ВсОШ по экономике 2021/22, региональный этап, 10 класс

Новостройка и вторичка — заменители: подумай, куда пойдёт покупатель, если новостройки подорожают.

Ответ: 2

Утверждение смотрит только на одну сторону рынка — на издержки застройщика. Но равновесную цену задают и спрос, и предложение, поэтому цена может измениться там, где никаких издержек не прибавилось.

Начало цепочки в утверждении описано верно: дорогие материалы поднимают себестоимость метра, предложение новостроек сокращается, равновесная цена первичного жилья растёт.

Дальше включается связь между двумя рынками. Квартира в новостройке и квартира в доме десятилетней давности закрывают для покупателя одну и ту же потребность, то есть это товары-заменители.

Когда первичка дорожает, часть покупателей переключается на вторичный рынок. Спрос на старое жильё растёт — кривая спроса сдвигается вправо, — и равновесная цена вторички тоже идёт вверх.

При этом в такой дом не положили ни одного нового кирпича: его цена выросла не из-за издержек, а из-за перетока спроса с подорожавшего рынка-заменителя.

Значит слово «только» делает утверждение ложным. Верный вариант — 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Спроси себя, что произойдёт с выплатами, если эмитент облигации разорится.

Ответ: 2

Фиксированной у облигации является обещанная выплата, а не выплата фактическая. Риск — это как раз вероятность того, что обещание не выполнится.

Главный риск здесь кредитный (риск дефолта): эмитент может не расплатиться. Компания разоряется, государство объявляет дефолт или реструктуризацию — и вместо обещанных купонов держатель получает часть суммы или не получает ничего.

Именно поэтому облигации разных эмитентов с одинаковым купоном торгуются по разным ценам: рынок закладывает в доходность премию за кредитный риск.

Есть и другие риски. Инфляция обесценивает фиксированные рублёвые выплаты, так что реальный доход заранее неизвестен. Если держатель захочет продать облигацию до погашения, он столкнётся с процентным риском: при росте ставки дисконтирования рыночная цена бумаги падает.

Безрисковым активом обычно условно называют краткосрочные обязательства самого надёжного эмитента, но и это приближение, а не свойство всякой облигации.

Значит утверждение неверно, верный вариант — 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Вспомни кривую Лаффера и спроси, что происходит со сборами на её правой ветви.

Ответ: 1

Эластичность сборов $T$ по ставке $t$ — это отношение процентного изменения сборов к процентному изменению ставки: $E = \dfrac{\Delta T / T}{\Delta t / t}$.

И ставка, и сумма сборов положительны, поэтому знак эластичности совпадает со знаком изменения сборов при росте ставки. Отрицательная эластичность означает ровно одно: подняли ставку, а собрали меньше.

Так бывает. Сборы равны ставке, умноженной на налоговую базу, а база сама зависит от ставки. Высокая ставка снижает экономическую активность: часть сделок не совершается, часть фирм сокращает выпуск.

Вторая причина — уклонение и уход в тень. Чем выше ставка, тем выгоднее прятать оборот, и тем быстрее сжимается наблюдаемая база.

Если база падает быстрее, чем растёт ставка, произведение уменьшается. Это правая, убывающая ветвь кривой Лаффера — на ней эластичность сборов по ставке отрицательна. Предельный случай очевиден: при ставке 100 % работать легально незачем, и сборы стремятся к нулю.

Слово «может» в утверждении важно: доказывать, что так происходит всегда, не требуется — достаточно одного возможного случая. Верный вариант — 1 («Да»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Зацепись за слово «только» и вспомни хоть одно экономическое исследование про преступность или про семью.

Ответ: 2

Экономическая наука определяется не списком тем, а методом: она изучает выбор людей в условиях ограниченности ресурсов и то, как люди реагируют на стимулы.

Такой метод применим далеко за пределами прилавка и денежного обращения. Экономисты моделируют поведение преступника, который сопоставляет выгоду от преступления с вероятностью наказания и его тяжестью, и по этим моделям оценивают эффект ужесточения законов.

Другой пример из официального разбора — решения людей о размере семьи: как на рождаемость влияют пособия, доступность детских садов и стоимость времени родителей.

Есть целые разделы про образование, здравоохранение, миграцию, дискриминацию, выбор избирателей, семейные решения, спорт, устройство аукционов и алгоритмы распределения студентов по университетам и доноров органов по пациентам.

Показательно, что Нобелевскую премию 2021 года дали за работы по экономике труда и за методы выявления причинно-следственных связей в данных — ни то, ни другое в предложенный список не укладывается.

Значит слово «только» делает утверждение ложным. Верный вариант — 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Подумай, случайно ли организация выбирала, кому помогать, и какими были бы эти страны без помощи.

Ответ: 2

В сравнении двух средних есть корреляция, но из неё не следует причинно-следственная связь. Проблема в том, как формировались группы.

Организация распределяет помощь не жребием. Скорее всего, она выбирала страны, где положение было хуже всего: война, засуха, долговой кризис, слабые институты. Такие страны и без помощи росли бы медленнее остальных.

Тогда разрыв в 1 процентный пункт объясняется не помощью, а исходными различиями между группами. Это классическая ошибка отбора: группы несопоставимы ещё до вмешательства.

Правильное сравнение — контрфактическое: каким был бы рост этих же стран без помощи. Вполне возможно, что без неё они показали бы 0 % или спад, и тогда помощь дала плюс один процентный пункт, а не минус.

