ВсОШ по экономике 2022/23, региональный этап, 11 класс

Посчитай среднюю ставку налога отдельно для дохода в 4 млн рублей и для дохода в 10 млн рублей и сравни их.

Ответ: 1

Шкала называется прогрессивной, если средняя ставка налога растёт вместе с доходом.

НДФЛ на момент олимпиады устроен двухступенчато: с годового дохода в пределах $5$ млн рублей берут $13\,\%$, а с суммы превышения — $15\,\%$.

Посчитаем среднюю ставку в двух точках. При доходе $4$ млн рублей она равна $13\,\%$. При доходе $10$ млн рублей налог составит $0{,}13 \cdot 5 + 0{,}15 \cdot 5 = 1{,}4$ млн, то есть средняя ставка равна $\dfrac{1{,}4}{10} = 14\,\%$.

Средняя ставка выросла с ростом дохода — это и есть прогрессия. Утверждение верно, ответ «1) Да».

До 2021 года шкала была плоской: ставка $13\,\%$ применялась ко всему доходу без верхней ступени, и тогда ответ был бы обратным.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Абсолютное преимущество и сравнительное преимущество — разные вещи; попробуй придумать числовой пример на два товара.

Ответ: 2

Более высокая производительность в производстве товара — это абсолютное преимущество. Но направление торговли определяет не абсолютное, а сравнительное преимущество, то есть альтернативные издержки.

Примерный контрпример на двух товарах. Пусть работник в стране A за день делает $10$ единиц $X$ или $100$ единиц $Y$, а в стране B — $5$ единиц $X$ или $10$ единиц $Y$. По товару $X$ у страны A абсолютное преимущество: $10 > 5$.

Считаем альтернативные издержки единицы $X$: в стране A это $\dfrac{100}{10} = 10$ единиц $Y$, в стране B — $\dfrac{10}{5} = 2$ единицы $Y$. Производить $X$ дешевле стране B, поэтому стране A выгодно специализироваться на $Y$ и импортировать $X$ из B.

Значит из условия вывод не следует, утверждение неверно — ответ «2) Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Подумай, какое из двух неравенств уменьшает размер общего экономического «пирога», а какое только перераспределяет его.

Ответ: 1

Разведём два понятия.

Неравенство доходов частично отражает разницу в усилиях и в качестве работы: кто работает больше или лучше, тот получает больше. Такое неравенство создаёт стимулы трудиться и учиться, поэтому само по себе провалом не считается.

Неравенство возможностей — это когда способный и трудолюбивый человек не может получить образование, кредит или работу из-за происхождения, места рождения или связей. Здесь теряются не только его доходы: экономика недополучает то, что он мог бы произвести.

Именно поэтому неравенство возможностей бьёт по общему размеру «пирога», а неравенство доходов чаще влияет только на то, как этот пирог делится. Утверждение верно — ответ «1) Да».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Запиши сборы как произведение ставки и объёма и вспомни, что объём при росте ставки падает.

Ответ: 1

Сборы от потоварного налога равны $T(t) = t \cdot Q(t)$, где $Q(t)$ — равновесный объём рынка после введения налога.

Налог сдвигает предложение вверх, поэтому $Q(t)$ строго убывает: чем выше ставка, тем меньше сделок.

Поднимем ставку на один процент. Сборы станут $1{,}01t \cdot Q(1{,}01t)$, то есть изменятся в $1{,}01 \cdot \dfrac{Q(1{,}01t)}{Q(t)}$ раз. Дробь меньше единицы, значит всё произведение меньше $1{,}01$.

Вывод: при росте ставки на один процент сборы растут меньше чем на один процент, поэтому эластичность строго меньше $+1$ и уж точно не может её превысить. Утверждение верно, ответ «1) Да».

То же через производную: $T'(t) = Q + tQ'$, поэтому эластичность равна $\dfrac{T'(t)\,t}{T(t)} = 1 + \dfrac{tQ'}{Q} < 1$, ведь $Q' < 0$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Спроси себя, не могло ли приложение появиться именно там, где метро и так было популярно.

Ответ: 2

В условии описана корреляция двух признаков, а вывод сделан о причинности. Это разные вещи.

Направление связи вполне может быть обратным: разработчик делает приложение там, где метро уже популярно, потому что только там на приложение есть спрос. Тогда не приложение сделало метро популярным, а популярность метро породила приложение.

Есть и вариант с общей третьей причиной: крупный город с плотной сетью метро одновременно и даёт высокую долю пассажиров метро, и привлекает разработчиков цифровых сервисов.

