ВсОШ по экономике 2024/25, региональный этап, 10 класс

Лауреатов было трое, и все они известны книгами о том, почему одни страны богаты, а другие бедны.

Ответ: 4

Премию 2024 года получили Дарон Аджемоглу, Саймон Джонсон и Джеймс Робинсон.

Их общая тема — институты: как в стране складываются правила игры (защита собственности, ограничение власти, инклюзивные или экстрактивные порядки) и почему именно эти правила разводят страны по уровню благосостояния. Ключевой приём их работ — искать источник различий в институтах, заложенных ещё колониальной историей, и прослеживать его до сегодняшнего дохода на душу населения.

Теперь по приманкам. Иррациональное поведение — это премия Канемана (2002) и Талера (2017). Дискриминация на рынке труда и экономика гендера — это Клаудия Голдин (2023), то есть год назад. Эффективность финансовых рынков — Юджин Фама, Ларс Хансен и Роберт Шиллер (2013).

Верный вариант — четвёртый: возникновение институтов и их влияние на процветание стран.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Три фактора двигают спрос вниз, и только один трогает другую сторону рынка.

Ответ: 2

Сортируем факторы по тому, на какую сторону рынка они давят.

Удалённая и гибридная занятость ослабляет привязку к офису: жить в центре города становится не обязательно, спрос на городское жильё падает, а с ним и цена. Пригородные электрички работают так же — они делают загородные варианты ближе по времени, то есть добавляют заменителей городской квартире. Сокращение льготной ипотеки бьёт по платёжеспособному спросу: при ставке выше доступный покупателю платёж меньше, спрос смещается влево, цена падает.

Остаётся ограничение на высотное строительство. Оно не трогает спрос вовсе, зато режет предложение: на том же участке земли теперь получается меньше квадратных метров. Кривая предложения сдвигается влево, и при неизменном спросе равновесная цена растёт.

Верный вариант — второй.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Проверь, входит ли константа в условие максимума прибыли.

Ответ: 3

Запишем прибыль монополиста как $\Pi(Q) = TR(Q) - VC(Q) - FC$.

Фиксированные издержки $FC$ входят в формулу отдельным слагаемым и не зависят от $Q$. Значит, при поиске максимума они исчезают: $\Pi'(Q) = MR(Q) - MC(Q)$, и условие оптимума $MR = MC$ вообще не содержит $FC$.

Отсюда всё и следует. Оптимальный объём $Q^{*}$ не меняется, а раз объём тот же, то по кривой спроса та же и цена $P^{*}$. Потребительский излишек зависит только от цены и объёма, поэтому и он остаётся прежним. Варианты про рост выпуска, рост цены и падение излишка отпадают.

Меняется только значение прибыли в оптимальной точке: она уменьшается ровно на прирост $FC$. Верный вариант — третий.

Оговорка про краткосрочный период здесь важна: в длинном периоде фирма с убытком может вообще уйти с рынка, но в коротком она продолжает работать, пока выручка покрывает переменные издержки.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Сначала сравни рост доходов с самым большим ростом цен, а потом вспомни закон Энгеля про долю расходов на еду.

Ответ: 2

Реальный доход меняется как $\dfrac{1 + g}{1 + \pi}$, где $g$ — рост номинального дохода, а $\pi$ — рост цен именно той корзины, которую покупает данная группа.

Первый шаг. Номинальные доходы выросли на $30\,\%$, а самый быстрый из трёх ценовых компонентов прибавил $20\,\%$. Какой бы ни была структура расходов, инфляция для любой группы лежит между $0\,\%$ и $20\,\%$, то есть меньше $30\,\%$. Значит, реальные доходы выросли у обеих групп — варианты с падением у кого-то из них отпадают сразу.

Второй шаг. Это закон Энгеля: чем беднее домохозяйство, тем большую долю расходов оно отдаёт на еду. У бедных в корзине преобладает продовольствие, подорожавшее на $20\,\%$, у богатых — услуги, которые не подорожали вовсе. Поэтому личная инфляция бедных выше личной инфляции богатых.

При одинаковом числителе $1{,}3$ у богатых меньший знаменатель, значит реальный доход у них вырос сильнее. Верный вариант — второй.