Именно поэтому для оценки эффекта используют рандомизированные эксперименты или квазиэкспериментальные методы, которые сравнивают похожие страны и учитывают исходные различия. Разработчики методологии таких оценок как раз получили Нобелевскую премию 2021 года.

Вывод из условия не обоснован. Верный вариант — 2 («Нет»).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Покупательная способность денег — величина, обратная уровню цен; перемножь три темпа роста, а население подели.

Ответ: 1

Реальный ВВП — это номинальный ВВП, пересчитанный в неизменные цены: $Y_{real} = Y_{nom} / P$, где $P$ — уровень цен. Величина $1/P$ и есть покупательная способность денег.

Покупательная способность упала на 40 %, то есть на ту же сумму теперь покупают 0,6 прежнего количества товаров. Значит множитель $1/P$ стал равен $0{,}6$ от исходного.

Номинальный ВВП вырос вдвое, поэтому реальный ВВП изменился в $2 \cdot 0{,}6 = 1{,}2$ раза, то есть вырос на 20 %.

Население выросло в $1 + 1/9 = 10/9$ раза. Реальный ВВП на душу населения меняется в $1{,}2 : \dfrac{10}{9} = 1{,}2 \cdot 0{,}9 = 1{,}08$ раза.

Итого рост составил 8 % — верный вариант 1.

Ответ можно было угадать и без последнего шага: реальный ВВП вырос на 20 %, а население увеличилось, поэтому показатель на душу населения вырос строго меньше чем на 20 %. Из предложенных значений этому условию удовлетворяет только 8 %.

Типичные ловушки здесь такие: вариант 2 получается, если посчитать реальный ВВП и забыть поделить его на прирост населения; вариант 4 — если поделить удвоившийся номинальный ВВП на прирост населения, но не пересчитать выпуск в постоянные цены: $2 \cdot 0{,}9 = 1{,}8$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Определи знак внешнего эффекта от прививки — и вспомни, чем лечат недопотребление.

Ответ: 2

Ключ к задаче — внешний эффект. Привившийся человек получает личную выгоду (сам заболеет с меньшей вероятностью), но вдобавок он реже заражает окружающих. Эта вторая часть выгоды достаётся другим людям, а в своём решении человек её не учитывает.

Значит общественная предельная выгода от прививки выше частной: $MSB > MPB$. Внешний эффект положительный.

Когда решение принимается по частной выгоде, равновесный объём вакцинации оказывается ниже общественно эффективного — рынок даёт недопотребление. Возникают потери общественного благосостояния.

Стандартное лекарство — субсидия Пигу потребителю в размере предельной внешней выгоды. Она снижает цену для покупателя, спрос сдвигается вверх ровно на величину внешнего эффекта, и объём вакцинации выходит на эффективный уровень. Именно поэтому вариант 2 верный.

Вариант 1 неверен: невмешательство и оставляет описанное недопотребление. Вариант 3 переворачивает знак эффекта — налог сократил бы вакцинацию и увеличил бы потери, а не уменьшил их. Вариант 4 борется не с тем провалом рынка: монополия ограничивает выпуск и завышает цену, то есть уводит от эффективного объёма ещё дальше.

На практике государства раздают многие вакцины бесплатно — это и есть субсидия в размере 100 % цены, крайний случай варианта 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Вертикальное предложение не сдвигается от налога, а по кривой спроса каждому количеству отвечает ровно одна цена.

Ответ: 4

Абсолютно неэластичное предложение — это вертикальная линия: продавцы выносят на рынок фиксированное количество $Q_0$ при любой цене. Ни налог, ни что-либо ещё это количество не меняет.

Раз объём продаж всё равно равен $Q_0$, цену для потребителя полностью определяет кривая спроса: $P_0 = 1000/Q_0$. До налога и после налога это одно и то же число.

Значит цена потребителя не меняется — верный вариант 4. Весь налог ложится на продавцов: выручка с единицы у них падает ровно на величину налога, цена-нетто равна $P_0 - t$.

Общее правило то же: налоговое бремя распределяется обратно пропорционально эластичностям. Чем менее эластична сторона рынка, тем большую долю налога она несёт. Здесь эластичность предложения равна нулю, поэтому доля продавцов — все 100 %.

Варианты 1, 2 и 3 предполагают, что часть налога или весь налог перекладывается на покупателя, а это возможно только при ненулевой эластичности предложения.

Оговорка про «10 % от равновесной цены» нужна лишь для того, чтобы налог был конкретной положительной величиной; на вывод она не влияет — при вертикальном предложении ответ один и тот же при любой ставке.

Полезно заметить и то, что функция $Q = 1000/P$ имеет единичную эластичность спроса, так что расходы покупателей $PQ = 1000$ постоянны, — но и это не нужно для ответа.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Подставь целевой курс в обе функции и посмотри, чего не хватает рынку при этой цене.

Ответ: 1

Сначала найдём, где рынок оказался бы сам по себе: $120 - P = 2P$, откуда $P = 40$ и $Q = 80$.

Центральный банк хочет курс $P = 20$, то есть национальную валюту крепче рыночной. При таком курсе иностранная валюта дёшева, и желающих её купить больше, чем продавцов.

Считаем обе стороны при $P = 20$. Спрос: $Q_d = 120 - 20 = 100$. Предложение: $Q_s = 2 \cdot 20 = 40$.

