ВсОШ по экономике 2022/23, региональный этап, 10 класс

Посчитай, какую долю дохода забирает налог у человека с доходом 4 млн и у человека с доходом 10 млн в год.

Ответ: 1

Шкала называется прогрессивной, если средняя ставка налога растёт вместе с доходом, пропорциональной — если ставка одна и та же при любом доходе, регрессивной — если с ростом дохода ставка падает.

В России НДФЛ устроен так: доход в пределах 5 млн рублей за год облагается по ставке 13 %, а с суммы превышения берут 15 %. Посчитаем среднюю ставку на примере. При доходе 4 млн рублей налог равен $0{,}13 \cdot 4 = 0{,}52$ млн, средняя ставка 13 %. При доходе 10 млн рублей налог равен $0{,}13 \cdot 5 + 0{,}15 \cdot 5 = 0{,}65 + 0{,}75 = 1{,}4$ млн, средняя ставка $1{,}4/10 = 14\ \%$.

Средняя ставка выросла с 13 % до 14 %, то есть богатый платит не только больше рублей, но и большую долю дохода. Это и есть прогрессивная шкала, поэтому утверждение верное — нужен первый вариант.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Абсолютное преимущество и сравнительное преимущество — не одно и то же; построй числовой пример с двумя товарами.

Ответ: 2

Более высокая производительность труда означает абсолютное преимущество: страна A тратит на единицу товара X меньше труда, чем страна B. Но направление торговли определяется не абсолютным преимуществом, а сравнительным — тем, во сколько единиц другого товара обходится выпуск товара X внутри каждой страны.

Пример. Пусть за час работник в стране A делает 10 единиц X или 100 единиц Y, а в стране B — 1 единицу X или 2 единицы Y. Абсолютное преимущество у A по обоим товарам. Но альтернативные издержки единицы X в стране A равны 10 единицам Y, а в стране B — всего 2 единицам Y. Значит, X дешевле производить в стране B, и стране A выгодно ввозить X из B, отдавая взамен Y.

Итак, из абсолютного преимущества вывод об отсутствии импорта не следует — утверждение неверное, нужен второй вариант.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Подумай, какое из двух неравенств уменьшает общий размер экономического «пирога», а какое лишь делит его иначе.

Ответ: 1

Экономисты смотрят на неравенство с точки зрения стимулов и эффективности. Разрыв в доходах сам по себе во многом отражает разницу в усилиях, квалификации и готовности рисковать: тот, кто работает больше или лучше, получает больше. Такой разрыв создаёт стимул учиться и работать, полностью его убрать — значит эти стимулы сломать.

Неравенство возможностей устроено иначе. Если талантливый ребёнок из бедной семьи не может получить образование, общество теряет его будущую отдачу целиком: человек оказывается не на своём месте, и общий «пирог» становится меньше. Здесь потери не перераспределительные, а именно эффективностные.

Поэтому в экономической науке неравенство возможностей считается более серьёзной проблемой — утверждение верное, нужен первый вариант.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Проверь слово «единственный»: что ещё меняется на рынке, когда у фирмы нет конкурентов и входить на рынок некому.

Ответ: 2

Завышенная цена и заниженный объём продаж — действительно главный и самый известный вред монополии: часть взаимовыгодных сделок не состоится, возникают чистые потери общества.

Но слово «единственный» делает утверждение слишком сильным. Монопольный рынок защищён высокими барьерами входа, и без конкуренции у фирмы пропадает необходимость держать качество и снижать издержки: можно выпускать товар похуже, экономить на сервисе, не тратиться на инновации. Сюда же относят расходы самой монополии на удержание своего положения — лоббирование и защиту барьеров, которые для общества являются чистой потерей ресурсов.

Значит, вред монополии не исчерпывается связкой «мало и дорого» — утверждение неверное, нужен второй вариант.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Корреляция — ещё не причинность: подумай, может ли стрелка причинности смотреть в обратную сторону.

Ответ: 2

В утверждении из корреляции двух величин выводится причинно-следственная связь, а так делать нельзя.

Направление связи может быть обратным: разработчику выгодно делать приложение там, где метро уже популярно и пользователей много, а в городах с полупустым метро приложение просто не окупится. Тогда не приложение повышает долю пассажиров метро, а высокая доля пассажиров метро вызывает появление приложения.

Возможен и третий вариант: работает общий фактор. В крупных городах с развитой подземкой одновременно и метро популярнее, и цифровых сервисов больше. Чтобы говорить о влиянии приложения, нужно сравнивать похожие города до и после его запуска, а не просто фиксировать статистическую связь.

Вывод в утверждении не обоснован — оно неверное, нужен второй вариант.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Вспомни фамилии лауреатов 2022 года и то, какой сектор экономики они изучали.

