ВсОШ по экономике 2023/24, муниципальный этап, 10 класс

Вспомни, как выглядят кривые безразличия у функции минимума и в чём кардиналистский подход спорит с ординалистским.

Ответ: а

Проверяем утверждения по очереди.

Первое. $u(x, y) = \min(x, y)$ — функция Леонтьева. Её кривые безразличия выглядят как прямые углы с вершинами на луче $y = x$: если добавить только один из двух товаров, минимум не изменится и полезность не вырастет. Ровно так и ведут себя совершенные комплементы — лыжи и палки, левый и правый ботинок: они нужны потребителю в жёсткой пропорции. Утверждение верное.

Второе. Кардиналистский (количественный) подход как раз и строится на допущении, что полезность измерима: её можно выразить в условных единицах — ютилях — и сравнивать не только по принципу «больше или меньше», но и по величине разностей. Отказ от измеримости, когда остаётся одно лишь упорядочивание наборов, — это уже ординалистский подход. Второе утверждение тоже верное.

Оба утверждения верны, поэтому подходит первый вариант списка — «а». Варианты «б» и «в» отпадают, потому что каждый из них объявляет ложным одно из двух верных утверждений, а «г» противоречит сразу обоим разборам.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

При целочисленном выпуске предельные издержки — это разность двух соседних значений общих издержек, а не производная.

Ответ: а

Ключ к задаче — определение предельных издержек при неделимом выпуске. Производную здесь брать нельзя: когда $Q$ принимает только целые значения, предельные издержки — это прирост общих издержек от очередной баночки:
$$MC(Q) = TC(Q) - TC(Q - 1).$$

Проверим первый вариант. При $TC = Q^2 + 2Q$
$$TC(Q) - TC(Q - 1) = (Q^2 + 2Q) - \left((Q - 1)^2 + 2(Q - 1)\right) = (Q^2 + 2Q) - (Q^2 - 1) = 2Q + 1.$$
Получилось ровно то, что дано в условии.

Остальные варианты не проходят. Для $TC = Q^2$ и для $TC = Q^2 + 4$ разность соседних значений одна и та же: $Q^2 - (Q - 1)^2 = 2Q - 1$, то есть на единицу меньше нужного. Для $TC = 2Q + 2$ разность равна 2 и вовсе не зависит от выпуска, тогда как по условию предельные издержки должны расти с каждой баночкой.

Верный вариант — «а», $TC = Q^2 + 2Q$.

Полезное наблюдение: если бы выпуск был непрерывным, общие издержки искали бы интегрированием и получили бы $TC = Q^2 + Q + C$ — другую функцию. Именно на разнице между разностью и производной задача и построена.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Подумай, что откладывают по осям кривой Лоренца, и вспомни, где ещё, кроме доходов, встречается индекс Джини.

Ответ: г

Первое утверждение. Индекс Джини — универсальная мера концентрации: формально он показывает, насколько сильно произвольное распределение отклоняется от равномерного. Доходы — самый частый, но далеко не единственный объект: тем же индексом измеряют неравенство богатства, распределение земли между хозяйствами, концентрацию продаж между фирмами, разброс баллов в выборке. Слово «только» и делает утверждение ложным.

Второе утверждение. Построй кривую Лоренца по определению: домохозяйства упорядочены по возрастанию дохода, по горизонтали накапливается их доля, по вертикали — доля суммарного дохода. Каждое очередное домохозяйство добавляет к вертикальной координате свой доход, а доход неотрицателен, поэтому накопленная доля дохода не может уменьшиться. Наклон кривой в каждой точке равен доходу очередного домохозяйства, делённому на средний доход, то есть он неотрицателен. Кривая Лоренца не убывает, вниз она не идёт никогда. Утверждение ложное.

Оба утверждения неверны, значит, верный вариант — «г». Варианты «а», «б» и «в» требуют истинности хотя бы одного из двух утверждений, а таких здесь нет.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Выпиши, что связывает номинальный и реальный ВВП, и отметь, какой из трёх множителей в условии не задан.

Ответ: а

Всё упирается в связку номинального и реального ВВП: номинальный ВВП равен реальному, умноженному на дефлятор. Про дефлятор в условии нет ни слова, поэтому из роста номинального ВВП на 7 % никаких выводов о физическом объёме выпуска не следует.

Третий вывод. Если цены выросли меньше чем на 7 %, реальный ВВП увеличился; если ровно на 7 % — остался прежним; если сильнее — сократился. Все три исхода возможны, так что вывод достоверен.