Дефицит иностранной валюты равен $100 - 40 = 60$ единиц. Ровно столько центральный банк должен продать из резервов, иначе при курсе 20 рынок не расчистится и курс поползёт вверх. Верный вариант — 1.

Вариант 2 — это равновесный объём 80 при свободном курсе 40, а не размер интервенции. Варианты 3 и 4 получаются, если умножить количество на курс: $60 \cdot 20 = 1200$ и $80 \cdot 20 = 1600$. Это стоимость сделки в национальной валюте, а вопрос был про количество иностранной.

Отметим и экономический смысл операции: продавая валюту, центральный банк тратит резервы и одновременно изымает из обращения национальные деньги. Долго удерживать курс ниже равновесного так нельзя — резервы конечны.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Вспомни, что делал с ключевой ставкой Банк России в течение 2021 года и насколько это выше цели в четыре процента.

Ответ: 4

По данным Росстата потребительские цены в России за 2021 год выросли примерно на 8,4 % (декабрь к декабрю). Ближайшее к этому значение из списка — 8 %, верный вариант 4.

Официальный разбор писался до публикации итоговой цифры, и его авторы рассуждали так: на момент составления заданий уже было ясно, что инфляция по итогам года окажется выше 8 %, а значит из четырёх предложенных значений ближе всего именно 8 %.

Полезно помнить ориентиры. Цель Банка России по инфляции — 4 % в год; в 2021 году фактическая инфляция превысила цель более чем вдвое, из-за чего ключевая ставка за год поднималась с 4,25 % до 8,5 %.

Разгон цен тогда объясняли восстановлением спроса после пандемийного спада, сбоями в мировых цепочках поставок, подорожанием продовольствия на мировых рынках и мягкой денежной политикой предыдущего года.

Остальные варианты далеки от факта: 0 % означало бы полную остановку роста цен, 3 % и 5 % — инфляцию около или ниже цели, чего в 2021 году не было. Для сравнения, в 2019 году инфляция составила около 3 %, а в 2020-м — около 4,9 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Лауреатов было трое; вспомни исследование про минимальную зарплату и не перепутай год с премией за аукционы.

Ответ: 1, 2

Премию 2021 года разделили три исследователя, и формулировок в ней было две.

Дэвид Кард получил половину премии «за эмпирический вклад в экономику труда». Его знаменитые работы с Аланом Крюгером показали, что умеренное повышение минимальной зарплаты не обязательно ведёт к падению занятости, а исследование о кубинской миграции в Майами — что приток мигрантов почти не сбил зарплаты местных. Это прямо даёт вариант 1.

Джошуа Ангрист и Гвидо Имбенс получили вторую половину «за методологический вклад в анализ причинно-следственных связей». Они разобрались, что именно измеряют инструментальные переменные, когда эффект у разных людей разный, и как читать данные естественных экспериментов. Это методы анализа данных, то есть вариант 2.

Общая идея всех трёх лауреатов одна: как из наблюдаемых данных, где вмешательство не распределялось жребием, всё-таки извлечь причинный эффект — ровно та проблема отбора, которая ломает наивное сравнение средних.

Вариант 3 неверен: макроэкономических работ в формулировках нет, премия целиком про микроэконометрику и рынок труда. Вариант 4 неверен, но близок по годам: теорию аукционов отметили годом раньше, в 2020-м, когда лауреатами стали Пол Милгром и Роберт Уилсон.

Верный ответ — варианты 1 и 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Абсолютное преимущество даёт верхнюю границу параметра, сравнение альтернативных издержек — нижнюю.

Ответ: 2, 3

В задаче два независимых условия, и каждое даёт ограничение на $a$.

Абсолютное преимущество — это больший выпуск с одного акра. По зерновым низины выигрывают всегда: $20 > 6$. По шерсти нужно $12 > a$.

Сравнительное преимущество определяется альтернативными издержками. Чтобы получить единицу шерсти на холмах, приходится отказаться от $6/a$ единиц зерна; на низинах — от $20/12 = 5/3$ единиц зерна.

Холмы имеют сравнительное преимущество в шерсти, когда их альтернативные издержки ниже: $\dfrac{6}{a} < \dfrac{5}{3}$, то есть $a > \dfrac{18}{5} = 3{,}6$. Тот же результат даёт запись через отношение продуктивностей: $\dfrac{a}{6} > \dfrac{12}{20}$.

Складываем оба ограничения: $3{,}6 < a < 12$.

Проверяем варианты. При $a = 3$ условие сравнительного преимущества нарушено ($3 < 3{,}6$): холмы отстают от низин по шерсти относительно сильнее, чем по зерну. При $a = 4$ и $a = 9$ оба условия выполнены. При $a = 13$ ломается абсолютное преимущество низин по шерсти, ведь $13 > 12$.

Верные варианты — 2 и 3, то есть $a = 4$ и $a = 9$.

Заметим, что площадь страны и деление её пополам на ответ не влияют: и абсолютное, и сравнительное преимущество считаются по продуктивности одного акра.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Это совершенные субституты: сравни полезность на одну денежную единицу у бассейна и у зала.

Ответ: 1, 2, 3

Постоянная готовность обменять 2 часа бассейна на 3 часа зала означает, что для Марфы это совершенные субституты: предельная норма замещения не меняется и равна $3/2$. У таких предпочтений оптимум обычно угловой — всё тратится на один товар.

