ВсОШ по экономике 2020/21, региональный этап, 10 класс, тур 1

Переверни дробь: если единица одного товара стоит половину другого, то обратный пересчёт идёт с коэффициентом два.

Ответ: 1

Альтернативная стоимость X, выраженная в игреках, и альтернативная стоимость Y, выраженная в иксах, — взаимно обратные числа.

По условию единица X стоит $0{,}5$ единицы Y. Переворачиваем дробь: единица Y стоит $1 / 0{,}5 = 2$ единицы X.

Стоимость постоянна, поэтому КПВ прямая и пересчёт линейный. Четыре дополнительные единицы Y обойдутся в $4 \cdot 2 = 8$ единиц X — ровно та цифра, что стоит в утверждении.

Осталось проверить выполнимость. Сейчас производится $10$ единиц X, отказаться нужно от $8$; запаса хватает, экономика остаётся на своей КПВ и не уходит в отрицательный выпуск.

Частая ошибка здесь — умножить $4$ на $0{,}5$ и получить $2$. Это ответ на другой вопрос: сколько игреков теряется ради четырёх дополнительных иксов.

Утверждение верно, правильный вариант — 1 «Да».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Вспомни, за какое направление экономики давали Нобелевские премии Канеману и Талеру.

Ответ: 2

Рациональность агентов — удобная рабочая предпосылка, но не обязательная.

Целый раздел науки, поведенческая экономика, построен на моделях, где люди систематически отклоняются от рационального выбора: переоценивают близкие во времени выгоды, по-разному воспринимают выигрыш и равный ему по величине проигрыш, меняют решение из-за одной только формулировки вопроса.

Это не маргинальное направление. Нобелевскую премию по экономике за работы такого рода получали Даниэль Канеман (2002) и Ричард Талер (2017).

Кроме того, огромный пласт эмпирических исследований вообще не опирается на предпосылки о том, как агенты принимают решения: там оценивают статистические связи в данных, а модель поведения остаётся за скобками.

Слово «все» в утверждении и делает его неверным: достаточно одного контрпримера, а их много.

Правильный вариант — 2 «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Построй пример, где страна производительнее соперника по обоим товарам, и сравни альтернативные стоимости, а не выработку.

Ответ: 2

Абсолютное преимущество говорит о производительности, а направление торговли задаётся сравнительным преимуществом — тем, у кого ниже альтернативная стоимость блага.

Разберём контрпример. Страна A за день производит либо 10 компьютеров, либо 100 тонн зерна. Страна B — либо 2 компьютера, либо 40 тонн зерна. Абсолютное преимущество у A по обоим товарам.

Считаем альтернативные стоимости. В A компьютер стоит $100/10 = 10$ тонн зерна, в B — $40/2 = 20$ тонн. Значит компьютеры дешевле делать в A.

Обратно: в A тонна зерна стоит $10/100 = 0{,}1$ компьютера, в B — $2/40 = 0{,}05$ компьютера. Зерно дешевле производить в B.

При свободной торговле A специализируется на компьютерах, B — на зерне, и экспортёром зерна оказывается B, хотя абсолютное преимущество по зерну у A.

Абсолютное преимущество по благу само по себе экспорт не гарантирует.

Правильный вариант — 2 «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Посчитай прямо: линейный спрос плюс постоянные предельные издержки — и посмотри, на какую долю налога сдвинется цена.

Ответ: 2

Монополист выбирает выпуск из условия $MR = MC$, и сдвиг предельных издержек вверх на $t$ вовсе не обязан сдвигать цену ровно на столько же.

Возьмём линейный спрос $p = a - bq$ и постоянные предельные издержки $c$. Тогда $MR = a - 2bq$, из $a - 2bq = c$ получаем $q^{*} = (a - c)/(2b)$, а цена равна $p^{*} = a - b q^{*} = (a + c)/2$.

Налог превращает предельные издержки в $c + t$, поэтому новая цена равна $(a + c + t)/2$. Цена выросла на $t/2$ — вдвое меньше налога. Уже этого контрпримера достаточно, чтобы отвергнуть утверждение.