Чтобы говорить о влиянии, нужен эксперимент или хотя бы сравнение одного и того же города до и после появления приложения. Из приведённой статистики вывод не следует, утверждение неверно — ответ «2) Нет».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Вспомни три фамилии лауреатов 2022 года и то, какой тип организаций они изучали.

Ответ: 4

Премию по экономике за 2022 год получили Бен Бернанке, Дуглас Даймонд и Филип Дибвиг — за исследования банков и финансовых кризисов.

Модель Даймонда и Дибвига объясняет, почему банк по своей природе уязвим к набегу вкладчиков: он финансирует долгие неликвидные вложения короткими депозитами, и ожидание паники само становится причиной паники. Отсюда прямой практический вывод — страхование вкладов и роль кредитора последней инстанции.

Бернанке на данных Великой депрессии показал, что банкротства банков не были просто следствием спада: разрушение кредитного механизма само углубляло и затягивало кризис.

Вместе это про предотвращение финансовых кризисов и борьбу с ними, то есть вариант 4.

Варианты про пробки и про распределение донорских органов не случайны: этим тоже занимаются экономисты (за донорские органы и дизайн рынков премию дали Роту и Шепли в 2012 году), но это другие годы.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Сравни новую цену продавца со старой равновесной ценой: предложение возрастает, а объём упал.

Ответ: 1

Обозначим $P_0$ — цена до налога, $P_1^{d}$ — новая цена покупателя, $P_1^{s}$ — новая цена продавца. Ставка налога в процентах от цены производителя означает $P_1^{d} = (1 + t)\,P_1^{s}$, то есть $t = \dfrac{P_1^{d}}{P_1^{s}} - 1$.

По условию цена для потребителя выросла на $10\,\%$: $\dfrac{P_1^{d}}{P_0} - 1 = 0{,}1$.

Ключевой шаг — сравнить $P_1^{s}$ и $P_0$. Предложение строго возрастает, а объём после налога упал, значит продавец получает меньше прежнего: $P_1^{s} < P_0$.

Подставляем: $t = \dfrac{P_1^{d}}{P_1^{s}} - 1 > \dfrac{P_1^{d}}{P_0} - 1 = 0{,}1$.

Значит ставка налога больше $10\,\%$ — вариант 1. Экономический смысл простой: часть налогового бремени берёт на себя производитель, поэтому цена покупателя вырастает слабее, чем ставка.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Перемножь два множителя роста и сравни результат с числом 0,64 — квадратом удобного ориентира.

Ответ: 1

Среднегодовой темп — это среднее геометрическое, а не арифметическое: складывать $-10\,\%$ и $-30\,\%$ и делить пополам нельзя.

За два года ВВП изменился в $0{,}9 \cdot 0{,}7 = 0{,}63$ раза.

Среднегодовой множитель $x$ удовлетворяет $x^2 = 0{,}63$. Сравним с удобным ориентиром: $0{,}8^2 = 0{,}64 > 0{,}63$, поэтому $x < 0{,}8$, то есть среднегодовой прирост меньше $-20\,\%$.

Снизу оценка тоже нужна: $0{,}79^2 = 0{,}6241 < 0{,}63$, значит $x > 0{,}79$ и прирост больше $-21\,\%$. Точнее $x = \sqrt{0{,}63} \approx 0{,}7937$, то есть примерно $-20{,}6\,\%$.

Это попадает в промежуток от $-30\,\%$ до $-20\,\%$ — вариант 1. Наивное среднее арифметическое дало бы $-20\,\%$ и увело в соседний интервал, это и есть ловушка вопроса.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Выпиши прибыль второй фирмы как параболу по её собственному выпуску и найди вершину при каждом выпуске первой.

Ответ: 2

Фирма 2 ходит второй, поэтому выпуск фирмы 1 для неё — просто число. Выписываем её прибыль при обратном спросе $P = 100 - q_1 - q_2$ и средних издержках $20$:
$$\pi_2(q_2) = (100 - q_1 - q_2)q_2 - 20q_2 = (80 - q_1 - q_2)\,q_2.$$

Это парабола с ветвями вниз с корнями $0$ и $80 - q_1$, максимум посередине:
$$q_2^{*}(q_1) = \dfrac{80 - q_1}{2} = 40 - \dfrac{q_1}{2}.$$

Это функция наилучшего ответа. Подставляем оба значения: при $q_1 = 40$ получаем $q_2^{*} = 40 - 20 = 20$, при $q_1 = 50$ получаем $q_2^{*} = 40 - 25 = 15$.

