ВсОШ по экономике 2024/25, региональный этап, 9 класс

Три из четырёх формулировок — это премии других лет; вспомни, чья книга про богатые и бедные страны вышла в заголовки именно в 2024 году.

Ответ: 4

Премию 2024 года получили Дарон Аджемоглу, Саймон Джонсон и Джеймс Робинсон — за работы о том, как складываются общественные институты и как они определяют, богатеет страна или нет. Это их линия исследований о включающих и извлекающих институтах, знакомая по книге «Почему одни страны богатые, а другие бедные».

Остальные три варианта — премии других лет. Закономерности иррационального поведения — это поведенческая экономика: Даниэль Канеман (2002) и Ричард Талер (2017). Разрыв в оплате труда мужчин и женщин — Клаудия Голдин, премия 2023 года. Эффективность финансовых рынков и поведение цен активов — Юджин Фама, Ларс Хансен и Роберт Шиллер, 2013 год.

Верный вариант — четвёртый.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Три фактора уводят покупателей из города, и только один мешает строить новые метры.

Ответ: 2

Сначала разложи варианты на две стопки: что действует на спрос, а что на предложение.

Удалённая занятость освобождает человека от привязки к офису — жить в городе уже не обязательно, спрос на городское жильё падает, цена снижается. Пригородные электрички работают так же: добираться из области стало удобнее, часть покупателей уходит туда, городской спрос падает. Сокращение льготной ипотеки удорожает кредит и тоже срезает спрос.

Остаётся ограничение на высотное строительство. Оно бьёт по предложению: на том же участке земли теперь можно построить меньше квадратных метров, новых квартир выходит меньше. Кривая предложения сдвигается влево, и при неизменном спросе равновесная цена растёт.

Верный вариант — второй.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Спроси себя, входит ли константа в предельные издержки и меняется ли от неё точка $MR = MC$.

Ответ: 3

Запишем прибыль монополиста: $\pi(Q) = TR(Q) - VC(Q) - FC$.

Фиксированные издержки $FC$ — это константа: они не зависят от $Q$ и при дифференцировании исчезают. Условие максимума $MR = MC$ на них не реагирует, потому что предельные издержки считаются только по переменной части.

Значит оптимальный выпуск $Q^{*}$ не сдвинулся, а вместе с ним не сдвинулась и цена $P^{*}$, которую монополист берёт с покупателей. Раз цена и объём прежние, потребительский излишек тоже прежний — варианты про рост выпуска, рост цены и падение излишка отпадают.

А вот значение прибыли в оптимальной точке упало ровно на величину прироста $FC$: из той же выручки вычли ту же переменную часть и больший постоянный кусок.

Верный вариант — третий. Оговорка «в краткосрочном периоде» важна: в долгом периоде фирма при отрицательной прибыли может вообще уйти с рынка.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

У каждой группы своя инфляция: посчитай её по той статье расходов, которая в корзине преобладает.

Ответ: 2

Реальный доход считаем как номинальный, делённый на индекс цен своей корзины: $\dfrac{1{,}30}{1 + \pi}$, где $\pi$ — рост цен именно тех товаров, которые эта группа покупает.

Ключ в том, что инфляция у двух групп разная. У бедных корзина в основном продовольственная, а еда подорожала на $20\,\%$, поэтому их личный индекс цен близок к $1{,}20$. У богатых большая часть расходов — услуги, а услуги не подорожали вовсе, поэтому их индекс близок к $1{,}00$.

Теперь сравниваем с ростом доходов. У бедных: $\dfrac{1{,}30}{1{,}20} \approx 1{,}083$, то есть примерно $+8\,\%$ реального дохода. У богатых: $\dfrac{1{,}30}{1{,}00} = 1{,}30$, то есть около $+30\,\%$.

Важно, что $30\,\%$ больше любого из ростов цен ($20\,\%$, $15\,\%$, $0\,\%$), поэтому реальные доходы выросли у обеих групп — варианты, где у кого-то падение, отпадают. Но у богатых прирост заметно больше, так что вариант «выросли одинаково на $30\,\%$» тоже неверен.

