ВсОШ по экономике 2023/24, региональный этап, 10 класс

Голдин — экономист труда и историк, а три оставшихся варианта — это формулировки премий других лет.

Ответ: 4

Клаудия Голдин — экономист труда и экономический историк. Формулировка Нобелевского комитета звучит так: премия присуждена за углубление нашего понимания положения женщин на рынке труда.

Её главные результаты как раз про динамику. Голдин собрала данные за два столетия и показала, что участие женщин в рабочей силе менялось не монотонно: доля падала при переходе от аграрной экономики к индустриальной и снова росла по мере развития сектора услуг — получилась U-образная кривая. Она же разобрала, откуда берётся разрыв в оплате труда мужчин и женщин и как на него влияют образование, доступность противозачаточных таблеток и рождение первого ребёнка.

Это ровно то, что описано в варианте 4.

Три остальных варианта — формулировки премий соседних лет, они стоят здесь приманкой. Предотвращение финансовых кризисов и роль банков — Бернанке, Даймонд и Дибвиг, 2022 год. Методы анализа естественных экспериментов — Кард, Ангрист и Имбенс, 2021 год. Теория аукционов и изобретение новых аукционных форматов — Милгром и Уилсон, 2020 год.

Ответ: вариант 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

У степенного спроса эластичность постоянна, а предельные издержки здесь равны единице — дальше поможет формула наценки монополиста.

Ответ: 3

Спрос здесь степенной, $Q = 100 P^{-2}$, а у степенного спроса эластичность постоянна и равна показателю степени: $E_d = -2$ при любой цене.

Из $TC = Q$ сразу следует $MC = 1$.

Дальше работает формула наценки монополиста (правило Лернера): в оптимуме
$$\frac{P - MC}{P} = \frac{1}{|E_d|} = \frac{1}{2}.$$

Заметим, что левая часть — это и есть доля прибыли в выручке. Действительно, при $TC = Q$ прибыль равна $PQ - Q = (P-1)Q$, а выручка равна $PQ$, поэтому их отношение равно $\dfrac{P-1}{P} = \dfrac{P - MC}{P}$.

Значит маржинальность равна $50\,\%$ — вариант 3.

Проверим счётом, не опираясь на формулу Лернера. Обратный спрос: $P = 10/\sqrt{Q}$, выручка $TR = 10\sqrt{Q}$, прибыль $\pi = 10\sqrt{Q} - Q$. Заменой $u = \sqrt{Q}$ получаем параболу $\pi = 10u - u^{2}$ с максимумом при $u = 5$, то есть $Q = 25$ и $P = 2$. Тогда выручка равна $50$, издержки равны $25$, прибыль равна $25$, и доля прибыли в выручке составляет $25/50 = 50\,\%$.

Ответ: вариант 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Отсортируй инструменты по очереди выплат при банкротстве эмитента.

Ответ: 4

Расставим три инструмента по тому, насколько гарантированы выплаты по ним.

Рублёвый вклад в пределах 1,4 млн руб. — наименьший риск. Доходность известна заранее и записана в договоре, а сама сумма застрахована государственной системой страхования вкладов, так что даже банкротство банка вкладчику почти ничем не грозит.

Корпоративная облигация рискованнее. Купоны и срок погашения известны заранее, но гарантирует их только эмитент, а не государство: компания может не расплатиться. Зато держатель облигации — кредитор компании, и при банкротстве его требования удовлетворяют в одной из первых очередей.

Акция рискованнее всех. Дивиденды никто не обещал, их размер решает собрание акционеров, курс колеблется, а при банкротстве акционер стоит в очереди последним — после всех кредиторов — и обычно не получает ничего.

Итого порядок по возрастанию риска: вклад, корпоративные облигации, акции. Это вариант 4.

Остальные варианты ломают либо первое место (вариант 3 ставит вперёд акции), либо порядок облигаций и акций (варианты 1 и 2).