Ответ: 4

Премию по экономике за 2022 год получили Бен Бернанке, Дуглас Даймонд и Филип Дибвиг — за исследования банков и финансовых кризисов.

Даймонд и Дибвиг построили модель банковского набега: банк берёт короткие вклады и выдаёт длинные кредиты, поэтому массовое одновременное изъятие вкладов топит даже здоровый банк. Из модели прямо следует, зачем нужно страхование вкладов и кредитор последней инстанции. Бернанке на данных Великой депрессии показал, что крах банков не просто сопровождал спад, а сам его углублял: вместе с банками исчезала информация о заёмщиках, и кредит переставал доходить до предприятий.

Всё это — про предотвращение финансовых кризисов и борьбу с ними, то есть подходит четвёртый вариант списка. Первые три варианта названы не случайно: экономисты занимаются и инфляцией, и пробками, и распределением донорских органов (за последнее премию дали в 2012 году), но не за это премию вручили в 2022-м.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Запиши связь цены покупателя и цены продавца через ставку и вспомни, куда сдвинется цена производителя при возрастающем предложении.

Ответ: 1

Обозначим $P_0$ — равновесную цену до налога, $P_1^d$ — новую цену для потребителя, $P_1^s$ — новую цену, которая остаётся производителю. Налог берут в процентах от цены производителя, поэтому $P_1^d = (1 + t) P_1^s$.

После введения налога продавцам достаётся меньше, чем платит покупатель, поэтому равновесный объём падает. Предложение возрастающее: меньшему объёму соответствует меньшая цена производителя, значит $P_1^s < P_0$.

Теперь сравним. По условию $P_1^d = 1{,}1 P_0$, и тогда

$$1 + t = \frac{P_1^d}{P_1^s} > \frac{P_1^d}{P_0} = 1{,}1,$$

то есть $t > 10\ \%$. Подходит первый вариант.

Смысл прост: часть налогового бремени всегда ложится на производителя, поэтому цена для потребителя вырастает слабее, чем ставка налога. Чтобы цена покупателя поднялась ровно на 10 %, ставка должна быть строго больше 10 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Среднегодовой темп ищут не средним арифметическим, а через квадратный корень из произведения коэффициентов.

Ответ: 1

Среднегодовой темп прироста — это такой постоянный темп, который за те же два года даёт тот же итог. Считают его через среднее геометрическое, а не через среднее арифметическое.

За два года ВВП изменился в $0{,}9 \cdot 0{,}7 = 0{,}63$ раза. Если среднегодовой коэффициент роста равен $x$, то $x^2 = 0{,}63$.

Оценим $x$ без калькулятора: $0{,}8^2 = 0{,}64 > 0{,}63$, поэтому $x < 0{,}8$, то есть темп прироста меньше $-20\ \%$. С другой стороны, $0{,}7^2 = 0{,}49 < 0{,}63$, поэтому $x > 0{,}7$ и темп больше $-30\ \%$. Точное значение: $\sqrt{0{,}63} \approx 0{,}7937$, то есть примерно $-20{,}6\ \%$.

Получается промежуток $[-30\ \%; -20\ \%)$ — первый вариант. Типичная ошибка здесь — сложить и поделить пополам: $(-10 - 30)/2 = -20$, что даёт неверный ответ на границе.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Выведи функцию наилучшего ответа второй фирмы и подставь в неё оба значения выпуска первой.

Ответ: 2

Фирма 2 ходит второй, поэтому она принимает выпуск $q_1$ как данность и максимизирует свою прибыль:

$$\pi_2 = (100 - q_1 - q_2) q_2 - 20 q_2 = (80 - q_1 - q_2) q_2.$$

Это парабола ветвями вниз с корнями $q_2 = 0$ и $q_2 = 80 - q_1$, вершина посередине:

$$q_2^{*}(q_1) = \frac{80 - q_1}{2} = 40 - \frac{q_1}{2}.$$

Это функция наилучшего ответа. Подставляем оба значения:

• при $q_1 = 40$ получаем $q_2^{*} = 40 - 20 = 20$;
• при $q_1 = 50$ получаем $q_2^{*} = 40 - 25 = 15$.

Выпуск падает на $20 - 15 = 5$, то есть на $5/20 = 25\ \%$ от прежнего уровня. Подходит второй вариант.

Обрати внимание на ловушку: выпуск первой фирмы вырос на 10, а второй сократился только на 5 — наилучший ответ гасит лишь половину чужого прироста.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Проверяй по одной единице: выгодна ли девятая и выгодна ли десятая.

Ответ: 2

Когда выпуск дискретный, работает простое правило: выпускаем очередную единицу, пока она приносит больше, чем стоит, то есть пока $MR(Q) \geqslant MC(Q)$.

