ВсОШ по экономике 2021/22, региональный этап, 9 класс

Спроси себя, куда пойдут покупатели, если новостройки подорожают, и что станет со спросом на квартиры в старых домах.

Ответ: 2

Подвох здесь в слове «только»: цену на рынке задают не одни издержки продавца, но и спрос покупателей.

Первая половина рассуждения верна. Стройматериалы — переменные издержки застройщика. Когда они дорожают, строить становится дороже, предложение новостроек сокращается, и квадратный метр в новом доме дорожает.

Дальше начинается ошибка. Новая квартира и квартира в доме десятилетней давности закрывают одну и ту же потребность, то есть это товары-субституты. Как только один из субститутов дорожает, часть покупателей переключается на второй: спрос на вторичном рынке растёт, его кривая сдвигается вправо.

Предложение вторичного жилья от подорожания цемента никак не зависит — эти дома построены давно, их издержки в прошлом. Но при выросшем спросе и прежнем предложении равновесная цена вторички поднимается.

Получается, что дорожает и то жильё, которого рост цен на стройматериалы вообще не касался. Утверждение неверно.

Верный вариант — 2, «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Обещание заплатить и способность заплатить — разные вещи; вспомни, что бывает с облигацией при дефолте эмитента.

Ответ: 2

Фиксированный график выплат и гарантия выплат — разные вещи, и именно на этом построено задание.

В проспекте эмиссии действительно записано, сколько и когда инвестор получит. Но записано — не значит получено. Эмитент может не расплатиться: компания разорится, государство объявит дефолт. Этот риск называется кредитным, и он есть у любой облигации, просто у надёжных эмитентов он мал, а у «мусорных» велик. Рынок это и оценивает: чем выше кредитный риск, тем дешевле облигация и тем выше её доходность к погашению.

Кредитным риском дело не ограничивается. Номинальные выплаты фиксированы, а вот их покупательная способность — нет: неожиданная инфляция обесценивает и купоны, и номинал. Если инвестор захочет продать бумагу до погашения, добавится процентный риск: при росте рыночных ставок цена уже выпущенной облигации падает. У неликвидных выпусков есть ещё и риск не найти покупателя по разумной цене.

Значит, фиксированность выплат сама по себе безрисковости не даёт. Утверждение неверно.

Верный вариант — 2, «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Сборы равны ставке, умноженной на базу, а база сама реагирует на ставку — вспомни кривую Лаффера.

Ответ: 1

Сборы — это не ставка, а произведение ставки на налоговую базу. База же от ставки зависит, и зависит отрицательно.

Посмотрим на крайние случаи. При нулевой ставке государство не соберёт ничего. При ставке в $100\%$ у людей и фирм пропадает смысл вести учитываемую деятельность, база схлопывается, и сборы опять близки к нулю. Значит, между этими крайностями сборы сначала растут по ставке, а потом начинают падать — это и есть кривая Лаффера.

Механизмов снижения базы два. Первый — сокращение самой экономической активности: при высоком налоге часть проектов перестаёт окупаться, фирмы меньше производят и нанимают, люди меньше работают или потребляют подакцизный товар. Второй — уход в тень: чем выше ставка, тем больше выигрыш от неуплаты и тем охотнее сделки прячут или переводят в другую юрисдикцию.

Обычно падение сборов начинается при уже высоких ставках, так что утверждение говорит не про любое повышение, а про возможность такого исхода. Эта возможность реальна.

Верный вариант — 1, «Да».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Проверь слово «только»: достаточно вспомнить одно экономическое исследование вне этого списка.

Ответ: 2

Утверждение путает предмет экономики с её методом и потому слишком узко очерчивает науку.

Экономика изучает не отдельный кусок жизни, а выбор в условиях ограниченности ресурсов. Как только у человека есть цели, ограничения и альтернативы, включается экономический анализ — независимо от того, идёт ли речь о деньгах.

Примеров хватает. Гэри Беккер строил модели преступности: преступник сравнивает выгоду от преступления с вероятностью поимки и тяжестью наказания, и ужесточение закона меняет его оптимальное поведение. Экономисты исследуют, как семейная политика и стоимость воспитания влияют на решение о числе детей, как устроены выбор образования, донорство органов, распределение школьников по школам, брачный рынок и поведение болельщиков на аукционе билетов.

Перечисленные в утверждении рынки товаров, денежное обращение и макрополитика — это лишь часть предмета, и слово «только» делает фразу ложной.

Верный вариант — 2, «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Подумай, почему одни страны вообще попали в число получателей помощи, а другие нет.

Ответ: 2

Перед нами классическая подмена корреляции причинностью, и здесь у неё есть конкретное имя — смещение отбора.

Страны в две группы попали не по жребию. Международная организация выбирает, кому помогать, и логично, что помощь идёт туда, где дела хуже: где слабые институты, война, засуха, долговой кризис. Тогда более низкий рост в группе получателей — следствие исходных проблем, а не самой помощи.