Бывает и противоположный случай. При спросе с постоянной эластичностью монополист держит фиксированную наценку над предельными издержками, и цена растёт больше чем на $t$.

Итог: доля налога, переложенная на потребителя, зависит от формы спроса и издержек и может быть как меньше, так и больше единицы. Универсального «не менее $t$» нет.

Правильный вариант — 2 «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Спроси себя, кто решал, идти на программу, и чем эти люди отличались от остальных ещё до её начала.

Ответ: 2

Это классический случай, когда корреляцию принимают за причинную связь.

На программы повышения квалификации записываются добровольно. Обычно туда идут более мотивированные, организованные, лучше информированные о рынке труда люди — и ровно эти качества помогают им найти работу с высокой зарплатой независимо от программы.

Тогда разрыв в заработках объясняется не программой, а тем, чем участники отличались от неучастников ещё до её начала. В эконометрике это называется смещением отбора.

Возможна и обратная история. Если на программу идут те, кого без неё вообще не берут на работу, то настоящий эффект программы окажется недооценён: участники слабее неучастников по ненаблюдаемым признакам.

Чтобы измерить причинный эффект, нужен эксперимент со случайным распределением людей по группам либо квазиэкспериментальный метод, который сравнивает похожие группы.

Простое сравнение двух средних такого вывода не даёт.

Правильный вариант — 2 «Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Вспомни, как в США продают частоты для мобильной связи и кто придумал этот формат торгов.

Ответ: 4

Премия 2020 года досталась Милгрому и Уилсону с формулировкой «за улучшение теории аукционов и изобретение новых аукционных форматов».

Уилсон разбирал аукционы, где объект имеет общую для всех ценность, заранее никому точно не известную. Он объяснил «проклятие победителя»: торги выигрывает тот, кто оценил объект выше всех, а значит скорее всего переоценил, поэтому осторожные участники занижают ставки.

Милгром построил более общую теорию, охватывающую и общую, и частную ценность, и сравнил доходность разных форматов торгов при разной информированности участников.

Прикладной итог — одновременный многораундовый аукцион, по которому с 1994 года в США продают лицензии на радиочастоты. Формат позже переняли десятки стран, и он принёс бюджетам огромные суммы.

Почему не другие варианты. Дизайн выборов и голосований — соседняя, но другая область (теория общественного выбора), и премия за неё в 2020 году не давалась. Эффективность антикоррупционных мер — тема эмпирической политэкономии, к этим лауреатам отношения не имеющая. «Многомерная КПВ мира» — вообще не существующий научный результат, это вариант-пустышка.

Правильный вариант — 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Доход группы — это не значение кривой Лоренца, а её приращение на соответствующем отрезке; проверь, что три доли в сумме дают единицу.

Ответ: 1

Кривая Лоренца показывает накопленную долю дохода. Поэтому доход отдельной группы — это приращение кривой на её отрезке, а не само значение функции.

Примем совокупный доход страны за единицу и подставим $y = x^3$.

Беднейшая треть получает $y(1/3) = (1/3)^3 = 1/27$.

Средняя треть — это разность накопленных долей: $y(2/3) - y(1/3) = 8/27 - 1/27 = 7/27$.

Богатейшая треть — остаток: $1 - y(2/3) = 1 - 8/27 = 19/27$.

Соотношение равно $1 : 7 : 19$. Проверка сходится: $1/27 + 7/27 + 19/27 = 1$.

Вариант 2 (1:8:27) — результат типичной ошибки: там взяты сами значения $y(1/3)$, $y(2/3)$, $y(1)$, то есть накопленные доли вместо приращений. Такие три числа в сумме дают больше единицы, значит отвергнуть их можно без всяких вычислений.

Варианты 3 и 4 не проходят ту же проверку на сумму и вдобавок содержат число 100, которое из куба одной трети и двух третей получиться не может.

Правильный вариант — 1.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Выпиши точное определение знаменателя в формуле уровня безработицы и проверь, дано ли это число в условии.

