ВсОШ по экономике 2019/20, региональный этап, 9 класс, тур 2

Запрет вынуждает фирму держать одну цену на оба рынка: выпиши суммарный спрос как ломаную и сравни прибыль на двух её участках.

Издержек нет, а перепродажи заблокированы, поэтому рынки двух стран ничем не связаны: прибыль $\pi = (30 - P_A)P_A + (10 - P_B)P_B$ распадается на две независимые параболы с ветвями вниз.

Пункт а). Максимизируем каждую параболу отдельно. Вершины дают $P_A^{\star} = 15$ и $P_B^{\star} = 5$, прибыли при этом равны $225$ и $25$. К тому же ответу ведёт условие $MR = MC = 0$, записанное через объёмы: $MR_A = 30 - 2Q_A$ и $MR_B = 10 - 2Q_B$.

Пункт б). В стране A цена оказалась выше, чем в стране B, значит запрет «в A не дороже, чем в B» действительно связывает фирме руки — прежнюю пару цен она удержать не может. Разница цен ей теперь ничего не даёт, поэтому фирма ставит единую цену $P$ и сталкивается с ломаным суммарным спросом: $Q = 30 - P$ при $10 \leqslant P \leqslant 30$ (по такой цене страна B уже ничего не берёт) и $Q = 40 - 2P$ при $0 \leqslant P \leqslant 10$.

Сравниваем прибыль на двух участках. На верхнем фирма работает только на страну A: прибыль $(30 - P)P$ максимальна в вершине $P = 15$ и равна $225$. На нижнем участке фирма обслуживает обе страны, но парабола $(40 - 2P)P$ достигает максимума ровно на краю отрезка, при $P = 10$, и там прибыль всего $200$.

Поскольку $225 > 200$, фирма выбирает $P = 15$ и просто уходит с рынка страны B. Формально цену в B она может назвать какой угодно, не ниже 15 — спроса и выручки там всё равно нет.

Ответ: $15$ д. е. Цена в стране A не сдвинулась, цели президент не достиг, а страна B осталась без лекарства. В жизни привязка внутренних цен на лекарства к ценам соседей встречается регулярно, и эта задача показывает, чем такая мера рискует обернуться: фирме выгоднее поднять цену там, где она была низкой, чем снизить её там, где она высока.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-9-tur2-reg-19-20.pdf

Вырази ставку налога через объём как расстояние по вертикали между спросом и предложением — благосостояние станет обычной параболой от одного аргумента.

Удобнее перейти к обратным функциям: $P_d(Q) = 20 - Q$ и $P_s(Q) = 3Q$. Исходное равновесие находим из $20 - Q = 3Q$: объём $Q_0 = 5$, цена $P_0 = 15$.

Пункт а). Цена покупателей должна подняться на $20\,\%$, то есть до $15 \cdot 1{,}2 = 18$. Тогда объём падает до $Q_1 = 20 - 18 = 2$, а продавцы получают $3 \cdot 2 = 6$. Ставка равна вертикальному зазору между этими ценами: $t = 18 - 6 = 12$.

Пункт б). Благосостояние при объёме $Q$ равно $W = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + tQ - aQ^2$. До налога сборов нет: $W_0 = 2 \cdot 25 - 25a = 50 - 25a$. После введения налога Греты $W_1 = 2 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 4a = 32 - 4a$. Условие «благосостояние упало на $20\,\%$» даёт уравнение $32 - 4a = 0{,}8\,(50 - 25a)$, откуда $16a = 8$ и $a = 0{,}5$.

Пункт в). Ставка, которая реализует объём $Q$, — это тот же вертикальный зазор между спросом и предложением: $t(Q) = (20 - Q) - 3Q = 20 - 4Q$, а сборы равны $Q\,(20 - 4Q)$. Подставляем сборы и $a = 0{,}5$:
$$W(Q) = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + Q\,(20 - 4Q) - 0{,}5Q^2 = 20Q - 2{,}5Q^2.$$

Это парабола с ветвями вниз, её максимум — в вершине $Q^{\star} = \dfrac{20}{5} = 4$, и реализует такой объём ставка $t^{\star} = 20 - 4 \cdot 4 = 4$.

Тот же результат даёт равенство спроса и предельных общественных издержек. Частные предельные издержки равны $3Q$, предельный вред от выбросов при $a = 0{,}5$ равен $2aQ = Q$, поэтому $MSC = 4Q$, и уравнение $20 - Q = 4Q$ снова приводит к $Q = 4$.

Ответ: $t^{\star} = 4$ д. е. Налог Греты втрое выше оптимального: он срезает перевозки не до $4$, а до $2$, поэтому вредит вместо того, чтобы помочь.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-9-tur2-reg-19-20.pdf

После каждой реформы в стране остаются ровно две однородные группы — посчитай их доли в населении и в доходе и возьми разность.

Пользуемся известной формулой: если население распадается на две однородные группы, то $G = \alpha - \beta$, где $\alpha$ — доля более бедной группы в населении, а $\beta$ — её доля в суммарном доходе. Отдельно доказывать формулу не требуется.

Сначала достроим условие. На богатых приходится $100 - 40 - 20 = 40\,\%$ населения и $100 - 10 - 20 = 70\,\%$ дохода.