Изменение в процентах считаем от исходного выпуска: $\dfrac{20 - 15}{20} = 0{,}25$, то есть сокращение на $25\,\%$ — вариант 2.

Заметь общую механику: наклон наилучшего ответа равен $-\dfrac{1}{2}$, поэтому на каждые $10$ единиц роста соперника фирма отвечает сокращением на $5$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Вспомни, как выглядит долгосрочное совокупное предложение и на что вообще способен центральный банк в долгом периоде.

Ответ: 4

Вопрос проверяет принцип нейтральности денег в долгосрочном периоде.

Долгосрочное совокупное предложение вертикально: выпуск определяется запасом ресурсов и технологией, а не количеством денег. Изначально экономика уже находится и в краткосрочном, и в долгосрочном равновесии, значит она стоит ровно на этой вертикали, на потенциальном выпуске $Y^{*}$.

Центральный банк увеличивает $M$. В краткосрочном периоде по $Y = 2M/P$ и $Y = 2P$ выпуск действительно подрастёт: из $2P = 2M/P$ следует $P = \sqrt{M}$ и $Y = 2\sqrt{M}$. Но это временно.

В долгосрочном периоде цены и зарплаты подстраиваются, кривая краткосрочного предложения сдвигается, и экономика возвращается на ту же вертикаль $Y^{*}$. Реальный ВВП не изменится ни на $10\,\%$, ни на сколько-нибудь ещё, вырастет только уровень цен.

Значит верного ответа среди первых трёх вариантов нет, правильный выбор — вариант 4.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Сначала пойми, какой станет внутренняя цена после пошлины, а потом раздели потерю производителей на части на графике.

Ответ: 1, 2, 3, 4

Отправная точка: до вмешательства внутренняя цена равна мировой $P_w$, и при ней внутреннее предложение больше внутреннего спроса — избыток уходит на экспорт.

Пошлина $t$ берётся с каждой вывезенной единицы, поэтому продавец получает за экспорт $P_w - t$. Внутри страны цена не может отличаться, иначе выгодно переключиться, значит новая внутренняя цена равна $P_w - t$, то есть она падает.

Отсюда первые два утверждения. Цена упала — потребители выиграли, их излишек вырос, утверждение 1 верно. Цена упала — производители проиграли, их излишек уменьшился, утверждение 2 верно.

Теперь сумма. На графике потеря производителей делится на три части: прирост излишка потребителей, сборы пошлины и два треугольника чистых потерь. Значит сумма излишков потребителей и производителей падает — утверждение 3 верно, — и падает она сильнее, чем собранная пошлина, ровно на эти два треугольника. Утверждение 4 тоже верно.

Ответ: верны все четыре, ключ $\{1, 2, 3, 4\}$. Содержательный вывод — общественное благосостояние от пошлины обязательно снижается, хотя внутри страны есть и выигравшие.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Домножь всё неравенство на объём выпуска, а последний вариант проверь, вспомнив, что после налога фирма меняет выпуск.

Ответ: 1, 2, 3

Домножим неравенство $AVC(Q^{*}) < P < AC(Q^{*})$ на положительное $Q^{*}$: получаем $VC(Q^{*}) < PQ^{*} < TC(Q^{*})$.

Утверждение 1. Правая часть даёт $\pi = PQ^{*} - TC < 0$, левая даёт $\pi = PQ^{*} - VC - FC > -FC$. Фирма работает в убыток, но убыток меньше постоянных издержек, поэтому закрываться ей невыгодно. Верно.

Утверждение 2. По определению минимума $\min AVC \leqslant AVC(Q^{*})$, а по условию $AVC(Q^{*}) < P$. Цепочка даёт $\min AVC < P$. Верно.

Утверждение 3. Здесь неравенство смотрит в другую сторону, поэтому идём от противного. Если бы $P \geqslant \min AC$, нашёлся бы выпуск с неотрицательной прибылью, а мы уже доказали, что максимальная прибыль отрицательна. Противоречие, значит $P < \min AC$. Верно.

Утверждение 4. Оно выглядит правдоподобно, но неверно. После налога фирма не обязана держать прежний выпуск, она подстроится, поэтому ставку надо сравнивать не с $P - AVC(Q^{*})$, а с $P - \min AVC$. Возьмём $t$ между этими величинами: тогда $P - t > \min AVC$, найдётся выпуск с прибылью выше $-FC$, и нулевой выпуск не оптимален.

Ответ: $\{1, 2, 3\}$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Определи знак внешнего эффекта и сравни равновесное количество полётов с общественно оптимальным.

