ВсОШ по экономике 2022/23, муниципальный этап, 10–11 класс

Переведи каждое утверждение на язык средних издержек: что происходит с $TC/Q$, когда выпуск растёт.

Ответ: в

Возрастающая отдача от масштаба означает вот что: увеличим все факторы производства в $k$ раз — выпуск вырастет больше чем в $k$ раз.

Вариант а) не проходит: общие издержки с ростом выпуска не снижаются. Чтобы собрать больше машинок, нужно больше металла, труда и электричества, и заплатить за них придётся больше. Падать может доля постоянных издержек в цене единицы, но не сама сумма $TC$.

Вариант б) описывает прямо противоположный случай: выпуск отстаёт от роста затрат факторов, это убывающая отдача от масштаба.

Вариант в) верен. Если факторы выросли в $k$ раз, то и расходы на них выросли примерно в $k$ раз, а выпуск — сильнее. Делим издержки на больший выпуск и получаем, что $AC = TC/Q$ падает. Снижающиеся средние издержки и есть обычное проявление экономии от масштаба.

Вариант г) тоже мимо: из связи предельной и средней величины следует, что при $MC > AC$ средние издержки растут. Растущие $AC$ — признак убывающей отдачи, а не возрастающей.

Верен третий вариант, то есть буква «в».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Проверь по определению, кто из троих попадает в число безработных, а кто вообще выбывает из рабочей силы.

Ответ: а

Уровень безработицы считается как доля безработных в рабочей силе:

$$u = \frac{U}{E + U},$$

где $U$ — число безработных, $E$ — число занятых. В рабочую силу входят только те, кто работает или активно ищет работу.

Пока фирма работала, все трое были заняты и давали в рабочую силу три человека. После закрытия:

• Артём сразу нашёл работу программистом, значит, остался среди занятых;
• Антон путешествует и работу не ищет, поэтому выбывает из рабочей силы, безработным он не считается;
• Андрей учится в аспирантуре и работать не планирует, он тоже выбывает из рабочей силы.

Получается, что число безработных $U$ не изменилось, а число занятых уменьшилось на два человека. В дроби числитель остался прежним, а знаменатель стал меньше:

$$u_1 = \frac{U}{E + U} < u_2 = \frac{U}{(E - 2) + U}.$$

Уровень безработицы вырос, хотя ни один из троих безработным не стал: весь эффект дала убыль рабочей силы. Варианты б) и в) противоречат этому неравенству, а г) не годится, данных хватает, чтобы ответить однозначно.

Верен первый вариант, буква «а».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Запиши сборы через разрыв между ценой покупателя и ценой продавца и подумай, какие разрывы достижимы в каждом случае.

Ответ: г

Любой налог из перечисленных делает одно и то же: разводит цену покупателя $P_d$ и цену продавца $P_s$. Сборы государства равны произведению этого разрыва на равновесное количество:

$$T = (P_d - P_s) \cdot Q.$$

Равновесный объём определяется тем, при каком $Q$ готовность платить покупателей превышает цену предложения ровно на величину разрыва. То есть он зависит только от размера клина, а не от того, с кого формально берут деньги.

Потоварный налог на потребителей и потоварный налог на производителей при одинаковой ставке $t$ дают один и тот же клин $P_d - P_s = t$, одно и то же $Q$ и одни и те же сборы. Это стандартный результат: юридическое распределение налога не влияет на экономическое. Значит, варианты а) и б) заведомо равны между собой, и по отдельности ни один из них не может быть лучшим.

Процентный налог на цену производителя даёт клин $P_d - P_s = \tau P_s$. Подбирая ставку $\tau$, можно получить любой нужный разрыв: если нужен клин величины $t$ при равновесной цене продавца $P_s$, достаточно взять $\tau = t / P_s$. Наоборот, любой процентной ставке отвечает какой-то потоварный эквивалент. Множество достижимых пар «цена покупателя и цена продавца» у всех трёх налогов одно и то же, а вместе с ним совпадают и максимально возможные сборы.

Верен четвёртый вариант, буква «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Альтернативная стоимость икса — модуль наклона КПВ; посчитай его в каждом пункте и сравни.