Проверим отклонение от плана «всё на бассейн». Пусть Марфа сокращает бассейн на $2t$ часов. Она экономит $2tp$ д. е. и покупает на них $\dfrac{2tp}{1500}$ часов зала.

Потерянные $2t$ часов бассейна она оценивает ровно в $3t$ часов зала. Отклонение невыгодно, если полученного меньше: $\dfrac{2tp}{1500} < 3t$, то есть $p < 2250$.

Тот же ответ даёт сравнение полезности на одну денежную единицу. Обозначим полезность часа бассейна через $MU_1$, а часа зала через $MU_2$: из условия $MU_1 : MU_2 = 3 : 2$. Всю сумму Марфа отдаст бассейну, когда $\dfrac{3}{p} > \dfrac{2}{1500}$, что снова даёт $p < 2250$.

Смотрим варианты: $900 < 2250$, $1500 < 2250$, $2000 < 2250$ — годятся; $2500 > 2250$ — нет, при такой цене выгоднее ходить только в зал.

Верные варианты — 1, 2 и 3.

Граничный случай $p = 2250$ в список не попал, и это удобно: там Марфе безразличны все наборы, и «потратит всё на бассейн» перестаёт быть однозначным выводом. Обрати внимание, что размер карманной суммы в ответе не участвует — при совершенных субститутах выбор зависит только от соотношения цен и нормы замещения.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Издержки компании — это минимум по всем способам разделить добычу, а любое конкретное деление даёт оценку сверху.

Ответ: 3, 4

Главное — правильно прочитать определение: $TC(Q) = \min\limits_{q_1 + q_2 = Q} \left( q_1^2 + q_2^5 \right)$, минимум берётся по всем способам разделить добычу. Отсюда сразу следует полезный приём: любое допустимое распределение даёт верхнюю оценку для $TC(Q)$.

Вариант 1 неверен. Выражение $TC_1(Q) + TC_2(Q)$ — это затраты на добычу $Q$ на первом месторождении и ещё $Q$ на втором, то есть на выпуск $2Q$. Компания всегда может добыть всё на первом месторождении, поэтому $TC(Q) \le TC_1(Q) < TC_1(Q) + TC_2(Q)$ при $Q > 0$.

Вариант 2 неверен. Работать только на одном месторождении при $Q > 0$ никогда не оптимально: предельные издержки обеих функций в нуле равны нулю ($2q$ и $5q^4$ при $q = 0$). Значит, если вся добыча идёт на одно месторождение, перенос маленькой доли на второе экономит деньги. В общем случае верно лишь $TC(Q) \le \min\{TC_1(Q), TC_2(Q)\}$.

Вариант 3 верен. Деление добычи пополам — один из допустимых способов, и он стоит $(Q/2)^2 + (Q/2)^5$. Минимум не больше любого допустимого варианта, поэтому неравенство выполняется при всех $Q \ge 0$.

Вариант 4 верен. Возьмём $q_1 = 2$ и $q_2 = 1$: затраты равны $2^2 + 1^5 = 5$. Значит $TC(3) \le 5$.

Заодно вариант 4 добивает вариант 2: наименьшее из $TC_1(3) = 9$ и $TC_2(3) = 243$ равно 9, а мы нашли способ уложиться в 5.

Верные варианты — 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Одинаковый процент не меняет доли в общем доходе, а одинаковая сумма — это большой процент для бедного и маленький для богатого.

Ответ: 1, 4

Коэффициент Джини строится по кривой Лоренца и зависит только от долей жителей в суммарном доходе. Если все доли остались прежними, показатель не меняется, даже когда доходы выросли в разы.

Страна A. Каждый доход умножили на $1{,}1$, поэтому суммарный доход тоже вырос в $1{,}1$ раза, а доля каждого жителя $\dfrac{1{,}1 y_i}{1{,}1 Y} = \dfrac{y_i}{Y}$ не изменилась. Кривая Лоренца та же, значит и Джини тот же: вариант 1 верен, а вариант 3 неверен.

Страна B. Всем добавили одинаковые 10 ден. ед. Для бедного это большая прибавка в процентах, для богатого — маленькая, поэтому доходы сблизились относительно друг друга.

Формально: доля жителя стала $\dfrac{y_i + 10}{Y + 10n}$, где $n$ — число жителей. У тех, кто был ниже среднего, доля выросла, у тех, кто выше, — упала. Кривая Лоренца подтянулась к диагонали, и Джини уменьшился: вариант 4 верен, вариант 2 неверен.

Тот же вывод даёт другая оптика: равная прибавка всем — это отмена аккордного налога в 10 ден. ед. Аккордный налог регрессивен (у бедного забирает большую долю дохода), поэтому его отмена снижает неравенство.

Оговорка про строго положительный исходный Джини нужна именно здесь: при полном равенстве Джини равен нулю, и добавка 10 ден. ед. ничего бы не изменила — уменьшаться было бы некуда.

Верные варианты — 1 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Сначала восстанови общий продукт из среднего, а предельный считай разностью соседних значений, а не производной.

Ответ: 30 д. е.

Средний продукт труда — это выпуск на одного работника, поэтому общий продукт восстанавливается умножением: $TP_L(L) = AP_L(L) \cdot L$.