Здесь $MR(Q) = 99$ при любом $Q$, а $MC(Q) = 10Q$ растёт. Сравниваем по единицам:

• девятая единица: $MC(9) = 90 < 99$ — выпускать выгодно, она добавляет к прибыли 9;
• десятая единица: $MC(10) = 100 > 99$ — она уменьшает прибыль на 1.

Значит, наращивать выпуск стоит ровно до девятой единицы включительно: $Q^{*} = 9$, второй вариант.

Проверим прямым счётом. Прибыль при $Q$ равна $99Q - 10(1 + 2 + \ldots + Q) = 99Q - 5Q(Q+1)$. При $Q = 9$ это $891 - 450 = 441$, при $Q = 10$ — $990 - 550 = 440$, при $Q = 8$ — $792 - 360 = 432$. Максимум действительно в девятке. Ловушкой здесь служит ответ 10: именно там $MR$ и $MC$ почти совпадают, но десятая единица уже убыточна.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Определи, кто здесь субститут, а кто комплемент, и проследи, куда сдвигается спрос на каждом из двух рынков.

Ответ: 3, 4

Сначала разберёмся со связями товаров. Смартфоны A и B удовлетворяют одну потребность, то есть они субституты. Зарядное устройство X подходит только к смартфону A, значит X и A — комплементы.

Рост предельных издержек сдвигает предложение смартфонов A влево, их равновесная цена растёт, а объём продаж падает.

Дальше цепочка расходится.

Для субститута B: подорожал заменитель, поэтому спрос на B растёт, кривая спроса сдвигается вправо, и цена B, и объём продаж B увеличиваются. Значит, первый вариант («цена B не изменится») неверен, и второй («объём производства B снизится») тоже неверен — он снижается только у A.

Для комплемента X: смартфонов A продано меньше, поэтому спрос на подходящие к ним зарядки падает. Предложение зарядок возрастающее и само не менялось, поэтому сдвиг спроса влево снижает и цену, и объём. Верны третий и четвёртый варианты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Домножь все части неравенства на $Q^{*}$ и переведи результат на язык прибыли, а последний пункт проверь через минимум AVC.

Ответ: 1, 2, 3

Домножим цепочку $AVC(Q^{*}) < P < AC(Q^{*})$ на $Q^{*} > 0$:

$$VC(Q^{*}) < P Q^{*} < TC(Q^{*}).$$

Правое неравенство означает $\pi(Q^{*}) = P Q^{*} - TC(Q^{*}) < 0$, левое — что $P Q^{*} - VC(Q^{*}) > 0$, то есть $\pi(Q^{*}) > -FC$. Первый вариант верен: фирма убыточна, но работать ей выгоднее, чем закрыться, потому что выручка покрывает переменные издержки и часть постоянных.

Второй вариант тоже верен: по определению минимума $\min AVC \leqslant AVC(Q^{*}) < P$.

Третий вариант верен, но доказывается от противного: если бы $P \geqslant \min AC$, нашёлся бы выпуск с неотрицательной прибылью, а мы уже знаем, что максимальная прибыль отрицательна. Противоречие, поэтому $P < \min AC$.

Четвёртый вариант неверен. После введения налога фирма не обязана держать прежний выпуск, она подстроится. Сравнивать ставку нужно не с $P - AVC(Q^{*})$, а с $P - \min AVC$: если $P - t > \min AVC$, найдётся положительный выпуск, который даёт прибыль больше $-FC$, и закрываться фирме рано.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Найди в условии внешний эффект и определи его знак: из него сразу следует, много или мало шаров летает по сравнению с оптимумом.

Ответ: 1, 2, 4

Структура рынка описана прямо: фирм много, услуга однородная, барьеры входа низкие. Это и есть признаки совершенной конкуренции — первый вариант верен.

Ключевая фраза — про красоту вида. Каждый следующий шар приносит выгоду не только своему покупателю, но и всем остальным туристам, которые за это не платят. Это положительный внешний эффект в потреблении: общественная выгода от полёта выше частной.

Равновесие устанавливается там, где частная выгода последнего покупателя равна цене, а значит, полётов покупают меньше, чем оптимально для общества. Четвёртый вариант верен: шаров в воздухе недостаточно.

Чтобы приблизиться к оптимуму, нужно удешевить полёты и увеличить их число — это делает потоварная субсидия, поэтому второй вариант верен. Налог, наоборот, сократит и без того недостаточное число полётов и уведёт рынок дальше от оптимума, так что третий вариант неверен.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Посчитай, сколько регионов одновременно могут производить оба товара, если КПВ страны строится по возрастанию альтернативных издержек.

Ответ: 2, 3, 4

Общая КПВ страны строится так: регионы выстраиваются по возрастанию альтернативных издержек, и сначала производством занимается самый дешёвый.

