ВсОШ по экономике 2022/23, муниципальный этап, 9 класс

Проверь каждый вариант отдельно: у краткосрочных издержек арендующей фирмы обязан быть ненулевой свободный член, а долгосрочный выход сравнивают с минимумом средних издержек.

Ответ: а

Разбираем утверждения по очереди.

Вариант «а». Продавцов много, а покупателей всего двое, и рыночная власть оказывается на стороне покупателей. Структура, где покупателей мало, а продавцов много, называется олигопсонией. Утверждение верное — это и есть ответ.

Вариант «б». Фирма арендует помещение, значит в краткосрочном периоде у неё есть постоянные издержки — арендная плата. Но при $Q = 0$ функция $TC(Q) = Q^3 - 10Q^2 + 40Q$ обращается в ноль, то есть постоянных издержек нет вовсе. Такая функция подходит для долгосрочного периода, но не для краткосрочного с арендой. Утверждение неверно.

Вариант «в». В долгосрочном периоде конкурентная фирма остаётся на рынке только при $P \ge \min AC$. Здесь $AC = Q^2 - 10Q + 40$, вершина параболы при $Q = 5$, и $AC_{\min} = 25 - 50 + 40 = 15$. Цена $10$ меньше $15$, при ней фирма получала бы убыток и ушла бы с рынка. Утверждение неверно.

Вариант «г». Много продавцов с практически одинаковым набором товаров — признак совершенной конкуренции. Олигополия предполагает, наоборот, несколько крупных продавцов. Утверждение неверно.

Ответ: вариант «а».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Раздели процент изменения количества на процент изменения цены, а знак определи из того, заменители эти фрукты или дополнения.

Ответ: в

Перекрёстная эластичность спроса считается по формуле
$$E_{xy} = \frac{\%\Delta Q_x}{\%\Delta P_y},$$
где в числителе стоит процентное изменение величины спроса на апельсины, а в знаменателе — процентное изменение цены мандаринов.

По модулю получаем $\dfrac{8}{4} = 2$. Остаётся определить знак.

Мандарины и апельсины — товары-заменители. Когда мандарины дорожают, часть покупателей переключается на апельсины, и продажи апельсинов растут. Числитель и знаменатель оказываются одного знака, значит перекрёстная эластичность положительна. Именно поэтому в условии изменение количества апельсинов дано без знака: его восстанавливают из экономического смысла.

Ответ: $E_{xy} = +2$, вариант «в».

Отрицательные значения $-0{,}5$ и $-2$ подошли бы для дополняющих товаров (например, кофе и сахара). Значение $0{,}5$ получается, если перепутать числитель со знаменателем и поделить $4$ на $8$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Посчитай суммы выручки и прибыли за три года, а в последнем варианте проверь слово «гарантированно»: известен ли будущий выпуск.

Ответ: г

Опора всего задания: цена продукции и средние переменные издержки три года не менялись. Значит выручка $TR = P \cdot Q$ меняется только вслед за выпуском, а переменные издержки $VC = AVC \cdot Q$ — тоже только вслед за выпуском.

Вариант «а» верен: выручка в 2021 году выросла с $10$ до $12$ млрд при неизменной цене, поэтому выпуск хотя бы раз увеличился.

Вариант «б» верен арифметически. Вся выручка за три года: $10 + 10 + 12 = 32$ млрд. Вся прибыль: $4 + 3 + 2 = 9$ млрд. Издержки как разница: $32 - 9 = 23$ млрд.

Вариант «в» верен. В 2019 и 2020 годах выручка одинаковая, значит одинаков и выпуск, а при неизменных средних переменных издержках совпадают и общие переменные издержки. Прибыль при этом упала на $1$ млрд — объяснить это можно только ростом постоянных издержек ровно на $1$ млрд.

Вариант «г» неверен, и он и есть ответ. Прибыль равна $(P - AVC)\,Q - FC$, то есть зависит от будущего выпуска, о котором в условии ничего не сказано. Если в 2022 году фирма выпустит меньше, чем в 2021-м, прибыль окажется ниже $2$ млрд, хотя ни средние переменные, ни постоянные издержки не изменились. Слово «гарантированно» здесь и подводит.

