ВсОШ по экономике 2019/20, региональный этап, 10–11 класс, тур 2

Издержек нет, поэтому прибыль на каждом рынке — это парабола ветвями вниз от цены; в пункте б) сравни две стратегии: единая цена на двух рынках или уход из второй страны.

Ключевая идея: издержек нет, поэтому прибыль равна выручке, а рынки не связаны общей функцией издержек — значит, каждую страну можно максимизировать отдельно.

а) Прибыль $\pi = (30 - P_A)P_A + (10 - P_B)P_B$ — сумма двух независимых парабол ветвями вниз, и максимум суммы достигается там, где максимальна каждая из них. Вершина первой: $P_A^{\star} = 15$ (тогда $Q_A = 15$, прибыль $225$). Вершина второй: $P_B^{\star} = 5$ (тогда $Q_B = 5$, прибыль $25$). Ветви парабол направлены вниз, так что это действительно максимумы.

б) В пункте а) получилось $P_A > P_B$, то есть правило президента прежний план запрещает. Фирме остаётся назначить одинаковую цену $P$ на обоих рынках, и тогда она сталкивается с общим спросом: $Q = 40 - 2P$ при $0 \le P \le 10$ и $Q = 30 - P$ при $10 \le P \le 30$ (выше десяти страна B уже ничего не покупает).

На нижнем участке прибыль $(40 - 2P)P$ — парабола ветвями вниз с вершиной ровно в $P = 10$, её значение $200$. На верхнем участке работает только страна A, и максимум там тот же, что и в пункте а): $P = 15$ с прибылью $225$.

Сравниваем: $225 > 200$, поэтому фирма выбирает $P = 15$ и фактически уходит из страны B. Цену в стране B она при этом может поставить и выше $15$ — правило $P_A \le P_B$ это не нарушает, а выручки там всё равно нет.

Ответ: в пункте а) $P_A^{\star} = 15$ и $P_B^{\star} = 5$; в пункте б) цена в стране A остаётся равной $15$, президент своей цели не добивается — вместо снижения цены в A фирма поднимает цену в B.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-10-11-tur2-reg-19-20.pdf

Сначала найди равновесие без налога, затем возьми новую цену покупателей и подставь цену продавца в функцию предложения — ставка найдётся из одного уравнения.

а) Исходное равновесие: $20 - P = P/3$, откуда $P = 15$ и $Q_0 = 5$. Цена для покупателей должна вырасти на пятую часть: $P_d = 15 \cdot 1{,}2 = 18$, тогда покупают $Q_1 = 20 - 18 = 2$. Продавцы получают $P_s = P_d - t$, и из равенства спроса и предложения $20 - 18 = (18 - t)/3$, то есть $18 - t = 6$ и $t = 12$.

б) Считаем благосостояние по подсказке из условия. Без налога сборов нет: $W_0 = 0{,}5 \cdot 25 + 1{,}5 \cdot 25 - 25a = 50 - 25a$. С налогом объём равен $2$, сборы равны $12 \cdot 2 = 24$: $W_1 = 0{,}5 \cdot 4 + 1{,}5 \cdot 4 + 24 - 4a = 32 - 4a$. По условию благосостояние падает на пятую часть, то есть $W_1 = 0{,}8\,W_0$: $32 - 4a = 40 - 20a$, откуда $16a = 8$ и $a = 0{,}5$.

в) Чтобы вывести рынок на объём $Q$, нужна ставка $t(Q) = P_d(Q) - P_s(Q) = (20 - Q) - 3Q = 20 - 4Q$, а сборы составят $Q(20 - 4Q)$. Тогда при $a = 0{,}5$ благосостояние равно $W(Q) = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + Q(20 - 4Q) - 0{,}5Q^2 = 20Q - 2{,}5Q^2$. Это парабола ветвями вниз, её вершина $Q^{\star} = 20/5 = 4$, и такой объём реализует ставка $t^{\star} = 20 - 4 \cdot 4 = 4$.

Тот же ответ даёт стандартный приём темы «внешние эффекты»: предельные общественные издержки $MSC = 3Q + 2aQ = 4Q$ больше частных $MPC = 3Q$, а приравнивание спроса к $MSC$ даёт $20 - Q = 4Q$ и $Q = 4$.

Ответы: а) $t = 12$; б) $a = 0{,}5$; в) $t^{\star} = 4$. Видно, что налог Греты втрое выше оптимального: он сбивает перевозки до $2$ вместо $4$, поэтому благосостояние падает даже по сравнению с рынком без всякого вмешательства.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-10-11-tur2-reg-19-20.pdf

В год реформы прирост ВВП уже не равен нулю, так что инвестиции нельзя заменять их автономной частью — оставь в уравнении и текущий, и прошлогодний выпуск.

а) В долгосрочном равновесии ВВП не меняется, то есть $\Delta Y = 0$, и инвестиции равны своей автономной части $30$. Тождество по расходам $Y = C + I + G$ даёт $Y = (0{,}6Y + 10) + 30 + 60$, откуда $0{,}4Y = 100$ и $Y^{\star} = 250$.