Ответ: вариант 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Умножение всех доходов на одно число Джини не трогает, а прибавление одной и той же суммы — трогает.

Ответ: 3

Главное свойство коэффициента Джини: он измеряет относительное неравенство, поэтому не меняется, если все доходы умножить на одно и то же положительное число. Кривая Лоренца строится в долях от суммарного дохода, а общий множитель из долей сокращается.

Шаг 1 — пропорциональный налог по ставке $t$. У каждого остаётся доля $(1-t)$ прежнего дохода, то есть все доходы умножены на общий множитель $(1-t)$. Доли групп в суммарном доходе не изменились, кривая Лоренца осталась той же, значит $G_1 = G_0$.

Шаг 2 — раздача поровну. Теперь каждому добавили одинаковую сумму $s$. В относительных величинах это подарок бедным: для низкого дохода прибавка $s$ составляет большую долю, чем для высокого. Доля бедной группы в суммарном доходе выросла, кривая Лоренца подтянулась к диагонали, значит $G_2 < G_1$.

Числовая иллюстрация. Пусть доходы равны $20$ и $80$. Для двух равных групп Джини равен половине разности долей: $G_0 = 0{,}8 - 0{,}5 = 0{,}3$. Налог по ставке $50\,\%$ превращает доходы в $10$ и $40$, доли те же, $G_1 = 0{,}3$. Собрано $50$, каждой группе достаётся $25$, доходы становятся $35$ и $65$, откуда $G_2 = 0{,}65 - 0{,}5 = 0{,}15$.

Итого $G_0 = G_1 > G_2$ — вариант 3.

Ответ: вариант 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Вспомни, что в эти годы про российский рынок труда говорили «исторический минимум безработицы».

Ответ: 1

Это вопрос на знание порядка величины, а не на вычисление.

В 2023 году безработица в России была близка к историческому минимуму. По данным Росстата помесячно с января по июнь уровень безработицы шёл вниз и составлял примерно $3{,}6\,\%$, $3{,}5\,\%$, $3{,}5\,\%$, $3{,}3\,\%$, $3{,}2\,\%$, $3{,}1\,\%$.

Все шесть значений лежат ниже $5\,\%$, то есть попадают в первый промежуток — вариант 1.

Почему остальные варианты отпадают. Уровень безработицы считается по методологии МОТ как доля безработных в рабочей силе, и даже в кризисные годы в России он держался примерно в коридоре от $3\,\%$ до $9\,\%$: пик после 1998 года — около $13\,\%$, в 2009 году — около $8\,\%$, в 2020 году — чуть больше $6\,\%$. Поэтому промежутки от $10\,\%$ и выше в подобных вопросах про последние годы почти всегда лишние, а промежуток от $5\,\%$ отстал от реальности как раз в начале 2020-х.

Ответ: вариант 1.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

При двух видах работы сравнительное преимущество не может достаться одному человеку сразу в обоих.

Ответ: 2, 4

Разведём два понятия. Абсолютное преимущество — это прямое сравнение производительностей. Сравнительное преимущество — это сравнение альтернативных стоимостей, то есть того, чем приходится жертвовать.

Вариант 2 верен: по условию производительность Якова выше в обоих делах, а это и есть определение абсолютного преимущества в обоих видах деятельности.

Вариант 1 неверен. Пусть производительности Якова равны $a_1$ (расчёты) и $a_2$ (слайды), Ивана — $b_1$ и $b_2$. Альтернативная стоимость одного расчёта в слайдах равна $a_2/a_1$ у Якова и $b_2/b_1$ у Ивана. Если у Якова она ниже, то обратная величина у него выше, и значит сравнительное преимущество в слайдах достаётся Ивану. При двух видах деятельности сравнительные преимущества всегда расходятся по одному на каждого; совпасть они могут только при равенстве отношений, и тогда сравнительного преимущества нет ни у кого.