Ответ: вариант «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Подставь в предложение цену за вычетом налога, реши систему заново и сравни новую равновесную цену со старой.

Ответ: б

Речь о цене, которую платит покупатель. Налог платит производитель, поэтому с каждой проданной единицы продавцу остаётся $p - t$, и предложение переписывается так: $Q_s = -c + d\,(p - t)$.

Приравниваем к спросу:
$$a - bp = -c + dp - dt.$$

Собираем цену в одной части: $a + c + dt = (b + d)\,p$, откуда
$$p = \frac{a + c + dt}{b + d}.$$

Без налога равновесная цена была $p_0 = \dfrac{a + c}{b + d}$.

Разница: $\Delta p = p - p_0 = \dfrac{d}{b + d}\,t$.

Параметры $b$ и $d$ положительны, поэтому дробь $\dfrac{d}{b + d}$ строго больше нуля и строго меньше единицы. Значит цена выросла, но меньше чем на $t$.

Экономический смысл: налог делится между продавцом и покупателем, и доля покупателя тем больше, чем менее эластичен спрос по сравнению с предложением. Ответ однозначен именно потому, что положительность всех коэффициентов гарантирована условием, — поэтому вариант «г» не подходит.

Ответ: вариант «б».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Количество штучное, поэтому считай разность двух значений общей полезности, а не производную.

Ответ: в

Количество хинкалей целое, поэтому предельную полезность считают разностью соседних значений общей полезности, а не производной:
$$MU(7) = TU(7) - TU(6).$$

Подставляем в функцию из условия $U(x) = 5x^2 + 4x$.

$TU(7) = 5 \cdot 49 + 4 \cdot 7 = 245 + 28 = 273$.

$TU(6) = 5 \cdot 36 + 4 \cdot 6 = 180 + 24 = 204$.

Разность: $273 - 204 = 69$.

Ответ: вариант «в», $69$ единиц удовлетворения.

Ловушка задания спрятана в производной. Если посчитать $U'(x) = 10x + 4$, то при $x = 7$ выйдет $74$, а при $x = 6$ — $64$; оба этих числа заботливо положены в варианты ответа, но ни одно из них не равно приросту полезности при переходе от шести хинкалей к семи. Вариант $79$ — это $MU(8)$, то есть ответ на сдвинутый вопрос.

Бюджет на $10$ хинкалей в вычислениях не участвует вовсе: он нужен только чтобы убедиться, что седьмая хинкаль Мите по карману.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Возврат номинала — это не доход, а возврат своих же денег; складывай только купоны и бонус.

Ответ: 4200 руб.

Доход — это то, что Маша получит сверх вложенных денег. Возврат номинала в доход не входит: он лишь возвращает потраченные на покупку 10 000 рублей.

Купон за один год: $8\,\%$ от номинала, то есть $0{,}08 \cdot 10\,000 = 800$ рублей.

Купоны за пять лет: $800 \cdot 5 = 4000$ рублей.

Добавляем разовый бонус последнего года: $4000 + 200 = 4200$ рублей.

Проверим по денежным потокам целиком. Маша отдала $10\,000$ рублей, а получила $5 \cdot 800 + 10\,000 + 200 = 14\,200$ рублей. Разница $14\,200 - 10\,000 = 4200$ рублей и есть совокупный доход.

Ответ: $4200$ рублей.

Сложные проценты здесь ни при чём: купон каждый год считается от номинальной стоимости, а не от накопленной суммы, и в облигацию он не реинвестируется. Заметь также, что бумага куплена ровно по номиналу, поэтому никакого дополнительного дохода или убытка от разницы цены покупки и погашения не возникает.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Объём продаж при потолке — это предложение, а спрос равен объёму плюс дефицит; по двум точкам восстанови обе прямые.

Ответ: 1225 руб.

Ключевая мысль: при потолке ниже равновесной цены рынок продаёт ровно столько, сколько готовы предложить продавцы. То есть наблюдаемый объём продаж — это величина предложения, а величина спроса равна объёму продаж плюс дефицит. Самый низкий потолок, при котором дефицита нет, — это ровно равновесная цена.