Верный вариант — второй.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Считай, что ввели ещё один акциз на разницу ставок, и подставь в старую функцию цену, уменьшенную на эту разницу.

Ответ: 4

Ставка выросла с $7$ до $10$ рублей за литр, то есть поверх уже учтённого акциза добавили ещё $3$ рубля.

Продавец ориентируется на то, что остаётся ему, — на цену за вычетом налога. Чтобы поставить прежний объём, он теперь хочет цену потребителя на $3$ рубля выше. На языке формулы это сдвиг графика вверх по цене на $3$, а в записи $Q_s(P)$ — подстановка $P - 3$ вместо $P$.

Берём функцию тура $Q_s = (P + 3)(P + 10)$ и подставляем:
$$Q_s = (P - 3 + 3)\,(P - 3 + 10) = P\,(P + 7) = P^2 + 7P.$$

Верный вариант — четвёртый.

Проверка здравым смыслом: при старом акцизе продавцы выходили на рынок уже при $P > 0$ (при $P = 0$ объём был $30$), а теперь предложение обнуляется ровно при $P = 0$ — порог входа поднялся, как и должно быть после роста налога.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Два утверждения держатся на определениях: вспомни, что такое пролонгация и чем аннуитет отличается от дифференцированной схемы.

Ответ: 1, 4

Разбираем по одному.

Первое утверждение верно. Капитализация означает, что начисленные проценты присоединяются к телу вклада и на них дальше тоже капают проценты, то есть работает сложный процент вместо простого. Для наглядности: $100\,000$ под $12\,\%$ на год без капитализации дадут $112\,000$, а с ежемесячной капитализацией — $100\,000 \cdot (1 + 0{,}01)^{12} \approx 112\,683$.

Второе неверно: пролонгация — это продление вклада на новый срок, а не досрочное закрытие.

Третье неверно: кредитная история ровно для того и существует, чтобы фиксировать просрочки; каждый пропущенный платёж её портит и поднимает ставку по будущим кредитам.

Четвёртое верно: аннуитет по определению — это равные по размеру платежи на протяжении всего срока. Меняется только их внутренняя структура: сначала в платеже больше процентов, ближе к концу — больше тела долга. Противоположная схема, где платежи убывают, называется дифференцированной.

Верный набор — первое и четвёртое.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Нарисуй спрос вертикальной линией и проверь каждый из трёх исходов по отдельности — не пройдёт ни один.

Ответ: 4

Абсолютно неэластичный спрос — это вертикальная линия: сколько бы ни стоил сахар, покупают одно и то же количество.

Пошлина удорожает ввоз, поэтому импортёры готовы поставлять сахар только по более высокой внутренней цене. Внутренняя цена растёт, а не падает — первый вариант неверен.

Потребление задаётся вертикальным спросом и от цены не зависит, поэтому оно не изменится — второй вариант неверен.

Внутренние производители пошлину не платят, а цена для них выросла. По закону предложения при более высокой цене они произведут не меньше прежнего, а скорее больше — третий вариант неверен.

Все три перечисленных исхода отпадают, значит верен только четвёртый вариант — «ничему из вышеперечисленного».

Заметь, кто оплачивает эту меру: цена выросла, объём покупок не изменился, поэтому вся тяжесть пошлины легла на покупателей, а импортёры ничего не потеряли. Так всегда при абсолютно неэластичном спросе.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Держи в голове, что облигация — это долг, а не доля, и что цена и доходность бумаги ходят в разные стороны.

Ответ: 3, 4

Первое утверждение неверно. Номинал — это лишь сумма, которую эмитент вернёт в дату погашения. Рыночная цена облигации свободно ходит вокруг номинала: если требуемая инвесторами доходность выше купона, бумага торгуется с дисконтом, если ниже — с премией.

Второе неверно и бьёт по главному различию бумаг. Акция — доля в собственности, облигация — долговая расписка. Покупатель облигации становится кредитором эмитента, а не совладельцем: голосовать и получать дивиденды он не может, зато при банкротстве стоит в очереди раньше акционеров.