Пример для наглядности: если бедные тратят всё на еду, их реальный доход растёт в $1{,}3 / 1{,}2 \approx 1{,}083$ раза, а если богатые тратят всё на услуги — в $1{,}3$ раза.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Считай, что вводится дополнительный налог в 3 рубля, и подставь в готовую формулу цену, уменьшенную на эти 3 рубля.

Ответ: 4

Главное — заметить, что старый акциз уже зашит в данную функцию, поэтому пересчитывать его заново не нужно.

Ставка выросла с $7$ до $10$ рублей за литр, то есть добавился налог $\Delta t = 3$ рубля. Продавцы за каждый литр теперь получают на $3$ рубля меньше, поэтому прежний объём они готовы продавать по цене потребителя на $3$ рубля выше.

Технически это сдвиг графика вверх на $3$: в формуле, записанной через цену потребителя $P$, надо заменить $P$ на $P - 3$.

Подставляем в $Q_s = (P + 3)(P + 10)$:
$$Q_s = (P - 3 + 3)(P - 3 + 10) = P\,(P + 7) = P^2 + 7P.$$

Это четвёртый вариант.

Проверка знаком: старое предложение раскрывается в $P^2 + 13P + 30$, и при любой положительной цене новое предложение меньше старого. Так и должно быть после роста налога.

Остальные варианты — типичные ошибки. Второй получается, если сдвинуть кривую не в ту сторону и подставить $P + 3$: $(P + 6)(P + 13) = P^2 + 19P + 78$, то есть предложение почему-то выросло. Третий — результат простого вычитания тройки из свободного члена: $P^2 + 13P + 30 - 3$, хотя сдвигать надо всю кривую, а не одно слагаемое. Первый вариант $P^2 - 7P$ отвечает замене $P$ на $P - 10$, как будто старого акциза не было вовсе и весь налог в $10$ рублей вводится с нуля.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Два утверждения держатся на точных определениях терминов — проверь, что означают пролонгация и аннуитет.

Ответ: 1, 4

Разбираем утверждения по одному.

Первое верно. Капитализация означает, что начисленные проценты присоединяются к телу вклада и дальше сами приносят процент, то есть работает сложный процент: за $n$ периодов сумма растёт как $(1 + i)^n$ против $1 + ni$ без капитализации. При $n > 1$ и $i > 0$ первое выражение больше. Скажем, при $i = 10\,\%$ и двух годах это $1{,}21$ против $1{,}2$.

Второе неверно: пролонгация — это продление вклада на новый срок, а не досрочное закрытие. При досрочном закрытии банк обычно пересчитывает проценты по ставке вклада до востребования.

Третье неверно: кредитная история как раз и есть запись о том, насколько своевременно заёмщик вносил платежи, и просрочки в неё попадают.

Четвёртое верно: аннуитет по определению — равные по размеру платежи в течение всего срока; меняется лишь их внутренняя структура, доля процентов падает, доля погашения тела растёт. Схема с убывающими платежами называется дифференцированной.

Ответ: верны утверждения 1 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Абсолютно неэластичный спрос — вертикаль: проверь каждый пункт списка на этой картинке и посмотри, остаётся ли хоть один.

Ответ: 4

Пошлина удорожает импорт, поэтому внутренняя цена сахара растёт, а не падает. Первое последствие отпадает.

Абсолютно неэластичный спрос — это вертикальная линия: $Q_d$ одинаков при любой цене, эластичность равна нулю. Сколько бы ни стоил сахар, страна покупает то же количество. Значит, потребление не снижается, второе последствие отпадает.

Отечественные производители от пошлины выигрывают: цена на внутреннем рынке выше, а их собственные издержки не изменились, поэтому по своей возрастающей кривой предложения они дают не меньше прежнего. Внутреннее производство не падает, третье последствие тоже отпадает.

Остаётся четвёртый вариант: ни одно из перечисленных последствий не наступает. Заодно видно, кто платит за пошлину — весь её груз ложится на потребителей, ведь при нулевой эластичности спроса они не могут ответить сокращением покупок.

Ответ: верен только вариант 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Держи в голове разницу между долгом и долей, а про цену помни, что она торгуется и с номиналом совпадает лишь случайно.

Ответ: 3, 4

Первое утверждение неверно. Номинал — это лишь сумма, которую эмитент вернёт в дату погашения. Рыночная цена облигации устанавливается торгами и равна приведённой стоимости будущих выплат, поэтому она бывает и выше, и ниже номинала; её принято указывать в процентах от номинала, и значения вроде $97{,}4$ или $101{,}2$ обычны.