Подставляем данную функцию: $Q(L) = (20 - L)L = 20L - L^2$.

Предельный продукт третьего работника — это прирост выпуска при переходе от двух работников к трём. Работники целые, поэтому берём разность, а не производную: $MP_L(3) = Q(3) - Q(2)$.

Считаем значения: $Q(3) = 17 \cdot 3 = 51$ и $Q(2) = 18 \cdot 2 = 36$. Отсюда $MP_L(3) = 51 - 36 = 15$ единиц продукции.

Осталось перевести в деньги. Рынок совершенно конкурентный, значит цена не зависит от выпуска фирмы и каждая дополнительная единица продаётся по 2 д. е. Денежное выражение предельного продукта: $MRP_L = MP_L \cdot P = 15 \cdot 2 = 30$.

Ответ: 30 д. е.

Частая ошибка — продифференцировать $Q(L) = 20L - L^2$ и подставить $L = 3$: получится $20 - 2 \cdot 3 = 14$, а в деньгах 28. При целом числе работников производная даёт лишь приближение; корректная величина — именно разность соседних значений общего продукта.

Вторая ошибка — забыть про цену и написать 15.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Порог закрытия — минимум средних переменных издержек; он придётся ровно на конец дешёвой ступени.

Ответ: 75 д. е.

В краткосрочном периоде фирма готова работать, пока цена покрывает средние переменные издержки: постоянные издержки платятся в любом случае, поэтому сравнивать надо выручку с переменными затратами. Минимальная цена, при которой выпуск ненулевой, равна минимуму $AVC$.

Переменные издержки — это сумма предельных издержек всех произведённых единиц, а $AVC(Q)$ — их среднее арифметическое.

При $Q \le 20$ все слагаемые равны 100, поэтому $AVC = 100$.

При $21 \le Q \le 40$ в наборе всё те же двадцать значений «100» плюс растущее число значений «50»: $AVC(Q) = \dfrac{20 \cdot 100 + (Q - 20) \cdot 50}{Q}$. С ростом $Q$ дешёвых единиц становится больше, а дорогих не прибавляется, так что среднее падает.

При $Q \ge 41$ добавляются новые единицы по 100, и среднее снова растёт.

Значит минимум достигается ровно при $Q = 40$: $AVC(40) = \dfrac{20 \cdot 100 + 20 \cdot 50}{40} = \dfrac{3000}{40} = 75$.

Проверим границу. При $P = 75$ выпуск 40 даёт выручку $75 \cdot 40 = 3000$ и переменные издержки 3000, то есть прибыль равна минус постоянные издержки — ровно столько же, сколько при остановке. Фирма безразлична между нулём и сорока, а по условию в таком случае она выбирает наибольший объём, то есть 40 — выпуск ненулевой.

При любой цене ниже 75 выручка не покрывает переменные издержки ни при каком положительном выпуске, и фирма останавливается.

Ответ: 75 д. е.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Введи номинал буквой, найди его из сегодняшней цены, а потом дисконтируй единственную оставшуюся выплату.

Ответ: 13 200 руб.

Цена облигации — это приведённая стоимость будущих выплат. Обозначим номинал $N$.

Сейчас впереди два платежа: купон $0{,}1N$ через год и купон с номиналом $1{,}1N$ через два года. Значит
$$12200 = \frac{0{,}1N}{1{,}2} + \frac{1{,}1N}{1{,}2^2}.$$

Приводим к общему знаменателю: $\dfrac{0{,}1 \cdot 1{,}2 + 1{,}1}{1{,}44} N = \dfrac{1{,}22}{1{,}44} N = 12200$, откуда $N = 12200 \cdot \dfrac{1{,}44}{1{,}22} = 14400$ руб.

Сразу после выплаты первого купона в облигации остаётся один платёж — $1{,}1N$ через год. Поэтому
$$P_1 = \frac{1{,}1N}{1{,}2} = \frac{1{,}1 \cdot 14400}{1{,}2} = \frac{15840}{1{,}2} = 13200.$$

Проверка исходной цены: $\dfrac{1440}{1{,}2} + \dfrac{15840}{1{,}44} = 1200 + 11000 = 12200$ руб. Сходится.

Номинал можно и не искать: достаточно поделить одну формулу на другую и получить $\dfrac{P_1}{12200} = \dfrac{1{,}1/1{,}2}{0{,}1/1{,}2 + 1{,}1/1{,}44} = \dfrac{1{,}32}{1{,}22}$, откуда сразу $P_1 = 13200$.

Ответ: 13 200 руб.

Результат выглядит парадоксально: через год до погашения остался всего один платёж вместо двух, а цена выросла. Причина в том, что крупная выплата $1{,}1N$ стала на год ближе, и дисконт по ней уменьшился. Купон 10 % ниже ставки дисконтирования 20 %, поэтому облигация торгуется дешевле номинала и по мере приближения к погашению её цена подтягивается к номиналу: $12200 \to 13200 \to 15840$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Если бы направление торговли не поменялось, объём обязательно изменился бы: значит импортёр стал экспортёром.

Ответ: 16 единиц

Сначала разберёмся с направлением торговли. Если бы страна оставалась импортёром при обеих ценах, рост мировой цены сократил бы импорт: внутренний спрос падает, предложение растёт. Если бы она оставалась экспортёром, рост цены увеличил бы экспорт.

