ВсОШ по экономике 2019/20, муниципальный этап, 11 класс

Сложи показатели степени — и отдельно выведи $AVC(Q)$ при фиксированном капитале.

Ответ: б

Проверим утверждения по очереди.

Отдача от масштаба. У функции Кобба — Дугласа она определяется суммой показателей степени: $3/7 + 5/7 = 8/7 > 1$. Значит, отдача от масштаба возрастающая, а не убывающая — вариант «а» неверен.

Эластичность выпуска по труду. Для такой функции она в точности равна показателю степени при труде, то есть $5/7 \approx 0{,}71$. Число 1,4 — это обратная величина $7/5$, её сюда подставили специально. Вариант «в» неверен.

Аддитивность. Возьмём $K_1 = L_1 = K_2 = L_2 = 1$, тогда $Q_1 = Q_2 = 1$ и сумма равна 2. Но при $K = L = 2$ выпуск равен $2^{3/7} \cdot 2^{5/7} = 2^{8/7} \approx 2{,}14$, что больше 2. Равенство не выполняется (именно из-за возрастающей отдачи от масштаба), вариант «г» неверен.

Средние переменные издержки. Зафиксируем $K = 1$: тогда $Q = L^{5/7}$, откуда $L = Q^{7/5}$. При ставке зарплаты 1 переменные издержки равны $VC = wL = Q^{7/5}$, а значит
$$AVC(Q) = \frac{Q^{7/5}}{Q} = Q^{2/5}.$$
Подставим $Q = 32 = 2^5$: $AVC = (2^5)^{2/5} = 2^2 = 4$. Сходится.

Ответ: верно утверждение «б».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Три утверждения проверяются простыми фактами: когда отменили коридор, какая ставка НДФЛ и была ли инфляция.

Ответ: б

Три суждения отсекаются простой проверкой фактов.

Валютный коридор. Механизм бивалютного коридора Банк России свернул в ноябре 2014 года, перейдя к плавающему курсу рубля. К 2019 году никаких границ, которых ЦБ «строго придерживается», не существует — вариант «а» неверен.

Шкала НДФЛ. На момент олимпиады в России действовала плоская (пропорциональная) ставка налога на доходы физических лиц — 13 % практически для всех уровней дохода. Во Франции шкала действительно прогрессивная, но сравнение с Россией не проходит. Вариант «в» неверен.

Дефляция. Дефляция — это устойчивое снижение общего уровня цен. В России все последние годы наблюдалась инфляция (в 2015 году она превышала 12 %, затем опустилась к 3–5 %). Ни о какой пятилетней дефляции речи нет, поэтому вариант «г» неверен. Заодно и Япония в эти годы жила скорее с околонулевой инфляцией, чем с устойчивой дефляцией.

Остаётся вариант «б». Приток прямых иностранных инвестиций в Россию после 2013 года сокращался: сказались санкции, отток капитала и общее ухудшение инвестиционного климата. Это единственное суждение, которое не противоречит фактам.

Ответ: верно суждение «б».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Проверяй цепочку по звеньям: куда пойдёт капитал, что будет со спросом на рубль и как это скажется на курсе.

Ответ: а

Цепочку удобно разбирать по звеньям.

Первое звено. Снижение ставки ФРС уменьшает доходность долларовых долговых инструментов. Разрыв в доходностях между США и развивающимися рынками увеличивается в пользу последних, поэтому долговые бумаги развивающихся стран становятся относительно более привлекательными. Это отсекает вариант «б», где написано ровно обратное.

Второе звено. Чтобы купить российские облигации, иностранный инвестор должен сначала купить рубли. Рост интереса к российскому долгу означает рост спроса на рубль, а не его падение. Вариант «г» противоречит собственному первому звену и потому неверен.

Третье звено. Рост спроса на валюту при неизменном предложении повышает её цену, то есть рубль укрепляется: за 1 доллар дают меньше рублей. В варианте «в» из растущего спроса на рубль почему-то выводится его обесценение — логическая ошибка.

Остаётся вариант «а»: он единственный, в котором все три звена согласованы между собой и с экономической логикой движения капитала.

Ответ: верна цепочка «а».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Одинаковая реакция на цену означает одинаковый по модулю наклон — сравни катеты двух треугольников.

Ответ: а

Ключевая идея: одинаковая реакция обеих величин на цену означает, что линии спроса и предложения имеют одинаковый по модулю наклон.

Запишем линии в стандартном виде: $Q_d = a - P$ и $Q_s = P - c$, где $a > c \ge 0$. Коэффициент при $P$ по модулю равен 1 у обеих — это и есть условие задачи.