Ответ: 4

Уровень безработицы считается как отношение числа безработных к численности рабочей силы, где рабочая сила — это занятые плюс безработные.

В условии дана численность трудоспособного населения, а это не рабочая сила. В трудоспособное население входят и те, кто работу не имеет и не ищет: студенты очных отделений, люди, ведущие домашнее хозяйство, те, кто отчаялся найти работу и перестал её искать.

Все они не относятся ни к занятым, ни к безработным, то есть в рабочую силу не попадают. Сколько таких людей среди 80 тыс. трудоспособных, из условия не узнать.

Значит знаменатель формулы неизвестен, и уровень безработицы посчитать нельзя.

Разберём ловушки. Вариант 1 (5 %) получается делением $5/100$, то есть на всё население страны, включая детей и пенсионеров, — база неверная. Вариант 2 (6,25 %) — это $5/80$, деление на трудоспособное население; так считают чаще всего, но и это не рабочая сила. Вариант 3 (20 %) вообще не отвечает ни одной осмысленной формуле.

Правильный вариант — 4: информации недостаточно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Посчитай уровень цен за первый и второй год руками: инфляция в двести процентов — это умножение на три, а не на два.

Ответ: 4

Инфляция 200 % за год означает, что к прежнему уровню цен прибавляется двести процентов от него же. То есть цены умножаются на $1 + 2 = 3$, а не на 2.

Каждый следующий год рост идёт от уже выросшего уровня, поэтому процесс геометрический.

Считаем по шагам при $p(0) = 1$: $p(1) = 3$, $p(2) = 3 \cdot 3 = 9$, $p(3) = 27$. Общая формула — $p(t) = 3^t$.

Отдельно про варианты. $2^t$ — самая частая ошибка: 200 % путают с удвоением, но удвоение цен это инфляция 100 %. Линейная функция $3t$ не подходит, потому что при ней темп прироста цен падает год от года: с 1 до 2 цены выросли бы вдвое, со 2 до 3 — уже в полтора раза, а по условию темп постоянен. Степенная $t^3$ не работает по той же причине и вдобавок даёт $p(0) = 0$, что бессмысленно для уровня цен в базовом году.

Правильный вариант — 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

При целом выпуске переменные издержки складываются из предельных по единицам; воспользуйся суммой арифметической прогрессии.

Ответ: 3

При дискретном выпуске предельные издержки — это прирост переменных издержек от очередной единицы. Значит переменные издержки получаются суммированием, а не интегрированием:
$$VC(q) = MC(1) + MC(2) + \dots + MC(q) = 2(1 + 2 + \dots + q).$$

В скобках сумма арифметической прогрессии, равная $q(q+1)/2$, поэтому
$$VC(q) = 2 \cdot \frac{q(q+1)}{2} = q(q+1).$$

Отсюда средние переменные издержки равны
$$AVC(q) = \frac{VC(q)}{q} = q + 1.$$

Подставляем $q = 2020$ и получаем $AVC(2020) = 2021$.

Вариант 2 (2020) — результат непрерывного подхода: если бы выпуск был делимым, то $VC(q) = \int_0^q 2x\,dx = q^2$ и $AVC = q$. Оговорка про целый выпуск в условии как раз и отделяет один случай от другого; разница между ними ровно одна единица.

Вариант 4 (4040) — это $MC(2020) = 2 \cdot 2020$, то есть издержки последней произведённой единицы, а не средние.

Правильный вариант — 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Три инструмента из четырёх пересчитывают выплату от цены какого-то другого актива, а один просто оформляет заём.

Ответ: 4

Отделяем контракты, привязанные к базовому активу, от бумаг, которые сами по себе оформляют долг или долю.

Опцион даёт покупателю право (но не обязанность) купить или продать базовый актив по заранее оговорённой цене. Сколько по нему заплатят, зависит от будущей цены этого актива, — дериватив.

Форвард — внебиржевой договор о поставке актива в будущем по цене, зафиксированной сегодня. Выигрыш сторон определяется разницей между будущей рыночной ценой и ценой контракта, — дериватив.