Восстановим предложение $Q_s = c + dP$ по двум точкам: $(1000;\ 250\,000)$ и $(1200;\ 300\,000)$.

Наклон: $d = \dfrac{300\,000 - 250\,000}{1200 - 1000} = \dfrac{50\,000}{200} = 250$.

Свободный член: $c = 300\,000 - 250 \cdot 1200 = 0$, то есть $Q_s = 250P$.

Теперь спрос $Q_d = a - bP$. Величина спроса при цене $1000$ равна $250\,000 + 90\,000 = 340\,000$, при цене $1200$ равна $300\,000 + 10\,000 = 310\,000$.

Наклон: $b = \dfrac{340\,000 - 310\,000}{200} = 150$, а $a = 340\,000 + 150 \cdot 1000 = 490\,000$, то есть $Q_d = 490\,000 - 150P$.

Приравниваем: $250P = 490\,000 - 150P$, откуда $400P = 490\,000$ и $P = 1225$.

Проверка: $Q_s = Q_d = 250 \cdot 1225 = 306\,250$ колясок, дефицит нулевой.

Ответ: $1225$ рублей.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Переведи каждый процент в множитель и перемножь все четыре — проценты за разные годы складывать нельзя.

Ответ: 1,7 %

Проценты за разные годы не складываются — перемножаются множители изменения.

Выручка равна $TR = P \cdot Q$, поэтому достаточно перемножить четыре множителя: два по цене и два по количеству.

Снижение цены на $20\,\%$ — множитель $0{,}8$; снижение ещё на $10\,\%$ — множитель $0{,}9$. Рост продаж на $25\,\%$ — множитель $1{,}25$; рост ещё на $13\,\%$ — множитель $1{,}13$.

Записываем цепочку:
$$TR_{24} = P_{24} Q_{24} = (P_{22} \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9)(Q_{22} \cdot 1{,}25 \cdot 1{,}13) = TR_{22} \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 \cdot 1{,}25 \cdot 1{,}13.$$

Считать удобно парами: $0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1$, то есть первый год плана выручку вообще не изменил. Остаётся $0{,}9 \cdot 1{,}13 = 1{,}017$.

Значит выручка 2024 года составит $101{,}7\,\%$ от выручки 2022 года, то есть вырастет на $1{,}7\,\%$. Знак «минус» не нужен.

Ответ: $1{,}7$.

Типичная ошибка — сложить проценты: $-20 - 10 + 25 + 13 = +8$ и получить неверные $8\,\%$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Затраты на привлечение даны в расчёте на одного клиента — умножь их на число клиентов, и получится квадратичная прибыль.

Ответ: 15 000 д.е.

Главная тонкость условия: $6N$ — это затраты на привлечение ОДНОГО клиента. Значит на всех клиентов уходит $6N \cdot N = 6N^2$ д.е.

Записываем прибыль как функцию числа клиентов:
$$\pi(N) = 1000N - 400N - 6N^2 = 600N - 6N^2.$$

Это парабола ветвями вниз, максимум достигается в вершине:
$$N^{*} = \frac{600}{2 \cdot 6} = 50.$$

Итого Диме выгодно привлечь $50$ покупателей.

Подставляем: $\pi(50) = 600 \cdot 50 - 6 \cdot 2500 = 30\,000 - 15\,000 = 15\,000$ д.е.

Проверим соседние целые значения, раз клиенты штучные: при $N = 49$ прибыль равна $29\,400 - 14\,406 = 14\,994$, при $N = 51$ — $30\,600 - 15\,606 = 14\,994$. Обе величины меньше, максимум найден верно.

Ответ: $15\,000$ д.е.

Если не заметить слова «в среднем на одного» и оставить издержки привлечения равными $6N$ на всех, прибыль получится линейной и неограниченной — верный признак того, что условие прочитано неправильно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Сначала переведи издержки в валюту спроса по курсу, а потом выписывай обратный спрос и максимизируй прибыль по объёму.