Ответ: 1, 2, 4

Сначала структура рынка. Фирм много, услуга однородная, барьеры входа низкие — это набор признаков совершенной конкуренции, утверждение 1 верно.

Теперь ключевая деталь условия: чем больше шаров летает, тем красивее вид и больше впечатлений у каждого. Это положительный внешний эффект в потреблении. Покупая билет, турист учитывает только собственную выгоду и не берёт в расчёт удовольствие, которое он дарит остальным.

Значит частная выгода меньше общественной, и равновесное количество полётов меньше общественно оптимального. Утверждение 4 верно: шаров поднимается недостаточно.

Чем это лечится. Субсидия снижает цену для покупателя, количество полётов растёт и приближается к оптимуму — благосостояние может вырасти, утверждение 2 верно. Налог сработал бы наоборот: он сократил бы и без того недостаточное количество полётов, поэтому утверждение 3 неверно.

Ответ: $\{1, 2, 4\}$. Налог был бы уместен при отрицательном внешнем эффекте, здесь же эффект положительный.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Подумай, сколько регионов одновременно могут оказаться в текущей точке общей КПВ, если линейный участок разрезает нелинейную дугу.

Ответ: 2, 3, 4

Общая КПВ страны строится так: регионы выстраиваются по возрастанию альтернативных издержек, и точка на КПВ означает, что все регионы с меньшими издержками уже полностью переключены на один товар, а все с большими — на другой. Не специализируется только тот регион, внутри которого находится сама точка.

Если бы все сто КПВ были линейными, ответов было бы два: точка попала в излом — специализируются все $100$ регионов; точка попала внутрь отрезка — не специализируется один регион, то есть их $99$.

Теперь учтём нелинейный первый регион. Его КПВ — это дуга с непрерывно растущими альтернативными издержками. Если издержки в нём нигде не совпадают с наклонами остальных, дуга входит в общую КПВ целиком, и картина та же: $100$ или $99$.

Но наклон какого-то региона $i$ может совпасть с наклоном дуги в некоторой её точке. Тогда линейный отрезок региона $i$ «разрезает» дугу пополам, и если экономика стоит внутри этого отрезка, не специализируются сразу двое: и регион $i$, и первый регион. Получаем $98$.

Меньше $98$ не выйдет: не специализироваться могут только те, кто попал в текущую точку, а таких максимум два. Значит возможны $98$, $99$ и $100$ — ключ $\{2, 3, 4\}$, а вариант с $97$ неверен.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Вспомни, из каких двух слагаемых состоит естественный уровень безработицы.

Ответ: 3, 4

Разложим виды безработицы по причинам.

Циклическая возникает в спаде, когда падает совокупный спрос. Здесь спада нет, меняется технология в одной отрасли, поэтому вариант 1 не подходит.

Фрикционная — это короткий поиск при обычной смене места работы, когда навыки работника рынку по-прежнему нужны. Рентгенолог же теряет не место, а востребованность самой квалификации, поэтому вариант 2 мимо.

Структурная — ровно наш случай: спрос на конкретную профессию исчез из-за изменения структуры экономики, и человеку нужна переподготовка, а не просто поиск. Вариант 3 верен.

Естественный уровень безработицы по определению складывается из фрикционной и структурной составляющих. Структурная выросла — значит вырос и естественный уровень, вариант 4 тоже верен.

Ответ: $\{3, 4\}$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Посчитай для каждого поля, сколькими единицами хлопка приходится жертвовать ради одной единицы энергии, и возьми худшее поле.

Ответ: 50 д.е.

Поле отдают под батареи, когда выручка от энергии на нём не меньше выручки от хлопка. Удобнее сравнивать альтернативные издержки.

Первое поле: $100$ единиц хлопка или $100$ единиц энергии, значит одна единица энергии стоит $\dfrac{100}{100} = 1$ единицу хлопка. В деньгах это $1 \cdot 40 = 40$.

Второе поле хуже освещено: $100$ единиц хлопка или $80$ единиц энергии, значит одна единица энергии стоит $\dfrac{100}{80} = 1{,}25$ единицы хлопка, то есть $1{,}25 \cdot 40 = 50$ в деньгах.

Батареи встанут на поле при $P_e \geqslant$ альтернативных издержек (при безразличии фермер по условию выбирает батареи). Для обоих полей нужно выполнить оба условия одновременно: $P_e \geqslant 40$ и $P_e \geqslant 50$.