Ответ: б

Альтернативная стоимость единицы $x$ — это модуль наклона КПВ, то есть сколько игреков теряется при выпуске ещё одного икса.

Вариант а). Для $y = 100 - x^2$ наклон равен $-2x$, поэтому $AC_x = 2x$. Стоимость икса растёт по мере роста самого икса, постоянной она не является.

Вариант б). У Миши наклон равен $-1$: каждый икс стоит ему одного игрека. У Андрея наклон $-2$: каждый икс обходится в два игрека. Дешевле икс достаётся Мише, значит, сравнительное преимущество в производстве $x$ у него. Утверждение верно.

Вариант в). Ограничение на два товара идёт от рисунка, а не от модели. Набор производственных возможностей строится и для трёх товаров, и для большего числа, просто изобразить его на плоскости уже не выйдет.

Вариант г). Для $y = \sqrt{100 - x^2}$ производная равна

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{100 - x^2}}, \qquad AC_x = \frac{x}{\sqrt{100 - x^2}}.$$

Эта величина растёт с ростом икса. Но на такой КПВ больший игрек означает меньший икс, поэтому с увеличением игрека альтернативная стоимость икса как раз падает. Утверждение перевёрнуто.

Верен второй вариант, буква «б».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Вспомни, что импорт — это продажа своей валюты и покупка чужой, и посмотри, как каждый вариант двигает предложение валюты M.

Ответ: а

Курс складывается на валютном рынке. Чтобы купить импортный товар, жители страны M продают свою валюту и покупают валюту N, поэтому импорт из N — это предложение валюты M и спрос на валюту N.

Вариант а). Если страна M стала закупать у соседа меньше, предложение валюты M на рынке сокращается, а спрос на валюту N падает. При прочих равных валюта M дорожает, то есть получается ровно то, что описано в условии. Причина подходит.

Вариант б). Рост закупок работает в обратную сторону: валюты M на рынке становится больше, и она дешевеет, а не дорожает.

Вариант в). Девальвация — это осознанное снижение курса национальной валюты. После неё за единицу валюты M давали бы меньше единиц валюты N, результат противоположный описанному.

Вариант г) отпадает, потому что первое объяснение работает.

Верен первый вариант, буква «а».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Сложи прибыли обоих соседей и посмотри, чем максимум суммы по числу ульев отличается от максимума прибыли одного пасечника.

Ответ: 5 ульев

Ульи дают положительный внешний эффект: выгоду от них получает не только пасечник, но и сосед. Поэтому частный оптимум и общественный оптимум не совпадают, и задача сводится к тому, чтобы найти оба и сравнить.

Сначала посмотрим на пасечника. Он максимизирует $PR_1 = 10Q - Q^2$. Это парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:

$$Q_1 = \frac{10}{2} = 5.$$

Теперь общественный оптимум. Общественное благосостояние — это сумма прибылей обоих соседей:

$$PR_1 + PR_2 = 10Q - Q^2 + 5T - T^2 + 10Q = 20Q - Q^2 + 5T - T^2.$$

Слагаемые с тюльпанами от числа ульев не зависят, поэтому по $Q$ максимизируем $20Q - Q^2$. Снова парабола ветвями вниз, вершина:

$$Q_2 = \frac{20}{2} = 10.$$

Разница объясняется просто: для общества каждый улей приносит вдвое больший выигрыш, 10 пасечнику и ещё 10 соседу, а пасечник считает только свою половину, поэтому недостраивает пасеку.

Недопроизводство составляет $10 - 5 = 5$ ульев. Ответ: 5.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Выразите брак через выпуск, подставьте в функцию спроса и в каждом из двух случаев найдите вершину параболы прибыли.

Ответ: 20 зеркал

Ключевая мысль: доля брака фиксирована, поэтому $A$ выражается через $Q$ и подставляется прямо в функцию спроса. Дальше в обоих случаях прибыль оказывается параболой ветвями вниз, и оптимум ищется как вершина.