Фьючерс устроен так же, но торгуется на бирже, стандартизован по объёму и срокам и ежедневно перерассчитывается через вариационную маржу. Тоже дериватив.

Государственная облигация — долговая бумага. Государство занимает деньги и обязуется вернуть номинал, попутно выплачивая купоны. Размер выплат задан условиями самого выпуска, никакого базового актива под ней нет. Рыночная цена облигации меняется вместе со ставками, но это не превращает её в производный инструмент: меняется цена самого долга, а не выплата, рассчитанная от чужой цены.

Верный набор состоит из одного пункта — 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Выведи равновесный выпуск как функцию ставки налога, а расходы потребителей проверь через эластичность спроса в исходной точке.

Ответ: 1, 2, 3

Сначала найдём равновесие с налогом. Пусть $p$ — цена, которую платит потребитель; производителю после уплаты налога достаётся $p - t$.

Равновесие: $90 - p = (p - t)/2$, то есть $180 - 2p = p - t$, откуда $p(t) = 60 + t/3$ и $q(t) = 90 - p(t) = 30 - t/3 = (90 - t)/3$.

Без налога $p_0 = 60$, $q_0 = 30$.

Утверждение 1. Функция $q(t)$ убывает по $t$, значит при любой положительной ставке выпуск меньше 30. Верно.

Утверждение 2. При $t > 45$ получаем $q(t) < (90 - 45)/3 = 15$, то есть меньше половины от исходных 30. Верно.

Утверждение 3. Бремя потребителя на единицу — насколько выросла его цена: $p(t) - 60 = t/3$. Бремя производителя — насколько упала его чистая цена: $60 - (p(t) - t) = 2t/3$. Сумма равна $t$, и на потребителя приходится вдвое меньше. Причина видна через эластичности: в исходной точке эластичность спроса равна $-60/30 = -2$, а эластичность предложения $0{,}5 \cdot 60/30 = 1$. Более эластичная сторона легче уходит с рынка и несёт меньшую часть налога. Верно.

Утверждение 4. Расходы потребителей равны $p(t) \cdot q(t) = (60 + t/3)(30 - t/3)$. Обозначим $u = t/3$, тогда это $1800 - 30u - u^2$ — функция, убывающая при всех $u > 0$. Значит расходы всегда падают и увеличиться не могут. Неверно.

Верный набор — 1, 2 и 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

КТВ должна лежать не ниже КПВ и обязана касаться её хотя бы в одной точке — это точка производства до обмена.

Ответ: 2, 3

Разберёмся, как строится КТВ. Страна производит в какой-то точке своей КПВ, а затем обменивает товары по мировым ценам. Поэтому КТВ — прямая с наклоном мировых цен, проходящая через точку производства.

Отсюда два условия сразу. Во-первых, КТВ не может лежать ниже КПВ: возможность торговать не отнимает возможность просто произвести и потребить. Во-вторых, у КТВ и КПВ обязана быть хотя бы одна общая точка — та самая точка производства, в которой обмена нет.

Теперь проверим варианты при КТВ $y = 40 - 2x$.

Вариант 1, $y = 48 - 4x$. При $x = 0$ КПВ даёт 48, а КТВ только 40. КПВ оказалась выше КТВ, чего быть не может. Не подходит.

Вариант 2, $y = 40 - 4x$. При $x = 0$ обе прямые дают 40 — общая точка есть. При $x > 0$ выполняется $40 - 4x < 40 - 2x$, то есть КПВ всюду ниже. Подходит: страна полностью специализируется на товаре $Y$ и производит в точке $(0; 40)$.

Вариант 3, $y = 20 - x$. Обе прямые пересекают горизонтальную ось в точке $x = 20$ — общая точка есть. На отрезке от 0 до 20 верно $40 - 2x \geqslant 20 - x$, значит КТВ не ниже. Подходит: страна специализируется на товаре $X$ и производит в точке $(20; 0)$.

Вариант 4, $y = 16 - x$. Эта КПВ упирается в ось при $x = 16$, а КТВ в той же точке даёт $40 - 32 = 8$. КТВ строго выше КПВ во всех точках, общей точки нет — такая пара несовместима. Не подходит.