Первый вывод. Реальный ВВП на душу вырос бы, только если реальный ВВП прибавил больше 4 %. Но реальный ВВП, как мы только что выяснили, мог и упасть. Вывод недостоверен — и заодно он прямо противоречит третьему.

Второй вывод. Средняя производительность труда — это реальный ВВП, делённый на численность занятых. Неизвестны оба множителя: и динамика реального ВВП, и то, как прирост населения распределился между занятыми, безработными и теми, кто вне рабочей силы. Вывод недостоверен.

Четвёртый вывод. Числа 10 % в условии нет ниоткуда: темп инфляции не выводится ни из роста номинального ВВП, ни из роста населения. Вывод недостоверен.

Достоверен ровно один вывод — третий. Верный вариант «а» — одно.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Посмотри, какой из налогов умножает всю функцию прибыли на константу, а какие меняют предельные величины.

Ответ: б

Смотри, что каждый налог делает с целевой функцией фирмы.

Налог на прибыль по ставке $t < 1$ оставляет фирме $(1 - t)\pi(Q)$ вместо $\pi(Q)$. Умножение на положительную константу не двигает точку максимума: там, где была наибольшей прибыль до налога, она наибольшая и после. Выпуск не меняется — меняется лишь то, сколько денег остаётся собственнику. Это вариант «б».

Остальные три налога задевают предельные величины, а значит, и условие оптимума $MR = MC$.

• Налог на выручку по ставке $s$ превращает выручку в $(1 - s)TR(Q)$, и оптимум сдвигается к условию $(1 - s)MR = MC$. Предельная выручка от каждой единицы падает, фирме выгодно сократить выпуск.
• Налог с каждой проданной единицы прибавляется к предельным издержкам: вместо $MC$ получается $MC + t$. Кривая предельных издержек поднимается, выпуск падает.
• Взносы за сотрудников удорожают труд. Дополнительная единица продукции требует дополнительного труда, поэтому дорожает и она: предельные издержки снова растут.

Верный вариант — «б», налог на прибыль. Он забирает долю уже заработанного и потому нейтрален к выбору объёма выпуска.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Подставь увеличенные значения факторов в функцию и попробуй вынести общий множитель.

Ответ: 2 раз

Обозначим исходные количества факторов $K_0$ и $L_0$, тогда исходный выпуск равен $Q_0 = \sqrt{K_0 + 2L_0}$. После четырёхкратного роста $K_1 = 4K_0$ и $L_1 = 4L_0$, поэтому
$$Q_1 = \sqrt{4K_0 + 2 \cdot 4L_0} = \sqrt{4(K_0 + 2L_0)} = 2\sqrt{K_0 + 2L_0} = 2Q_0.$$

Выпуск вырос ровно вдвое, и ответ не зависит от того, какими были исходные $K_0$ и $L_0$.

Экономический смысл простой. Под корнем стоит линейная функция, однородная первой степени, а корень делает всю производственную функцию однородной степени $1/2$. Увеличение всех факторов в $\lambda$ раз даёт рост выпуска в $\sqrt{\lambda}$ раз — здесь $\sqrt{4} = 2$. Это убывающая отдача от масштаба: ресурсов стало вчетверо больше, а продукции — лишь вдвое.

Оговорка про печатный оригинал: в текстовом слое PDF радикал схлопывается и функция выглядит как $\sqrt{K} + 2L$. При таком прочтении задача разваливается — тогда $Q_1 = 2\sqrt{K_0} + 8L_0$, и отношение $Q_1 / Q_0$ зависело бы от конкретных $K_0$ и $L_0$, единого ответа не существовало бы. В официальном решении корень накрывает всё выражение, так что верное прочтение — $Q = \sqrt{K + 2L}$.

Ответ: объём производства вырос в 2 раза.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Прими рабочую силу за единицу и посчитай два встречных потока людей по отдельности.

Ответ: 13,5 %

Удобно принять численность экономически активного населения за единицу — она по условию постоянна, поэтому доли и будут сразу уровнями.

На конец 2015 года безработных $U_0 = 0{,}1$, занятых $E_0 = 0{,}9$.

За 2016 год идут два встречных потока. Из безработицы в занятость уходит 10 % безработных, то есть $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$. Из занятости в безработицу попадает 5 % занятых, то есть $0{,}05 \cdot 0{,}9 = 0{,}045$.