Правильное сравнение — не «страны с помощью против стран без помощи», а «страна с помощью против той же страны, если бы помощи не было». Этот контрфактический сценарий в данных не наблюдается. Вполне возможно, что без помощи получатели выросли бы не на $1\%$, а на $0\%$, и тогда эффект помощи положительный.

Чтобы сделать вывод о причинности, нужен другой дизайн: случайное распределение помощи между сопоставимыми странами, либо естественный эксперимент, либо сравнение динамики до и после при схожих трендах.

Из приведённых средних вывод об отрицательном влиянии помощи не следует.

Верный вариант — 2, «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Проверяй каждую статью одним вопросом: изменится ли она, если выпуск тетрадей упадёт до нуля.

Ответ: 2

Постоянные издержки — те, величина которых не меняется при изменении объёма выпуска. Зависимость от чего-то другого (от сезона, от календаря, от погоды) постоянными их быть не мешает: критерий ровно один — реакция на выпуск.

Проверим каждый пункт вопросом «изменится ли эта статья, если тетрадей напечатают вдвое больше или вообще ни одной?».

Бумага (1) расходуется на каждую тетрадь: больше тетрадей — больше бумаги, при нулевом выпуске закупка не нужна. Это переменные издержки.

Сдельная зарплата (3) по определению начисляется за фактически сделанную продукцию и прямо пропорциональна выпуску. Тоже переменные.

НДС (4) платится с добавленной стоимости, то есть привязан к объёму продаж: нет продаж — нет и налога. Снова переменные.

Отопление цеха (2) оплачивается независимо от загрузки станков: даже в месяц простоя помещение надо топить, иначе его не сохранить. Счёт за отопление действительно колеблется по сезонам, но от количества напечатанных тетрадей он не зависит — а значит, это постоянные издержки. Упоминание сезонности в условии как раз и есть ловушка.

Верный вариант — 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Определи знак внешнего эффекта от прививки — и инструмент подберётся сам.

Ответ: 2

Задача проверяет, умеешь ли ты определить знак внешнего эффекта и подобрать к нему инструмент.

Прививаясь, человек получает личную выгоду: он с меньшей вероятностью заболеет. Но выгоду получают и все остальные — привитый реже становится звеном в цепочке передачи инфекции, поэтому снижается риск и для тех, кто не прививался. Эта выгода достаётся посторонним бесплатно, и в свой расчёт «стоит ли идти в поликлинику» человек её не включает.

Значит, общественная предельная выгода вакцинации выше частной, то есть перед нами положительный внешний эффект. Рынок, предоставленный сам себе, приводит к недопотреблению: привитых меньше, чем оптимально для общества.

Лечение подбирается под диагноз. При положительном внешнем эффекте потребление нужно поощрять — субсидией, которая опускает цену для потребителя и доводит равновесное количество до эффективного. Бесплатная вакцинация в поликлинике — предельный случай такой субсидии: государство оплачивает всю цену.

Поэтому вариант 1 неверен: невмешательство оставляет недопотребление. Вариант 3 путает знак эффекта — налог нужен там, где есть отрицательный внешний эффект, например при выбросах. Вариант 4 не лечит внешний эффект вовсе: монополия только сократит выпуск и поднимет цену, усугубив проблему.

Верный вариант — 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Нарисуй вертикальное предложение и спроси себя, может ли равновесное количество вообще измениться.

Ответ: 4

Всё решает форма кривой предложения.

Абсолютно неэластичное предложение — это вертикальная прямая: продавцы выносят на рынок одно и то же количество $Q_0$ при любой цене. Налог не меняет это количество: он не влияет ни на уже добытый запас, ни на готовность его продать, ведь продать по любой цене выгоднее, чем не продать вовсе.

Раз количество на рынке осталось $Q_0$, цена, по которой покупатели готовы его выкупить, определяется только кривой спроса:
$$P_d = \frac{1000}{Q_0}.$$
В этой формуле налога нет, поэтому цена для потребителя остаётся прежней.

Куда же делся налог? Его целиком оплатил продавец: он по-прежнему получает с покупателя $P_d$, но отдаёт государству $t = 0{,}1\,P_d$ и остаётся с суммой $0{,}9\,P_d$. Общее правило: налоговое бремя ложится на ту сторону рынка, которая менее эластична, а при абсолютно неэластичном предложении «менее эластична» превращается в «несёт всё».

Отсюда и разбор остальных вариантов. Вариант 1 описывает противоположный крайний случай — абсолютно неэластичный спрос или абсолютно эластичное предложение. Вариант 2 — обычная картина с наклонными кривыми, когда бремя делится. Вариант 3 в стандартной модели совершенной конкуренции невозможен: цена для потребителя не может вырасти больше, чем на налог.

Верный вариант — 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Подставь желаемый курс в обе функции и посмотри, чего и насколько не хватает рынку.

Ответ: 1

Сначала поймём, почему вообще нужна интервенция. Свободное равновесие находится из условия $120 - P = 2P$, откуда $P = 40$ и $Q = 80$. Центральный банк хочет курс $20$ — то есть национальная валюта должна быть крепче, чем её оценил бы рынок.

