ВсОШ по экономике 2023/24, муниципальный этап, 11 класс

Нарисуй линии уровня линейной функции полезности и посмотри на их наклон: он постоянен или меняется?

Ответ: а

Проверяем утверждения по очереди.

Первое. У функции $u(x, y) = x + y$ линия безразличия — это множество точек, где $x + y = C$ при некоторой константе $C$, то есть прямая с наклоном $-1$. Предельная норма замещения постоянна и равна единице: в любой точке потребитель готов отдать одну единицу первого блага ровно за одну единицу второго, независимо от того, сколько у него уже есть того и другого. Постоянная норма замещения и прямые линии безразличия — это и есть определение совершенных субститутов. Утверждение верно (в общем виде совершенные заменители описываются функцией $u = ax + by$, наклон линий безразличия тогда равен $-a/b$).

Второе. Кривая безразличия по определению состоит из наборов благ с одинаковым уровнем полезности. Раз полезность у всех этих наборов одна и та же, потребителю безразлично, какой из них выбрать. Формулировка в утверждении дословно повторяет определение, значит, оно тоже верно.

Оба утверждения верны, это вариант а).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Выпуск целочисленный, поэтому предельные издержки — это разность двух соседних значений общих издержек, а не производная.

Ответ: а

Ключевой момент — выпуск целочисленный. Для неделимого товара предельные издержки $Q$-й единицы это не производная, а разность общих издержек:

$$MC(Q) = TC(Q) - TC(Q - 1)$$

Проверяем варианты подстановкой.

Вариант а): $TC(Q) - TC(Q-1) = (Q^2 + 5Q) - ((Q-1)^2 + 5(Q-1)) = (Q^2 + 5Q) - (Q^2 - 2Q + 1 + 5Q - 5) = 2Q + 4$. Совпало с условием.

Вариант б): $Q^2 - (Q-1)^2 = 2Q - 1$, не подходит.

Вариант в): $(2Q + 2) - (2(Q-1) + 2) = 2$, предельные издержки постоянны, не подходит.

Вариант г): $(Q^2 + 4Q) - ((Q-1)^2 + 4(Q-1)) = 2Q + 3$, не подходит.

Вариант г) — типичная ловушка: если бы выпуск был непрерывным, из $MC = 2Q + 4$ интегрированием получилось бы как раз $TC = Q^2 + 4Q$. Но при штучном выпуске правильный ответ сдвигается на единицу в коэффициенте: верно а), $TC = Q^2 + 5Q$. Проверка на малых числах: $TC(0) = 0$, $TC(1) = 6$, и первая пюрешка действительно стоит $2 \cdot 1 + 4 = 6$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Одна из этих двух величин показывает перекос торговли, а другая — её общий масштаб; проверь, какая считается разностью, а какая суммой.

Ответ: а

Задание на два определения из статистики внешней торговли.

Сальдо торгового баланса (чистый экспорт) считается как $X - M$, где $X$ — стоимость экспорта, $M$ — стоимость импорта. Положительное сальдо означает профицит торгового баланса, страна продаёт за рубеж больше, чем покупает; отрицательное — дефицит. Именно эта величина входит в основное макроэкономическое тождество $Y = C + I + G + X_n$ как $X_n$. Первое утверждение верно.

Торговый оборот (внешнеторговый оборот) считается как $X + M$ и показывает общий масштаб торговли страны с внешним миром, без различия направлений потоков. Второе утверждение тоже верно.

Разница между величинами в том, что они отвечают на разные вопросы: сальдо показывает перекос торговли в одну из сторон, оборот — её суммарный объём. Страны с огромным оборотом могут иметь почти нулевое сальдо, и наоборот.

Оба утверждения верны, ответ а).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Не вычитай проценты, а раздели индекс доходов на индекс цен — разница с грубой оценкой здесь как раз и решает задание.

Ответ: в

Реальный доход — это номинальный доход, делённый на уровень цен. Поэтому индекс реального дохода равен отношению индекса номинальных доходов к индексу цен, а не их разности.

Индекс номинальных доходов: $1{,}10$. Индекс цен: $1{,}12$. Тогда

$$\frac{1{,}10}{1{,}12} \approx 0{,}98214$$

Реальные доходы составили примерно 98,21 % от прежних, то есть сократились примерно на 1,79 %. Это падение, и оно меньше 2 %, значит, верный вариант — в).