Третье верно: дефолт эмитента, то есть отказ платить купоны или возвращать номинал, — базовый риск держателя облигаций. У ОФЗ он минимален, потому что должник — государство, но у корпоративных бумаг вполне реален.

Четвёртое верно. Когда ключевая ставка растёт, вклады и новые выпуски становятся выгоднее, спрос на уже обращающиеся облигации падает, их цена снижается, а доходность к погашению растёт. Чтобы размещение состоялось, Минфину приходится давать по новым выпускам более высокую доходность.

Верный набор — третье и четвёртое.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Выпиши максимальное целое количество второго продукта для каждого целого количества первого — вся хитрость задачи в округлении вниз.

Ответ: 2, 4

Вся задача решается одной табличкой. Для каждого целого $X$ считаем, сколько труда осталось, и делим остаток на затраты по $Y$ с округлением вниз — из-за целочисленности.

При запасе $100$ единиц труда, $15$ на единицу $X$ и $20$ на единицу $Y$ получаем: $Y(0) = 5$, $Y(1) = 4$, $Y(2) = 3$, $Y(3) = 2$, $Y(4) = 2$, $Y(5) = 1$, $Y(6) = 0$.

Первое утверждение неверно: альтернативные издержки каждой единицы $X$ равны $1$ единице $Y$, кроме четвёртой, которая достаётся бесплатно — при $X = 3$ и $X = 4$ выпуск $Y$ одинаков ($2$). Постоянными издержки назвать нельзя.

Второе верно: переход с $X = 4$ на $X = 5$ снижает $Y$ с $2$ до $1$, то есть стоит ровно $1$ единицу $Y$.

Третье неверно, и это главная ловушка. Точка $(6, 0)$ расходует лишь $6 \cdot 15 = 90$ единиц труда, но лежит НА кривой: оставшихся $10$ единиц труда на целую единицу $Y$ не хватает, выжать больше нечего.

Четвёртое верно: из точки $(3, 2)$ (это $45 + 40 = 85$ единиц труда) можно перейти в $(4, 2)$, потратив ровно $100$ и не пожертвовав ничем. Раз можно получить больше $X$ без потери $Y$, исходное распределение неэффективно.

Верный набор — второе и четвёртое.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Выведи формулу эластичности линейного спроса через цену, при которой он обнуляется, — дальше вся задача рисуется на одном графике.

Ответ: 2, 3, 4

Возьмём линейный спрос $Q = a - bP$. Его эластичность по модулю равна
$$|E| = \dfrac{bP}{a - bP} = \dfrac{P}{a/b - P} = \dfrac{P}{P_{\max} - P},$$
где $P_{\max} = a/b$ — цена, при которой спрос обнуляется. Величина растёт по $P$ и тем меньше, чем дальше $P_{\max}$.

По условию ночная эластичность меньше при каждой цене, значит $P_{\max}$ у ночного спроса ВЫШЕ. Плюс дано, что $Q_{\max} = a$ у ночного спроса ниже.

Теперь по пунктам. Первое утверждение неверно: возьми цену чуть ниже дневного $P_{\max}$ — дневной спрос там уже нулевой, а ночной ещё положительный, то есть ночной больше дневного.

Третье верно ровно по этому же аргументу: при $P$ между дневным и ночным $P_{\max}$ дневная величина спроса равна нулю, а ночная положительна.

Второе верно. Наклон определяется как $b = \dfrac{Q_{\max}}{P_{\max}}$; у ночного спроса числитель меньше, а знаменатель больше, поэтому $b$ ночью строго меньше — наклоны не совпадают.

Четвёртое верно. При $P = 0$ дневной спрос выше ночного, а вблизи дневного $P_{\max}$ — уже ниже. Две прямые поменялись местами, значит где-то между этими ценами они пересекаются, и в точке пересечения обе величины положительны.

Верный набор — второе, третье и четвёртое.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Не забудь вычесть из выплаты собственное вложение — доходность считают по чистому доходу.