При курсе $P = 20$ иностранная валюта дёшева, поэтому купить её хотят много, а продавать — мало:
$$Q_d(20) = 120 - 20 = 100, \qquad Q_s(20) = 2 \cdot 20 = 40.$$

Разрыв между этими величинами и есть дефицит иностранной валюты:
$$Q_d(20) - Q_s(20) = 100 - 40 = 60.$$

Если дефицит оставить как есть, курс поползёт вверх к сорока. Чтобы этого не случилось, недостающие $60$ единиц центральный банк обязан продать из резервов — тогда суммарное предложение при курсе $20$ станет равным $40 + 60 = 100$ и сравняется со спросом.

Заодно видно, чем плохи другие варианты. Число $80$ — это равновесный объём торгов при свободном курсе $40$, к искомой интервенции оно отношения не имеет. Числа $1200$ и $1600$ получаются умножением количества на курс, то есть это суммы в национальной валюте ($60 \cdot 20$ и $80 \cdot 20$), а спрашивают именно количество иностранной валюты.

Верный вариант — 1, то есть $60$ единиц.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Вспомни, до какого уровня Банк России поднял ключевую ставку к концу 2021 года и насколько это было выше цели в четыре процента.

Ответ: 4

Задача проверяет, следишь ли ты за макроэкономической статистикой своей страны.

По итогам 2021 года индекс потребительских цен в России вырос примерно на $8{,}4\%$ — это максимум с 2015 года. Из предложенного списка ближе всего значение $8\%$.

Полезно помнить и контекст, из которого этот ответ выводится, даже если точная цифра забылась. Цель Банка России по инфляции — $4\%$, и именно её держали в 2017–2019 годах. В 2021 году инфляция ушла заметно выше цели: восстановительный спрос после карантинов, разрывы в глобальных цепочках поставок, подорожание продовольствия на мировых рынках и ослабление рубля. Реакцией стало ужесточение денежно-кредитной политики: ключевая ставка за год поднялась с $4{,}25\%$ до $8{,}5\%$. Центральный банк не поднимает ставку вдвое при инфляции в три или пять процентов — уже по этому можно было отбросить варианты 2 и 3.

Вариант 1 отпадает сразу: нулевая инфляция для России того года невозможна, цены явно росли. Официальный комментарий к олимпиаде добавляет, что на момент составления заданий годовой итог ещё не был опубликован, но было понятно, что он превысит $8\%$.

Верный вариант — 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Лауреатов было трое, и премию поделили между эмпирической работой по рынку труда и методом извлечения причинности из данных.

Ответ: 1, 2

Премию 2021 года разделили трое, и формулировки комитета были разными для половин премии.

Половину получил Дэвид Кард — «за эмпирический вклад в экономику труда». Его знаменитые работы о влиянии минимальной зарплаты на занятость и о влиянии притока мигрантов на рынок труда были построены на естественных экспериментах и опровергли ряд прежних учебниковых выводов. Это прямо даёт вариант 1.

Вторую половину поделили Джошуа Ангрист и Гвидо Имбенс — «за методологический вклад в анализ причинно-следственных связей». Они показали, какие именно выводы о причинности можно корректно извлекать из данных естественных экспериментов, и заложили современный инструментарий работы с такими данными. Это вариант 2.

Макроэкономика (3) в формулировках 2021 года не фигурирует: ни один из лауреатов не получил премию за макроэкономические исследования.

Теория аукционов (4) — приманка из соседнего года: за неё премию дали в 2020 году Полу Милгрому и Роберту Уилсону.

Верный набор — 1 и 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Выпиши два неравенства: одно на абсолютное преимущество по шерсти, второе — на сравнение альтернативных стоимостей шерсти у низин и холмов.

Ответ: 2, 3

Задача сводится к двум неравенствам, которые нужно выписать аккуратно и не перепутать.

Абсолютное преимущество — это большая производительность с одного акра. По зерновым низины дают $20$ против $6$, так что здесь преимущество у низин при любом $a$. По шерсти нужно, чтобы низины тоже были продуктивнее: $12 > a$.

Сравнительное преимущество измеряется альтернативными издержками. Чтобы вырастить шерсть на одном акре холмов, приходится отказаться от $6$ единиц зерна, то есть альтернативные издержки единицы шерсти на холмах равны $6/a$. У низин единица шерсти стоит $20/12$ единиц зерна. Холмы имеют сравнительное преимущество в шерсти, когда их альтернативные издержки меньше:
$$\frac{6}{a} < \frac{20}{12}.$$
Отсюда $a > \frac{72}{20} = 3{,}6$. То же самое можно записать как $\frac{a}{6} > \frac{12}{20}$ — сравнение производительностей в шерсти относительно производительностей в зерне.

Складываем условия: $3{,}6 < a < 12$.

Теперь перебираем варианты. $a = 3$ не подходит: $3 < 3{,}6$, в этом случае сравнительное преимущество в шерсти было бы у низин. $a = 4$ подходит. $a = 9$ подходит. $a = 13$ не подходит: $13 > 12$, тогда у низин пропадает абсолютное преимущество в шерсти, хотя сравнительное преимущество холмов в шерсти сохраняется.