Второе утверждение неверно: облигация — это долг, а не доля. Покупатель облигации становится кредитором эмитента и получает право на фиксированные выплаты, но не право голоса и не долю в прибыли. Совладельцем делает акция.

Третье утверждение верно: дефолт эмитента, то есть отказ платить купон или вернуть номинал, — основной кредитный риск держателя облигаций.

Четвёртое утверждение верно. Когда ключевая ставка растёт, доходность альтернатив (вкладов, новых выпусков) поднимается, и чтобы новый выпуск ОФЗ вообще разместили, Минфин вынужден предложить большую доходность. Со старыми бумагами то же самое происходит через цену: она падает, а доходность к погашению растёт.

Ответ: верны утверждения 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Выпиши все семь пар допустимых целых выпусков — дальше каждое утверждение проверяется взглядом на список.

Ответ: 2, 4

Вся задача решается одной таблицей. При $X$ единицах первого продукта на них уходит $15X$ единиц труда, на второй продукт остаётся $100 - 15X$, и максимальный целый выпуск равен $Y(X) = \left\lfloor \dfrac{100 - 15X}{20} \right\rfloor$.

Считаем: $Y(0) = 5$, $Y(1) = 4$, $Y(2) = 3$, $Y(3) = 2$, $Y(4) = 2$, $Y(5) = 1$, $Y(6) = 0$.

Утверждение 1 неверно: убыль по шагам равна $1, 1, 1, 0, 1, 1$. На четвёртой единице $X$ жертвовать ничем не пришлось — из-за целочисленности остаток труда просто пропадал впустую. Раз издержки не одинаковы, постоянными их назвать нельзя.

Утверждение 2 верно: переход с $X = 4$ на $X = 5$ роняет $Y$ с $2$ до $1$, то есть пятая единица $X$ стоит ровно одной единицы $Y$.

Утверждение 3 неверно: точка $(6, 0)$ лежит на границе возможностей, а труда в ней задействовано лишь $90$ единиц. Недоиспользование труда здесь не признак того, что мы под КПВ.

Утверждение 4 верно: из $(3, 2)$ можно перейти в $(4, 2)$, увеличив $X$ и не тронув $Y$, значит исходная точка лежит строго под границей и эффективной не является.

Ответ: верны утверждения 2 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Выведи эластичность линейного спроса через цену, обнуляющую спрос, — все четыре пункта читаются прямо с графика двух прямых.

Ответ: 2, 3, 4

Возьмём линейный спрос $Q = a - bP$ и посчитаем эластичность по модулю:
$$|E| = \dfrac{bP}{a - bP} = \dfrac{P}{a/b - P} = \dfrac{P}{P_{\max} - P},$$
где $P_{\max} = a/b$ — цена, при которой спрос обнуляется.

Выражение зависит только от $P_{\max}$ и убывает по нему. Раз ночной спрос менее эластичен при каждой цене, у ночной кривой $P_{\max}$ больше.

Отсюда третье утверждение верно: на ценах между дневным $P_{\max}$ и ночным дневной спрос уже равен нулю, а ночной ещё положителен.

Первое утверждение неверно: на тех же высоких ценах ночной спрос строго больше дневного.

Теперь второе и четвёртое. У ночной кривой выше точка пересечения с осью цены, но ниже точка пересечения с осью количества ($Q_{\max}$ днём больше). Две прямые с таким расположением концов обязаны пересечься во внутренней точке, где оба количества положительны и равны, — это четвёртое утверждение. А совпасть по наклону они не могут: при одинаковом $b$ из большего $P_{\max} = a/b$ следовало бы и большее $a = Q_{\max}$, что противоречит условию. Значит, второе утверждение тоже верно.

Ответ: верны утверждения 2, 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Найди координаты единственной точки излома кривой Лоренца: доля фирм по количеству и их доля в прибыли.

Ответ: 0,3

Обозначим совокупную прибыль рынка через $T$. Фирм всего $20 + 5 = 25$.

Каждая из пяти картельных фирм берёт $0{,}1T$, вместе они забирают $5 \cdot 0{,}1T = 0{,}5T$. Остальные $0{,}5T$ делятся поровну между двадцатью аутсайдерами: по $\dfrac{0{,}5T}{20} = 0{,}025T$ на фирму.