Равновесие: $a - P = P - c$, отсюда
$$P^* = \frac{a + c}{2}, \qquad Q^* = \frac{a - c}{2}.$$

Излишек потребителей — треугольник между линией спроса и ценой. Его основание $Q^*$, а высота равна расстоянию от запретительной цены $a$ до равновесной:
$$CS = \frac{1}{2} Q^* (a - P^*) = \frac{1}{2} Q^* \cdot \frac{a - c}{2} = \frac{1}{2} (Q^*)^2.$$

Излишек производителей — треугольник между ценой и линией предложения, основание то же $Q^*$, высота — расстояние от равновесной цены до цены закрытия $c$:
$$PS = \frac{1}{2} Q^* (P^* - c) = \frac{1}{2} Q^* \cdot \frac{a - c}{2} = \frac{1}{2} (Q^*)^2.$$

Оба треугольника имеют общий катет $Q^*$ и равные вторые катеты, поэтому их площади совпадают при любых допустимых $a$ и $c$. Неопределённости здесь нет, так что вариант «г» тоже отпадает.

Ответ: излишки равны, вариант «а».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Цена и доходность к погашению ходят в противоположные стороны — ищи максимум на графике.

Ответ: в

Ключевая идея: при фиксированной сумме погашения цена облигации и её доходность к погашению связаны обратно.

Пусть $F$ — сумма, которую инвестор получит через 10 лет, $P$ — цена покупки, $y$ — доходность к погашению в годовом выражении. Тогда
$$P = \frac{F}{(1 + y)^{10}}.$$
Величина $F$ по условию не меняется, а знаменатель строго возрастает по $y$. Значит, чем выше доходность, тем дешевле облигация, и наоборот. Купить как можно дешевле — то же самое, что купить в момент максимальной доходности.

Смотрим на данные. На отрезках «а», «б» и «г» доходность держится в коридоре примерно 7,5–9,5 % годовых. А вот между августом 2014 и августом 2015 доходность резко взлетает: осенью 2014 года на фоне падения цен на нефть, санкций и подъёма ключевой ставки Банка России она доходит почти до 16 % — это максимум всего рассматриваемого периода.

Проверим порядок величин. При доходности 7,5 % цена составляет $F / 1{,}075^{10} \approx 0{,}485 F$, а при доходности около 16 % — примерно $F / 1{,}16^{10} \approx 0{,}227 F$, то есть вдвое дешевле. Разрыв огромный, и никакой другой отрезок с ним не конкурирует.

Ответ: период август 2014 — август 2015, вариант «в».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Сначала подставь кривую Филлипса в функцию издержек и найди вершину параболы по инфляции.

Ответ: 1 %

Ключевая идея: кривая Филлипса связывает инфляцию и разрыв ВВП, поэтому у центрального банка на самом деле одна свободная переменная, а не две.

Шаг 1. Подставим $x_t = 2 - 2\pi_t$ в функцию общественных издержек:
$$L(\pi_t) = (\pi_t - 1)^2 + (2 - 2\pi_t)^2.$$

Шаг 2. Раскроем скобки:
$$L = \pi_t^2 - 2\pi_t + 1 + 4 - 8\pi_t + 4\pi_t^2 = 5\pi_t^2 - 10\pi_t + 5.$$

Шаг 3. Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине:
$$\pi_t^* = \frac{10}{2 \cdot 5} = 1.$$
Заметим, что $L = 5(\pi_t - 1)^2$, то есть в оптимуме издержки равны нулю — это самый дешёвый для общества исход.

Шаг 4. Найдём соответствующий разрыв ВВП: $x_t = 2 - 2 \cdot 1 = 0$. Инфляция ровно на цели, разрыв закрыт.

Шаг 5. Подставим оба значения в правило Тейлора:
$$i_t = 2\,(1 - 0{,}5) + 4 \cdot 0 = 1.$$

Ответ: центральный банк выберет ставку 1 %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Выразите один ресурс через другой и минимизируйте сумму — пригодится неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.

Ответ: 2 ден. ед.

Ключевая идея: производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба (сумма показателей степени равна $1/2 + 1/2 = 1$), поэтому долгосрочные средние издержки одинаковы при любом выпуске, и искать равновесный объём для ответа не придётся.

Шаг 1. Фирма минимизирует издержки $TC = wL + rK = L + K$ при заданном выпуске $Q$.

Шаг 2. Выразим капитал из производственной функции: из $Q = (KL)^{1/2}$ следует $KL = Q^2$, то есть $K = Q^2 / L$. Тогда
$$TC(L) = L + \frac{Q^2}{L}.$$

Шаг 3. По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом
$$L + \frac{Q^2}{L} \ge 2\sqrt{L \cdot \frac{Q^2}{L}} = 2Q,$$
причём равенство достигается при $L = Q^2 / L$, то есть при $L = Q$. Тогда и $K = Q$: при равных ценах ресурсов их берут в пропорции 1 : 1.

Шаг 4. Минимальные издержки равны $TC = 2Q$, а средние издержки
$$AC = \frac{TC}{Q} = \frac{2Q}{Q} = 2.$$
Они не зависят от объёма выпуска — это и есть следствие постоянной отдачи от масштаба.

Шаг 5. Проверим равновесие. В долгосрочном периоде на конкурентном рынке цена равна минимуму средних издержек, то есть $p = 2$; тогда $Q = 4000 - 200 \cdot 2 = 3600$ труб. Средние издержки в этой точке те же самые.

Ответ: долгосрочные средние издержки равны 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Каждая фирма выпускает там, где $MC = p$; сложи все десять предложений в одну функцию.

Ответ: 2 ден. ед.