Здесь важна именно точность счёта. Грубая оценка «прирост доходов минус инфляция» даёт $10\ \% - 12\ \% = -2\ \%$ и подталкивает к варианту г) «сократились на 2 % или более». Но приближённая формула работает только при малых темпах, а при 10–12 % ошибка уже заметна и меняет ответ: настоящее падение чуть слабее двух процентов, потому что при делении знаменатель «съедает» часть эффекта.

Варианты а) и б) отпадают сразу: доходы выросли медленнее цен, поэтому реальные доходы упали, а не выросли.

Ответ: в), сократились менее чем на 2 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Разложи события на два сдвига и отдельно спроси про количество и про цену: в одном случае эффекты складываются, в другом — гасят друг друга.

Ответ: а

Разложим происходящее на два независимых сдвига.

Подорожание комплектующих — это рост издержек производителей, кривая предложения сдвигается влево (вверх). Сама по себе такая перемена поднимает равновесную цену и снижает равновесное количество.

Снижение спроса — сдвиг кривой спроса влево (вниз). Сам по себе он опускает равновесную цену и тоже снижает равновесное количество.

Теперь складываем эффекты. По количеству оба сдвига действуют в одну сторону: равновесное количество однозначно уменьшается. По цене сдвиги тянут в разные стороны: предложение толкает цену вверх, спрос — вниз. Итог зависит от того, какой сдвиг сильнее, а в условии про их величину ничего не сказано. Значит, цена может и вырасти, и упасть (и даже остаться прежней).

Поэтому варианты б) и в) слишком категоричны: каждый из них верен лишь при определённом соотношении сдвигов, но из условия оно не следует. Вариант г) неверен вдвойне — количество точно не растёт.

Ответ: а).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Подставь удвоенные ресурсы прямо под корень и вынеси множитель наружу.

Ответ: 2 раз

Пусть исходные значения факторов — $K_0$ и $L_0$, а исходный выпуск равен $Q_0 = \sqrt{K_0 L_0}$. После удвоения обоих факторов $K_1 = 2K_0$ и $L_1 = 2L_0$, поэтому

$$Q_1 = \sqrt{K_1 L_1} = \sqrt{2K_0 \cdot 2L_0} = \sqrt{4 K_0 L_0} = 2\sqrt{K_0 L_0} = 2 Q_0$$

Выпуск вырос ровно в 2 раза.

Это функция Кобба — Дугласа $Q = K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ с суммой степеней $0{,}5 + 0{,}5 = 1$, то есть с постоянной отдачей от масштаба: увеличение всех ресурсов в $t$ раз увеличивает выпуск тоже в $t$ раз. Формально $Q(tK, tL) = \sqrt{tK \cdot tL} = t\sqrt{KL} = tQ(K, L)$, и при $t = 2$ получаем ответ.

Частая ошибка — сказать «в 4 раза», перемножив удвоения факторов и забыв про корень. Корень как раз и «гасит» произведение: под ним стоит четвёрка, а наружу выходит двойка.

Ответ: в 2 раза.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Госзакупки в условии не даны прямо — их подсказывает слово «сбалансированный» про бюджет.

Ответ: 3 %

Работаем с основным макроэкономическим тождеством для открытой экономики:

$$Y = C + I + G + X_n$$

где $Y$ — выпуск, $C$ — потребление, $I$ — инвестиции, $G$ — государственные закупки, $X_n$ — чистый экспорт.

Чистый экспорт считается как разность экспорта и импорта: $X_n = 3 - 1 = 2$ у.е.

Государственные закупки прямо в условии не даны, их подсказывает сбалансированность бюджета: расходы равны доходам, то есть $G = T = 5$ у.е.

Подставляем всё известное и находим инвестиции:

$$28 = 15 + I + 5 + 2 \;\Rightarrow\; I = 6$$

Осталось вернуться к инвестиционной функции:

$$15 - 3r = 6 \;\Rightarrow\; 3r = 9 \;\Rightarrow\; r = 3$$

Ставка процента равна 3 %. Проверка: при $r = 3$ инвестиции равны $15 - 9 = 6$, и сумма $15 + 6 + 5 + 2 = 28$ действительно совпадает с выпуском.

Ответ: 3.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Количество фанатов от цены не зависит, поэтому выручка растёт по цене — бери верхнюю границу их готовности платить.

Ответ: 150 млн долларов

Сначала разметим ценовую шкалу по границам сегментов.

«Активные игроки» покупают, пока их спрос положителен: $1\,500\,000 - 5\,000P > 0$, то есть при $P < 300$.