Обрати внимание, что площадь страны и деление её пополам на итог не влияют — вопрос только о продуктивности акра.

Верный набор — 2 и 3, то есть $a = 4$ и $a = 9$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Товары здесь совершенные субституты — сравни полезность, которую даёт одна денежная единица, потраченная в бассейне и в зале.

Ответ: 1, 2, 3

Фраза «каждые 2 часа бассейна готова обменять на 3 часа зала» означает, что для Марфы эти услуги — совершенные субституты с постоянной нормой замены $2:3$. При таких предпочтениях оптимум почти всегда угловой: всё уходит на тот товар, у которого лучше отношение «полезность на рубль».

Решим через отклонение от угла. Пусть Марфа тратит всё на бассейн и решает сократить плавание на $2t$ часов. Она сэкономит $2tp$ денежных единиц и купит на них $\frac{2tp}{1500}$ часов зала. Потерю в $2t$ часов бассейна она по условию оценивает ровно в $3t$ часов зала. Отклонение невыгодно, когда полученное меньше потерянного:
$$\frac{2tp}{1500} < 3t \iff \frac{2p}{1500} < 3 \iff p < 2250.$$

Тот же ответ даёт стандартное правило. Из нормы замены следует, что предельная полезность часа бассейна относится к предельной полезности часа зала как $3$ к $2$: возьмём $MU_1 = 3$, $MU_2 = 2$. Всё тратится на бассейн, когда
$$\frac{MU_1}{p} > \frac{MU_2}{1500}, \qquad \frac{3}{p} > \frac{2}{1500}, \qquad p < 2250.$$

Теперь проверяем варианты. При $p = 900$, $p = 1500$ и $p = 2000$ неравенство $p < 2250$ выполнено — бассейн выгоднее, вся сумма уходит на него. При $p = 2500$ час в бассейне слишком дорог: выгоднее потратить всё на зал.

Заметим, что порог $p = 2250$ в список вариантов не попал, и это хорошо: при нём Марфа была бы безразлична между любыми комбинациями.

Верный набор — 1, 2 и 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Функция издержек фирмы — это минимум по всем способам разделить добычу, поэтому любое конкретное деление даёт лишь верхнюю оценку.

Ответ: 3, 4

Главное — вспомнить определение: функция издержек показывает минимальные затраты на выпуск $Q$, то есть компания сама распределяет добычу между месторождениями наилучшим образом. Значит, любое допустимое распределение даёт верхнюю оценку для $TC(Q)$.

Утверждение 1 неверно. Сумма $TC_1(Q) + TC_2(Q)$ — это стоимость добычи $Q$ на первом месторождении и ещё $Q$ на втором, то есть выпуска $2Q$. Компании достаточно добыть всё на первом месторождении, поэтому $TC(Q) \leqslant TC_1(Q) < TC_1(Q) + TC_2(Q)$ при $Q > 0$.

Утверждение 3 верно. Половину выпуска можно добыть на первом месторождении, половину на втором, потратив $2 \cdot (Q/2) + (Q/2)^2$. Это одно из допустимых распределений, а минимум не превосходит любого из них.

Утверждение 4 верно. Возьмём $Q = 3$ и разделим: $2$ на первом месторождении и $1$ на втором. Затраты составят $2 \cdot 2 + 1^2 = 5$, значит $TC(3) \leqslant 5$.

Утверждение 2 неверно, и это следует из предыдущего пункта: $\min\{TC_1(3),\, TC_2(3)\} = \min\{6,\, 9\} = 6$, а компания укладывается в $5$. Дробить выпуск между месторождениями выгоднее, чем выбирать одно из них целиком.

Можно решить и в лоб, минимизируя $2(Q - q) + q^2$ по $q$. Условие равенства предельных издержек $2q = 2$ даёт $q = 1$, откуда
$$TC(Q) = \begin{cases} Q^2, & Q \leqslant 1; \\ 2Q - 1, & Q > 1. \end{cases}$$
Проверка: $TC(3) = 5$ — неравенство из утверждения 4 выполняется как равенство.

Верный набор — 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Выпиши спрос на труд как цену выпуска, умноженную на предельный продукт, и проверь, какие из факторов вообще входят в это произведение.

Ответ: 1, 2, 3

Кривая спроса фирмы на труд — это график предельного продукта труда в денежном выражении:
$$MRP_L = MP_L \cdot P,$$
где $MP_L$ — предельный продукт труда в натуральном выражении, а $P$ — цена выпускаемого товара. Фирма нанимает работников, пока $MRP_L$ не сравняется со ставкой зарплаты $w$.

Отсюда простое правило: кривая сдвигается, если меняется что-то в правой части этого равенства, и происходит движение вдоль кривой, если меняется сама зарплата.

Цена товара (1) входит в формулу напрямую: подорожал выпуск — при том же числе работников каждый из них приносит больше денег, кривая спроса на труд идёт вправо и вверх.

Количество капитала (2) меняет $MP_L$: с большим количеством станков тот же работник производит больше, предельный продукт растёт, кривая сдвигается.