Ответ: 3600 левов

Складывать выручку и издержки можно только в одной валюте, поэтому сначала переводим издержки в левы.

Один фунт стоит $2{,}3$ лева, значит $TC = 10Q^2$ фунтов — это $10Q^2 \cdot 2{,}3 = 23Q^2$ левов.

Теперь выручка. Из спроса $Q = 300 - 0{,}5P$ выражаем обратный спрос: $0{,}5P = 300 - Q$, то есть $P = 600 - 2Q$. Отсюда
$$TR = (600 - 2Q)\,Q = 600Q - 2Q^2.$$

Прибыль в левах:
$$\pi(Q) = 600Q - 2Q^2 - 23Q^2 = 600Q - 25Q^2.$$

Парабола ветвями вниз, вершина при $Q^{*} = \dfrac{600}{2 \cdot 25} = 12$.

Ответ: $\pi(12) = 600 \cdot 12 - 25 \cdot 144 = 7200 - 3600 = 3600$ левов.

Тот же результат даёт условие $MR = MC$: $600 - 4Q = 46Q$, откуда $Q = 12$. Цена при этом объёме равна $P = 600 - 24 = 576$ левов.

Частая ошибка — посчитать прибыль в смешанных единицах, вычитая фунтовые издержки из левовой выручки: тогда получится $\pi = 600Q - 12Q^2$ и максимум $7500$, что неверно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Посчитай чистый поток каждого года и складывай нарастающим итогом, пока сумма впервые не станет положительной.

Ответ: 4 лет

Считаем чистый денежный поток каждого года по формуле «выручка минус инвестиции минус расходы».

Год $0$: $0 - 50 - 0 = -50$ млн.

Год $1$: $20 - 20 - 10 = -10$ млн.

Год $2$: $40 - 10 - 15 = +15$ млн.

Год $3$: $50 - 0 - 20 = +30$ млн.

Год $4$: $55 - 0 - 20 = +35$ млн.

Год $5$: $60 - 0 - 25 = +35$ млн.

Теперь складываем нарастающим итогом: $-50$, затем $-60$, затем $-45$, затем $-15$ и наконец $-15 + 35 = +20$ млн рублей по итогам четвёртого года.

До конца третьего года накопленный результат остаётся отрицательным, и только по итогам четвёртого года он впервые становится положительным. Значит вложения окупаются за $4$ полных года.

Ответ: $4$ года.

Пятый год в ответ не входит: к его началу проект уже вышел в плюс. И обрати внимание, что инвестиции идут не только в нулевой год — вложения первого и второго годов тоже надо вычитать из потока, иначе окупаемость получится слишком ранней.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

В каждую партию входит ещё и коробка — учти её ресурсы, а из двух остатков выбери тот, который закончится первым.

Ответ: 19 коробок

Главная ловушка: партия — это не только $12$ брусочков, но и коробка, в которую их упаковали. Её тоже делает сама фирма, значит её ресурсы надо учесть.

Затраты на одну партию. Труд: $12 \cdot 1 + 2 = 14$ единиц. Капитал: $12 \cdot 3 + 1 = 37$ единиц.

На три партии: $L = 3 \cdot 14 = 42$ и $K = 3 \cdot 37 = 111$.

Остатки ресурсов: труда $80 - 42 = 38$ единиц, капитала $150 - 111 = 39$ единиц.

На одну пустую коробку нужно $2$ единицы труда и $1$ единица капитала. По труду остатка хватит на $38 : 2 = 19$ коробок, по капиталу — на $39$ коробок. Жёстче ограничение по труду, оно и определяет выпуск.

Ответ: $19$ коробок.

Капитала при этом останется $39 - 19 = 20$ единиц, и это нормально: труд закончился раньше, а докупать ресурсы условие не позволяет.

Если забыть про коробку внутри каждой партии, свободного труда окажется $38 + 3 \cdot 2 = 44$ единицы и получится завышенный ответ $22$ коробки.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Экономия на единице энергии умножается на её объём — сравни это произведение с инвестициями и реши квадратное неравенство.

Ответ: 8 единиц выпуска

Сравниваем два варианта при одном и том же выпуске $Q$: платить угольной станции или один раз вложиться и платить дешевле.