Строим кривую Лоренца. Аутсайдеры беднее, поэтому идут первыми: $20$ фирм из $25$ — это доля $x = 0{,}8$ по количеству и $y = 0{,}5$ по прибыли. Кривая Лоренца — ломаная из двух отрезков: $(0;0) \to (0{,}8;\,0{,}5) \to (1;1)$.

Площадь под ломаной складывается из треугольника и трапеции:
$$S = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}5 + \tfrac{1}{2} \cdot (0{,}5 + 1) \cdot 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35.$$

Коэффициент Джини: $G = 1 - 2S = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.

Для двух однородных групп это совпадает с быстрым правилом $G = x - y = 0{,}8 - 0{,}5 = 0{,}3$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Сначала восстанови годовой доход из старого налога, проверив, попадал ли он вообще во вторую ступень.

Ответ: 627 тыс. руб.

Сначала восстановим доход по старому налогу.

Проверим, мог ли доход быть больше $5$ млн. Тогда одни только первые $5$ млн дали бы налог $5\,000\,000 \cdot 0{,}13 = 650\,000$ руб., что уже превышает уплаченные $585$ тыс. Значит, доход не выше $5$ млн и обложен целиком по ставке $13\,\%$.

Отсюда $D = \dfrac{585\,000}{0{,}13} = 4\,500\,000$ руб.

Теперь новая шкала. Ставки маржинальные, поэтому доход режем на куски и каждый облагаем своей ставкой.

Первый кусок — до $2{,}4$ млн по $13\,\%$: $2\,400\,000 \cdot 0{,}13 = 312\,000$ руб.

Второй кусок — остаток $4\,500\,000 - 2\,400\,000 = 2\,100\,000$ руб. попадает в интервал от $2{,}4$ до $5$ млн со ставкой $15\,\%$: $2\,100\,000 \cdot 0{,}15 = 315\,000$ руб.

Итого $312\,000 + 315\,000 = 627\,000$ руб., то есть $627$ тыс. руб.

Типичная ошибка — обложить весь доход одной ставкой $15\,\%$ и получить $675$; маржинальная шкала так не работает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Перемножь показатели степеней, а потом замени корень из числа аналитиков новой переменной — получится обычная парабола.

Ответ: 400 аналитиков

Сначала склеим две зависимости тура в одну.

Из $Q = L^{3/4}$ получаем $Q^{2/3} = \left(L^{3/4}\right)^{2/3} = L^{(3/4) \cdot (2/3)} = L^{1/2}$.

Значит, валовая прибыль равна $6000\sqrt{L}$, а чистая прибыль после выплаты зарплат:
$$\pi(L) = 6000\sqrt{L} - 150L.$$

Сделаем замену $x = \sqrt{L} \geqslant 0$. Тогда $\pi = 6000x - 150x^2$ — парабола ветвями вниз, её вершина лежит в
$$x^{*} = \dfrac{6000}{2 \cdot 150} = 20.$$

Возвращаемся: $L^{*} = x^{*2} = 400$ аналитиков.

Проверим через предельные величины: предельный продукт в деньгах равен $\dfrac{3000}{\sqrt{L}}$, и он сравнивается с зарплатой $150$ ровно при $\sqrt{L} = 20$. Прибыль в оптимуме: $6000 \cdot 20 - 150 \cdot 400 = 120\,000 - 60\,000 = 60\,000$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Если цена потребителя обязана вернуться к прежней, то и объём по кривой спроса вернётся к прежнему — дальше остаётся найти цену продавца при этом объёме.

Ответ: 2400 единиц

Шаг 1. Исходное равновесие: $120 - Q = \dfrac{Q}{2}$, откуда $1{,}5Q = 120$, то есть $Q = 80$ и $P = 40$.

Шаг 2. Цель государства — вернуть потребителю прежнюю цену $P^{d} = 40$. По кривой спроса эта цена возможна только при прежнем объёме $Q = 80$.

Шаг 3. Новая цена предложения: $P^{s} = \dfrac{Q}{2} + 30$. При $Q = 80$ производителю нужно получить $P^{s} = 40 + 30 = 70$.

Шаг 4. Субсидия на единицу — это разрыв между тем, что получает продавец, и тем, что платит покупатель: $70 - 40 = 30$.