«Новые игроки» подключаются только при $n \ge 1\,000\,000$. «Фанатов» 300 тысяч, поэтому «активных игроков» должно набраться не менее 700 тысяч: $1\,500\,000 - 5\,000P \ge 700\,000$, откуда $P \le 160$.

Значит, участок цен, где покупают только «фанаты», — это $300 < P \le 500$. Здесь «активные игроки» уже отсеялись из-за отрицательного спроса, а «новые» тем более не приходят: общая база покупателей всего 300 тысяч. При $P > 500$ не покупает вообще никто, и выручка нулевая.

На интервале $300 < P \le 500$ величина спроса постоянна и равна 300 тысяч копий, поэтому выручка $TR = 300\,000 \cdot P$ строго растёт по цене. Максимум достигается на правом конце, при $P = 500$ (по условию фанаты покупают по цене до 500 включительно):

$$TR = 300\,000 \cdot 500 = 150\,000\,000$$

Это 150 млн долларов.

Ответ: 150.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Сложи спрос фанатов и активных игроков в одну функцию, найди вершину параболы выручки и проверь, попала ли она в допустимый диапазон цен.

Ответ: 162 млн долларов

Найдём границы нужного участка цен. «Активные игроки» покупают, пока $1\,500\,000 - 5\,000P > 0$, то есть при $P < 300$. «Новые игроки» приходят, когда число уже купивших не меньше миллиона: $300\,000 + 1\,500\,000 - 5\,000P \ge 1\,000\,000$, откуда $P \le 160$.

Значит, «фанаты» и «активные игроки» покупают, а «новые» ещё не подключились на интервале $160 < P \le 300$.

Здесь суммарный спрос складывается из постоянных 300 тысяч копий «фанатов» и спроса «активных игроков», поэтому выручка равна

$$TR = 300\,000P + P(1\,500\,000 - 5\,000P) = P(1\,800\,000 - 5\,000P)$$

Это парабола с ветвями вниз, её вершина находится в точке

$$P^* = \frac{1\,800\,000}{2 \cdot 5\,000} = 180$$

Точка $P^* = 180$ лежит внутри интервала $(160;\ 300]$, поэтому она и даёт максимум на этом участке:

$$TR = 180 \cdot (1\,800\,000 - 5\,000 \cdot 180) = 180 \cdot 900\,000 = 162\,000\,000$$

Это 162 млн долларов — больше, чем 150 млн на участке, где покупают только «фанаты».

Ответ: 162.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Посчитай максимум выручки на каждом из трёх ценовых участков отдельно и сравни три числа — сетевой эффект не обязан окупаться.

Ответ: 180 долларов

Ценовая шкала разбивается на четыре участка, на каждом свой состав покупателей. «Активные игроки» покупают при $P < 300$, «новые игроки» подключаются при $P \le 160$ (тогда «фанатов» и «активных игроков» вместе набирается не меньше миллиона).

Участок $P > 500$: не покупает никто, выручка ноль.

Участок $300 < P \le 500$: покупают только 300 тысяч «фанатов», выручка $TR = 300\,000P$ растёт по цене, максимум при $P = 500$ равен 150 млн долларов.

Участок $160 < P \le 300$: покупают «фанаты» и «активные игроки», $TR = P(1\,800\,000 - 5\,000P)$. Вершина параболы $P^* = 180$ попадает в интервал, максимум равен $180 \cdot 900\,000 = 162$ млн долларов.

Участок $0 \le P \le 160$: покупают все три группы. Число уже купивших равно $n = 300\,000 + 1\,500\,000 - 5\,000P = 1\,800\,000 - 5\,000P$, поэтому спрос «новых игроков» равен $(n - 1\,000\,000) - 3\,000P = 800\,000 - 8\,000P$. Тогда

$$TR = P(1\,800\,000 - 5\,000P) + P(800\,000 - 8\,000P) = P(2\,600\,000 - 13\,000P)$$

Вершина: $P^* = \frac{2\,600\,000}{2 \cdot 13\,000} = 100$, она лежит внутри участка, и

$$TR = 100 \cdot (2\,600\,000 - 1\,300\,000) = 130\,000\,000$$

то есть 130 млн долларов.

Сравниваем четыре максимума: 0, 150, 162 и 130 млн. Наибольшая выручка — 162 млн долларов при цене 180 долларов. Сетевой эффект от «новых игроков» здесь не окупается: чтобы их привлечь, приходится опускать цену ниже 160, и потеря на цене оказывается больше выигрыша в количестве.