б) Политика стимулирующая, значит госзакупки не уменьшаются, а растут на десятую часть: с $60$ до $66$. Снова при $\Delta Y = 0$: $Y = (0{,}6Y + 10) + 30 + 66$, то есть $0{,}4Y = 106$ и $Y^{\star\star} = 265$. Тот же ответ даёт мультипликатор госрасходов: $\Delta Y = \Delta G \cdot \dfrac{1}{1 - mpc} = 6 \cdot \dfrac{1}{1 - 0{,}6} = 15$, и $250 + 15 = 265$.

в) В год реформы прирост ВВП уже не нулевой, поэтому инвестиции берём полной формулой: $Y_{2020} = (0{,}6\,Y_{2020} + 10) + \bigl(30 + 0{,}15\,(Y_{2020} - Y_{2019})\bigr) + 66$. Собираем слагаемые с $Y_{2020}$: $0{,}25\,Y_{2020} = 106 - 0{,}15\,Y_{2019}$, то есть $Y_{2020} = 424 - 0{,}6\,Y_{2019}$.

В 2019 году экономика была в старом равновесии, $Y_{2019} = 250$, поэтому $Y_{2020} = 424 - 150 = 274$.

Ответы: а) $250$; б) $265$; в) $274$. Заметь, что $274 > 265$: краткосрочный эффект фискальной политики сильнее долгосрочного. Инвесторы видят рост выпуска и вкладывают сверх автономных $30$, выпуск проскакивает новое равновесие, но высокая база следующего года рост не поддерживает. Колебания по формуле $Y_t = 424 - 0{,}6\,Y_{t-1}$ затухают, и экономика сходится к $265$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-10-11-tur2-reg-19-20.pdf

Построй общую КПВ страны, начиная с того региона, где помидоры обходятся дешевле в огурцах, и найди пересечение ломаной с лучом «огурцов столько же, сколько помидоров».

а) Житель региона A за день делает килограмм любого овоща, поэтому делит день пополам и получает $0{,}5$ кг помидоров и $0{,}5$ кг огурцов, то есть $0{,}5$ порции. Весь регион даёт $3000$ кг каждого овоща, а его КПВ имеет вид $X_A + Y_A = 6000$.

б) Если $L_X$ человек заняты помидорами, а $L_Y$ — огурцами, то $X_B = 0{,}8L_X$, $Y_B = kL_Y$ и $L_X + L_Y = 1000$, откуда КПВ региона B: $\dfrac{X_B}{0{,}8} + \dfrac{Y_B}{k} = 1000$. Приравнивая $X_B = Y_B$, получаем $X_B = Y_B = \dfrac{1000k}{1{,}25k + 1}$, то есть по $\dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ порции на жителя.

в) Альтернативная стоимость килограмма помидоров равна $1$ кг огурцов в регионе A и $1{,}25k$ кг огурцов в регионе B. Если $1{,}25k \le 1$, то есть $k \le 0{,}8$, помидоры дешевле выращивать в регионе B: сначала все $800$ кг помидоров оттуда, дальше подключается регион A по курсу один к одному, и нижний участок общей КПВ — прямая $Y = 6800 - X$. Луч $Y = X$ даёт $X = Y = 3400$, и это больше $800$, то есть пересечение и правда на этом участке: в день производится $3400$ порций.

Если же $k > 0{,}8$, выгоднее начинать с огурцов региона B, и луч $Y = X$ пересекает верхний участок $Y = 6000 + 1000k - X$, откуда $X = 3000 + 500k$ порций (при $k \le 6$ это меньше $6000$, так что случай действительно верхний). Итого в пункте в) ответ равен $3400$ при $k \le 0{,}8$ и $3000 + 500k$ при $k \in (0{,}8;\,6]$.

г) При уравниловке на каждого из $7000$ жителей приходится $\dfrac{3400}{7000} = \dfrac{34}{70}$ порции при $k \le 0{,}8$ и $\dfrac{3000 + 500k}{7000} = \dfrac{6 + k}{14}$ при $k > 0{,}8$. Житель региона A раньше имел $0{,}5 = \dfrac{35}{70}$, и при $k \le 0{,}8$ он проигрывает всегда; при $k > 0{,}8$ проигрывает, когда $\dfrac{6 + k}{14} < 0{,}5$, то есть $k < 1$. Вместе: регион A проигрывает при $k \in (0;\,1)$.

д) Житель региона B имел $\dfrac{k}{1{,}25k + 1}$. При $k \le 0{,}8$ неравенство $\dfrac{34}{70} < \dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ сводится к $68 < 55k$ и здесь невозможно. При $k > 0{,}8$ из $\dfrac{6 + k}{14} < \dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ получается $5k^2 - 22k + 24 < 0$ с корнями $2$ и $2{,}4$, и весь этот промежуток лежит внутри $(0{,}8;\,6]$. Значит, регион B проигрывает при $k \in (2;\,2{,}4)$.

Ответы: а) $0{,}5$ порции; б) $\dfrac{k}{1{,}25k + 1}$ порции; в) $3400$ порций при $k \le 0{,}8$ (и $3000 + 500k$ при большем $k$); г) $k \in (0;\,1)$; д) $k \in (2;\,2{,}4)$. Любопытно, что от обычной добровольной торговли ни один регион не проиграл бы, а от планирования с уравниловкой — может, даже когда суммарный выпуск растёт.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/region/econ/ans-econ-10-11-tur2-reg-19-20.pdf