Верный набор — 2 и 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Найди точную ставку, на которой цены сравниваются, и сравни её с числом 0,2 — утверждения 3 и 4 различаются только направлением импликации.

Ответ: 2, 4

Цена облигации равна дисконтированному потоку платежей по ней. Обозначим номинал за $N$:
$$P_A = \frac{N}{1+r}, \qquad P_B = \frac{0{,}1N}{1+r} + \frac{0{,}1N + N}{(1+r)^2}.$$

Утверждение 1 неверно уже по логике: большая сумма номинальных выплат ничего не доказывает, потому что поздние платежи дисконтируются сильнее. Облигация B платит купоны, но возвращает номинал на год позже — какая бумага дороже, зависит от $r$.

Сравним цены. Умножим обе на $(1+r)$: получаем $(1+r)P_A = N$ и $(1+r)P_B = 0{,}1N + \dfrac{1{,}1N}{1+r}$. При росте $r$ второе слагаемое стремится к нулю, и правая часть приближается к $0{,}1N$, что заметно меньше $N$. Значит при достаточно больших ставках $P_A > P_B$ — утверждение 2 верно.

Найдём точную границу. Неравенство $P_A > P_B$ равносильно $N > 0{,}1N + 1{,}1N/(1+r)$, то есть $0{,}9(1+r) > 1{,}1$, откуда $1 + r > 11/9$ и $r > 2/9 \approx 0{,}222$.

Утверждение 3 неверно: на промежутке ставок от $0{,}2$ до $2/9$ условие $r > 0{,}2$ выполнено, а цена облигации A всё ещё ниже цены B.

Утверждение 4 верно: если $P_A > P_B$, то $r > 2/9$, а $2/9$ больше, чем $0{,}2$, значит и $r > 0{,}2$. Обрати внимание, что 3 и 4 отличаются только направлением импликации, и это направление здесь решает всё.

Верный набор — 2 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Составь функцию издержек объединённой фирмы как минимум из двух веток и найди выпуск, на котором второй завод становится выгодным.

Ответ: 1, 3, 4

Значение $TC(Q)$ — это минимальные издержки выпуска $Q$ при свободном распределении между заводами. Вариантов ровно два: второй завод не запускать или запустить.

Если второй завод стоит, весь выпуск идёт на первый и издержки равны $Q^2$. Минимум не может быть больше любого доступного варианта, поэтому $TC(Q) \leqslant Q^2$ при всех $Q$ — утверждение 1 верно.

Отсюда же сразу следует $TC(5) \leqslant 25$, так что утверждение 2 ($TC(5) = 70$) неверно. Здесь запускать второй завод бессмысленно: одна только плата за запуск, 49, больше, чем 25.

Если второй завод запущен, минимизируем $(Q - q_2)^2 + 6q_2 + 49$. Производная по $q_2$ равна $-2(Q - q_2) + 6$, приравниваем к нулю и получаем $q_2^{*} = Q - 3$: на первом заводе всегда остаётся ровно 3 единицы. Издержки при этом равны $3^2 + 6(Q - 3) + 49 = 6Q + 40$.

Второй завод выгоден, когда $6Q + 40 \leqslant Q^2$. Корни уравнения $Q^2 - 6Q - 40 = 0$ равны 10 и $-4$, поэтому условие выполняется при $Q \geqslant 10$. Итоговая функция: $TC(Q) = Q^2$ при $Q < 10$ и $TC(Q) = 6Q + 40$ при $Q \geqslant 10$.

Проверяем утверждение 3: $TC(20) = 6 \cdot 20 + 40 = 160$. Верно.

Утверждение 4. При $Q < 10$ имеем $Q^2 \leqslant 10Q$. При $Q \geqslant 10$ неравенство $6Q + 40 \leqslant 10Q$ равносильно $Q \geqslant 10$ и тоже выполнено. Значит $TC(Q) \leqslant 10Q$ всюду — верно. Геометрически прямая $10Q$ касается графика издержек в точке $Q = 10$, где обе ветви дают 100.