Считаем безработных на конец 2016 года:
$$U_1 = 0{,}9 \cdot U_0 + 0{,}05 \cdot E_0 = 0{,}9 \cdot 0{,}1 + 0{,}05 \cdot 0{,}9 = 0{,}09 + 0{,}045 = 0{,}135.$$

Для проверки посчитаем занятых:
$$E_1 = 0{,}1 \cdot U_0 + 0{,}95 \cdot E_0 = 0{,}01 + 0{,}855 = 0{,}865,$$
и сумма $U_1 + E_1 = 1$ — рабочая сила действительно не изменилась, значит, арифметика сошлась.

Уровень безработицы на конец 2016 года равен $0{,}135$, то есть 13,5 %. Заметь, что безработица выросла: поток потерявших работу оказался больше потока нашедших, хотя процент увольнений вдвое меньше процента трудоустройств, — сказывается то, что занятых изначально в девять раз больше.

Ответ: 13,5 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Определи, при какой цене спрос второй группы обнуляется, и посмотри, как ведёт себя выручка правее этой цены.

Ответ: 80 млн долларов

Сначала разберёмся, при каких ценах какая группа вообще покупает диск.

«Активные меломаны» покупают, пока их спрос положителен: $1\,000\,000 - 5\,000P > 0$, то есть при $P < 200$.

«Фанаты» по условию берут диск при любой цене до 400 долларов включительно, их ровно 200 тысяч.

«Новым поклонникам» нужно, чтобы первые две группы вместе купили не меньше $n = 700\,000$ дисков. 200 тысяч приносят «фанаты», значит, «активных меломанов» должно набраться минимум 500 тысяч: $1\,000\,000 - 5\,000P \ge 500\,000$, откуда $P \le 100$.

Нас просят рассмотреть цены, при которых покупают только «фанаты». Это диапазон $200 \le P \le 400$: «активные меломаны» уже отпали из-за неположительного спроса, а «новые поклонники» тем более не подключились. Величина спроса на этом участке постоянна и равна 200 тысячам дисков, поэтому выручка
$$TR = 200\,000 \cdot P$$
линейно растёт с ценой и максимальна на правом конце отрезка:
$$TR_{\max} = 200\,000 \cdot 400 = 80\,000\,000.$$

При $P > 400$ диск не покупает уже никто, и выручка обращается в нуль.

Ответ: 80 млн долларов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Сложи спрос двух групп в одну функцию выручки и найди вершину параболы, проверив, попадает ли она в нужный диапазон цен.

Ответ: 72 млн долларов

Сначала найдём диапазон цен, о котором идёт речь.

«Активные меломаны» покупают, пока $1\,000\,000 - 5\,000P > 0$, то есть при $P < 200$. «Новые поклонники» подключаются, когда первые две группы вместе набрали $n \ge 700\,000$ покупателей; 200 тысяч дают «фанаты», поэтому нужно ещё 500 тысяч «меломанов»: $1\,000\,000 - 5\,000P \ge 500\,000$, откуда $P \le 100$. Значит, нужный нам участок — это $100 < P \le 200$.

Складываем спрос двух групп. «Фанаты» берут 200 тысяч дисков, «меломаны» — $1\,000\,000 - 5\,000P$, итого выручка равна
$$TR = P \cdot (1\,000\,000 - 5\,000P) + 200\,000P = P \cdot (1\,200\,000 - 5\,000P).$$

Это парабола с ветвями вниз, её вершина находится в точке
$$P^{*} = \frac{1\,200\,000}{2 \cdot 5\,000} = 120.$$

Точка $P^{*} = 120$ попадает внутрь отрезка $(100;\ 200]$, поэтому максимум достигается именно в ней (если бы вершина лежала за пределами участка, брали бы ближайший конец отрезка):
$$TR = 120 \cdot (1\,200\,000 - 5\,000 \cdot 120) = 120 \cdot 600\,000 = 72\,000\,000.$$

Ответ: 72 млн долларов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Разбей все цены на участки по составу покупателей, найди максимум выручки на каждом и сравни между собой.

Ответ: 400 долларов

Разобьём все цены на участки по составу покупателей и посчитаем максимум выручки на каждом.

«Активные меломаны» покупают при $P < 200$. «Новые поклонники» подключаются, если первые две группы набрали $n \ge 700\,000$ покупателей, то есть при $P \le 100$.

Участок $P > 400$: не покупает никто, выручка нулевая.

Участок $200 \le P \le 400$: берут только «фанаты», 200 тысяч дисков. Выручка $TR = 200\,000P$ растёт по цене, максимум на правом конце: $200\,000 \cdot 400 = 80$ млн долларов.

