую прибыль как сумму двух независимых парабол — по выпуску и по скрытой сумме — и подставь найденное уклонение в формулу налоговых сборов.

Общая часть. Из спроса $q_d = 15 - p$ следует обратный спрос $p = 15 - q$, поэтому выручка равна $(15 - q)q$, издержки — $5q$, а прибыль до налога $\pi_0(q) = 10q - q^2$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $q^{*} = 5$, максимум равен $\pi_0 = 25$.

а) Налог на прибыль пропорционален прибыли, поэтому множитель $(1 - t)$ не влияет на выбор выпуска: фирма максимизирует $\pi_{net}(q) = 0{,}8\,(10q - q^2)$, графиком остаётся парабола ветвями вниз с вершиной $q = 5$. Чистая прибыль равна $0{,}8 \cdot 25 = 20$ д.е. Ответ: $20$ д.е.

б) Скрывая $x$, фирма экономит на налоге $tx$, но платит $0{,}01x^2$ из собственного кармана:
$$\pi_{net}(q, x) = \pi_0(q) - t\,(\pi_0(q) - x) - 0{,}01x^2 = (1 - t)\pi_0(q) + tx - 0{,}01x^2 = 0{,}8\,(10q - q^2) + 0{,}2x - 0{,}01x^2.$$
Это сумма двух независимых квадратичных функций, у обеих ветви параболы направлены вниз, поэтому каждую можно максимизировать отдельно. По выпуску вершина снова в $q = 5$, по скрытой сумме условие $0{,}2 = 0{,}02x$ даёт $x^{*} = 10$ (скрывать больше реальной прибыли $25$ нельзя, но это ограничение не мешает). Выигрыш от уклонения равен $0{,}2 \cdot 10 - 0{,}01 \cdot 100 = 1$, поэтому настоящая чистая прибыль составляет $20 + 1 = 21$ д.е. Ответ: $21$ д.е.

в) При произвольной ставке целевая функция та же: $\pi_{net}(q, x) = (1 - t)(10q - q^2) + tx - 0{,}01x^2$. Снова две параболы ветвями вниз, вершины в точках $q^{*} = 5$ и $x^{*} = 50t$ (строго говоря, $x^{*} = \min\{50t;\ 25\}$). Государство собирает долю $t$ от задекларированной прибыли:
$$T(t) = t\,(\pi_0(5) - x^{*}) = t\,(25 - 50t) = 25t - 50t^2.$$
Это опять парабола ветвями вниз, её вершина — в точке $t^{*} = 0{,}25$. Проверка допустимости: при $t = 0{,}25$ уклонение равно $x^{*} = 12{,}5 \leqslant 25$, а сборы составляют $0{,}25 \cdot (25 - 12{,}5) = 3{,}125$ д.е. — больше, чем при исходной ставке $20\,\%$, где сборы равны $0{,}2 \cdot (25 - 10) = 3$ д.е. Ответ: ставка $25\,\%$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur2-reg-20-21.pdf

Выпиши итоговую сумму каждого вклада как выражение от стартовой суммы и ежемесячного взноса, а потом раздели неравенство на взнос.

Общая часть. Проценты простые, поэтому каждый рубль зарабатывает ровно пропорционально времени, которое он пролежал на вкладе. Стартовая сумма лежит все $12$ месяцев, а взнос, сделанный в конце $j$-го месяца, — только $12 - j$ месяцев, то есть взносы пролежат $11, 10, \dots, 1, 0$ месяцев, а $11 + 10 + \dots + 0 = \dfrac{11 \cdot 12}{2} = 66$.

а) При пополняемом вкладе под $1\,\%$ в месяц
$$S_1 = 500 + 500 \cdot 12 \cdot 0{,}01 + 40 \cdot 12 + 40 \cdot 0{,}01 \cdot 66 = 500 + 60 + 480 + 26{,}4 = 1066{,}4$$
тыс. рублей. При непополняемом вкладе под $1{,}5\,\%$ в месяц проценты начисляются только на стартовую сумму, а ежемесячные сбережения просто копятся:
$$S_2 = 500 + 500 \cdot 12 \cdot 0{,}015 + 40 \cdot 12 = 500 + 90 + 480 = 1070$$
тыс. рублей. Ответ: выгоднее непополняемый вклад.