Раз объём внешней торговли не изменился, значит направление поменялось: при цене 40 Альфа импортировала пармезан, при цене 60 стала его экспортировать.

Запишем оба объёма. Импорт при цене 40: $Q_0 = Q_d(40) - Q_s(40) = (80 - 40) - 40c = 40 - 40c$. Экспорт при цене 60: $Q_0 = Q_s(60) - Q_d(60) = 60c - (80 - 60) = 60c - 20$.

Приравниваем: $40 - 40c = 60c - 20$, откуда $100c = 60$ и $c = 0{,}6$.

Подставляем обратно: $Q_0 = 40 - 40 \cdot 0{,}6 = 40 - 24 = 16$.

Проверка. При цене 40: спрос 40, предложение 24, импорт 16. При цене 60: спрос 20, предложение 36, экспорт 16. Совпадает.

Ответ: 16 единиц.

Полезно заметить, что при $c = 0{,}6$ автаркическое равновесие лежит при $80 - P = 0{,}6P$, то есть $P = 50$ — ровно посередине между 40 и 60, и симметрия объёмов торговли становится очевидной. У задачи есть и чисто геометрическое решение: треугольники, отсекаемые линиями мировых цен выше и ниже точки автаркии, равны.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Капитал умножается на отношение цен покупки и продажи — перемножь только участки роста и не забудь вычесть стартовую сумму.

Ответ: 236 тыс. руб.

Заём запрещён, поэтому в каждый момент инвестор либо держит деньги, либо держит акции. Если он входит в акции по цене $P_t$ и выходит по цене $P_s$, его капитал умножается на $P_s / P_t$.

Отсюда стратегия очевидна: на всю сумму покупать перед ростом цены и полностью продавать перед падением. Заработать на падении нельзя — короткие продажи запрещены, — поэтому падения надо просто пересиживать в деньгах.

Смотрим, где цена растёт: с периода 1 к периоду 2 (800 → 1200), с периода 3 через 4 к периоду 5 (1000 → 1040 → 1120) и с периода 7 к периоду 8 (1000 → 2000). Периоды 2 → 3 и 5 → 6 → 7 — падения, их инвестор проводит в деньгах.

Капитал умножается на произведение множителей по растущим участкам:
$$\frac{1200}{800} \cdot \frac{1120}{1000} \cdot \frac{2000}{1000} = 1{,}5 \cdot 1{,}12 \cdot 2 = 3{,}36.$$

Больше получить нельзя: капитал меняется только на отрезках владения акциями, и любой такой отрезок, захватывающий участок падения, лишь уменьшает итоговый множитель.

Итого капитал вырастает со 100 тыс. до $100 \cdot 3{,}36 = 336$ тыс. руб., а прибыль равна $336 - 100 = 236$ тыс. руб.

Ответ: 236 тыс. руб.

Промежуточная точка периода 4 (1040) роли не играет: она лежит внутри растущего участка, и продавать в ней невыгодно. И для максимума вовсе не нужна вся таблица — достаточно в каждом периоде знать лишь то, вырастет цена в следующем периоде или упадёт.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Посчитай экономические издержки каждого варианта как функцию $w$: явные расходы плюс альтернативные издержки времени. Дальше достаточно сравнить три прямые.

Экономические издержки приёма пищи складываются из явных расходов и альтернативных издержек потраченного времени. Час стоит Савве $w$ рублей, значит, полчаса в магазине стоят $w/2$, а 45 минут готовки — $3w/4$.

Вариант 1: $C_1(w) = 600 + w/2 + 3w/4 = 600 + 5w/4$.

Вариант 2: $C_2(w) = 600 + 500 + 3w/4 = 1100 + 3w/4$.

Вариант 3: $C_3(w) = 1200 + 500 = 1700$ — время не тратится совсем.

Сравниваем варианты попарно.

Первый и второй. Неравенство $C_2(w) < C_1(w)$ означает $1100 + 3w/4 < 600 + 5w/4$, то есть $w/2 > 500$ и $w > 1000$. Считать все издержки тут необязательно: в обоих вариантах Савва готовит, разница только в том, идти ли в магазин или платить за доставку, так что доставка выгоднее ровно при $500 < w/2$.

Второй и третий. Неравенство $C_3(w) < C_2(w)$ означает $1700 < 1100 + 3w/4$, то есть $w > 800$. Короткий путь тот же: в обоих вариантах доставка оплачивается, а разница — доплата $1200 - 600 = 600$ за готовую еду против $3w/4$ альтернативных издержек готовки.

Отсюда второй вариант не оптимален ни при каком $w \geqslant 0$: при $w < 1000$ он хуже первого, при $w > 800$ — хуже третьего, а хотя бы одно из этих двух неравенств выполняется всегда.

Остаётся сравнить первый и третий: $600 + 5w/4 < 1700$ даёт $5w/4 < 1100$, то есть $w < 880$.

Ответ: при $w < 880$ оптимален вариант 1; при $w = 880$ оптимальны варианты 1 и 3; при $w > 880$ оптимален вариант 3.

Тот же результат виден на графике. В осях «зарплата — издержки» $C_1$ и $C_2$ — возрастающие прямые, $C_3$ — горизонтальная прямая на уровне 1700. Нижняя огибающая состоит из $C_1$ до $w = 880$ и $C_3$ после, а $C_2$ всюду лежит выше неё: например, $C_2(880) = 1760 > 1700 = C_3(880)$. При графическом решении достаточно найти две критические зарплаты из трёх и правильно подписать их на рисунке.