Жёстче второе, поэтому минимальная цена равна $50$. Проверка: при $P_e = 50$ второе поле даёт $80 \cdot 50 = 4000$ от энергии против $100 \cdot 40 = 4000$ от хлопка — ровно безразличие, и фермер выбирает батареи.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Посчитай максимальную прибыль до и после снижения издержек; доля в прибыли не меняет оптимальный выпуск.

Ответ: 19 %

Считаем прибыль до реорганизации. При спросе $P = 11 - Q/2$ и $AC = 2$ получаем
$$\pi(Q) = \left(11 - \dfrac{Q}{2}\right)Q - 2Q = 9Q - \dfrac{Q^2}{2}.$$
Это парабола ветвями вниз с корнями $0$ и $18$, вершина при $Q^{*} = 9$, прибыль равна $81 - 40{,}5 = 40{,}5$.

После реорганизации средние издержки падают вдвое, до $1$, и фирме остаётся доля $1 - \alpha$:
$$\pi_{new}(Q) = (1 - \alpha)\left[\left(11 - \dfrac{Q}{2}\right)Q - Q\right] = (1 - \alpha)\left(10Q - \dfrac{Q^2}{2}\right).$$
Множитель $1 - \alpha$ положителен и не влияет на точку максимума: корни $0$ и $20$, вершина при $Q^{*} = 10$, скобка равна $100 - 50 = 50$.

Фирма не проиграет, если $(1 - \alpha) \cdot 50 \geqslant 40{,}5$, откуда $1 - \alpha \geqslant 0{,}81$ и $\alpha \leqslant 0{,}19$.

Максимальная доля равна $0{,}19$, то есть $19\,\%$. Проверка: $0{,}81 \cdot 50 = 40{,}5$ — ровно прежняя прибыль.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Достань из двух данных облигаций ставку за первый и за второй период по отдельности, а потом дисконтируй номинал третьей дважды.

Ответ: 400 д.е.

Каждая бескупонная облигация — это просто дисконтирование номинала по ставке за соответствующий период.

Облигация A даёт ставку за первый период: $80 = \dfrac{100}{1 + r_{12}}$, откуда $1 + r_{12} = \dfrac{100}{80} = 1{,}25$.

Облигация B даёт ставку за второй период: в момент $2$ она стоит $200$ и через период гасится по $240$, значит $1 + r_{23} = \dfrac{240}{200} = 1{,}2$.

Облигация C гасится в момент $3$, поэтому её номинал надо дисконтировать через оба периода:
$$P_C = \dfrac{600}{(1 + r_{12})(1 + r_{23})} = \dfrac{600}{1{,}25 \cdot 1{,}2} = \dfrac{600}{1{,}5} = 400.$$

Ответ: $400$ д.е. Проверка по шагам: в момент $2$ облигация C должна стоить $\dfrac{600}{1{,}2} = 500$, а сегодняшняя цена этих $500$ равна $\dfrac{500}{1{,}25} = 400$ — сходится.

Ожидания у всех агентов одинаковы, поэтому ожидаемая цена в момент $2$ используется как обычная рыночная величина.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Сначала найди зарплату в вершине параболы, а потом запиши ту же прибыль как произведение маржи на объём труда.

Ответ: 6 единиц труда

Хитрость задачи в том, что прибыль дана как функция зарплаты, а спрашивают про труд. Сначала находим зарплату, потом связываем её с наймом.

Шаг 1. Максимизируем $\pi(w) = 8w - w^2 + 20$. Это парабола ветвями вниз, вершина при $w^{*} = \dfrac{8}{2} = 4$. Максимальная прибыль равна $32 - 16 + 20 = 36$.

Шаг 2. Запишем ту же прибыль через труд. Выручка равна цене товара на выпуск: $2 \cdot 5L = 10L$. Издержки — это зарплата, умноженная на наём: $wL$. Значит $\pi = (10 - w)L$.

Шаг 3. Подставляем оптимум: $36 = (10 - 4)L^{*} = 6L^{*}$, откуда $L^{*} = 6$.

Ответ: $6$ единиц труда. Попутно из условия восстанавливается и предложение труда для этой фирмы: $L^{s}(w) = \dfrac{8w - w^2 + 20}{10 - w} = w + 2$, и при $w = 4$ оно действительно даёт $6$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Равное деление всегда доступно компании, поэтому неравенство может выполняться только как равенство — а равенство означает оптимальность равного деления.

Ответ: 2 млн куб. м

Функция $TC(Q)$ — это минимальные издержки добычи объёма $Q$, то есть результат наилучшего распределения между месторождениями.