Вариант 3 неверен: оптимальное разделение труда идёт по сравнительным преимуществам, и вполне возможна ситуация, где Яков целиком уходит в одно дело, а второе полностью закрывает Иван. Например, если слайдов нужно совсем немного, Яков может заниматься только расчётами.

Вариант 4 верен. Если сравнительное преимущество Якова в расчётах, то у Ивана оно в слайдах. Предположим, Иван не делает слайдов вообще — тогда все слайды делает Яков. Переложив небольшую часть слайдов на Ивана и передав Якову соответствующую часть расчётов, мы сократим общее время: именно это и означает сравнительное преимущество Ивана в слайдах. Значит исходное распределение не было оптимальным.

Ответ: варианты 2 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Нарисуй три U-образные кривые и отметь порядок их минимумов слева направо.

Ответ: 1, 3

Опорные факты стандартной картинки. Кривая $MC$ пересекает $AVC$ и $AC$ ровно в их минимумах. Минимум $MC$ лежит левее минимума $AVC$, а минимум $AVC$ — левее минимума $AC$. Последнее следует из $AC = AVC + AFC$: средние постоянные издержки $AFC$ всё время падают, поэтому в точке минимума $AVC$ сумма ещё продолжает снижаться, и минимум $AC$ сдвинут правее.

Обозначим три точки минимума слева направо: $q_{MC} < q_{AVC} < q_{AC}$.

Вариант 1 верен. Если $MC$ убывает на интервале, весь этот интервал лежит левее $q_{MC}$, а значит и левее $q_{AVC}$, где $AVC$ ещё убывает.

Вариант 3 верен. Если $AC$ возрастает на интервале, весь интервал правее $q_{AC}$, а он правее $q_{AVC}$, так что $AVC$ там тоже возрастает.

Вариант 2 неверен. Это то же утверждение, развёрнутое в обратную сторону, и оно ломается на участке между $q_{AVC}$ и $q_{AC}$: там средние общие издержки ещё падают за счёт расползающихся постоянных издержек, а средние переменные уже растут.

Вариант 4 неверен по симметричной причине: на участке между $q_{MC}$ и $q_{AVC}$ предельные издержки уже растут, но остаются ниже средних переменных, поэтому $AVC$ продолжает падать.

Ответ: варианты 1 и 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Раздели акциз в отношении эластичностей, а про расходы вспомни, где на линейном спросе выручка максимальна.

Ответ: 3, 4

Налоговое бремя делится обратно пропорционально эластичностям: чья сторона эластичнее, та уступает меньше. Для линейных функций это правило выполняется точно.

Здесь $|E_d| = 1$ и $E_s = 6$, поэтому рост цены потребителя и падение цены производителя относятся как $6 : 1$. Из $7$ рублей акциза потребителю достаётся
$$7 \cdot \frac{6}{6+1} = 6$$
рублей, а производителю — оставшийся $1$ рубль.

Значит вариант 3 верен. Варианты 1 и 2 неверны: цена потребителя вырастает на $6$, а не на все $7$ рублей, цена производителя падает на $1$, а не на $6$ рублей.

Вариант 4 тоже верен, и это отдельный сюжет. Общие расходы потребителей — это $P \cdot Q$, то есть выручка продавцов до налога. На линейной кривой спроса выручка максимальна ровно в точке единичной эластичности, а исходное равновесие по условию именно такое. Значит любое смещение равновесия от этой точки, в любую сторону, уменьшает $P \cdot Q$. Акциз сдвигает объём вниз и цену вверх, мы уходим из максимума, и расходы потребителей падают.

Ответ: варианты 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

КПВ не может лежать выше КТВ — а если ещё и площади под ними равны, то деваться некуда.

Ответ: 1, 4

Ключевая мысль: КТВ показывает наборы, которые страна может потребить, произведя что-то и поторговав, а КПВ — только то, что она может произвести сама. Торговля возможности не сужает, поэтому КПВ нигде не лежит выше КТВ.