Если бы все КПВ были линейными, общая КПВ была бы ломаной из ста звеньев, каждое звено — свой регион. Точка на этой ломаной либо попадает в излом, и тогда специализируются все 100 регионов, либо лежит внутри звена, и тогда не специализируется ровно один регион — тот, чьё звено мы сейчас проходим. Получаем 100 и 99.

Нелинейная КПВ первого региона добавляет третий случай. Альтернативные издержки в нём растут непрерывно, поэтому линейные участки других регионов могут «разрезать» его дугу: пока издержки первого региона равны наклону КПВ какого-то региона $i$, оба они производят оба товара одновременно. Если экономика оказалась именно на таком участке, не специализируются сразу два региона — первый и регион $i$, то есть специализирующихся 98.

Меньше 98 быть не может: незавершённым может быть переход максимум по двум регионам. Значит, верны варианты 98, 99 и 100 — второй, третий и четвёртый.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Спроси себя про каждое благо: есть ли у него близкий заменитель и можно ли без него обойтись.

Ответ: 2, 4

Эластичность спроса по цене тем меньше, чем труднее отказаться от блага или заменить его другим, и чем меньшую долю бюджета оно занимает.

Соль: заменителей нет вообще, тратим на неё копейки, при подорожании вдвое покупать будем столько же. Спрос почти неэластичен.

Бензин: в краткосроке заменить нечем — чтобы перейти на другое топливо, нужно менять сам автомобиль, а ездить на работу надо в любом случае. Спрос неэластичен.

Апельсины: это один фрукт из десятка похожих, при росте цены легко переключиться на яблоки или бананы. Спрос эластичен.

Отдых в Турции: заменяется и другими странами, и внутренним туризмом, да и сама поездка не является предметом первой необходимости, её можно отложить. Спрос эластичен.

Значит, менее эластичен спрос на бензин и соль — второй и четвёртый варианты.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Сравни выручку с поля при хлопке и при батареях отдельно для каждого поля и возьми более жёсткое из двух условий.

Ответ: 50 ден. ед. за единицу энергии

Фермер максимизирует выручку, поэтому каждое поле он занимает тем, что приносит больше денег.

Первое поле: 100 единиц хлопка или 100 единиц энергии. Выручка от хлопка равна $40 \cdot 100 = 4000$, от батарей — $100 P_e$. Батареи не хуже, когда $100 P_e \geqslant 4000$, то есть $P_e \geqslant 40$.

Второе поле хуже освещено: 100 единиц хлопка или 80 единиц энергии. Здесь выручка от батарей равна $80 P_e$, и условие принимает вид $80 P_e \geqslant 4000$, то есть $P_e \geqslant 50$.

То же самое на языке альтернативных издержек: единица энергии стоит 1 единицу хлопка на первом поле и $100/80 = 1{,}25$ единицы хлопка на втором, а батареи ставят, когда $P_e / 40$ не меньше этой величины.

Оба поля заняты батареями, когда выполнены оба условия сразу, то есть при $P_e \geqslant 50$. При безразличии фермер выбирает батареи, поэтому граница входит в ответ.

Ответ: 50.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Найди максимальную прибыль до реорганизации и после неё, а потом запиши условие «фирме досталось не меньше прежнего».

Ответ: 19 %

Считаем прибыль в двух сценариях.

Без консультантов: $AC = 2$, поэтому

$$\pi(Q) = \left(11 - \frac{Q}{2}\right) Q - 2Q = 9Q - \frac{Q^2}{2}.$$

Парабола ветвями вниз с корнями $Q = 0$ и $Q = 18$, вершина при $Q = 9$. Максимальная прибыль равна $81 - 40{,}5 = 40{,}5$.

С консультантами средние издержки падают до 1, и общая прибыль становится

$$\pi_{\text{new}}(Q) = \left(11 - \frac{Q}{2}\right) Q - Q = 10Q - \frac{Q^2}{2}.$$

Корни $Q = 0$ и $Q = 20$, вершина при $Q = 10$, максимум равен $100 - 50 = 50$. Важно, что доля $\alpha$ не меняет точку максимума: фирма максимизирует $(1 - \alpha)$ от той же функции, а положительный множитель вершину не сдвигает.

Фирме остаётся $(1 - \alpha) \cdot 50$, и она не проигрывает, когда

$$(1 - \alpha) \cdot 50 \geqslant 40{,}5 \;\Longrightarrow\; 1 - \alpha \geqslant 0{,}81 \;\Longrightarrow\; \alpha \leqslant 0{,}19.$$

Ответ: 19 % (то есть 0,19).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Вытащи из двух первых облигаций коэффициенты роста за первый и за второй период и перемножь их.

Ответ: 400 д.е.

Бескупонная облигация — это просто обещание выплатить номинал в конце срока, поэтому её цена равна номиналу, дисконтированному по ставкам всех периодов до погашения.