Ответ: 350 %

Доходность — это чистый доход, делённый на вложенную сумму, а не вся выплата, делённая на вложение. Разница принципиальная: свои деньги обратно получить — ещё не заработать.

Вложение — $400\,000$ рублей, выплата через полгода — $1\,800\,000$ рублей. Чистый доход: $1\,800\,000 - 400\,000 = 1\,400\,000$ рублей.

Доходность за полгода:
$$\dfrac{1\,400\,000}{400\,000} \cdot 100\,\% = 3{,}5 \cdot 100\,\% = 350\,\%.$$

Ответ: $350\,\%$ за полгода. Если бы такую доходность удавалось повторять, за год вышло бы $4{,}5 \cdot 4{,}5 = 20{,}25$, то есть рост вложений в двадцать раз.

Типичная ошибка — написать $450\,\%$, поделив выплату на вложение и забыв вычесть своё тело.

Родители Бронислава правы и в другом: гарантированная доходность такого размера плюс требование привести новых вкладчиков — два классических признака финансовой пирамиды, где выплаты старым участникам идут из взносов новых.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Сначала восстанови годовой доход из уплаченного налога, а потом помни, что повышенная ставка бьёт только по превышению над порогом.

Ответ: 627 тыс. руб.

Задача в два хода: сначала восстанавливаем доход, потом считаем налог по новой лестнице.

Шаг 1. Проверим, попадал ли Тихон в 2024 году во вторую ступень. Если бы доход превышал $5$ млн, только первые $5$ млн дали бы $5\,000 \cdot 0{,}13 = 650$ тыс. руб. налога — больше уплаченных $585$ тыс. Значит доход был ниже $5$ млн и облагался целиком по $13\,\%$:
$$D = \dfrac{585}{0{,}13} = 4\,500,$$
то есть $4\,500$ тыс. руб., или $4{,}5$ млн руб.

Шаг 2. Ставки маржинальные, то есть каждая применяется только к своему куску дохода, а не ко всей сумме. Доход $4{,}5$ млн режем на две части.

Первые $2{,}4$ млн по $13\,\%$: $2\,400 \cdot 0{,}13 = 312$ тыс. руб.

Оставшиеся $4{,}5 - 2{,}4 = 2{,}1$ млн попадают в полосу от $2{,}4$ до $5$ млн со ставкой $15\,\%$: $2\,100 \cdot 0{,}15 = 315$ тыс. руб.

Итого: $312 + 315 = 627$ тыс. руб.

Ответ: $627$ тыс. руб., налог вырос на $42$ тыс. руб. Частая ошибка — умножить весь доход на $15\,\%$ и получить $675$: так считали бы при плоской ставке, а не при маржинальной шкале.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Перемножь показатели степеней, чтобы прибыль зависела прямо от числа аналитиков, а потом замени корень новой переменной.

Ответ: 400 аналитиков

Сначала избавимся от промежуточной переменной. Качество зависит от числа аналитиков как $Q = L^{3/4}$, а прибыль до зарплат — как $6000\,Q^{2/3}$. Подставляем одно в другое:
$$Q^{2/3} = \left(L^{3/4}\right)^{2/3} = L^{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} = L^{1/2}.$$

Две степени перемножились и дали обычный корень — дальше всё просто.

Чистая прибыль с учётом зарплат:
$$\pi(L) = 6000\sqrt{L} - 150L.$$

Сделаем замену $x = \sqrt{L}$, тогда $\pi = 6000x - 150x^2$ — парабола ветвями вниз. Её максимум в вершине:
$$x^{*} = \dfrac{6000}{2 \cdot 150} = 20.$$

Возвращаемся: $L^{*} = x^2 = 400$ аналитиков.

Проверка: при $L = 400$ прибыль равна $6000 \cdot 20 - 150 \cdot 400 = 120\,000 - 60\,000 = 60\,000$. При $L = 361$ выходит $114\,000 - 54\,150 = 59\,850$, при $L = 441$ — $126\,000 - 66\,150 = 59\,850$. Соседние значения хуже, максимум найден верно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Если цена потребителя обязана вернуться к старой, то и объём вернётся к старому — дальше остаётся снять разрыв между двумя ценами.