Экономия на каждой тысяче кВт·ч равна $6000 - 2000 = 4000$ рублей. Умножаем её на объём потребления $W$ и требуем, чтобы экономия покрыла инвестиции:
$$4000\,(16Q + Q^2 + 58) \ge 1\,000\,000.$$

Делим обе части на $4000$:
$$Q^2 + 16Q + 58 \ge 250,$$
то есть $Q^2 + 16Q - 192 \ge 0$.

Свернём левую часть в квадрат: $Q^2 + 16Q + 64 \ge 256$, то есть $(Q + 8)^2 \ge 256$ и $|Q + 8| \ge 16$. Отрицательный корень отбрасываем, потому что выпуск неотрицателен, и получаем $Q \ge 8$.

Проверка при $Q = 8$: потребность равна $16 \cdot 8 + 64 + 58 = 250$ тыс. кВт·ч, экономия $250 \cdot 4000 = 1\,000\,000$ рублей — ровно инвестиции. Фирме безразлично, а по условию при безразличии она переходит, поэтому $8$ подходит.

Ответ: $8$ единиц выпуска.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Возьми на красной прямой две точки с круглыми координатами, найди наклон и свободный член и подставь одиннадцатый год.

Ответ: 320 тыс. руб.

Прогноз строится по красной прямой, а не по фактическим точкам: сами точки нужны только чтобы понимать масштаб и убедиться, что прямая проведена разумно.

Ищем прямую в виде $Pr = a + bt$, где $t$ — год с момента основания фирмы.

Две её точки известны: $(5;\ 200)$ и $(10;\ 300)$. Составляем систему
$$\begin{cases} 200 = a + 5b, \\ 300 = a + 10b. \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго: $5b = 100$, откуда $b = 20$ тыс. рублей в год. Тогда $a = 200 - 20 \cdot 5 = 100$.

Получаем $Pr = 100 + 20t$.

Проверим, что прямая действительно идёт посередине облака точек. На первом году она даёт $120$ при факте $90$, на десятом — $300$ при факте $320$. Средняя фактическая прибыль за десять лет равна $\dfrac{2100}{10} = 210$ тыс. рублей, и прямая в середине отрезка, при $t = 5{,}5$, даёт ровно $100 + 110 = 210$. Всё сходится.

Подставляем одиннадцатый год: $Pr = 100 + 20 \cdot 11 = 320$ тыс. рублей.

Ответ: $320$ тыс. рублей. Совпадение с фактом десятого года случайно: это точка тренда, а не повторение прошлогоднего результата.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf

Посчитай, во сколько рублей обходится одна единица счастья от каждого блага, и потрать всё на то, где она дешевле.

Ответ: 20 литров

Полезность здесь складывается: $U = x + 4y$, где $x$ — число пачек мороженого, а $y$ — число литров сока. Такая функция означает, что блага совершенно взаимозаменяемы, и весь выбор сводится к тому, где единица счастья дешевле.

Мороженое: пачка за $20$ рублей даёт $1$ у.е., то есть единица счастья стоит $20$ рублей.

Сок: литр за $60$ рублей даёт $4$ у.е., то есть единица счастья стоит $60 : 4 = 15$ рублей.

Сок выгоднее, поэтому весь бюджет уходит на него — это угловое решение.

Считаем: $1200 : 60 = 20$ литров, счастье при этом равно $4 \cdot 20 = 80$ у.е.

Ответ: $20$ литров.

Проверим альтернативу. Весь бюджет на мороженое даёт $1200 : 20 = 60$ пачек и всего $60$ у.е. счастья — заметно меньше. Смешанные наборы тоже хуже: каждые $60$ рублей, переложенные из сока в мороженое, отнимают $4$ у.е. и возвращают только $3$.

Тот же вывод даёт аналитический путь: максимизируем $U = x + 4y$ при бюджетном ограничении $20x + 60y \le 1200$, то есть $x + 3y \le 60$. Максимум достигается в угловой точке $(0;\ 20)$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-9-mun-msk-22-23.pdf