Ставку первого периода достаём из облигации A: она гасится в момент 2 номиналом 100 и стоит 80 в момент 1, поэтому

$$80 = \frac{100}{1 + r_{12}} \;\Longrightarrow\; 1 + r_{12} = \frac{100}{80} = 1{,}25.$$

Ставку второго периода достаём из облигации B: в момент 2 она будет стоить 200 при номинале 240 с погашением в момент 3, поэтому

$$200 = \frac{240}{1 + r_{23}} \;\Longrightarrow\; 1 + r_{23} = \frac{240}{200} = 1{,}2.$$

Облигация C гасится в момент 3, значит её нужно дисконтировать дважды:

$$P_C = \frac{600}{(1 + r_{12})(1 + r_{23})} = \frac{600}{1{,}25 \cdot 1{,}2} = \frac{600}{1{,}5} = 400.$$

Проверка: 400 вырастет за первый период до $400 \cdot 1{,}25 = 500$, за второй — до $500 \cdot 1{,}2 = 600$, то есть ровно до номинала.

Ответ: 400.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Найди вершину параболы прибыли по зарплате, а затем запиши ту же прибыль через выручку и расходы на труд.

Ответ: 6 единиц труда

Необычность задачи в том, что прибыль задана как функция зарплаты: монопсонист выбирает не только количество труда, но и саму ставку, двигаясь по кривой предложения труда.

Сначала максимизируем $\pi(w) = 8w - w^2 + 20$. Это парабола ветвями вниз, вершина при $w^{*} = 8/2 = 4$. Максимальная прибыль равна

$$\pi^{*} = 32 - 16 + 20 = 36.$$

Теперь запишем прибыль обычным способом. Выручка равна $P \cdot Q = 2 \cdot 5L = 10L$, издержки равны $wL$, поэтому

$$\pi = (10 - w) L.$$

Подставляем оптимальную зарплату: $36 = (10 - 4) L^{*} = 6 L^{*}$, откуда $L^{*} = 6$.

Проверка: при $L = 6$ и $w = 4$ выручка равна $10 \cdot 6 = 60$, расходы на труд $4 \cdot 6 = 24$, прибыль 36 — сходится. Попутно видно, какое предложение труда стоит за условием: $L^{s}(w) = (8w - w^2 + 20)/(10 - w) = w + 2$, и при $w = 4$ оно как раз даёт 6.

Ответ: 6.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Деление поровну не может быть дешевле оптимального, поэтому ищи те $Q$, при которых оно и есть оптимальное.

Ответ: 2 млн куб. м

Функция $TC(Q)$ — это минимальные издержки добыть $Q$, то есть результат наилучшего распределения добычи по месторождениям. Деление поровну — лишь один из возможных вариантов, поэтому всегда верно

$$TC(Q) \leqslant TC_1(Q/2) + TC_2(Q/2).$$

Значит, требуемое неравенство «не меньше» может выполняться только как равенство, то есть ровно тогда, когда делить поровну оптимально.

Найдём такие $Q$. Пусть на первом месторождении добывают $q_1$, на втором $Q - q_1$. Суммарные издержки равны

$$5q_1^2 + 10(Q - q_1) = 5q_1^2 - 10 q_1 + 10Q.$$

Это парабола ветвями вверх по $q_1$ с вершиной $q_1 = 10/(2 \cdot 5) = 1$. Точка $Q/2$ лежит строго внутри отрезка $[0; Q]$, поэтому минимум достигается в ней только тогда, когда она совпадает с вершиной: $Q/2 = 1$, откуда $Q = 2$.

То же через предельные издержки: $MC_1 = 10 q_1$, $MC_2 = 10$, и в оптимуме с двумя работающими месторождениями они равны, то есть $q_1 = 1$ и $Q = 2 q_1 = 2$.

Ответ: $Q = 2$, других значений нет.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Парабола ветвями вверх на отрезке достигает максимума на его конце, поэтому проверять надо только $L = 0$ и $L = 2$; в пункте б) повтори то же рассуждение для $K = 9$ и вычти одну максимальную прибыль из другой.

а) Капитал фиксирован: $K = 4$, поэтому $Q(L) = \min\{L^2, 4\}$, то есть $Q = L^2$ при $L \leqslant 2$ и $Q = 4$ при $L > 2$. Цена выпуска равна 1, расходы на капитал уже понесены и на выбор труда не влияют. Прибыль:

$$\pi(L) = \begin{cases} L^2 - wL, & L \leqslant 2; \\ 4 - wL, & L > 2. \end{cases}$$

На втором участке функция убывает, поэтому $L > 2$ заведомо не оптимально. На первом участке стоит парабола ветвями вверх — отсюда и название фирмы. Максимум такой параболы на отрезке $[0; 2]$ достигается только на конце отрезка: вершина $L = w/2$ даёт минимум, а не максимум. Это главная ловушка задачи: стандартное условие $MRP_L = w$ здесь приводит к неверному ответу $L = w/2$, при котором спрос на труд нелепо растёт по зарплате. То же самое видно и через производные: $(L^2 - wL)' = 2L - w$ возрастает, а значит внутренней точки максимума быть не может.