Ответ: 2400 д.е.

Шаг 1. Находим исходное равновесие. Приравниваем цену спроса и цену предложения: $120 - Q = \dfrac{Q}{2}$, откуда $1{,}5Q = 120$, то есть $Q = 80$ и $P = 40$.

Шаг 2. Понимаем, чего хочет государство. Цель — вернуть потребителю прежнюю цену $P_d = 40$. Но спрос не менялся, а на кривой спроса цене $40$ отвечает единственный объём — те же $Q = 80$. Значит после субсидии рынок должен стоять в точке $(80;\,40)$.

Шаг 3. Считаем, сколько нужно доплатить производителю. Новая цена предложения выросла на $30$ при каждом объёме: $P_s = \dfrac{Q}{2} + 30$. При $Q = 80$ получаем $P_s = 40 + 30 = 70$.

Шаг 4. Разрыв между тем, что получает продавец, и тем, что платит покупатель, и есть субсидия на единицу: $70 - 40 = 30$.

Расходы бюджета: $30 \cdot 80 = 2400$.

Обрати внимание: субсидия процентная, но саму ставку искать не пришлось — расходы равны разрыву цен, умноженному на объём. Для справки ставка равна $\dfrac{30}{40} = 0{,}75$, то есть $75\,\%$ от цены потребителя.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Выразите равновесный объём каждого рынка через свою ставку, перемножьте на ставку и сложите — получится обычная парабола по доле.

Ответ: 0,8

Считаем равновесный объём на каждом рынке как функцию своей ставки, потом складываем сборы.

Рынок шоколадных конфет, ставка $t_1 = 360\alpha$. Налог платит продавец, поэтому предложение становится $Q_{1S} = P - 24 - t_1$. Из $600 - P = P - 24 - t_1$ получаем $Q_1 = \dfrac{576 - t_1}{2} = 288 - 180\alpha$.

Рынок сливочных конфет, ставка $t_2 = 360(1 - \alpha)$. Аналогично $144 - P = P - t_2$ даёт $Q_2 = \dfrac{144 - t_2}{2} = 72 - 180(1 - \alpha) = 180\alpha - 108$.

Суммарные сборы:
$$T = 360\alpha\,(288 - 180\alpha) + 360(1 - \alpha)\,(180\alpha - 108).$$

Раскрываем: первое слагаемое даёт $103\,680\alpha - 64\,800\alpha^2$, второе — $103\,680\alpha - 38\,880 - 64\,800\alpha^2$. В сумме
$$T = -129\,600\alpha^2 + 207\,360\alpha - 38\,880.$$

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:
$$\alpha^{*} = \dfrac{207\,360}{2 \cdot 129\,600} = 0{,}8.$$

Проверим, что решение допустимо: при $\alpha = 0{,}8$ ставки равны $t_1 = 288$ и $t_2 = 72$, объёмы $Q_1 = 144$ и $Q_2 = 36$ — оба положительны, рынки не закрылись. Сборы: $288 \cdot 144 + 72 \cdot 36 = 41\,472 + 2592 = 44\,064$.

Красивая проверка: если максимизировать сборы на каждом рынке по отдельности, оптимальные ставки выходят $288$ и $72$, а их сумма как раз равна $360$ — ограничение не мешает, поэтому $\alpha^{*} = \dfrac{288}{360} = 0{,}8$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Посчитай, хватает ли объединённого запаса труда, чтобы выбрать весь общий лимит новой технологии, — если хватает ровно, старая технология не нужна.

а) Страна 1 располагает $150$ единицами труда. Если делать только $Y$, сначала выгодна новая технология: $200$ единиц $Y$ съедают $100$ единиц труда, оставшиеся $50$ дают ещё $50$ единиц по старой технологии. Максимум $Y$ равен $250$ — крайняя точка $(0;\,250)$; по симметрии максимум $X$ тоже $250$, то есть $(250;\,0)$.