Случай без дополнительных мер, $A = Q/4$:

$$P = 1000 - 2Q - 2 \cdot \frac{Q}{4} = 1000 - 2{,}5Q,$$

$$PR = (1000 - 2{,}5Q)Q - Q^2 - 20Q = 980Q - 3{,}5Q^2.$$

Вершина параболы:

$$Q = \frac{980}{2 \cdot 3{,}5} = 140, \qquad A = \frac{140}{4} = 35.$$

Случай с усиленным контролем, $A = Q/8$, а к издержкам добавляется $200Q$:

$$P = 1000 - 2Q - 2 \cdot \frac{Q}{8} = 1000 - 2{,}25Q,$$

$$PR = (1000 - 2{,}25Q)Q - Q^2 - 20Q - 200Q = 780Q - 3{,}25Q^2.$$

Вершина:

$$Q = \frac{780}{2 \cdot 3{,}25} = 120, \qquad A = \frac{120}{8} = 15.$$

Обрати внимание: брак падает по двум причинам сразу. Доля брака уменьшается вдвое, и сам выпуск сокращается со 140 до 120 штук из-за подорожавшего производства.

Снижение количества бракованных зеркал: $35 - 15 = 20$. Ответ: 20.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Начни с минимума средних издержек: в долгосрочном равновесии именно он задаёт цену.

Ответ: 10 фирм

В долгосрочном равновесии при свободном входе экономическая прибыль каждой фирмы равна нулю, а работает фирма в точке минимума средних издержек. Значит, цена на рынке равна $AC_{min}$: если бы цена была выше, в отрасль пришли бы новые фирмы, если ниже — часть фирм ушла бы.

Ищем минимум средних издержек. Функция $AC_i = q_i^2 - 10q_i + 50$ — парабола ветвями вверх, минимум в вершине:

$$q_i = \frac{10}{2} = 5, \qquad AC_{min} = 25 - 50 + 50 = 25.$$

Отсюда рыночная цена $P = 25$.

Теперь смотрим, сколько при такой цене купят потребители:

$$25 = \frac{62500}{Q^2} \;\Rightarrow\; Q^2 = 2500 \;\Rightarrow\; Q = 50.$$

Каждая фирма выпускает по 5 единиц, суммарно продаётся 50 единиц, поэтому число фирм равно

$$n = \frac{50}{5} = 10.$$

Ответ: 10 фирм.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Вспомни, как предельная выручка монополиста выражается через цену и эластичность спроса.

Ответ: 6 д.е.

Здесь удобно пользоваться связью между наценкой монополиста и эластичностью спроса. Предельная выручка выражается через цену и эластичность:

$$MR = P\left(1 + \frac{1}{E_d}\right).$$

В оптимуме монополист выбирает выпуск так, чтобы $MR = MC$. Подставим и перепишем результат как индекс Лернера:

$$\frac{P^* - MC}{P^*} = -\frac{1}{E_d}.$$

Остаётся подставить числа. Предельные издержки равны 5, эластичность равна $-6$, поэтому

$$\frac{P^* - 5}{P^*} = \frac{1}{6}.$$

Домножаем обе части на $6P^*$:

$$6P^* - 30 = P^* \;\Rightarrow\; 5P^* = 30 \;\Rightarrow\; P^* = 6.$$

Проверка на здравый смысл: спрос довольно эластичный, поэтому наценка невелика, цена всего на 20 % выше предельных издержек. Если бы эластичность в оптимуме была ближе к $-1$, наценка оказалась бы куда больше.

Ответ: цена равна 6.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Выручка линейна, поэтому её максимум ищи только в точках излома КПВ — посчитай выручку в каждой из них.

Ответ: 2 млн руб.

Выручка линейна по объёмам:

$$TR = 60L + 50V,$$

где $L$ и $V$ — ложки и вилки в тысячах штук, а сама выручка тогда получается в тысячах рублей.

Линия постоянной выручки — прямая. Выразим из формулы ложки:

$$L = \frac{TR}{60} - \frac{5}{6}V.$$

Её наклон равен $-5/6$ и от уровня выручки не зависит: чем выше линия, тем больше выручка. Значит, нужно поднимать линию, пока она ещё задевает множество возможных выпусков. Линейная функция на таком множестве достигает максимума в угловой точке, поэтому достаточно перебрать вершины ломаной.