Остаётся сравнить два кандидата: $\pi(0) = 0$ и $\pi(2) = 4 - 2w$. Второй больше при $w < 2$, равен нулю при $w = 2$, меньше при $w > 2$. При безразличии фирма по условию берёт больший объём труда, поэтому

$$L^{d}(w) = \begin{cases} 2, & w \leqslant 2; \\ 0, & w > 2. \end{cases}$$

Спрос на труд имеет вид ступеньки: наибольшая зарплата, при которой фирма ещё нанимает работников, равна 2.

б) Фирма готова платить за аренду столько, чтобы её прибыль от этого не уменьшилась, поэтому $S_{max}(w)$ — это разность максимальных прибылей с арендой (до вычета платы) и без неё.

Без аренды, из пункта а): $\pi_1^{*} = 4 - 2w$ при $w \leqslant 2$ и $\pi_1^{*} = 0$ при $w > 2$.

С арендой капитал равен $4 + 5 = 9$, поэтому $Q = \min\{L^2, 9\}$ и излом приходится на $L = 3$. Функция прибыли принимает вид $L^2 - wL - S$ при $L \leqslant 3$ и $9 - wL - S$ при $L > 3$. Рассуждение то же самое, что в пункте а): кандидаты — $L = 0$ с прибылью $-S$ и $L = 3$ с прибылью $9 - 3w - S$. Значит, при $w \leqslant 3$ оптимален $L = 3$, при $w > 3$ — $L = 0$, и максимальная прибыль с арендой до вычета платы равна $9 - 3w$ при $w \leqslant 3$ и $0$ при $w > 3$.

Вычитаем по участкам:

• при $w \leqslant 2$: $S_{max} = (9 - 3w) - (4 - 2w) = 5 - w$;
• при $2 < w \leqslant 3$: $S_{max} = (9 - 3w) - 0 = 9 - 3w$;
• при $w > 3$: $S_{max} = 0 - 0 = 0$.

Итого

$$S_{max}(w) = \begin{cases} 5 - w, & 0 < w \leqslant 2; \\ 9 - 3w, & 2 < w \leqslant 3; \\ 0, & w > 3. \end{cases}$$

График — ломаная: от значения, близкого к 5 при $w \to 0$, она полого спускается до 3 в точке $w = 2$, затем круче падает до нуля в точке $w = 3$ и дальше идёт по оси абсцисс.

в) Функция $S_{max}(w)$ убывает, а труд и капитал являются комплементами.

Пояснение (от участника оно не требуется): $S_{max}(w)$ — это готовность платить за капитал, то есть характеристика спроса на капитал. Спрос на капитал падает при подорожании труда, а когда спрос на одно благо убывает по цене другого, блага дополняют друг друга.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Посчитай благосостояние при конкуренции и при монополии как линейные функции от $a$, а в пункте б) найди вершину параболы $SW(Q)$ и приравняй её к монопольному выпуску.

а) Считаем благосостояние в двух рыночных структурах.

Конкуренция. Предложение горизонтально на уровне 5, значит $MC = 5$, а при нулевых постоянных издержках $AC = 5 = P$, поэтому экономическая прибыль фирм равна нулю. Равновесие: $Q^c = 25 - 5 = 20$. Излишек потребителей $CS^c = 0{,}5 \cdot 20^2 = 200$ (то же самое даёт площадь треугольника между спросом и линией $P = 5$), ущерб экологии $a \cdot 20^2 = 400a$. Итого

$$SW^c = 200 + 0 - 400a = 200 - 400a.$$

Монополия. Издержки те же, $TC(Q) = 5Q$, поэтому

$$\pi(Q) = (25 - Q)Q - 5Q = (20 - Q)Q.$$

Это парабола ветвями вниз с корнями 0 и 20, её вершина $Q^m = 10$; тот же ответ даёт условие $MR = 25 - 2Q = 5 = MC$ (здесь оно законно: $MR$ убывает, $MC$ постоянны). Цена $P^m = 15$, прибыль $\pi^m = 10 \cdot 10 = 100$, излишек потребителей $CS^m = 0{,}5 \cdot 10^2 = 50$, ущерб $a \cdot 10^2 = 100a$. Итого

$$SW^m = 50 + 100 - 100a = 150 - 100a.$$

Монополизация полезна, когда $SW^m > SW^c$:

$$150 - 100a > 200 - 400a \;\Longrightarrow\; 300a > 50 \;\Longrightarrow\; a > \frac{1}{6}.$$

Логика такая: монополия режет выпуск вдвое, и общество теряет на этом 50 единиц излишка, но выигрывает $300a$ на сокращении выбросов. При сильном внешнем эффекте выигрыш перевешивает.