Ответ: 180.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Нарисуй кривую Лоренца: она лежит на нуле почти до самого конца, а потом одним отрезком уходит в правый верхний угол.

Ответ: 0,96

Индекс Джини считается по кривой Лоренца: это отношение площади фигуры между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца к площади всего треугольника под линией равенства.

Построим кривую Лоренца для нашего случая. Людей упорядочиваем по количеству круассанов, от бедных к богатым. Первые 24 человека из 25 не имеют ни одного круассана, поэтому на отрезке от 0 до $\frac{24}{25}$ доли населения накопленная доля круассанов остаётся нулевой — кривая идёт по горизонтальной оси. Последний, двадцать пятый человек (Вася) владеет всеми 100 % круассанов, поэтому на последней $\frac{1}{25}$ населения кривая одним отрезком поднимается из точки $(0{,}96;\ 0)$ в точку $(1;\ 1)$.

Площадь под такой кривой Лоренца — это прямоугольный треугольник с катетами $\frac{1}{25}$ и $1$:

$$S_L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} \cdot 1 = 0{,}02$$

Площадь под линией абсолютного равенства равна $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Тогда

$$G = \frac{0{,}5 - 0{,}02}{0{,}5} = 0{,}96$$

Тот же результат даёт общая формула для случая, когда всё принадлежит одному человеку из $n$: $G = \frac{n-1}{n} = \frac{24}{25} = 0{,}96$. Видно, что абсолютного максимума (единицы) индекс не достигает никогда — чем больше группа, тем ближе он к единице.

Ответ: 0,96 (то же самое, что 96 %).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Налог действует только выше порога, поэтому прибыль кусочная: ищи оптимум отдельно на каждом куске и сравни их.

Ответ: 22 кг

Сначала посмотрим, что было бы без налога. Из функции спроса обратный спрос равен $P = 100 - Q$, поэтому прибыль равна

$$PR = (100 - Q)Q - Q^2 - 4Q = 96Q - 2Q^2$$

Это парабола с ветвями вниз, вершина в точке $Q = \frac{96}{2 \cdot 2} = 24$. Прибыль там положительна, но $24 > 20$, значит, без налога Инна попала бы в зону налогообложения — налог придётся учитывать.

Теперь прибыль становится кусочной. При $Q \le 20$ налога нет и $PR = 96Q - 2Q^2$; на этом отрезке прибыль ещё растёт (вершина при 24 лежит правее), поэтому лучшая точка здесь — граница $Q = 20$ с прибылью $96 \cdot 20 - 2 \cdot 400 = 1120$.

При $Q > 20$ каждый килограмм сверх двадцати облагается налогом 8 д.е.:

$$PR = 96Q - 2Q^2 - 8(Q - 20)$$

Приравниваем производную к нулю: $96 - 4Q - 8 = 0$, откуда $Q = 22$. Точка лежит в допустимой области ($22 > 20$), прибыль в ней равна $96 \cdot 22 - 2 \cdot 484 - 8 \cdot 2 = 2112 - 968 - 16 = 1128$.

Сравниваем два кандидата: $1128 > 1120$, значит, Инна выберет выпуск 22 кг. Цена при этом составит $100 - 22 = 78$ д.е. за килограмм.

Заметь: в официальном разборе налог записан как $-8Q$ (со всего выпуска, а не только со сверхлимитного). На условие первого порядка постоянное слагаемое $+160$ не влияет, поэтому ответ получается тот же самый — 22 кг.

Ответ: 22.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Сначала вытащи цену из правила Лернера, а потом подставь её в определение эластичности для линейного спроса.

Ответ: 12

Первый шаг — правило Лернера. В оптимуме монополиста относительная наценка над предельными издержками обратна модулю эластичности спроса:

$$\frac{P - MC}{P} = \frac{1}{|E_d|}$$

Подставляем $MC = 6$ и $|E_d| = 3$:

$$\frac{P^* - 6}{P^*} = \frac{1}{3} \;\Rightarrow\; 3P^* - 18 = P^* \;\Rightarrow\; P^* = 9$$

Второй шаг — определение эластичности для линейного спроса. Производная спроса по цене равна $Q_d' = -b$, поэтому

$$E_d = Q_d' \cdot \frac{P^*}{Q^*} = -b \cdot \frac{9}{a - 9b}$$

Приравниваем к $-3$:

$$-3 = -\frac{9b}{a - 9b} \;\Rightarrow\; 3a - 27b = 9b \;\Rightarrow\; 3a = 36b \;\Rightarrow\; a = 12b$$

Значит, $\frac{a}{b} = 12$.