Пункт а). В «стране», где остались только бедные и средний класс, бедные занимают $\dfrac{0{,}4}{0{,}4 + 0{,}2} = \dfrac{2}{3}$ населения и $\dfrac{0{,}1}{0{,}1 + 0{,}2} = \dfrac{1}{3}$ дохода. Значит, $G = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$.

Пункт б). В «стране» из среднего класса и богатых беднее средний класс: его доля в населении равна $\dfrac{0{,}2}{0{,}2 + 0{,}4} = \dfrac{1}{3}$, а в доходе — $\dfrac{0{,}2}{0{,}2 + 0{,}7} = \dfrac{2}{9}$. Значит, $G = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{9}$.

Пункт в). Достаточно посчитать коэффициент Джини по стране после каждой реформы. При первом варианте бедные и средний класс сливаются в одну однородную группу: $60\,\%$ населения и $30\,\%$ дохода, остальные — богатые, поэтому $G = 0{,}6 - 0{,}3 = 0{,}3$. При втором варианте однородными становятся средний класс вместе с богатыми, а отдельной остаётся группа бедных: $40\,\%$ населения и $10\,\%$ дохода, поэтому $G = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3$.

Ответ: $0{,}3$ по первому варианту, столько же и по второму — варианты равнозначны.

Ловушка задачи именно здесь. Неравенство внутри пары «бедные — средний класс» втрое сильнее, чем внутри пары «средний класс — богатые» ($1/3$ против $1/9$), и кажется, что убирать надо в первую очередь его. Но на общий коэффициент Джини обе реформы действуют одинаково.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-9-tur2-reg-19-20.pdf

Построй суммарную границу производственных возможностей, ставя вперёд тот регион, где помидоры обходятся дешевле в огурцах, и пересеки её лучом равных количеств.

Выпишем границы производственных возможностей. У региона A это $X_A + Y_A = 6000$. У региона B: если помидорами заняты $L_X$ жителей, а огурцами $L_Y$, то $X_B = 0{,}8L_X$, $Y_B = kL_Y$ и $L_X + L_Y = 1000$, откуда $\dfrac{X_B}{0{,}8} + \dfrac{Y_B}{k} = 1000$ — то есть регион B может дать максимум $800$ кг помидоров или $1000k$ кг огурцов.

Пункт а). Салат требует равных количеств, поэтому каждый житель A делает $0{,}5$ кг помидоров и $0{,}5$ кг огурцов и получает $0{,}5$ порции в день (всего в регионе $3000$ порций).

Пункт б). Подставляем $X_B = Y_B$ в границу региона B: $X_B = Y_B = \dfrac{1000k}{1{,}25k + 1}$, а на одного жителя приходится $\dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ порции.

Пункт в). Сравним альтернативные стоимости килограмма помидоров: в регионе A это $1$ кг огурцов, в регионе B — $1{,}25k$ кг. Ответ зависит от того, с какой стороны от $0{,}8$ лежит $k$.

Случай $k \leqslant 0{,}8$: помидоры дешевле выращивать в B, поэтому общая граница начинается в точке «B весь на помидорах, A весь на огурцах», то есть $(800;\,6000)$, и дальше A переключается на помидоры с наклоном $1$ — этот участок задан уравнением $Y = 6800 - X$. Так как $6000/800 > 1$, луч $Y = X$ пересекает границу именно на нём: $6800 - X = X$, откуда $X = Y = 3400$ порций в день.

Случай $k > 0{,}8$: сравнительные преимущества меняются местами, луч $Y = X$ пересекает верхний участок $Y = 6000 + 1000k - X$, и выпуск равен $3000 + 500k$ порций. При $k = 0{,}8$ обе формулы дают одни и те же $3400$.

Пункт г). При планировании каждому из $7000$ жителей достаётся $\dfrac{3400}{7000} = \dfrac{34}{70}$ порции при $k \leqslant 0{,}8$ и $\dfrac{6 + k}{14}$ порции при $k > 0{,}8$. Житель A раньше получал $0{,}5 = \dfrac{35}{70}$, и в первом случае он проигрывает всегда, а во втором — когда $\dfrac{6 + k}{14} < 0{,}5$, то есть при $k < 1$. Итого регион A проигрывает при $k \in (0;\,1)$.

Пункт д). Житель B раньше получал $\dfrac{k}{1{,}25k + 1}$. При $k \leqslant 0{,}8$ неравенство $\dfrac{34}{70} < \dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ сводится к $68 < 55k$ и невозможно, так что здесь B не проигрывает. При $k > 0{,}8$ условие $\dfrac{6 + k}{14} < \dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ после преобразований даёт $5k^2 - 22k + 24 < 0$ с корнями $2$ и $2{,}4$. Значит, регион B проигрывает при $k \in (2;\,2{,}4)$.

Итог: при $k \leqslant 0{,}8$ страна производит $3400$ порций в день, при $k > 0{,}8$ — $3000 + 500k$ порций; жители региона A проигрывают при $k \in (0;\,1)$, жители региона B — при $k \in (2;\,2{,}4)$. Заметь контраст с обычной торговлей: от неё не проиграл бы никто, а планирование с уравниловкой способно навредить любому из регионов, даже когда суммарный выпуск растёт.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-9-tur2-reg-19-20.pdf