Считаем выручку в тысячах рублей:

• $(0;\,30)$: $TR = 60 \cdot 30 = 1800$;
• $(10;\,25)$: $TR = 60 \cdot 25 + 50 \cdot 10 = 1500 + 500 = 2000$;
• $(20;\,15)$: $TR = 60 \cdot 15 + 50 \cdot 20 = 900 + 1000 = 1900$;
• $(30;\,0)$: $TR = 50 \cdot 30 = 1500$.

Тот же ответ виден и по наклонам. На первом участке КПВ наклон равен $-0{,}5$: отказ от одной ложки даёт две вилки, и переход выгоден, ведь $50 \cdot 2 > 60$. На втором участке наклон $-1$, на третьем $-1{,}5$, там обмен уже невыгоден. Перелом происходит ровно в точке $(10;\,25)$, где наклон КПВ переходит через значение $-5/6$, то есть через наклон линии выручки.

Максимум равен 2000 тыс. рублей, то есть 2 млн рублей в месяц. Ответ: 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Сначала выведи спрос на труд одной фирмы как функцию от ставки, потом умножь на число фирм и приравняй к предложению.

Ответ: 5 д.е. в час

План такой: сначала выводим спрос на труд одной фирмы как функцию ставки, потом складываем спрос десяти одинаковых фирм и приравниваем к предложению труда.

Прибыль Саши через количество труда:

$$PR = 20\sqrt{L} - wL.$$

Удобно обозначить $x = \sqrt{L}$, тогда $PR = 20x - wx^2$. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$$x = \frac{20}{2w} = \frac{10}{w}.$$

Возвращаемся к труду: одна фирма при ставке $w$ нанимает

$$L_d = x^2 = \frac{100}{w^2}.$$

Фирм десять, спрос у всех одинаковый, поэтому рыночный спрос на труд равен

$$L_d = \frac{1000}{w^2}.$$

Приравниваем спрос к предложению:

$$\frac{1000}{w^2} = 8w \;\Rightarrow\; w^3 = 125 \;\Rightarrow\; w = 5.$$

Проверим: при $w = 5$ каждая фирма нанимает $100/25 = 4$ человеко-часа, десять фирм берут 40 человеко-часов, а предложение даёт $8 \cdot 5 = 40$. Сходится.

Ответ: $w = 5$ д.е. в час.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Выразите один фактор через другой по заданной пропорции — производственная функция сразу станет функцией одной переменной.

Ответ: 6

Факторы связаны пропорцией $L = 256K$, поэтому вся задача сводится к одной переменной.

Подставим это в производственную функцию:

$$Q = K^{1/4}(256K)^{1/4} = 256^{1/4} \cdot K^{1/2} = 4\sqrt{K}.$$

Здесь пригодилось то, что $256^{1/4} = 4$.

Теперь издержки. Фирма платит за человеко-часы и за станки:

$$TC = 0{,}25L + 32K = 0{,}25 \cdot 256K + 32K = 64K + 32K = 96K.$$

Осталось выразить количество станков через выпуск. Из $Q = 4\sqrt{K}$ получаем $\sqrt{K} = Q/4$, то есть $K = Q^2/16$. Подставляем:

$$TC(Q) = 96 \cdot \frac{Q^2}{16} = 6Q^2.$$

Сравниваем с $TC(Q) = aQ^b$ и получаем $a = 6$ и $b = 2$.

Заодно видно экономическое содержание: показатель $b = 2$ больше единицы, издержки растут быстрее выпуска, средние издержки $AC = 6Q$ возрастают. У фирмы убывающая отдача от масштаба, что естественно для функции с суммой степеней $1/4 + 1/4 = 1/2 < 1$.

В ответ вводится параметр $a$, он равен 6.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Каждую эластичность умножь на процентное изменение своего фактора и аккуратно следи за знаками.

Ответ: 3,5 %

Эластичность показывает, на сколько процентов меняется величина спроса при изменении соответствующего фактора на один процент. Когда факторов несколько, а изменения небольшие, их вклады складываются:

$$\%\Delta Q = E_P \cdot \%\Delta P + E_I \cdot \%\Delta I + E_M \cdot \%\Delta P_M.$$

Считаем процентные изменения каждого фактора:

• цена апельсинов: рост со 109 до 110 рублей, это примерно $+1\,\%$ (точнее $1/109 \approx 0{,}92\,\%$, официальный разбор округляет до одного процента);
• доходы: рост с 20 000 до 21 000 рублей, это $+5\,\%$;
• цена мандаринов: снижение с 500 до 490 рублей, это $-2\,\%$.