Технология (3) тоже действует через $MP_L$: новая технология меняет отдачу от дополнительного работника, и кривая сдвигается.

Минимальная зарплата (4) — это цена самого труда, аргумент по горизонтальной оси. Её рост означает перемещение по неизменной кривой спроса на труд к меньшей занятости, а не сдвиг кривой. В этом и состоит ловушка пункта.

Верный набор — 1, 2 и 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Фирма максимизирует выручку, поэтому издержки можно не трогать: запиши выручку как функцию цены и найди вершину параболы.

Ответ: 9 д. е.

Первое наблюдение решает половину задачи: фирма максимизирует выручку, а не прибыль. Значит, функция издержек $TC(Q) = \sqrt{Q}$ в расчёте вообще не участвует — она добавлена в условие, чтобы сбить с толку.

Выразим выручку через цену. Подставляя спрос в определение выручки, получаем
$$TR(P) = P \cdot Q = P\,(18 - P) = 18P - P^2.$$

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при $P^2$, то есть парабола ветвями вниз. Максимум достигается в вершине, ровно посередине между корнями $P = 0$ и $P = 18$:
$$P^{*} = \frac{0 + 18}{2} = 9.$$

Тот же результат даёт производная: $TR'(P) = 18 - 2P = 0$, откуда $P = 9$.

Проверим соседние точки. При $P = 9$ выпуск равен $Q = 9$, выручка $81$. При $P = 8$ выручка равна $8 \cdot 10 = 80$, при $P = 10$ она равна $10 \cdot 8 = 80$ — в обоих случаях меньше.

Полезно запомнить общее свойство: при линейном спросе выручка максимальна там, где эластичность спроса по цене равна единице по модулю, и это середина линейного участка спроса.

Ответ: $9$ д. е.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Ищи не точку пересечения с предельными издержками, а минимум средних переменных — и обрати внимание, на какой единице дешёвая ступень заканчивается.

Ответ: 75 д. е.

В краткосрочном периоде фирма производит ненулевой объём, если цена покрывает хотя бы средние переменные издержки. Поэтому искомая минимальная цена равна минимуму $AVC$.

Предельные издержки здесь сначала высокие, потом низкие, потом снова высокие, поэтому кривая $AVC$ не монотонна и минимум надо искать перебором логики, а не по формуле.

На отрезке $Q \leqslant 20$ каждая единица стоит $100$, значит $AVC(Q) = 100$.

При $Q$ от $21$ до $40$ переменные издержки — это двадцать «дорогих» единиц по $100$ и несколько «дешёвых» по $50$. Средние переменные издержки равны среднему арифметическому этого набора. С ростом $Q$ в наборе добавляются только числа $50$, а количество чисел $100$ не меняется, поэтому среднее падает. Минимум в этой зоне — на правом краю, при $Q = 40$.

При $Q \geqslant 41$ добавляются уже только числа $100$, то есть среднее снова растёт. Значит, глобальный минимум достигается ровно при $Q = 40$:
$$AVC(40) = \frac{20 \cdot 100 + 20 \cdot 50}{40} = \frac{100 + 50}{2} = 75.$$

Проверим смысл ответа. При цене $75$ выручка от сорока единиц равна $3000$, переменные издержки тоже $3000$: фирме безразлично, производить $40$ единиц или закрыться, и по оговорке из условия она выбирает больший объём, то есть $40$. При любой цене ниже $75$ любой ненулевой выпуск даёт убыток сверх постоянных издержек, и фирма останавливается.

Ответ: $75$ д. е.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Запиши обе цены как номинал, делённый на степень единицы с процентом, и раздели одно равенство на другое.

Ответ: 3 лет

Бескупонная облигация не платит купонов: владелец получает только номинал $N$ в момент погашения. Поэтому её сегодняшняя цена — это дисконтированный номинал:
$$P = \frac{N}{(1{,}1)^{T}},$$
где $T$ — число лет до погашения, а $10\%$ — годовая доходность.

Запишем два уравнения по условию:
$$\frac{N}{1{,}1} = 1210, \qquad \frac{N}{(1{,}1)^{t}} = 1000.$$

Можно решать в лоб: из первого $N = 1210 \cdot 1{,}1 = 1331$. Подставляем во второе: $(1{,}1)^{t} = 1331/1000 = 1{,}331$. Так как $1{,}1^3 = 1{,}331$, получаем $t = 3$.

Аккуратнее — разделить одно уравнение на другое, тогда неизвестный номинал сократится сам:
$$(1{,}1)^{\,t-1} = \frac{1210}{1000} = 1{,}21 = (1{,}1)^2,$$
откуда $t - 1 = 2$ и $t = 3$.

Смысл результата простой: вторая облигация дешевле первой в $1{,}21$ раза, то есть ровно на два дополнительных года дисконтирования по ставке $10\%$.

Ответ: $t = 3$ года.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Подумай, может ли страна при обеих ценах оставаться на одной стороне торговли, если объём торговли не изменился.