Расходы бюджета: $30 \cdot 80 = 2400$.

Заметь, что ставка $s$ в процентах для ответа не понадобилась: из $P^{s} = P^{d}(1 + s)$ выходит $s = \dfrac{70 - 40}{40} = 0{,}75$, но расходы всё равно считаются как $sP^{d}Q = (P^{s} - P^{d})Q$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Выразь равновесный объём каждого рынка через долю, сложи два произведения «ставка на объём» и ищи вершину параболы.

Ответ: 0,8

Пусть $t_1 = 360\alpha$ и $t_2 = 360(1 - \alpha)$ — ставки на первом и втором рынках.

Рынок шоколадных конфет. Налог платит продавец, поэтому предложение через цену покупателя: $Q_1^{S} = P - 24 - t_1$. Равновесие: $600 - P = P - 24 - t_1$, откуда $P = \dfrac{624 + t_1}{2}$ и $Q_1 = 600 - P = 288 - \dfrac{t_1}{2} = 288 - 180\alpha$.

Рынок сливочных конфет. Аналогично $144 - P = P - t_2$, откуда $Q_2 = 72 - \dfrac{t_2}{2} = 72 - 180(1 - \alpha) = 180\alpha - 108$.

Суммарные сборы:
$$T = 360\alpha\,(288 - 180\alpha) + 360(1 - \alpha)(180\alpha - 108).$$

Раскроем скобки: $T = 360\left(-360\alpha^2 + 576\alpha - 108\right)$. Это парабола ветвями вниз, вершина в
$$\alpha^{*} = \dfrac{576}{2 \cdot 360} = 0{,}8.$$

Проверим допустимость: при $\alpha = 0{,}8$ получаем $Q_1 = 144 > 0$ и $Q_2 = 36 > 0$, оба рынка живы.

Есть и короткий путь: по отдельности оптимальные ставки равны $t_1^{*} = 288$ и $t_2^{*} = 72$, а их сумма как раз $360$, поэтому ограничение не мешает и $\alpha^{*} = 288/360 = 0{,}8$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Посчитай, хватит ли объединённого труда, чтобы полностью выбрать общий лимит новой технологии.

а) Страна 1 имеет $150$ единиц труда; новая технология даёт $2$ единицы товара на единицу труда, но не более $200$ единиц товара. Чтобы выжать максимум $Y$: $200$ единиц по новой технологии съедают $100$ труда, оставшиеся $50$ дают ещё $50$ по старой, итого $250$. Начиная выпускать $X$, сперва жертвуем старым выпуском $Y$ — альтернативные издержки $1/2$, доходим до точки $(100;\,200)$. Дальше жертвуем новым выпуском $Y$ — издержки $1$, упираемся в лимит $X \leqslant 200$ в точке $(200;\,100)$. Последний участок: $X$ по старой технологии против $Y$ по новой, издержки $2$, конец в $(250;\,0)$. Страна 2 с $50$ единицами труда даёт максимум $100 < 200$, то есть работает только по новой технологии: её КПВ — прямая $Y = 100 - X$.

б) Складываем КПВ по горизонтали. Участок с издержками $1$ у страны 1 удлиняется на всю страну 2: максимум каждого товара $250 + 100 = 350$, точки излома $(100;\,300)$ и $(300;\,100)$.

в) Миграция превращает две страны в одну: труда $150 + 50 = 200$, лимит новой технологии $200 + 200 = 400$ единиц товара. Ровно $200$ единиц труда по новой технологии и дают $400$ единиц — лимит достигается впритык, старая технология не нужна вовсе. Альтернативные издержки везде равны $1$, КПВ — прямая $Y = 400 - X$, максимум по каждому товару $400$.

г) Прямая $Y = 400 - X$ совпадает с КПВ из пункта б) на среднем участке и лежит выше неё на крайних. Луч потребления $Y = kX$ попадает на крайние участки при $k < 1/3$ или $k > 3$, то есть $k \in (0;\,1/3) \cup (3;\,+\infty)$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Решай задачу с конца: выручка в равновесии оказывается пропорциональна доле, и прибыль владельца становится обычной параболой.