Смысл результата: $\frac{a}{b}$ — это цена, при которой спрос обнуляется, то есть верхняя точка линии спроса. Оптимальная цена 9 оказалась ровно на три четверти пути от нуля до запретительной цены 12, и в этой точке спрос эластичен по модулю сильнее единицы, как и должно быть у монополиста.

Ответ: 12.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Сравни альтернативную стоимость по своей КПВ с курсом обмена у партнёра, специализируйся на выгодном товаре и только потом накладывай жёсткую пропорцию смеси.

Ответ: 360 единиц

Сравним два «курса обмена». По собственной КПВ $y = 300 - 4x$ одна дополнительная зелёнка обходится фирме в 4 единицы йода. У Макса одна зелёнка стоит всего половину йода (он меняет один йод на две зелёнки). Значит, производить зелёнку самой фирме невыгодно: дешевле специализироваться на йоде и выменивать зелёнку у Макса.

Полная специализация на йоде даёт $x = 0$, $y = 300$. Дальше фирма может двигаться по линии обмена: за каждую полученную зелёнку она отдаёт $0{,}5$ йода, поэтому доступные наборы описываются прямой

$$y = 300 - 0{,}5x$$

Эта линия лежит выше исходной КПВ везде, кроме точки полной специализации, — торговля с Максом расширяет возможности фирмы.

Теперь учтём рецепт йодазелина. В одной единице $\frac{2}{3}$ йода и $\frac{1}{3}$ зелёнки, то есть йода нужно ровно вдвое больше, чем зелёнки: $y = 2x$. Смесь жёсткая, излишек любого компонента бесполезен, поэтому фирме нужна точка на линии обмена с таким соотношением:

$$2x = 300 - 0{,}5x \;\Rightarrow\; 2{,}5x = 300 \;\Rightarrow\; x = 120$$

Тогда $y = 2 \cdot 120 = 240$. Каждая единица смеси расходует $\frac{1}{3}$ зелёнки, значит, из 120 единиц зелёнки получится $120 : \frac{1}{3} = 360$ единиц йодазелина. Проверка по йоду: $240 : \frac{2}{3} = 360$ — сходится. Можно и короче: на единицу смеси уходит ровно одна единица сырья суммарно, поэтому ответ равен $x + y = 120 + 240 = 360$.

Ответ: 360.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf

Решай с конца: сначала выведи, сколько ткани купит швейная фирма при произвольной цене метра, и подставь этот спрос в задачу поставщика.

Ответ: 10 д.е. за метр

Задача решается с конца: сначала разбираем поведение швейной компании при произвольной цене ткани, потом подставляем полученный спрос в задачу поставщика.

Пусть $p$ — цена метра ткани. На футболку уходит 2 метра, поэтому переменные издержки «По краешку» равны $2px$, а прибыль

$$PR = (24 - x)x - 2px = (24 - 2p)x - x^2$$

Парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:

$$x = \frac{24 - 2p}{2} = 12 - p$$

Ткани при этом закупается вдвое больше, чем сшито футболок:

$$y = 2x = 24 - 2p \;\Rightarrow\; p = 12 - \frac{y}{2}$$

Это и есть кривая спроса на ткань, с которой работает «С миру по ниточке». Её прибыль:

$$PR = \left(12 - \frac{y}{2}\right)y - y^2 = 12y - 1{,}5y^2$$

Снова парабола с ветвями вниз:

$$y = \frac{12}{2 \cdot 1{,}5} = 4$$

Отсюда цена ткани:

$$p = 12 - \frac{4}{2} = 10$$

Проверка: при $p = 10$ швейная компания шьёт $x = 12 - 10 = 2$ футболки и покупает 4 метра ткани, цена футболки равна $24 - 2 = 22$.

Это классическая двойная надбавка: каждая из двух монополий накручивает свою наценку, из-за чего выпуск оказывается меньше, чем если бы фирмы объединились.

В официальном разборе в строке со спросом на ткань опечатка: написано $y = 2(10 - p)$, хотя из выкладки следует $y = 2(12 - p)$. Дальше в решении используется правильное выражение $p = 12 - \frac{y}{2}$, поэтому ответ не меняется.

Ответ: 10.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-11-mun-msk-23-24.pdf