Верный набор — 1, 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Потолок цены здесь — это старая равновесная цена; подставь её в новый спрос и в старое предложение.

Ответ: 100 пачек

Сначала определим, где именно установлен потолок цены: это старая равновесная цена.

До пандемии равновесие находим из $100 - p = p$, откуда $p_0 = 50$ и $q_0 = 50$.

Теперь спрос стал $q_d = 200 - p$, а мэрия запретила цене подниматься выше 50. Свободное равновесие при новом спросе было бы $200 - p = p$, то есть $p = 100$ и $q = 100$, — но цена туда не пускается и остаётся на уровне 50.

Считаем обе стороны рынка при цене 50.

Величина спроса: $200 - 50 = 150$ пачек в день.

Величина предложения: $q_s = 50$ пачек в день. Предложение зависит только от цены, а цена не изменилась, поэтому производители выпускают столько же, сколько и раньше.

Дефицит — превышение спроса над предложением: $150 - 50 = 100$ пачек в день.

Содержательно это плата за потолок цены. Мэрия действительно не дала цене вырасти со 50 до 100, но лекарство вместо денег теперь распределяется очередями и связями: желающих 150, а пачек всего 50.

Ответ: 100.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

В каждом случае найди вершину параболы выручки и проверь, попадает ли она в разрешённый диапазон посадочных мест.

Ответ: 64 %

Обе ситуации решаются по одной схеме: максимум выручки на отрезке, ограниченном сверху вместимостью зала.

До пандемии выручка равна $TR_0 = (900 - q)q$. Это парабола ветвями вниз с вершиной при $q = 450$, но зал вмещает лишь 400 человек. На отрезке от 0 до 400 функция ещё возрастает, поэтому максимум достигается на правом конце: $q_0 = 400$, а цена $p_0 = 900 - 400 = 500$.

В пандемию допустимая заполняемость вдвое меньше, то есть $q \leqslant 200$, а спрос стал $q_d = 360 - p$. Выручка $TR_1 = (360 - q)q$ имеет вершину при $q = 180$, и это значение попадает внутрь отрезка от 0 до 200. Значит ограничение уже не связывающее: $q_1 = 180$ и $p_1 = 360 - 180 = 180$.

В этом и вся тонкость задачи: в первом случае театр упирается в вместимость и продаёт по цене выше «свободного» оптимума, во втором ограничение не мешает и театр выбирает вершину параболы.

Считаем снижение цены: $\dfrac{500 - 180}{500} = \dfrac{320}{500} = 0{,}64$.

Ответ: снизить цену нужно на 64 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Выпиши импорт как функцию одной переменной — ставки пошлины — и примени обычную формулу точечной эластичности.

Ответ: -0,25 без единиц

Экономика малая, поэтому на мировую цену она не влияет, а внутренняя цена складывается из мировой и пошлины: $p = 20 + t$.

Объём импорта — это разрыв между внутренним спросом и внутренним предложением при этой цене:
$$M(t) = q_d(20+t) - q_s(20+t) = \bigl(60 - (20+t)\bigr) - 0{,}5(20+t) = 40 - t - 10 - 0{,}5t = 30 - 1{,}5t.$$

Полезно проверить границы: при $t = 0$ импорт равен 30, а при $t = 20$ он обнуляется — цена внутри страны доходит до 40, где спрос 20 и предложение 20. Заданная пошлина 4 в этот диапазон попадает.

Точечная эластичность считается по формуле
$$E = \frac{dM}{dt} \cdot \frac{t}{M}.$$

Производная постоянна: $dM/dt = -1{,}5$. При $t = 4$ импорт равен $M = 30 - 1{,}5 \cdot 4 = 24$.

Подставляем: $E = -1{,}5 \cdot \dfrac{4}{24} = -\dfrac{6}{24} = -0{,}25$.

Знак отрицательный: пошлина растёт — импорт падает. По модулю эластичность меньше единицы, значит на этом участке импорт откликается на пошлину слабо, и повышение ставки увеличило бы сборы бюджета.