Равное деление — один из допустимых вариантов, поэтому для любого $Q$ выполняется $TC(Q) \leqslant 3(Q/2)^7 + 7(Q/2)^3$. Значит требуемое в задаче неравенство «$\geqslant$» возможно только вместе с равенством.

Равенство означает, что делить поровну и есть оптимум. Условие оптимального распределения между двумя источниками — равенство предельных издержек. Считаем их: $MC_1 = 21q_1^6$ и $MC_2 = 21q_2^2$.

Приравниваем при $q_1 = q_2 = Q/2$:
$$21\left(\dfrac{Q}{2}\right)^6 = 21\left(\dfrac{Q}{2}\right)^2 \;\Longrightarrow\; \left(\dfrac{Q}{2}\right)^4 = 1.$$

При $Q > 0$ отсюда $\dfrac{Q}{2} = 1$, то есть $Q = 2$.

Ответ: $Q = 2$. Важно, что других значений нет: ответы вида «все $Q$ из отрезка» официальная схема не засчитывает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Максимальная плата за аренду — это разность максимальных прибылей с девятью и с четырьмя единицами капитала; парабола ветвями вверх максимальна только на концах отрезка.

а) При $K = 4$ производственная функция равна $L^2$ до $L = 2$ и застывает на $4$ дальше. Цена выпуска равна $1$, расходы на уже купленный капитал в расчёт не идут, поэтому
$$\pi(L) = \begin{cases} L^2 - wL, & L \leqslant 2; \\ 4 - wL, & L > 2. \end{cases}$$
На втором куске функция убывает, значит $L > 2$ заведомо не оптимален. На первом куске стоит парабола с ветвями вверх (это и есть Парабола с Ветвями Вверх, ЭПВВв), а такая парабола достигает максимума на отрезке только в одном из его концов — при $L = 0$ или при $L = 2$. Вершина $L = w/2$ здесь даёт минимум прибыли, и типичная ошибка — взять именно её или механически применить условие $MRP_L = w$: спрос на труд тогда получился бы возрастающим по зарплате.

Сравниваем концы: $\pi(0) = 0$ и $\pi(2) = 4 - 2w$. При $w \leqslant 2$ выгоднее $L = 2$, при $w > 2$ — $L = 0$. Итого
$$L^{d}(w) = \begin{cases} 2, & w \leqslant 2; \\ 0, & w > 2, \end{cases}$$
а максимальная прибыль без аренды равна $\pi_1 = \max(4 - 2w,\ 0)$.

б) С арендой капитал становится $4 + 5 = 9$, порог по труду сдвигается к $L = 3$, и функция прибыли принимает вид $L^2 - wL - S$ при $L \leqslant 3$ и $9 - wL - S$ при $L > 3$. По той же логике выбор идёт между $L = 0$ с прибылью $-S$ и $L = 3$ с прибылью $9 - 3w - S$: при $w \leqslant 3$ оптимален $L = 3$, при $w > 3$ — $L = 0$. Максимальная прибыль с арендой равна $\pi_2 = \max(9 - 3w,\ 0) - S$.

Фирма согласна платить, пока $\pi_2 \geqslant \pi_1$, поэтому максимальная плата — это разность прибылей без учёта самой платы:
$$S_{max}(w) = \begin{cases} 5 - w, & 0 < w \leqslant 2; \\ 9 - 3w, & 2 < w \leqslant 3; \\ 0, & w > 3. \end{cases}$$
В точке $w = 2$ куски сходятся: $5 - 2 = 3$ и $9 - 6 = 3$. График — ломаная: из точки $(0;\ 5)$ она спускается с наклоном $-1$ до точки $(2;\ 3)$, дальше падает круче, с наклоном $-3$, до точки $(3;\ 0)$, а правее лежит на горизонтальной оси.

в) Функция $S_{max}(w)$ убывает. Это готовность платить за капитал, то есть характеристика спроса на капитал: спрос на капитал падает с ростом цены труда. Когда спрос на одно благо убывает по цене другого, блага дополняют друг друга, поэтому во второй пропуск идёт «комплементами».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Выпиши благосостояние как функцию объёма и потребуй, чтобы вершина этой параболы совпала с монопольным выпуском.

а) Горизонтальное предложение на уровне $5$ означает постоянные предельные издержки $MC = 5$, а при нулевых постоянных издержках $AC = MC = 5$, то есть $P = AC$ и экономическая прибыль конкурентных фирм равна нулю.