Дальше наращиваем $X$ в порядке дешевизны. Сначала переводим труд со старого производства $Y$ на новое производство $X$ — альтернативные издержки $1/2$; так можно сделать $100$ единиц $X$, потеряв все $50$ единиц старого $Y$. Точка излома $(100;\,200)$. Затем оба товара идут по новой технологии, издержки равны $1$, и мы упираемся в потолок $X \leqslant 200$ — точка излома $(200;\,100)$. На последнем участке $X$ делается по старой технологии против нового $Y$, издержки равны $2$, и КПВ приходит в $(250;\,0)$.

Страна 2 имеет всего $50$ единиц труда: по новой технологии они дают $100 < 200$ единиц, ограничение не связывает, старая технология не нужна. Альтернативные издержки всегда равны $1$, КПВ — прямая $Y = 100 - X$ с крайними точками $(0;\,100)$ и $(100;\,0)$.

б) Без миграции складываем КПВ по горизонтали. У страны 2 издержки постоянны и равны $1$ — как на среднем участке страны 1, поэтому этот участок просто удлиняется: вдвоём страны проходят по нему $200$ единиц товара. Крайние точки суммарной КПВ — $(0;\,350)$ и $(350;\,0)$, точки излома — $(100;\,300)$ и $(300;\,100)$.

в) При свободной миграции две страны превращаются в одну с $150 + 50 = 200$ единицами труда и суммарным потолком новой технологии $200 + 200 = 400$ единиц. Двести работников по новой технологии выпускают ровно $200 \cdot 2 = 400$ единиц — потолок достигается точно, старая технология не нужна нигде. Альтернативные издержки постоянны и равны $1$, КПВ становится прямой $Y = 400 - X$ с крайними точками $(0;\,400)$ и $(400;\,0)$.

г) КПВ из пункта в) совпадает с КПВ из пункта б) на среднем участке (между точками излома) и лежит выше неё на крайних участках. Значит, выигрыш появляется только тогда, когда потребление попадает на крайний участок. Луч потребления $Y = kX$ пересекает суммарную КПВ на крайнем участке при $k < 1/3$ или $k > 3$, то есть $k \in (0;\,1/3) \cup (3;\,+\infty)$ — при таких пропорциях миграция увеличивает суммарное потребление. Граничные значения $k = 1/3$ и $k = 3$ жюри засчитывает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Подставь реакцию менеджера в выручку фирмы — прибыль владельца окажется произведением доли на единицу минус долю.

Задача решается с конца — сначала поведение менеджера при заданной доле $b$, потом выбор самого $b$.

а) Из спроса $q = \sqrt{e} - p$ получаем обратный спрос $p = \sqrt{e} - q$ и выручку $TR = q\,(\sqrt{e} - q)$. Полезность менеджера равна $b \cdot TR - e^2$, но при выборе $q$ и доля $b$, и усилия $e$ — константы, поэтому менеджер просто максимизирует выручку. Это парабола ветвями вниз по $q$, её вершина даёт
$$q^{*} = \dfrac{\sqrt{e}}{2}.$$
То же самое получается из условия $MR = \sqrt{e} - 2q = 0$.

б) Подставим оптимальный объём обратно в выручку:
$$TR = \dfrac{\sqrt{e}}{2}\left(\sqrt{e} - \dfrac{\sqrt{e}}{2}\right) = \dfrac{e}{4}.$$
Теперь полезность менеджера зависит только от усилий: $U = \dfrac{be}{4} - e^2$. Снова парабола ветвями вниз, вершина при
$$e^{*} = \dfrac{b}{8}, \qquad q^{*} = \dfrac{\sqrt{b/8}}{2} = \dfrac{\sqrt{2b}}{8}.$$