Подставляем вместе со знаками эластичностей:

$$-0{,}3 \cdot 1\,\% + 0{,}8 \cdot 5\,\% + 0{,}1 \cdot (-2\,\%) = -0{,}3\,\% + 4\,\% - 0{,}2\,\% = +3{,}5\,\%.$$

Логика знаков такая. Апельсины подорожали, поэтому их берут меньше, вклад отрицательный. Доходы выросли, а апельсины нормальное благо (эластичность по доходу положительна), вклад большой и положительный, он и определяет результат. Мандарины подешевели, а положительная перекрёстная эластичность означает, что это товар-заменитель, поэтому часть покупателей переключится на них, вклад снова отрицательный.

Если взять точное изменение цены апельсинов ($0{,}92\,\%$), получится $3{,}525\,\%$, что после округления до десятых даёт тот же результат.

Ответ: спрос вырастет примерно на 3,5 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Выразите оставшиеся деньги через число порций, найдите оптимум как для непрерывного случая и сравните два соседних целых.

Ответ: 1284

Деньги входят в функцию полезности напрямую, поэтому задача решается подстановкой бюджета.

Бюджетное ограничение: $100x + y = 800$, откуда $y = 800 - 100x$. Подставляем:

$$U(x) = 440\sqrt{x} + 800 - 100x.$$

Сначала найдём оптимум без условия целочисленности:

$$U'(x) = \frac{220}{\sqrt{x}} - 100 = 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 2{,}2 \;\Rightarrow\; x = 4{,}84.$$

Функция сначала растёт, потом убывает, поэтому при целом $x$ максимум достигается в одном из двух соседних значений, 4 или 5. Сравним:

• $x = 4$: $U = 440 \cdot 2 + 800 - 400 = 880 + 400 = 1280$;
• $x = 5$: $U = 440\sqrt{5} + 800 - 500 \approx 983{,}87 + 300 = 1283{,}87$.

Пять хачапури выгоднее. Для полноты можно проверить и соседей: при $x = 6$ получается около $1277{,}8$, при $x = 3$ около $1262{,}1$, так что найденный максимум действительно наибольший среди всех целых от 0 до 8.

Округляем $1283{,}87$ до ближайшего целого и получаем 1284.

Ответ: 1284.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf

Издержки меню уменьшают выручку с каждой единицы выпуска — вычти их прямо в функции прибыли и сравни два оптимума.

Ответ: 10 единиц выпуска

Решаем задачу дважды: сначала без издержек меню, потом с ними, и сравниваем оптимальный выпуск.

Без издержек меню реальная прибыль равна выручке за вычетом расходов на труд:

$$PR = Y(L) - wL = 10\sqrt{L} - L.$$

Обозначим $x = \sqrt{L}$, тогда $PR = 10x - x^2$ — парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$$x = \frac{10}{2} = 5, \qquad Y = 10 \cdot 5 = 50.$$

Теперь считаем издержки меню. При инфляции 10 % получаем

$$g = 0{,}02 \cdot 10 = 0{,}2$$

на каждую единицу выпуска. Это значит, что с каждой проданной единицы фирма реально получает не 1, а $1 - 0{,}2 = 0{,}8$. Прибыль становится такой:

$$PR = Y(L) - wL - g\,Y(L) = 10\sqrt{L} - L - 0{,}2 \cdot 10\sqrt{L} = 8\sqrt{L} - L.$$

Снова парабола ветвями вниз:

$$x = \frac{8}{2} = 4, \qquad Y = 10 \cdot 4 = 40.$$

Смысл результата: издержки меню работают как налог на выпуск, отдача от найма падает, фирма нанимает меньше труда ($L$ падает с 25 до 16) и производит меньше.

Разница выпуска: $50 - 40 = 10$ единиц. Ответ: 10.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2022-23/mun/econ/sol-econ-10-11-mun-msk-22-23.pdf