Ответ пункта а): $a > 1/6$.

б) Сначала найдём объём, который вообще максимизирует благосостояние. В общем виде излишек потребителей равен $CS(Q) = Q^2/2$, прибыль перевозчиков $\pi(Q) = (20 - Q)Q$, ущерб равен $aQ^2$, поэтому

$$SW(Q) = \frac{Q^2}{2} + (20 - Q)Q - aQ^2 = 20Q - \left(\frac{1}{2} + a\right) Q^2.$$

Это парабола ветвями вниз, её вершина

$$Q^{*} = \frac{20}{2 \left(\tfrac{1}{2} + a\right)} = \frac{20}{1 + 2a}.$$

Монополия даёт максимум благосостояния тогда и только тогда, когда её собственный выпуск совпадает с этим числом. Из пункта а) известно, что $Q^m = 10$, поэтому

$$10 = \frac{20}{1 + 2a} \;\Longrightarrow\; 1 + 2a = 2 \;\Longrightarrow\; a = 0{,}5.$$

То же получается и вторым способом: максимально возможное благосостояние равно $SW(Q^{*}) = \dfrac{200}{1 + 2a}$, приравниваем его к $SW^m = 150 - 100a$, делим на 100 и приходим к $4a^2 - 4a + 1 = 0$, то есть $(2a - 1)^2 = 0$ и $a = 1/2$. Проверка: при $a = 0{,}5$ благосостояние при монополии равно $150 - 50 = 100$, а максимально возможное равно $200/2 = 100$ — совпадает.

Ответ пункта б): $a = 1/2$.

Парадокс здесь только кажущийся: при сильном отрицательном внешнем эффекте обществу нужен меньший выпуск, и монополия своим ограничением выпуска случайно выполняет работу корректирующего налога.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Выведи формулу аннуитетного платежа через сумму геометрической прогрессии, а потом сравни два платежа, сократив общий множитель $P$.

Сначала выведем формулу аннуитетного платежа в общем виде. Пусть начальный долг равен $S_0$, ставка равна $i$ в месяц, платёж равен $X$.

Через месяц долг равен $S_1 = S_0(1+i) - X$. Через два месяца

$$S_2 = \left[S_0(1+i) - X\right](1+i) - X = S_0(1+i)^2 - X(1+i) - X,$$

через три — $S_3 = S_0(1+i)^3 - X(1+i)^2 - X(1+i) - X$. Продолжая по индукции, получаем

$$S_t = S_0 (1+i)^t - X\left[(1+i)^{t-1} + (1+i)^{t-2} + \ldots + (1+i) + 1\right].$$

Платёж подобран так, чтобы через $T$ месяцев долг обнулился, поэтому

$$S_0 (1+i)^T = X\left[1 + (1+i) + \ldots + (1+i)^{T-1}\right].$$

В квадратных скобках стоит геометрическая прогрессия с $b = 1$ и $q = 1 + i$. По данному в условии тождеству её сумма равна

$$\frac{1 - (1+i)^{T}}{1 - (1 + i)} = \frac{(1+i)^{T} - 1}{i},$$

откуда

$$X = \frac{S_0\, i\, (1+i)^T}{(1+i)^T - 1} = \frac{S_0\, i}{1 - (1+i)^{-T}}.$$

Теперь применим формулу к обеим опциям. Для ипотеки от банка $S_0 = P(1-d)$ и $i = R$:

$$X_{\text{bank}} = \frac{P(1-d)\,R\,(1+R)^T}{(1+R)^T - 1}.$$

Для ипотеки от застройщика $S_0 = P$ и $i = r$:

$$X_{\text{dev}} = \frac{P\,r\,(1+r)^T}{(1+r)^T - 1}.$$

Опция 1 строго предпочтительнее, когда платёж банку строго меньше:

$$\frac{P(1-d)\,R\,(1+R)^T}{(1+R)^T - 1} < \frac{P\,r\,(1+r)^T}{(1+r)^T - 1}.$$

Сокращаем на $P > 0$ и выражаем скидку:

$$d > 1 - \frac{r}{R} \cdot \frac{(1+r)^T}{(1+R)^T} \cdot \frac{(1+R)^T - 1}{(1+r)^T - 1},$$

что компактнее записывается как

$$d > 1 - \frac{r}{R} \cdot \frac{1 - (1+R)^{-T}}{1 - (1+r)^{-T}}.$$

Ответ: ипотека от банка строго выгоднее ровно при $d > 1 - \dfrac{r}{R} \cdot \dfrac{1 - (1+R)^{-T}}{1 - (1+r)^{-T}}$; сама цена квартиры $P$ в границу не входит, она сократилась.