б) В общем виде $S_1 = M + 12 \cdot 0{,}01M + 12X + 0{,}01X \cdot 66 = 1{,}12M + 12{,}66X$ и $S_2 = M + 12 \cdot 0{,}015M + 12X = 1{,}18M + 12X$. Пополняемый вклад выбирают те, у кого $S_1 \geqslant S_2$, то есть
$$1{,}12M + 12{,}66X \geqslant 1{,}18M + 12X \iff 0{,}66X \geqslant 0{,}06M \iff k = M/X \leqslant \frac{0{,}66}{0{,}06} = 11.$$
Смысл границы такой: чем больше стартовая сумма относительно ежемесячного взноса, тем важнее высокая ставка на неё и тем менее интересна возможность пополнения. По таблице условию $5 \leqslant k \leqslant 11$ отвечают три первых интервала, поэтому пополняемый вклад выберут $10\,\% + 20\,\% + 30\,\% = 60\,\%$ людей. Ответ: $60\,\%$.

Пункты согласованы между собой: в пункте а) $k = 500/40 = 12{,}5 > 11$, поэтому там и победил непополняемый вклад.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur2-reg-20-21.pdf

Приравняй альтернативные издержки двух племён, а потом обязательно проверь, влезает ли найденное распределение в потолки каждого племени.

Общая часть. Пусть племена добывают $x_1$ и $x_2$ единиц мяса. Тогда плодов будет собрано $Y = y_1 + y_2 = 6 - x_1^2 - x_2^2/8$, и эту величину надо максимизировать при $x_1 + x_2 = X$, $x_1 \in [0; 2]$, $x_2 \in [0; 4]$. Альтернативные издержки мяса равны $|y_1'| = 2x_1$ у первого племени и $|y_2'| = x_2/4$ у второго; обе величины растут, поэтому внутренний оптимум задаётся их равенством $2x_1 = x_2/4$, что вместе с $x_1 + x_2 = X$ даёт кандидата $x_1 = X/9$, $x_2 = 8X/9$. Мясо дешевле обходится второму племени, поэтому основную охоту берёт на себя оно.

а) При $X = 3$ подстановка $x_2 = 3 - x_1$ даёт задачу $6 - x_1^2 - (3 - x_1)^2/8 \to \max$ на отрезке $[0; 2]$. Это парабола ветвями вниз, её вершина $x_1^{*} = 1/3$ лежит внутри отрезка, а второму племени достаётся $x_2 = 8/3 \in [0; 4]$ — ограничения не нарушены, значит это и есть оптимум. Плодов получится
$$Y = 6 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{(8/3)^2}{8} = 6 - \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = 5.$$
Ответ: $5$ единиц плодов.

б) При $X = 5$ кандидат требует $x_2 = 40/9 \approx 4{,}44$, а это больше потолка второго племени. Формально максимум функции $6 - x_1^2 - (5 - x_1)^2/8$ ищется на отрезке $[1; 2]$: первому племени придётся добыть хотя бы одну единицу мяса. Вершина этой параболы ветвями вниз лежит в точке $x_1 = 5/9 < 1$, то есть левее отрезка, поэтому максимум достигается на левом краю: $x_1^{*} = 1$, $x_2^{*} = 4$. Плодов будет
$$Y = 6 - 1^2 - \frac{16}{8} = 6 - 1 - 2 = 3.$$
Ответ: $3$ единицы плодов.

в) Для произвольного $X \in [0; 6]$ задача сводится к максимизации $6 - x_1^2 - (X - x_1)^2/8$, и допустимый отрезок зависит от $X$: это $[0; 2]$ при $X \leqslant 4$ и $[X - 4; 2]$ при $X > 4$, потому что второе племя не добудет больше четырёх единиц. Вершина параболы находится в точке $x_1 = X/9$ и попадает внутрь отрезка, пока $X/9 \geqslant X - 4$, то есть пока $X \leqslant 4{,}5$; тогда $Y = 6 - (X/9)^2 - (8X/9)^2/8 = 6 - X^2/9$. При $X > 4{,}5$ вершина лежит левее отрезка, ветви параболы направлены вниз, поэтому оптимум достигается на левом краю $x_1 = X - 4$, $x_2 = 4$, и $Y = 4 - (X - 4)^2$. Итого
$$Y(X) = \begin{cases} 6 - X^2/9, & 0 \leqslant X \leqslant 4{,}5;\\ 4 - (X - 4)^2, & 4{,}5 \leqslant X \leqslant 6.\end{cases}$$
Обе формулы в точке $X = 4{,}5$ дают $Y = 3{,}75$, а найденные раньше точки $(3; 5)$ и $(5; 3)$ лежат на этой кривой. Излома в точке $(4{,}5;\ 3{,}75)$ нет: наклон КПВ и слева, и справа стремится к единице.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur2-reg-20-21.pdf