Участок $100 < P < 200$: покупают «фанаты» и «меломаны», $TR = P(1\,200\,000 - 5\,000P)$. Вершина параболы в точке $P = 120$, что даёт $120 \cdot 600\,000 = 72$ млн долларов.

Участок $0 \le P \le 100$: подключаются все три группы. Число уже купивших равно $n = 200\,000 + (1\,000\,000 - 5\,000P) = 1\,200\,000 - 5\,000P$, поэтому спрос «новых поклонников» равен
$$Q_d^{n} = (1\,200\,000 - 5\,000P - 700\,000) - 7\,000P = 500\,000 - 12\,000P,$$
и он положителен лишь при $P < \frac{500}{12} \approx 41{,}7$. Суммарная выручка на этом участке
$$TR = P(1\,200\,000 - 5\,000P) + P(500\,000 - 12\,000P) = P(1\,700\,000 - 17\,000P),$$
её вершина лежит в точке $P = \frac{1\,700\,000}{2 \cdot 17\,000} = 50$, а это правее границы $\frac{500}{12}$. Значит, на отрезке, где формула действует, выручка только растёт, и лучшее значение достигается на краю $P = \frac{500}{12}$: примерно $41{,}3$ млн долларов. Правее этой точки «новые поклонники» дают нулевой спрос, и мы возвращаемся к уже посчитанному случаю двух групп.

Сравниваем три числа: 80, 72 и примерно 41,3 млн долларов. Наибольшее — 80 млн, оно достигается, когда диск покупают одни «фанаты» по максимально возможной для них цене.

Ответ: 400 долларов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

В долгосрочном равновесии цена равна минимуму средних издержек — с него и начни.

Ответ: 5 фирм

В долгосрочном равновесии совершенно конкурентного рынка свободный вход выдавливает экономическую прибыль в нуль. Значит, цена равна минимуму средних издержек:
$$P = AC_{\min}.$$

Находим средние издержки, поделив общие на выпуск:
$$AC = \frac{q^3 - 50q^2 + 700q}{q} = q^2 - 50q + 700.$$

Это парабола с ветвями вверх, её минимум достигается в вершине:
$$q^{*} = \frac{50}{2} = 25, \qquad AC_{\min} = 25^2 - 50 \cdot 25 + 700 = 625 - 1250 + 700 = 75.$$

Значит, рыночная цена равна 75, и каждая фирма выпускает по 25 утюгов.

Подставляем цену в спрос и получаем объём рынка:
$$Q = 200 - 75 = 125.$$

Осталось поделить рыночный объём на выпуск одной фирмы:
$$N = \frac{125}{25} = 5.$$

Число получилось целым — это не случайность, а условие корректности задачи: если бы деление не сошлось, точного долгосрочного равновесия с одинаковыми фирмами не существовало бы.

Ответ: 5 фирм.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Запиши выручку как функцию одного только количества и примени обычную формулу эластичности.

Ответ: -3

Эластичность выручки по количеству показывает, на сколько процентов изменится выручка при росте продаж на 1 %. Чтобы её посчитать, нужна выручка как функция одного только количества.

Выразим цену из спроса: из $Q = 100 - 2p$ следует $p = 50 - \frac{Q}{2}$. Тогда
$$TR(Q) = \left(50 - \frac{Q}{2}\right)Q = 50Q - \frac{Q^2}{2}.$$

Предельная выручка — производная:
$$TR'(Q) = 50 - Q.$$

Подставляем в формулу эластичности:
$$E_{TR/Q} = TR'(Q) \cdot \frac{Q}{TR} = (50 - Q) \cdot \frac{Q}{\left(50 - \frac{Q}{2}\right)Q} = \frac{50 - Q}{50 - Q/2}.$$

При $Q = 80$:
$$E_{TR/Q} = \frac{50 - 80}{50 - 40} = \frac{-30}{10} = -3.$$

Знак минус закономерен. Точка $Q = 80$ лежит правее точки $Q = 50$, в которой выручка монополиста максимальна, то есть в зоне неэластичного спроса. Там наращивание продаж уже сбивает выручку: рост количества на 1 % уменьшает выручку примерно на 3 %.

Ответ: $-3$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Сравни лучшую прибыль при положительном выпуске с тем, что будет, если вообще не покупать лицензию.

Ответ: 0 ден. ед.

Особенность задачи в том, что 900 — это не безвозвратные издержки, а плата за лицензию, которую можно и не покупать. Значит, у Саши два принципиально разных варианта, и их нужно сравнить.