Числовая иллюстрация (в официальном решении её нет): при $T = 12$, $R = 2\ \%$ и $r = 0{,}5\ \%$ в месяц получаем $1 - 1{,}02^{-12} \approx 0{,}21151$ и $1 - 1{,}005^{-12} \approx 0{,}05809$, отношение $\approx 3{,}6407$, множитель $r/R = 0{,}25$, произведение $\approx 0{,}9102$. Порог равен $d > 0{,}0898$, то есть скидка должна превышать примерно $9\ \%$ — вполне реалистичная величина, из-за чего «ипотека от застройщика» далеко не всегда выгодна.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf

Разбери отдельно случай «нефть только для внутреннего рынка» и случай «часть уходит на экспорт», найди вершины двух парабол сборов и обязательно проверь, попадает ли каждая вершина на свой участок.

Налог платят с каждой добытой единицы, поэтому он сдвигает предложение вверх: $P = 30 + Q + t$, то есть $Q_s(P) = P - 30 - t$. Прямая функция внутреннего спроса: $Q_d(P) = 30 - P/3$.

После введения налога возможны два случая: нефть идёт только на внутренний рынок или ещё и на экспорт. Экспорт есть тогда и только тогда, когда при мировой цене внутреннего спроса не хватает: $Q_d(x) < Q_s(x)$, то есть $30 - x/3 < x - 30 - t$, откуда

$$t < \frac{4x}{3} - 60.$$

При таком $t$ объём добычи диктует мировая цена: $Q = x - 30 - t$. В противном случае объём определяется внутренним равновесием: $90 - 3Q = 30 + Q + t$, откуда $Q = (60 - t)/4$. Значит, сборы равны

$$T(t) = tQ(t) = \begin{cases} t(x - 30 - t), & t < 4x/3 - 60; \\ t(60 - t)/4, & t \geqslant 4x/3 - 60. \end{cases}$$

На каждом участке это парабола ветвями вниз, в точке стыковки функция непрерывна. Вершина левой параболы $t_1 = (x - 30)/2$, вершина правой $t_2 = 30$. Важно проверить, попадают ли вершины на «свои» участки: если обе лежат вне их, максимум достигается в точке стыковки.

Вершина $t_1$ лежит на левом участке при $(x - 30)/2 < 4x/3 - 60$, то есть при $x > 54$. Вершина $t_2$ лежит на правом участке при $30 \geqslant 4x/3 - 60$, то есть при $x \leqslant 67{,}5$. Кроме того, при $x \leqslant 45$ граница $4x/3 - 60 \leqslant 0$, и левого участка просто нет: мировая цена ниже внутренней равновесной, экспорта не будет даже без налога.

Случай 1, $x \leqslant 45$. Левого участка нет, сборы — одна парабола $t(60-t)/4$, максимум в вершине: $t^{*} = 30$.

Случай 2, $45 < x \leqslant 54$. Левый участок есть, но вершина левой параболы лежит правее него, поэтому на левом участке сборы монотонно растут. Вершина правой параболы своему участку принадлежит, значит максимум там: $t^{*} = 30$.

Случай 3, $54 < x \leqslant 67{,}5$. Обе вершины лежат на своих участках, сравниваем значения: $T(t_1) = (x - 30)^2/4$ и $T(t_2) = 900/4 = 225$. Неравенство $(x - 30)^2 > 900$ выполнено при $x > 60$. Значит, при $x > 60$ оптимальна ставка $t_1 = (x-30)/2$, при $x < 60$ — ставка $t_2 = 30$, а при $x = 60$ государство безразлично и по условию выбирает меньшую ставку, то есть $t_1 = 15$.

Случай 4, $x > 67{,}5$. Вершина левой параболы на своём участке, вершина правой лежит левее правого участка, поэтому справа сборы убывают. Максимум в $t_1$: $t^{*} = (x - 30)/2 = x/2 - 15$.

Собирая всё вместе,

$$t^{*}(x) = \begin{cases} 30, & x < 60; \\ x/2 - 15, & x \geqslant 60. \end{cases}$$

График сначала горизонтален на уровне 30, в точке $x = 60$ скачком падает до 15 и дальше растёт с наклоном $1/2$.

Дилемма государства здесь в том, назначить ли ставку побольше, задушив весь экспорт, или поменьше, но собрать больше за счёт крупного экспорта. Любопытно, что реальная формула НДПИ на нефть в России тоже имеет вид $t = \alpha x - \beta$ — ровно как экспортная ветвь нашей модели.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-10-reg-22-23.pdf