КТВ здесь: $Y + 2X = 100$, то есть $Y = 100 - 2X$.

Вариант 1 верен: для точки $X = 30$, $Y = 50$ получаем $50 + 2 \cdot 30 = 110 > 100$, то есть точка лежит выше КТВ. На КПВ её быть не может.

Вариант 2 неверен: для точки $X = 30$, $Y = 30$ получаем $30 + 60 = 90 < 100$, точка лежит ниже КТВ, а ниже — можно. Ничто не мешает стране производить мало и выигрывать от торговли.

Вариант 3 неверен из-за перепутанного направления обмена. Наклон КТВ говорит, что за одну единицу $X$ на мировом рынке дают две единицы $Y$; в обратную сторону отказ от одной единицы $Y$ приносит лишь $0{,}5$ единицы $X$, а не $2$.

Вариант 4 верен. Площадь под КТВ — это прямоугольный треугольник с катетами $50$ (по оси $X$) и $100$ (по оси $Y$), то есть $\dfrac{50 \cdot 100}{2} = 2500$. Если площадь под КПВ тоже равна $2500$, а КПВ нигде не выше КТВ, то они обязаны совпасть: непрерывная кривая, лежащая не выше другой и ограничивающая ту же площадь, отличаться не может. Значит КПВ линейна, а у линейной КПВ альтернативные издержки постоянны.

Ответ: варианты 1 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Сложи показатели степеней у всех ресурсов: сумма меньше единицы — отдача убывающая, ровно единица — постоянная.

Ответ: 1, 3, 4

Приём один на все четыре пункта: умножаем все ресурсы на $t > 1$ и смотрим, какой множитель вылезает наружу. Пригодится неравенство $\sqrt[4]{t} < \sqrt{t} < t$ при $t > 1$.

Функция 1, $Q = \sqrt{L}$. Единственный фактор — труд, и $\sqrt{tL} = \sqrt{t} \cdot \sqrt{L} < t\sqrt{L}$. Выпуск вырос меньше чем в $t$ раз, отдача убывающая.

Функция 2, $Q = \sqrt{KL}$. Получаем $\sqrt{tK \cdot tL} = \sqrt{t^{2}KL} = t\sqrt{KL}$, то есть ровно множитель $t$. Это постоянная отдача от масштаба, а не убывающая, поэтому в ответ вариант 2 не входит. Формально: сумма показателей степеней равна $\tfrac12 + \tfrac12 = 1$.

Функция 3, $Q = \sqrt[4]{KL}$. Получаем $\sqrt[4]{t^{2}KL} = \sqrt{t} \cdot \sqrt[4]{KL} < t \cdot \sqrt[4]{KL}$. Сумма показателей равна $\tfrac14 + \tfrac14 = \tfrac12 < 1$, отдача убывающая.

Функция 4, $Q = \sqrt{KL} + \sqrt[4]{KL}$. Первое слагаемое умножается на $t$, второе — на $\sqrt{t}$, и $\sqrt{t} < t$. Поэтому новый выпуск равен $t\sqrt{KL} + \sqrt{t}\,\sqrt[4]{KL} < t\left(\sqrt{KL} + \sqrt[4]{KL}\right)$. Отдача убывающая, хотя сумма показателей степеней тут напрямую не считается — функция не степенная.

Ответ: варианты 1, 3 и 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Посчитай, сколько рублей один клиент оставляет фирме сверх переменных издержек, и подели на них постоянные издержки.

Ответ: 5000 клиентов

Средние переменные издержки не зависят от объёма, значит каждый клиент приносит одинаковый вклад в покрытие постоянных издержек.

Этот вклад равен разнице между выручкой с клиента и переменными издержками на него: $1000 - 700 = 300$ рублей.