в) Владелец знает эту реакцию. Выручка фирмы равна $TR = \dfrac{e^{*}}{4} = \dfrac{b}{32}$, а владельцу достаётся доля $1 - b$:
$$\Pi = \dfrac{b\,(1 - b)}{32}.$$
Это парабола ветвями вниз по $b$ с корнями $0$ и $1$, вершина ровно посередине: $b^{*} = \dfrac{1}{2}$. При этой доле менеджер выберет
$$e^{*} = \dfrac{b^{*}}{8} = \dfrac{1}{16}, \qquad q^{*} = \dfrac{\sqrt{e^{*}}}{2} = \dfrac{1/4}{2} = \dfrac{1}{8}.$$
Выручка фирмы составит $\dfrac{1}{64}$, владельцу останется $\dfrac{1}{128}$, а менеджеру после вычета издержек на усилия — $\dfrac{1}{128} - \dfrac{1}{256} = \dfrac{1}{256}$.

Смысл результата: слишком маленькая доля убивает стимул стараться, слишком большая оставляет владельцу пустой карман, и оптимум оказывается ровно посередине. Задача о том, как оптимально стимулировать агента, — одна из центральных в экономике: за модели такого рода Бенгт Хольмстрём и Оливер Харт получили Нобелевскую премию 2016 года.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf

Сравни три сценария первого вклада по итоговому множителю за два года, помня, что дальше деньги лягут под ожидаемые проценты.

Шаг 1. Куда класть первый вклад. В Ух-Банке стартовые ставки ниже, чем в Ох-Банке, на каждом сроке, а страховой лимит на старте не мешает: дробить деньги нужно только к тому моменту, когда вклад будет под угрозой в конце второго года. Значит, первый вклад идёт целиком в Ох-Банк, остаётся выбрать срок.

Шаг 2. Считаем итоговый множитель за два года для трёх сроков, помня, что капитализации нет (проценты простые в пределах одного вклада) и что после первого вклада деньги лягут под ожидаемые $10\,\%$ годовых.

Полгода под $24\,\%$, затем полтора года под $10\,\%$: $(1 + 0{,}24 \cdot 0{,}5)(1 + 0{,}1 \cdot 1{,}5) = 1{,}12 \cdot 1{,}15 = 1{,}288$.

Год под $18\,\%$, затем год под $10\,\%$: $1{,}18 \cdot 1{,}1 = 1{,}298$.

Два года под $12\,\%$ сразу: $1 + 0{,}12 \cdot 2 = 1{,}24$.

Лучший вариант — годовой вклад в Ох-Банк: $29{,}8\,\%$ за два года.

Шаг 3. Через год на руках $2\,000\,000 \cdot 1{,}18 = 2\,360\,000$ рублей. Если оставить всё в одном банке, к концу второго года там окажется больше страховых $1{,}4$ млн, и при банкротстве часть денег пропадёт. Пусть $x$ уходит в Ох-Банк: через год там станет $1{,}1x \leqslant 1\,400\,000$, то есть $x \leqslant 1\,272\,727$ рублей. То же условие для Ух-Банка даёт $1{,}1\,(2\,360\,000 - x) \leqslant 1\,400\,000$, то есть $x \geqslant 1\,087\,273$ рублей. Отрезок непустой, подходит любое $x \in [1\,087\,273;\ 1\,272\,727]$ — например, ровное деление пополам по $1\,180\,000$ рублей.

Шаг 4. От того, как именно поделены деньги, итог не зависит: обе части растут на одни и те же $10\,\%$, поэтому через два года у Иннокентия будет $2\,360\,000 \cdot 1{,}1 = 2\,596\,000$ рублей.

Ответ: вложить все $2$ млн рублей в Ох-Банк на год под $18\,\%$, а через год разложить полученные $2\,360\,000$ рублей на год под $10\,\%$ по двум банкам — $x$ рублей в Ох-Банк и $2\,360\,000 - x$ рублей в Ух-Банк, где $x$ — любое число из отрезка $[1\,087\,273;\ 1\,272\,727]$ (достаточно назвать одно такое деление, например пополам). Через два года получится $2\,596\,000$ рублей: схема с двухлетним вкладом дала бы лишь $2\,480\,000$, а с полугодовым — $2\,576\,000$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/reg/econ/anskrit-econ-9-reg-24-25.pdf