Заметь, почему при высокой зарплате Савва выбирает доставку. Причина не в том, что денег хватает только богатому: по условию денег хватает на любой вариант при любом $w$. Причина в том, что дорогое время невыгодно тратить на магазин и готовку.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Спрос восстанавливается по двум точкам равновесия, а предложение после падения — по новой точке и коэффициенту эластичности. Дальше субсидия просто сдвигает предложение на $s$ по вертикали.

а) Спрос не менялся, поэтому обе известные точки равновесия лежат на одной кривой спроса: $(40;\, 20)$ и $(50;\, 10)$. Наклон равен $-1$, значит $Q_d = 60 - P$.

Предложение после падения запишем как $Q_s = c + dP$. Оно проходит через новое равновесие, то есть $10 = c + 50d$. Эластичность предложения в этой точке даёт второе уравнение:
$$E_s = d \cdot \frac{P}{Q} = d \cdot \frac{50}{10} = 5d = 5,$$
откуда $d = 1$ и $c = 10 - 50 = -40$. Итого $Q_s = P - 40$.

Кривую предложения можно восстановить и без формулы точечной эластичности. Пусть цена растёт от 50 до такой величины, при которой предложение вырастет с 10 до 20, то есть на $100\,\%$. Из $E_s = 5$ следует, что цена при этом растёт на $20\,\%$, то есть до 60. По двум точкам $(50;\, 10)$ и $(60;\, 20)$ получаем ту же прямую $Q_s = P - 40$.

Субсидия в 10 д. е. сдвигает предложение: при цене потребителя $P$ производитель получает $P + 10$ и предлагает $Q_s = P + 10 - 40 = P - 30$. Новое равновесие: $60 - P = P - 30$, откуда $P = 45$. То же самое через обратные функции: $P_d(Q) + 10 = P_s(Q)$, то есть $60 - Q + 10 = Q + 40$, $Q = 15$ и $P_d = 45$.

Ответ пункта а): 45, а не 40 — субсидии в 10 д. е. не хватает.

б) При ставке $s$ предложение принимает вид $Q_s = P + s - 40$, равновесие даёт $60 - P = P + s - 40$, то есть $P = (100 - s)/2$. Требование $P = 40$ приводит к $s = 20$.

Короче: целевая точка — это цена потребителя 40 и количество 20. Цена производителя при таком количестве равна $P_s(20) = 20 + 40 = 60$, а ставка субсидии есть разрыв между ценой производителя и ценой потребителя: $s = 60 - 40 = 20$.

Расходы государства равны ставке, умноженной на равновесное количество: $Sub = s \cdot Q = 20 \cdot 20 = 400$.

Ответ пункта б): $s = 20$, расходы бюджета равны 400.

Почему приятель ошибся. Субсидии в 10 д. е. хватает лишь на то, чтобы производители согласились выпускать новое, маленькое количество 10 по цене 40. Но по цене 40 потребители готовы купить 20 единиц, возникает дефицит, и цена поднимается до равновесных 45. Чтобы цена 40 стала равновесной, производители должны быть готовы выпускать прежние 20 единиц, а для этого нужна субсидия побольше; надбавка сверх 10 д. е. зависит от эластичности предложения.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Икс выгодно производить только там, где альтернативные издержки ниже мировой пропорции обмена 1,5. Санкция на оборот делится пополам между экспортом и импортом.

а) КПВ каждого региона линейна. Первый регион даёт максимум 10 единиц икса или 10 единиц игрека, альтернативные издержки икса равны 1. Второй — 10 икса или 20 игрека, издержки 2. Третий — 10 икса или 30 игрека, издержки 3.

Складываем КПВ по горизонтали, переводя регионы на икс по возрастанию альтернативных издержек. Если весь труд идёт в игрек, страна производит $20 + 30 + 10 = 60$ единиц — точка $(0;\, 60)$. Первым на икс переводится первый регион, издержки 1, доходим до $(10;\, 50)$. Затем второй, издержки 2, доходим до $(20;\, 30)$. Затем третий, издержки 3, доходим до $(30;\, 0)$.

КПВ страны — ломаная $(0;\, 60) - (10;\, 50) - (20;\, 30) - (30;\, 0)$.

б) Мировая пропорция обмена: $p_x / p_y = 30/20 = 1{,}5$ единиц игрека за единицу икса. Производить икс имеет смысл только там, где альтернативные издержки ниже мировой цены, а $1 < 1{,}5 < 2 < 3$. Значит, икс производится только в первом регионе: $X = 10$, $Y = 20 + 30 = 50$.

Из точки $(10;\, 50)$ страна обменивает товары в пропорции $1 : 1{,}5$, поэтому КТВ — прямая с наклоном $-1{,}5$ через эту точку: $3X + 2Y = 130$, то есть $Y = 65 - 1{,}5X$. Она пересекает ось игрека в точке $(0;\, 65)$, а ось икса при $X = 130/3 = 43\tfrac{1}{3}$.

То же самое можно получить через выручку. Торговля означает движение вдоль прямой наклона $-p_x/p_y$, проходящей через точку производства, а страна выбирает самую высокую такую прямую. Выручка равна $30X + 20Y$, на КПВ она максимальна в точке $(10;\, 50)$ и равна $30 \cdot 10 + 20 \cdot 50 = 1300$; линия $30X + 20Y = 1300$ и есть КТВ.