Запишем прибыль при $Q$ клиентах. Выручка равна $1000Q$, переменные издержки равны $700Q$, постоянные издержки равны $1\,500\,000$ рублей:
$$\pi(Q) = 1000Q - 700Q - 1\,500\,000 = 300Q - 1\,500\,000.$$

Безубыточность означает $\pi(Q) \geqslant 0$, то есть $300Q \geqslant 1\,500\,000$ и $Q \geqslant 5000$.

Минимальное подходящее число клиентов равно $5000$.

Проверка. При $5000$ клиентах выручка составляет $5\,000\,000$ рублей, переменные издержки — $3\,500\,000$ рублей, постоянные — $1\,500\,000$ рублей, прибыль ровно нулевая. При $4999$ клиентах фирма уже в минусе на $300$ рублей.

Ответ: $5000$ клиентов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Продажа бизнеса — это тоже денежный поток третьего года, дисконтируй её вместе с прибылью.

Ответ: 91 млн руб.

Чистая приведённая стоимость считается по стандартной формуле: инвестиции вычитаем как есть, а все будущие потоки приводим к сегодняшнему дню делением на $(1+r)^{t}$, где $r = 0{,}1$, а $t$ — номер года.

Денежных потоков здесь четыре, и все они, кроме инвестиций, лежат в будущем. Цифры подобраны под степени $1{,}1$, так что деление выходит нацело.

Первый год: $\dfrac{-5{,}5}{1{,}1} = -5$.

Второй год: $\dfrac{2{,}42}{1{,}21} = 2$.

Третий год, прибыль: $\dfrac{5{,}324}{1{,}331} = 4$.

Третий год, продажа бизнеса: $\dfrac{133{,}1}{1{,}331} = 100$.

Складываем всё вместе с первоначальными инвестициями:
$$NPV = -10 - 5 + 2 + 4 + 100 = 91.$$

Ответ: $91$ млн руб.

Здесь есть ловушка, на которой теряют баллы: цену продажи бизнеса легко не заметить или забыть продисконтировать, а она даёт почти весь итог. Без неё проект был бы убыточным: $-10 - 5 + 2 + 4 = -9$ млн руб.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Запрет оптимален, когда даже самая первая поездка приносит обществу больше вреда, чем пользы.

Ответ: 80 руб. за самокат

Общественный оптимум — это объём, при котором максимальна сумма выигрышей всех участников за вычетом внешнего вреда. Полный запрет оптимален ровно тогда, когда оптимальный объём равен нулю, а он равен нулю, если предельные общественные издержки не ниже предельной общественной выгоды уже на самой первой единице.

Предельная общественная выгода — это обратная функция спроса: $MSB(Q) = 100 - Q$.

Предельные общественные издержки складываются из издержек производства и внешнего эффекта. Предложение горизонтально на уровне $20$, значит предельные издержки производства постоянны и равны $20$. Внешний вред равен $cQ$, то есть $c$ на каждую дополнительную поездку. Итого $MSC = 20 + c$ — тоже постоянная величина.

Требование «не производить вообще» означает $MSB(Q) \leqslant MSC$ при всех $Q \geqslant 0$. Функция $MSB$ убывает, поэтому самое жёсткое требование — в точке $Q = 0$:
$$100 - 0 \leqslant 20 + c.$$

Отсюда $c \geqslant 80$, минимальное значение равно $c = 80$.

Ответ: $80$ руб. за самокат.

Смысл результата. При $c < 80$ первые поездки всё равно приносят обществу больше пользы, чем вреда, и правильная политика — не запрет, а налог по ставке $c$: он сдвигает частные издержки к общественным и даёт объём $Q = 80 - c > 0$. Запрет становится не хуже налога только в тот момент, когда этот оптимальный объём обнуляется, то есть при $c = 80$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Данная функция предложения уже включает старый налог — сначала выдели из неё чистое предложение продавца.