Ответ: 16 единиц

Сначала разберёмся с направлением торговли. Если бы страна в обоих случаях была импортёром, рост мировой цены сократил бы импорт: спрос упал бы, своё предложение выросло бы. Если бы она в обоих случаях была экспортёром, экспорт бы, наоборот, вырос. Объём торговли остался прежним только в одном случае: при цене $40$ страна импортировала пармезан, а при цене $60$ стала его экспортировать.

Обозначим искомое количество $Q_0$. Тогда одновременно выполняются два равенства:
$$Q_0 = Q_d(40) - Q_s(40), \qquad Q_0 = Q_s(60) - Q_d(60).$$

Предложение линейно и выходит из начала координат, значит $Q_s(P) = cP$ с некоторым $c > 0$. Спрос даёт $Q_d(40) = 40$ и $Q_d(60) = 20$. Подставляем:
$$80 - 40 - 40c = 60c - (80 - 60),$$
$$40 - 40c = 60c - 20.$$

Отсюда $60 = 100c$ и $c = 0{,}6$.

Считаем количество: $Q_0 = 40 - 40 \cdot 0{,}6 = 40 - 24 = 16$.

Проверка по второй формуле: $Q_s(60) = 0{,}6 \cdot 60 = 36$, $Q_d(60) = 20$, экспорт равен $36 - 20 = 16$. Сходится.

У задачи есть и геометрическое решение через равенство площадей и подобие треугольников, которые отсекают горизонтали $P = 40$ и $P = 60$ между кривыми спроса и предложения.

Ответ: $16$ единиц.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Капитал умножается на отношение цен покупки и продажи, поэтому просто перемножь все непересекающиеся участки роста цены.

Ответ: 236 тыс. руб.

Если будущее известно заранее, стратегия очевидна: покупать на все деньги перед ростом цены и продавать все акции перед падением. Долг запрещён, поэтому заработать на падениях нельзя — их можно только пересидеть в деньгах.

Удобно считать в разах. Купив по цене $P_1$ и продав по цене $P_2$, инвестор умножает свой капитал на $P_2/P_1$, и эти множители за все сделки перемножаются. Значит, надо разбить ряд цен на участки роста и перемножить отношения «вершина к предыдущей впадине».

Смотрим на ряд $800,\ 1200,\ 1000,\ 1040,\ 1120,\ 1080,\ 1000,\ 2000$ и находим участки роста:

• период 1 → период 2: покупка по $800$, продажа по $1200$, множитель $1200/800 = 1{,}5$;
• период 3 → период 5: цена растёт $1000 \to 1040 \to 1120$, промежуточную сделку делать незачем, множитель $1120/1000 = 1{,}12$;
• период 7 → период 8: покупка по $1000$, продажа по $2000$, множитель $2$.

Падения (из периода 2 в 3, из 5 в 6 и далее в 7) инвестор проводит в деньгах.

Перемножаем множители:
$$1{,}5 \cdot 1{,}12 \cdot 2 = 3 \cdot 1{,}12 = 3{,}36.$$

Капитал вырастет с $100$ тыс. руб. до $336$ тыс. руб., то есть прибыль составит $336 - 100 = 236$ тыс. руб.

Заметим, что для такой стратегии не нужно знать сами будущие цены: достаточно в каждом периоде знать, вырастет цена в следующем периоде или упадёт.

Ответ: $236$ тыс. руб.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Посчитай полные экономические издержки всех трёх вариантов, не забыв альтернативную стоимость 30 минут в магазине и 45 минут у плиты.

Экономические издержки каждого варианта — это деньги плюс альтернативная стоимость потраченного времени. Час времени Саввы стоит $w$, значит поход в магазин (30 минут) стоит $w/2$, а готовка (45 минут) — $3w/4$.

Вариант 1: $C_1(w) = 600 + w/2 + 3w/4 = 600 + 5w/4$.

Вариант 2: $C_2(w) = 600 + 500 + 3w/4 = 1100 + 3w/4$.

Вариант 3: $C_3(w) = 1200 + 500 = 1700$ — времени Савва не тратит вовсе.

Сравним варианты 1 и 2. В обоих Савва готовит сам, разница только в том, идти ли в магазин или платить за доставку продуктов. Доставка выгоднее, когда $500 < w/2$, то есть при $w > 1000$. При $w = 1000$ издержки равны, при $w < 1000$ первый вариант лучше второго.

Сравним варианты 2 и 3. В обоих есть доставка, разница в том, доплатить ли $1200 - 600 = 600$ за готовую еду или потратить на готовку время стоимостью $3w/4$. Готовая еда выгоднее при $600 < 3w/4$, то есть при $w > 800$.

Отсюда сразу следует, что второй вариант не оптимален ни при каком $w$: при $w < 1000$ он проигрывает первому, при $w > 800$ — третьему, а любое $w \ge 0$ удовлетворяет хотя бы одному из этих двух неравенств.

Остаётся сравнить первый вариант с третьим: $600 + 5w/4 < 1700$, то есть $5w/4 < 1100$ и $w < 880$. При $w = 880$ издержки совпадают и равны $1700$.