а) Из спроса $q = \sqrt{e} - p$ получаем обратный спрос $p = \sqrt{e} - q$ и выручку $TR = q(\sqrt{e} - q)$. Полезность менеджера равна $bq(\sqrt{e} - q) - e^2$; при выборе $q$ величины $b$ и $e$ фиксированы, а $-e^2$ на оптимум по $q$ не влияет. Значит, менеджер просто максимизирует выручку: парабола ветвями вниз с вершиной в $q^{*} = \dfrac{\sqrt{e}}{2}$. То же даёт условие $MR = \sqrt{e} - 2q = 0$. Доля $b$ в ответ не входит.

б) Подставим $q^{*}$ обратно: $TR = \dfrac{\sqrt{e}}{2}\left(\sqrt{e} - \dfrac{\sqrt{e}}{2}\right) = \dfrac{e}{4}$. Тогда полезность менеджера равна $\dfrac{be}{4} - e^2$ — снова парабола ветвями вниз, вершина в $e^{*} = \dfrac{b}{8}$. Отсюда $q^{*} = \dfrac{\sqrt{b/8}}{2} = \dfrac{\sqrt{2b}}{8}$.

в) Владелец получает $TR(1 - b)$, где $TR = \dfrac{e^{*}}{4} = \dfrac{b}{32}$. Его прибыль $\dfrac{b(1 - b)}{32}$ — парабола ветвями вниз по $b$, вершина в $b^{*} = \dfrac{1}{2}$, что укладывается в условие $0 < b < 1$.

При такой доле менеджер выберет $e^{*} = \dfrac{1/2}{8} = \dfrac{1}{16}$ и $q^{*} = \dfrac{\sqrt{1/16}}{2} = \dfrac{1}{8}$.

Итого: $b^{\star} = \dfrac{1}{2}$, $e^{\star} = \dfrac{1}{16}$, $q^{\star} = \dfrac{1}{8}$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf

Сравни три варианта первого вклада одним числом — коэффициентом роста за все два года, — и только потом думай про страховой лимит.

Капитализации нет, значит проценты считаются простыми: за срок $T$ лет под ставку $i$ сумма умножается на $(1 + iT)$.

Шаг 1. Все стартовые ставки Ух-Банка ниже соответствующих ставок Ох-Банка, поэтому первый вклад делаем в Ох-Банк. Остаётся выбрать срок, зная, что дальше доступны только $10\,\%$ годовых.

Шаг 2. Считаем итоговый коэффициент роста за два года для трёх вариантов:

полгода: $(1 + 0{,}24 \cdot 0{,}5)(1 + 0{,}1 \cdot 1{,}5) = 1{,}12 \cdot 1{,}15 = 1{,}288$;

год: $(1 + 0{,}18)(1 + 0{,}1) = 1{,}18 \cdot 1{,}1 = 1{,}298$;

два года: $1 + 0{,}12 \cdot 2 = 1{,}24$.

Лучший — годовой вклад: $2\,000\,000 \cdot 1{,}298 = 2\,596\,000$ руб.

Шаг 3. Через год на руках $2\,000\,000 \cdot 1{,}18 = 2\,360\,000$ руб. Требование условия — не потерять деньги при банкротстве банка в конце второго года, поэтому важна не сумма на входе, а сумма с процентами на выходе: в каждом банке к концу срока должно остаться не больше страховых $1{,}4$ млн руб. Пусть в Ох-Банк уходит $x$ рублей; тогда там окажется $1{,}1x \leqslant 1\,400\,000$, откуда $x \leqslant 1\,272\,727$ руб. Такое же условие для Ух-Банка даёт $1{,}1\,(2\,360\,000 - x) \leqslant 1\,400\,000$, то есть $x \geqslant 1\,087\,273$ руб.

Отрезок непуст, так что подходит любое $x \in [1\,087\,273;\,1\,272\,727]$ — например, поровну по $1\,180\,000$ руб. Ставка на втором году в обоих банках одна и та же ($10\,\%$), поэтому итоговая сумма от конкретного деления не зависит: два банка нужны только ради страховки.

Ответ: все $2$ млн руб. Иннокентий кладёт в Ох-Банк на год, а через год размещает $x$ руб. в Ох-Банке и $2\,360\,000 - x$ руб. в Ух-Банке на оставшийся год, где $x \in [1\,087\,273;\,1\,272\,727]$ руб. Через два года у него будет $2\,596\,000$ руб.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-10-reg-24-25.pdf