в) При оптимальном поведении стоимость импорта равна стоимости экспорта: если бы экспорт стоил дороже, часть товаров выгоднее было бы не продавать, а потребить. Значит, ограничение на оборот 960 тугриков равносильно паре ограничений: экспорт не дороже 480 и импорт не дороже 480. По товару икс это не больше $480/30 = 16$ единиц, по товару игрек — не больше $480/20 = 24$ единиц. Следить достаточно за иксом, ограничение по игреку выполняется автоматически.

Когда страна потребляет мало икса, она его экспортирует, но продать больше произведённых 10 единиц всё равно не может, а $10 < 16$. Санкция тут не связывает, и участок старой КТВ от $(0;\, 65)$ до $(10;\, 50)$ сохраняется.

Вправо от точки $(10;\, 50)$ страна импортирует икс, и импорт упирается в 16 единиц. При $X = 10 + 16 = 26$ потребление игрека равно $50 - 1{,}5 \cdot 16 = 26$. Отрезок от $(10;\, 50)$ до $(26;\, 26)$ лежит на старой КТВ, и вместе с предыдущим участком это один отрезок $(0;\, 65) - (26;\, 26)$.

Чтобы потреблять больше 26 единиц икса, приходится наращивать собственное производство икса. Альтернативные издержки там уже выше 1,5, поэтому торговлю выгодно использовать по максимуму: импортировать ровно 16 единиц икса и экспортировать ровно 24 единицы игрека. Значит, при $X > 26$ новая КТВ получается сдвигом части КПВ правее точки $(10;\, 50)$ на вектор $(16;\, -24)$. Излом $(20;\, 30)$ переходит в $(36;\, 6)$, а дальше участок с наклоном $-3$ пересекает ось икса при $X = 36 + 6/3 = 38$.

Новая КТВ — ломаная $(0;\, 65) - (26;\, 26) - (36;\, 6) - (38;\, 0)$.

Заметь, что санкция на оборот и санкция вида «импорт не дороже 480 и экспорт не дороже 480» дают один и тот же ответ: при оптимальном поведении вся валютная выручка от экспорта тратится на импорт, поэтому стоимости равны и оборот вдвое больше каждой из них.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf

Посчитай прибыль монополиста со штрафом — она не зависит от потолка — и сравни её с прибылью при подчинении потолку $x$.

Сначала найдём, что делал бы монополист без всякого потолка. Прибыль равна $\pi(P) = (10 - P)(P - 2)$ — это парабола ветвями вниз с вершиной посередине между корнями 2 и 10, то есть при $P = 6$. Тогда $Q = 4$, а прибыль равна $4 \cdot 4 = 16$. Тот же ответ даёт условие $MR = MC$: $10 - 2Q = 2$, откуда $Q = 4$ и $P = 6$.

Если фирма нарушает потолок, ей выгодно назначить свою обычную цену 6 и заплатить штраф. Прибыль при этом равна $16 - 9 = 7$, и такая возможность есть у фирмы при любом $x$. Значит, подчиняться потолку стоит только тогда, когда это приносит не меньше 7.

Теперь считаем прибыль при подчинении потолку $x$.

Случай 1: $x \geqslant 6$. Потолок не заставляет снижать цену, фирма ставит 6 и получает 16. Это больше 7, штраф не нужен.

Случай 2: $2 \leqslant x < 6$. Прибыль растёт по цене левее вершины параболы, поэтому фирма назначает максимальную разрешённую цену $P = x$ и получает $(10 - x)(x - 2)$.

Случай 3: $x < 2$. Разрешённая цена ниже средних издержек, положительную прибыль получить нельзя, подчинение даёт в лучшем случае ноль. Это меньше 7, поэтому фирма платит штраф.

Остаётся разобраться со вторым случаем. Штраф выгоднее, когда
$$(10 - x)(x - 2) < 7 \iff x^2 - 12x + 27 > 0 \iff (x - 3)(x - 9) > 0,$$
то есть при $x < 3$ или $x > 9$. Вторая ветка лежит в области, где потолок вообще не связывает фирму, поэтому существенна только граница $x = 3$.

Итого: при $x < 3$ фирма платит штраф и держит цену 6; при $3 \leqslant x < 6$ подчиняется и ставит $P = x$; при $x \geqslant 6$ ставит свою обычную цену 6. В точке $x = 3$ прибыли совпадают и равны 7, а по условию при безразличии фирма выбирает меньшую цену, то есть 3.

$$P^{*}(x) = \begin{cases} 6, & x < 3; \\ x, & 3 \leqslant x < 6; \\ 6, & x \geqslant 6. \end{cases}$$

График: горизонтальный участок на уровне 6 при $x < 3$, затем скачок вниз в точку $(3;\, 3)$, дальше кусок биссектрисы от $(3;\, 3)$ до $(6;\, 6)$ и снова горизонтальный уровень 6 при $x \geqslant 6$. Ключевые точки — $(3;\, 3)$ и $(6;\, 6)$.

Ответ: $P^{*}(x) = 6$ при $x < 3$, $P^{*}(x) = x$ при $3 \leqslant x < 6$, $P^{*}(x) = 6$ при $x \geqslant 6$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/econ/sol-econ-10-reg-21-22.pdf