Ответ: $-0{,}25$ (то же самое, что $-1/4$).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Записывай прибыль как функцию самой зарплаты — получатся параболы, а вершина параболы лежит ровно посередине между корнями.

Ответ: 20 %

Производственная функция $Q = L$ и цена товара 20 означают, что каждый нанятый работник приносит фирме ровно 20 д.е. выручки.

Считать удобнее не по занятости, а прямо по зарплате: фирма-монопсонист назначает ставку, а количество работников подставляется из кривой предложения.

С дискриминацией прибыль равна
$$(20 - w_1)L_1 + (20 - w_2)L_2 = (20 - w_1)w_1 + (20 - w_2)(8 + w_2),$$
где $w_1$ и $w_2$ — зарплаты мужчин и женщин. Слагаемые независимы, поэтому каждое максимизируется отдельно.

Первое слагаемое — парабола ветвями вниз с корнями 0 и 20, вершина посередине: $w_1^{*} = 10$. Второе — парабола с корнями 20 и $-8$, вершина при $w_2^{*} = (20 - 8)/2 = 6$.

После запрета дискриминации зарплата одна на всех, и фирма максимизирует
$$(20 - w)w + (20 - w)(8 + w) = (20 - w)(8 + 2w).$$
Корни этой параболы — 20 и $-4$, вершина при $w^{*} = (20 - 4)/2 = 8$. Обе группы при такой ставке по-прежнему выходят на рынок: мужчин нанимается 8, женщин 16.

Зарплата мужчин падает с 10 до 8, то есть на $\dfrac{10 - 8}{10} = 0{,}2$.

Попутный вывод: разрыв в оплате возникал не из-за разной производительности — она у групп одинакова, — а из-за того, что предложение труда женщин менее эластично по зарплате, и монопсонист пользовался этим, платя им меньше.

Ответ: зарплата мужчин уменьшится на 20 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf

Пересеки луч жёсткой пропорции с суммарной ломаной: тот, на чей участок попало пересечение, занят обоими делами, значит Робинзон — другой.

Ответ: 20 шт.

Жёсткая пропорция «два кокоса на одного крокодила» означает, что потребление всегда лежит на луче $Y = X/2$: лишние кокосы или крокодилы бесполезны.

Разберём суммарную КПВ. Левый участок идёт от $(0; 120)$ до $(80; 80)$, его наклон равен $-40/80 = -1/2$, уравнение $Y = 120 - X/2$. Правый участок идёт от $(80; 80)$ до $(120; 0)$, наклон $-80/40 = -2$, уравнение $Y = 240 - 2X$.

Найдём совместный оптимум — пересечение луча с ломаной. На левом участке $X/2 = 120 - X/2$ даёт $X = 120$, что выходит за отрезок $[0; 80]$, значит не годится. На правом $X/2 = 240 - 2X$ даёт $2{,}5X = 240$, то есть $X = 96$ и $Y = 48$; это попадает в отрезок $[80; 120]$.

Оптимум лежит строго внутри правого участка. На этом участке один островитянин уже полностью специализирован, а второй — тот, чья индивидуальная КПВ и образует правый участок, — делит время между двумя занятиями. Тот, кто занят только одним видом деятельности, — автор левого участка, и по условию это Робинзон.

Восстановим его личную КПВ. Левый участок тянется от $X = 0$ до $X = 80$: это и есть максимум кокосов у Робинзона. В точке излома он собирает все 80 кокосов и ловит 0 крокодилов, а общие 80 крокодилов там ловит Пятница, у которого это максимум. Значит крокодилов Робинзон может поймать не более $120 - 80 = 40$, и его КПВ — это $Y = 40 - X/2$.

В одиночку он движется по своему лучу: $X/2 = 40 - X/2$, откуда $X = 40$ кокосов и $Y = 20$ крокодилов.

Из 40 кокосов и 20 крокодилов выходит 20 порций.

Ответ: 20.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/reg/econ/sol-econ-10-tur1-reg-20-21.pdf