Ответ: 9 %

Сначала найдём исходное равновесие. Приравниваем спрос и предложение (обе функции записаны через цену покупателя):
$$280 - 9P = 12P - 140 \Rightarrow 21P = 420 \Rightarrow P = 20,$$
откуда $Q = 280 - 180 = 100$.

Теперь очистим предложение от старого налога. НДС — налог адвалорный: при ставке $10\,\%$ цена покупателя и цена продавца связаны как $P_d = 1{,}1 P_s$. Данная в условии функция записана через $P_d$, поэтому настоящее предложение продавца получается подстановкой $P_d = 1{,}1P_s$:
$$Q_s = 12 \cdot 1{,}1 P_s - 140 = 13{,}2 P_s - 140.$$

При новой ставке $20\,\%$ продавцу остаётся $P_s = P_d / 1{,}2$, поэтому кривая предложения в координатах цены покупателя становится
$$Q_s = 13{,}2 \cdot \frac{P_d}{1{,}2} - 140 = 11 P_d - 140.$$

Новое равновесие: $11P - 140 = 280 - 9P$, то есть $20P = 420$ и $P = 21$. Тогда $Q = 280 - 9 \cdot 21 = 91$.

Цена покупателя выросла на $1$, наклон спроса равен $9$, поэтому объём упал ровно на $9$ единиц: со $100$ до $91$.

Сокращение в процентах: $\dfrac{100 - 91}{100} = 0{,}09$, то есть $9\,\%$.

Ответ: потребление сократилось на $9\,\%$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Женщинам достаётся разница между общим спросом на труд и предложением мужчин.

Ответ: 32 д.е.

Раз безработица среди женщин ненулевая, минимальная зарплата действительно связывает рынок: она выше равновесной, и фактическая ставка равна ей. Дальше пишем $w$, подразумевая $w_{\min}$.

Общий спрос фирм на труд при этой ставке равен $96 - w$.

Мужчин нанимают в первую очередь и берут всех, кто вышел на рынок, поэтому занятость мужчин равна их предложению: $L_m = 1{,}2w$. (Проверим потом, что вакансий на всех мужчин хватило.)

Женщинам достаются оставшиеся места:
$$L_f = (96 - w) - 1{,}2w = 96 - 2{,}2w.$$

Предложение труда женщин при этой ставке равно $w$, поэтому число безработных женщин равно
$$w - (96 - 2{,}2w) = 3{,}2w - 96.$$

Уровень безработицы среди женщин — это отношение числа безработных женщин к их предложению труда:
$$\frac{3{,}2w - 96}{w} = 0{,}2.$$

Отсюда $3{,}2w - 96 = 0{,}2w$, то есть $3w = 96$ и $w = 32$.

Ответ: $w_{\min} = 32$ д.е.

Проверка. Спрос равен $96 - 32 = 64$, мужчин вышло $1{,}2 \cdot 32 = 38{,}4$ — меньше $64$, так что их действительно берут всех. Женщинам остаётся $64 - 38{,}4 = 25{,}6$ мест при предложении $32$, безработных женщин $6{,}4$, а $6{,}4 / 32 = 0{,}2$, то есть ровно $20\,\%$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Переберите замкнутые цепочки обменов, начинающиеся и кончающиеся рублём, и потребуйте, чтобы рубль не превращался больше чем в рубль.

Сначала разберёмся, как читать таблицу. Курс «1,1 руб/сом» означает, что за один сом банк берёт $1{,}1$ рубля, то есть на рубль вы получаете $1/1{,}1$ сома. Курс «$a$ сом/руб» означает, что за рубль банк требует $a$ сомов, то есть один сом превращается в $1/a$ рубля. Остальные курсы читаются так же.

Прибыльной может быть только замкнутая цепочка, начинающаяся и заканчивающаяся рублём. Коротких таких цепочек ровно четыре: Р-С-Р, Р-Т-Р, Р-С-Т-Р и Р-Т-С-Р. Любая длинная цепочка раскладывается на эти четыре плюс петли вида Т-С-Т и С-Т-С, которые заведомо убыточны ($5 \cdot 0{,}25 = 1{,}25 > 1$ тенге за тенге отдать приходится), поэтому проверить достаточно четыре.