Ответ: при $w < 880$ оптимален вариант 1; при $w = 880$ оптимальны варианты 1 и 3; при $w > 880$ оптимален вариант 3.

Тот же вывод виден на графике: три прямые $C_1$, $C_2$, $C_3$ в осях $(w, C)$ пересекаются в точках $w = 800$, $w = 880$ и $w = 1000$, и прямая $C_2$ всюду лежит выше нижней огибающей — например, $C_2(880) = 1760 > 1700 = C_3(880)$.

Обрати внимание: доставкой Савва пользуется не потому, что при большой зарплате у него хватает на неё денег — денег хватает всегда. Причина в том, что при большой зарплате он дороже ценит своё время и не тратит его на магазин и готовку.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Сначала восстанови обе кривые: спрос — по двум равновесиям, предложение — по точке равновесия и коэффициенту эластичности $E_s = d \cdot P/Q$.

а) Кривая спроса не менялась и проходит через старое равновесие $(Q; P) = (20; 40)$ и новое $(10; 50)$. При росте цены на 10 количество падает на 10, значит наклон равен $-1$ и $Q_d = 60 - P$.

Новое предложение ищем в виде $Q_s(P) = c + dP$. Оно проходит через новое равновесие, поэтому $10 = c + 50d$. Точечная эластичность предложения в этой точке равна

$$E_s = d \cdot \frac{P}{Q} = d \cdot \frac{50}{10} = 5d = 5,$$

откуда $d = 1$ и $c = 10 - 50 = -40$. Значит $Q_s(P) = P - 40$.

Потоварная субсидия производителю по ставке 10 означает, что при цене потребителя $P$ продавец получает $P + 10$. Предложение становится $Q_s(P + 10) = P + 10 - 40 = P - 30$. Новое равновесие: $60 - P = P - 30$, то есть $2P = 90$ и $P = 45$.

То же самое через обратные функции: $P_d(Q) + 10 = P_s(Q)$, $60 - Q + 10 = Q + 40$, $Q = 15$, $P_d = 45$.

Ответ пункта а): цена для потребителя станет 45, а не 40. Приятель не прав.

Почему так? Субсидии в 10 д. е. хватает лишь на то, чтобы производители согласились выпускать новое (маленькое) количество 10 по цене 40. Но по цене 40 потребители хотят купить 20 единиц, возникает дефицит, и цена поднимается до 45.

б) Теперь ставка произвольная. Предложение сдвигается до $Q_s(P + s) = P + s - 40$, равновесие даёт $60 - P = P + s - 40$, то есть $P = (100 - s)/2$. Нам нужна цена потребителя 40:

$$\frac{100 - s}{2} = 40 \;\Rightarrow\; s = 20.$$

Короче можно так: раз цена потребителя должна стать 40, а спрос при этой цене равен 20, то производители обязаны выпускать 20, а для этого им нужна цена $P_s(20) = 20 + 40 = 60$. Разрыв между ценой продавца и ценой покупателя и есть ставка: $s = 60 - 40 = 20$.

Расходы государства равны ставке, умноженной на равновесное количество: $Sub = s \cdot Q = 20 \cdot 20 = 400$.

Ответ пункта б): $s = 20$, расходы государства равны 400.

Заметь, что требуемая «премия» сверх наивных 10 д. е. зависит от эластичности предложения: чем менее эластично предложение, тем большая ставка нужна, чтобы вернуть прежний объём.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Альтернативные издержки икса по регионам — 1, 2 и 3, а мировая цена икса в игреках равна $1{,}5$: сравни их, чтобы найти точку производства, а санкцию переводи в штуки товара.

а) Альтернативные издержки производства икса равны номеру региона: в первом регионе единица икса стоит 1 единицу игрека, во втором — 2, в третьем — 3. Складывая КПВ регионов, начинаем с самого дешёвого по иксу региона.

Если икс не производится вовсе, игрека выходит $10 + 20 + 30 = 60$. Если производить только икс, его выходит $10 + 10 + 10 = 30$. КПВ страны — ломаная через точки $(0; 60)$, $(10; 50)$, $(20; 30)$, $(30; 0)$ с наклонами $-1$, $-2$, $-3$ на последовательных участках.

б) Мировая пропорция обмена: $p_x/p_y = 30/20 = 1{,}5$, то есть единица икса стоит $1{,}5$ единицы игрека. Производить икс имеет смысл только там, где альтернативные издержки меньше мировой цены. Поскольку $1 < 1{,}5 < 2 < 3$, икс производит только первый регион.

Точка производства — $(X; Y) = (10; 50)$. Стартуя из неё, страна обменивает товары по пропорции $1 : 1{,}5$, значит КТВ — прямая наклона $-1{,}5$ через $(10; 50)$: $Y = 65 - 1{,}5X$, или $3X + 2Y = 130$. Пересечения с осями: $(0; 65)$ и $(43\tfrac{1}{3}; 0)$.