Вариант первый: производить. Тогда прибыль равна
$$\pi(Q) = 50Q - Q^2 - 900.$$
Это парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:
$$Q^{*} = \frac{50}{2} = 25.$$
Подставляем:
$$\pi(25) = 50 \cdot 25 - 25^2 - 900 = 1250 - 625 - 900 = -275.$$
Лучшее, что Саша может выжать при положительном выпуске, — убыток в 275.

Вариант второй: не производить вовсе. Лицензия не куплена, издержек нет, выручки нет:
$$\pi(0) = 0.$$

Сравниваем: $0 > -275$, поэтому выгоднее ничего не выпускать.

Обрати внимание на ловушку: обычное правило «производи, пока цена выше средних переменных издержек» здесь не работает напрямую, потому что 900 не являются невозвратными — отказавшись от выпуска, Саша избегает и этого расхода. Проверить стоит и минимум средних издержек: $AC = Q + \frac{900}{Q}$ минимальны при $Q = 30$ и равны 60, а это больше цены 50 — ни при каком выпуске производство не окупается.

Ответ: максимальная прибыль равна 0.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Сложи КПВ всех полей, вычти плату и воспользуйся тем, что оба продукта нужны поровну.

Ответ: 50 каш

Число полей $n$ Янос выбирает сам, поэтому сначала запишем, что он получит при произвольном $n$, а потом подберём лучшее $n$.

Каждое поле даёт КПВ $y = 20 - x$, то есть сумма пшеницы и ржи на одном поле равна 20. Для $n$ полей суммарная КПВ — это $y = 20n - x$. Вычитаем плату за сотворение, $n^2$ единиц ржи:
$$y = 20n - x - n^2.$$

Каша требует ржи и пшеницы поровну, значит, производить их сверх пары бессмысленно и в оптимуме $x = y$. Подставляем:
$$x = 20n - x - n^2 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 20n - n^2 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{20n - n^2}{2}.$$

Число каш равно $x$. Это парабола с ветвями вниз, её максимум в вершине:
$$n^{*} = \frac{20}{2} = 10.$$

Значение целое, так что оно допустимо (поля неделимы). Считаем:
$$x = \frac{20 \cdot 10 - 10^2}{2} = \frac{200 - 100}{2} = 50.$$

Экономический смысл: каждое новое поле добавляет 20 единиц еды, но плата растёт как $n^2$, то есть предельные издержки очередного поля — примерно $2n$ единиц ржи. Расширяться выгодно, пока выигрыш превышает плату; на $n = 10$ они уравновешиваются.

Ответ: 50 каш.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf

Сначала выведи, сколько метров ткани купит производитель при произвольной цене сырья, и только потом максимизируй прибыль поставщика.

Ответ: 6 ден. ед. за метр

Задача решается с конца: сначала выясняем, как поведёт себя «Поход» при любой объявленной цене ткани, а потом «Брезент» выбирает цену, зная эту реакцию.

Шаг 1. Пусть $p$ — цена метра ткани. На рюкзак уходит 4 метра, значит, переменные издержки «Похода» равны $4p$ на рюкзак. Его прибыль:
$$\pi_{P} = (40 - x)x - 4px = (40 - 4p)x - x^2.$$
Парабола с ветвями вниз, максимум в вершине:
$$x = \frac{40 - 4p}{2} = 20 - 2p.$$

Шаг 2. Каждому рюкзаку соответствуют 4 метра ткани, поэтому спрос «Похода» на ткань:
$$y = 4x = 80 - 8p.$$
Это и есть кривая спроса, с которой имеет дело «Брезент». Обратная форма:
$$p = 10 - \frac{y}{8}.$$

Шаг 3. «Брезент» — монополист на рынке ткани с предельными издержками 2. Его прибыль:
$$\pi_{B} = \left(10 - \frac{y}{8}\right)y - 2y = 8y - \frac{y^2}{8}.$$
Максимум снова в вершине параболы:
$$y = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{8}} = 32.$$

Шаг 4. Возвращаем объём в обратный спрос:
$$p = 10 - \frac{32}{8} = 10 - 4 = 6.$$

Проверка: при $p = 6$ «Поход» делает $x = 20 - 12 = 8$ рюкзаков, ему нужно $4 \cdot 8 = 32$ метра ткани — сходится; цена рюкзака равна $40 - 8 = 32$.

Мелкая придирка к официальному разбору: там формула прибыли на третьем шаге подписана как прибыль «Похода», хотя по смыслу и по числам это прибыль «Брезента». На ответ это не влияет.

Ответ: 6 за метр ткани.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2023-24/mun/econ/sol-econ-10-mun-msk-23-24.pdf