Пункт а). Возьмём цепочку Р-Т-С-Р при $a = 0{,}95$. Тысяча рублей даёт $1000 / 0{,}2 = 5000$ тенге; $5000$ тенге дают $5000 / 5 = 1000$ сомов; $1000$ сомов дают $1000 / 0{,}95 \approx 1052{,}63$ рубля. Это больше исходной тысячи, прибыль около $52{,}63$ рубля. Заметим, что параметр $b$ здесь вообще не участвует.

Пункт б). Посчитаем, во что превращается один рубль в каждой из четырёх цепочек, и потребуем, чтобы получалось не больше рубля.

Р-С-Р: рубль даёт $\dfrac{1}{1{,}1}$ сома, сом даёт $\dfrac{1}{a}$ рубля, итого $\dfrac{1}{1{,}1a} \leqslant 1$, то есть $a \geqslant \dfrac{10}{11}$.

Р-Т-Р: рубль даёт $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$ тенге, итого $\dfrac{5}{b} \leqslant 1$, то есть $b \geqslant 5$.

Р-С-Т-Р: $\dfrac{1}{1{,}1}$ сома превращаются в $\dfrac{1}{1{,}1 \cdot 0{,}25}$ тенге, итого $\dfrac{1}{0{,}275 b} \leqslant 1$, то есть $b \geqslant \dfrac{40}{11}$.

Р-Т-С-Р: $5$ тенге дают $1$ сом, сом даёт $\dfrac{1}{a}$ рубля, итого $\dfrac{1}{a} \leqslant 1$, то есть $a \geqslant 1$.

Собираем систему: по параметру $a$ сильнее условие $a \geqslant 1$, по параметру $b$ сильнее условие $b \geqslant 5$. Неравенства нестрогие: при равенстве рубль превращается ровно в рубль, а прибыль требуется положительная.

Ответ: Вася не сможет получить положительную прибыль тогда и только тогда, когда одновременно $a \geqslant 1$ сом/руб и $b \geqslant 5$ тен/руб. Условия такого вида называют условиями отсутствия арбитража.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

Суммарный спрос здесь ломаный, поэтому максимум прибыли ищи отдельно на каждом куске и сравни два значения.

Пункт а). Рыночный спрос — сумма двух спросов, но с изломом: при $P > 44$ пенсионеры уже ничего не покупают. Получается
$$Q(P) = 124 - 2P \quad (P \leqslant 44), \qquad Q(P) = 80 - P \quad (44 < P \leqslant 80).$$

Прибыль равна $\pi = (P - 20)Q(P) - 500$. На каждом куске это парабола ветвями вниз, поэтому ищем вершины по отдельности и сравниваем.

Нижний кусок: $\pi = (P-20)(124-2P) - 500 = -2P^{2} + 164P - 2980$, вершина при $P = 41$ — точка попадает в участок, $\pi(41) = 21 \cdot 42 - 500 = 382$.

Верхний кусок: $\pi = (P-20)(80-P) - 500 = -P^{2} + 100P - 2100$, вершина при $P = 50$ — тоже попадает, $\pi(50) = 30 \cdot 30 - 500 = 400$.

Сравниваем: $400 > 382$, значит единая цена равна $P^{*} = 50$. Любопытно, что монополисту выгоднее вовсе отказаться от пенсионеров, чем снижать цену ради них.