То же можно получить максимизацией выручки: страна продаёт весь выпуск и на тугрики покупает нужный набор, поэтому надо максимизировать $30X + 20Y$ на КПВ. Максимум достигается в точке $(10; 50)$ и равен $30 \cdot 10 + 20 \cdot 50 = 1300$, а линия $30X + 20Y = 1300$ и есть КТВ.

в) Из ограничения в 480 тугриков импорт икса не может превышать $480/30 = 16$ единиц, а импорт игрека — $480/20 = 24$ единицы.

При производстве $X = 10$ страна может экспортировать не более 10 единиц икса, а значит импортировать не более $10 \cdot 1{,}5 = 15 < 24$ единиц игрека. Лимит на игрек не связывает никогда, ограничение работает только через импорт икса. Поэтому участок старой КТВ от $(0; 65)$ до $(10; 50)$ сохраняется.

Двигаясь вправо от точки производства, страна покупает икс, но не более 16 единиц. Значит по старой КТВ можно дойти до $X = 10 + 16 = 26$, где $Y = 50 - 1{,}5 \cdot 16 = 26$. Отрезок $(10; 50) - (26; 26)$ лежит на той же прямой, что и первый участок, поэтому от $(0; 65)$ до $(26; 26)$ идёт один отрезок.

Чтобы потреблять больше 26 единиц икса, страну придётся наращивать собственное производство икса. Альтернативные издержки там уже больше $1{,}5$, поэтому торговлю выгодно использовать по максимуму: импортировать ровно 16 единиц икса в обмен на 24 единицы игрека. Значит правее точки $(10; 50)$ КТВ получается сдвигом соответствующего куска КПВ на вектор $(16; -24)$: излом $(20; 30)$ переходит в $(36; 6)$, а последний участок наклона $-3$ пересекает ось икс при $X = 36 + 6/3 = 38$.

Новая КТВ — ломаная через точки $(0; 65)$, $(26; 26)$, $(36; 6)$, $(38; 0)$.

г) При оптимальном поведении страна тратит на импорт всю валютную выручку от экспорта — копить тугрики незачем. Значит стоимость импорта равна стоимости экспорта, и ограничение на экспорт в 480 тугриков задаёт ровно то же множество. Ответ не изменится: КТВ будет такой же, как в пункте в).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf

Штраф не зависит от цены, поэтому у фирмы всего два сценария: заплатить 9 и работать как обычный монополист или упереться в потолок — сравни прибыли.

Сначала найдём, что делал бы монополист без всякого потолка. Средние издержки постоянны и равны 2, значит и предельные издержки равны 2, а прибыль как функция цены равна

$$\pi(P) = (10 - P)(P - 2).$$

Это парабола ветвями вниз, её вершина — середина между корнями 2 и 10, то есть $P = 6$. Тогда $Q = 4$, а прибыль равна $4 \cdot 4 = 16$. Тот же ответ даёт условие $MR = MC$: $10 - 2Q = 2$, $Q = 4$.

Если фирма назначит свою любимую цену 6 в нарушение потолка, она заплатит штраф и получит $16 - 9 = 7$. Это её запасной вариант при любом потолке — ведь переустанавливать цену после штрафа не нужно.

Теперь посмотрим, что даёт послушание.

Случай 1: $x \ge 6$. Потолок не мешает — оптимальная цена 6 его не нарушает. Фирма ставит $P^\star = 6$ и получает 16.

Случай 2: $2 \le x < 6$. Прибыль растёт по цене вплоть до 6, поэтому послушная фирма упирается в потолок и ставит $P = x$, получая $(10 - x)(x - 2)$.

Случай 3: $x < 2$. Цена ниже средних издержек, послушная фирма получила бы отрицательную прибыль и ушла бы с рынка с нулём. Значит штраф выгоднее.

Остаётся понять, когда во втором случае выгоднее заплатить штраф:

$$(10 - x)(x - 2) < 7 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 12x + 27 > 0.$$

Корни квадратного трёхчлена — 3 и 9, ветви вверх, поэтому неравенство выполнено при $x < 3$ или при $x > 9$.

Ветка $x > 9$ относится к случаю 1, где потолок ничего не ограничивает, так что остаётся условие $x < 3$.

Итого: при $x < 3$ (в том числе при $x < 2$) фирма платит штраф и ставит цену 6; при $3 \le x < 6$ она подчиняется и ставит $P = x$ — на границе $x = 3$ прибыли равны 7, и по условию фирма выбирает меньшую цену, то есть послушание; при $x \ge 6$ она просто ведёт себя как обычный монополист.

$$P^\star(x) = \begin{cases} 6, & x < 3; \\ x, & 3 \le x < 6; \\ 6, & x \ge 6. \end{cases}$$

График: горизонтальный участок на уровне 6 при $x < 3$, затем скачок вниз в точку $(3; 3)$ и отрезок биссектрисы $P^\star = x$ от $(3; 3)$ до $(6; 6)$, дальше снова горизонталь на уровне 6.

Ответ: $P^\star(x) = 6$ при $x < 3$, $P^\star(x) = x$ при $3 \le x < 6$, $P^\star(x) = 6$ при $x \ge 6$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-9-reg-21-22.pdf