Конкуренция: пересечение спроса и предложения даёт $Q^{c} = 25 - 5 = 20$. Излишек потребителей равен $\dfrac{20^2}{2} = 200$ (та же величина получается как площадь треугольника $(25 - 5) \cdot 20 / 2$), ущерб экологии равен $a \cdot 20^2 = 400a$, поэтому
$$SW^{c} = 200 + 0 - 400a = 200 - 400a.$$

Монополия: издержки равны $TC(Q) = 5Q$, значит $\pi(Q) = (25 - Q)Q - 5Q = (20 - Q)Q$. Это парабола ветвями вниз, её вершина даёт $Q^{m} = 10$ (тот же ответ выходит из $MR = 25 - 2Q = 5 = MC$), цена $P^{m} = 15$. Тогда $CS^{m} = \dfrac{10^2}{2} = 50$, прибыль $\pi^{m} = (25 - 10) \cdot 10 - 5 \cdot 10 = 100$, ущерб $100a$, и
$$SW^{m} = 50 + 100 - 100a = 150 - 100a.$$

Монополизация полезна, когда $SW^{c} < SW^{m}$: $200 - 400a < 150 - 100a$, откуда $50 < 300a$ и $a > \dfrac{1}{6}$.

б) Запишем благосостояние как функцию объёма в общем виде: излишек потребителей равен $Q^2/2$, прибыль равна $(20 - Q)Q$, ущерб равен $aQ^2$, поэтому
$$SW(Q) = \dfrac{Q^2}{2} + (20 - Q)Q - aQ^2 = 20Q - \left(\dfrac{1}{2} + a\right)Q^2.$$
Это снова парабола ветвями вниз, её вершина — $Q^{*} = \dfrac{20}{1 + 2a}$.

Максимально возможное благосостояние достигается при монополии тогда и только тогда, когда монопольный выпуск совпадает с оптимальным: $10 = \dfrac{20}{1 + 2a}$, то есть $1 + 2a = 2$ и $a = \dfrac{1}{2}$.

Тот же ответ даёт и длинный путь: $SW(Q^{*}) = \dfrac{200}{1 + 2a}$, приравниваем к $SW^{m} = 150 - 100a$ и получаем $4a^2 - 4a + 1 = 0$, то есть $(2a - 1)^2 = 0$ и $a = 1/2$.

Парадокс объясним: монополия занижает выпуск, а при сильном отрицательном внешнем эффекте занижение выпуска — это как раз то, что нужно обществу. При малом $a$ (меньше $1/6$) потеря потребительского излишка перевешивает, при $a > 1/6$ монополизация уже выгодна обществу, а при $a = 1/2$ она выводит рынок ровно в оптимум.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Сделай замену «корень из ВВП» и реши обычное квадратное уравнение; в последнем пункте той же заменой пользуйся для разности ВВП и прироста госзакупок.

Экономика закрытая, поэтому работает тождество $Y = C + I + G$, а при нулевых налогах $Y_d = Y$.

а) $Y = 4 + \sqrt{Y} + 16$, то есть $Y = 20 + \sqrt{Y}$. Замена $x = \sqrt{Y}$ даёт $x^2 - x - 20 = 0$; подходит только положительный корень $x = 5$, значит $Y = 25$.

б) Добавляем $10$ к госзакупкам: $Y = 30 + \sqrt{Y}$, откуда $x^2 - x - 30 = 0$ и $x = 6$, то есть $Y = 36$.

в) Добавляем $22$: $Y = 42 + \sqrt{Y}$, откуда $x^2 - x - 42 = 0$ и $x = 7$, то есть $Y = 49$.

г) Мультипликатор госрасходов равен $\Delta Y / \Delta G$. Для пункта б) он равен $\dfrac{36 - 25}{10} = \dfrac{11}{10}$, для пункта в) — $\dfrac{49 - 25}{22} = \dfrac{24}{22} = \dfrac{12}{11}$. Поскольку $\dfrac{11}{10} \ne \dfrac{12}{11}$, мультипликаторы не одинаковы. Для большего стимула мультипликатор меньше: предельная норма потребления здесь убывает с ростом дохода, и при высоком доходе люди тратят на потребление меньшую долю прироста.

д) При сбалансированном бюджете $\Delta G = \Delta T$, то есть $G = T$. Тогда
$$Y = 4 + \sqrt{Y - \Delta G} + 16 + \Delta G, \qquad Y - \Delta G = 20 + \sqrt{Y - \Delta G}.$$
Замена $x = \sqrt{Y - \Delta G}$ даёт уже решённое уравнение $x^2 - x - 20 = 0$ с корнем $x = 5$, поэтому $Y - \Delta G = 25$ и $Y = 25 + \Delta G$. ВВП растёт ровно на прирост госзакупок, значит мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице при любом $\Delta G \geqslant 0$. Ответ: да, верно.