Пункт б). С офисом группы разделяются, и прибыль распадается на два независимых слагаемых, каждое из которых зависит только от своей цены:
$$\pi(P_1, P_2) = (P_1 - 20)(44 - P_1) + (P_2 - 20)(80 - P_2) - 500.$$
Вершина первой параболы при $P_1 = 32$, вершина второй — при $P_2 = 50$ (её мы уже нашли). Прибыль равна $12 \cdot 12 + 30 \cdot 30 - 500 = 144 + 900 - 500 = 544$, а без офиса было $400$. Значит $R_{\max} = 544 - 400 = 144$.

Короткий путь: цена для непенсионеров та же, что и в пункте а), поэтому арендная плата равна просто вновь появившейся прибыли от пенсионеров, то есть $12 \cdot 12 = 144$.

Пункт в). Для пенсионеров всё как в пункте б): $P_1 = 32$ и вклад $144$. Спрос непенсионеров вырос до $Q = 90 - P$, их вклад равен $(P_2 - 20)(90 - P_2)$ с вершиной при $P_2 = 55$, что даёт $35 \cdot 35 = 1225$. Общая прибыль с офисом равна $144 + 1225 - 500 = 869$. Без офиса прибыль по-прежнему $400$, поэтому $R_{\max} = 869 - 400 = 469$.

Ответ: единая цена в пункте а) равна $50$ д.е.; $R_{\max} = 144$ в пункте б) и $R_{\max} = 469$ в пункте в).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf

При сотрудничестве пропорция комплекта должна выполняться только для суммарного выпуска двух стран, а не в каждой стране отдельно.

Комплект — это одна единица $X$ и пять единиц $Y$, поэтому число комплектов всегда равно выпуску $X$, а выпуск $Y$ обязан быть ровно в пять раз больше.

Пункт а), страны порознь. В каждой стране должно выполняться $y = 5x$ и одновременно точка должна лежать на КПВ.

Линея: $5x_1 = 280 - 2x_1$, откуда $7x_1 = 280$ и $x_1 = 40$.

Квадратия: $5x_2 = 252 - \dfrac{x_2^{2}}{7}$, то есть $x_2^{2} + 35x_2 - 1764 = 0$. Дискриминант равен $1225 + 7056 = 8281 = 91^{2}$, положительный корень $x_2 = \dfrac{-35 + 91}{2} = 28$.

Вместе получается $40 + 28 = 68$ комплектов.

Пункт б), страны договариваются. Теперь пропорция комплекта нужна только для суммы: $y_1 + y_2 = 5(x_1 + x_2)$, а внутри каждой страны выпуск может быть каким угодно на своей КПВ. Подставляем обе КПВ:
$$280 - 2x_1 + 252 - \frac{x_2^{2}}{7} = 5x_1 + 5x_2,$$
откуда $7x_1 = 532 - \dfrac{x_2^{2}}{7} - 5x_2$ и $x_1 = 76 - \dfrac{x_2^{2}}{49} - \dfrac{5}{7}x_2$.

Максимизируем число комплектов:
$$x_1 + x_2 = -\frac{x_2^{2}}{49} + \frac{2}{7}x_2 + 76.$$
Это парабола ветвями вниз с вершиной при $x_2 = \dfrac{2/7}{2/49} = 7$. Тогда $x_1 = 76 - 1 - 5 = 70$.

Итого $70 + 7 = 77$ комплектов — на $9$ больше, чем в пункте а). Оба выпуска допустимы: $x_1 = 70$ меньше максимума Линеи ($140$), $x_2 = 7$ меньше максимума Квадратии ($42$), значения $y$ при этом неотрицательны.

Экономический смысл. Альтернативная стоимость единицы $X$ в Линее постоянна и равна $2$, а в Квадратии равна $\dfrac{2x_2}{7}$ и растёт с выпуском. При $x_2 < 7$ Квадратии дешевле, при $x_2 > 7$ — дороже, поэтому в оптимуме она производит ровно $7$ единиц $X$, а остальное $X$ берёт на себя Линея.

Ответ: $77$ комплектов, что на $9$ больше, чем в пункте а).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/reg/econ/sol-econ-10-reg-23-24.pdf