Свойство это не случайное: при любой функции потребления уравнение $Y - \Delta = C(Y - \Delta - T_0) + G_0 + I$ зависит от $Y$ и $\Delta$ только через разность $Y - \Delta$, поэтому прирост ВВП всегда равен приросту госзакупок.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf

Сборы распадаются на две параболы — экспортную и внутреннюю; найди вершины обеих, проверь, попадает ли каждая вершина в свой участок, и только потом сравнивай сборы.

Прямая функция внутреннего спроса имеет вид $Q_d(P) = 30 - P/3$. Налог сдвигает предложение вверх на $t$: $P = 30 + Q + t$, то есть $Q_s(P) = P - 30 - t$.

Режимы. Нефть пойдёт на экспорт тогда и только тогда, когда при мировой цене внутреннего спроса не хватает: $Q_d(x) < Q_s(x)$, то есть $30 - x/3 < x - 30 - t$, откуда $t < \dfrac{4x}{3} - 60$. В этом случае добыча определяется мировой ценой, $Q = x - 30 - t$. Иначе рынок замкнут, и из $90 - 3Q = 30 + Q + t$ получаем $Q = \dfrac{60 - t}{4}$. Значит,
$$T(t) = tQ(t) = \begin{cases} t(x - 30 - t), & t < 4x/3 - 60; \\ \dfrac{t(60 - t)}{4}, & t \geqslant 4x/3 - 60. \end{cases}$$

Обе ветви — параболы ветвями вниз, в точке стыковки функция непрерывна. Вершина левой ветви $t_1 = \dfrac{x - 30}{2}$, вершина правой $t_2 = 30$. Вершина попадает на свой участок не всегда, и это важно: если обе вершины лежат за пределами своих участков, максимум достигается в точке стыковки, а не в вершине.

Вершина левой параболы лежит на левом участке при $\dfrac{x - 30}{2} < \dfrac{4x}{3} - 60$, то есть при $x > 54$. Вершина правой параболы лежит на правом участке при $30 > \dfrac{4x}{3} - 60$, то есть при $x < 67{,}5$. Кроме того, при $x \leqslant 45$ граница $4x/3 - 60$ неположительна, и левого участка просто нет: мировая цена ниже равновесной внутренней, экспорта не будет даже без налога.

Случай 1, $x \leqslant 45$. Левого участка нет, сборы — одна парабола, оптимум в её вершине: $t^{*} = 30$.

Случай 2, $45 < x \leqslant 54$. Левый участок есть, но его вершина лежит правее участка, поэтому на левом участке сборы только растут; вершина правой параболы своему участку принадлежит. Максимум — в ней: $t^{*} = 30$.

Случай 3, $54 < x \leqslant 67{,}5$. Обе вершины на своих участках, сравниваем сборы: $T(t_1) = \dfrac{(x - 30)^2}{4}$ и $T(t_2) = \dfrac{900}{4}$. Неравенство $(x - 30)^2 > 900$ выполняется при $x > 60$. Значит, при $x > 60$ выгоднее экспортная ставка $t_1 = \dfrac{x - 30}{2}$, при $x < 60$ — ставка $30$. При $x = 60$ сборы равны, и по условию государство берёт меньшую ставку, то есть $t_1 = \dfrac{60 - 30}{2} = 15$.

Случай 4, $x > 67{,}5$. Вершина левой параболы на своём участке, вершина правой лежит левее правого участка, поэтому там сборы только убывают. Максимум — в левой вершине: $t^{*} = \dfrac{x - 30}{2} = \dfrac{x}{2} - 15$.

Собирая всё вместе:
$$t^{*}(x) = \begin{cases} 30, & x < 60; \\ \dfrac{x}{2} - 15, & x \geqslant 60. \end{cases}$$
График: горизонтальный отрезок на уровне $30$ при $x < 60$, затем скачок вниз в точку $(60;\ 15)$ и луч с наклоном $1/2$, уходящий вправо вверх.

Смысл развилки в том, что государство выбирает между высокой ставкой, которая душит экспорт, и умеренной ставкой, которая оставляет большой экспортный объём. На экспортном участке модель воспроизводит реальную российскую формулу НДПИ вида $t(x) = \alpha x - \beta$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/reg/econ/sol-econ-11-reg-22-23.pdf