Ключевая идея: на конкурентном рынке каждая фирма выпускает столько, что её предельные издержки равны цене; сумма индивидуальных предложений даёт рыночное предложение.

Шаг 1. Предложение одной фирмы. Из условия $MC_i = P$ получаем
$$\frac{q_i}{i} = P \quad \Longrightarrow \quad q_i = i \cdot P.$$
Чем больше номер фирмы, тем положе её кривая предельных издержек и тем больше она производит при той же цене.

Шаг 2. Рыночное предложение — сумма по всем десяти фирмам:
$$Q_s = P + 2P + 3P + \ldots + 10P = P\,(1 + 2 + \ldots + 10) = 55P,$$
поскольку сумма чисел от 1 до 10 равна $\frac{10 \cdot 11}{2} = 55$.

Шаг 3. Приравниваем спрос и предложение:
$$112 - P = 55P.$$

Шаг 4. Решаем: $112 = 56P$, откуда $P = 2$.

Шаг 5. Проверка. При $P = 2$ объём спроса равен $112 - 2 = 110$, а объём предложения $55 \cdot 2 = 110$. Сходится. Выпуски фирм при этом равны $2, 4, 6, \ldots, 20$ единиц.

Ответ: равновесная цена равна 2.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Треугольник потерь опирается на налоговый клин, а его вторая сторона — сокращение продаж.

Ответ: 25 600 руб.

Ключевая идея: при линейных спросе и предложении потери мёртвого груза — это треугольник, и для его площади достаточно знать налоговый клин и сокращение продаж. Сами наклоны кривых знать не нужно.

Шаг 1. Что происходит при потоварном налоге. Цена, которую платит покупатель, поднимается до $P_d$, а цена, которая остаётся у продавца, опускается до $P_s$, причём разница между ними равна ставке налога:
$$P_d - P_s = t = 16 \text{ руб. за кг}.$$

Шаг 2. Объём продаж падает с $Q_0$ до $Q_1$, и по условию
$$\Delta Q = Q_0 - Q_1 = 3200 \text{ кг}.$$
На этих 3200 килограммах сделки перестали заключаться, хотя готовность покупателей платить была выше издержек производителей — именно эта выгода и теряется безвозвратно.

Шаг 3. Треугольник потерь. Его вершина — прежняя точка равновесия, вертикальная сторона (основание) — налоговый клин длиной $t$, а горизонтальная сторона (высота) — сокращение количества $\Delta Q$. Значит,
$$DWL = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \Delta Q.$$

Шаг 4. Подставляем числа:
$$DWL = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 3200 = 8 \cdot 3200 = 25\,600 \text{ руб.}$$

Заметь: как именно налоговое бремя разделилось между покупателями и продавцами, на величину чистых потерь не влияет — это зависит от наклонов, а площадь треугольника от них не зависит.

Ответ: потери мёртвого груза равны 25 600 рублей.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Посчитай прибыль на квадратный метр по каждому проекту, а потом выпиши выигрыш как функцию от ставки — получится парабола.

Ответ: 41,5 %

Ключевая идея: выигрыш от перехода — это разность двух чистых результатов, но старая схема от $Y$ не зависит, поэтому максимизировать достаточно чистый результат новой схемы.

Шаг 1. Прибыль на квадратный метр по каждому проекту (в тыс. руб. за кв. м):

«Красные Холмы»: $100 - \dfrac{2000}{40} - \dfrac{800}{40} - 5 = 100 - 50 - 20 - 5 = 25$.

«Изумрудные Паруса»: $150 - \dfrac{1600}{20} - \dfrac{600}{20} - 5 = 150 - 80 - 30 - 5 = 35$.

Шаг 2. Суммарная прибыль до налогов (в млн руб.):
$$\Pi = 25 \cdot 40 + 35 \cdot 20 = 1000 + 700 = 1700.$$

Шаг 3. Что даёт старая схема. Выручка равна $100 \cdot 40 + 150 \cdot 20 = 7000$ млн руб., налог составляет $0{,}04 \cdot 7000 = 280$ млн руб., и у компании остаётся $1700 - 280 = 1420$ млн руб. Эта величина от $Y$ не зависит.

Шаг 4. Что даёт новая схема. Налогооблагаемая база — прибыль плюс субсидия, то есть $1700 + 100Y$, и с неё платится $Y$ процентов:
$$\Pi_{new}(Y) = (1700 + 100Y)\left(1 - \frac{Y}{100}\right) = 1700 - 17Y + 100Y - Y^2 = -Y^2 + 83Y + 1700.$$

Шаг 5. Выигрыш от перехода равен $\Pi_{new}(Y) - 1420 = -Y^2 + 83Y + 280$. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:
$$Y^* = \frac{83}{2} = 41{,}5.$$

Шаг 6. Проверка знака. При $Y = 41{,}5$ выигрыш равен $-41{,}5^2 + 83 \cdot 41{,}5 + 280 = 1722{,}25 + 280 = 2002{,}25$ млн руб. — переход действительно выгоден. Обрати внимание на механику: субсидия растёт пропорционально ставке, и именно поэтому оптимальная для компании ставка оказывается такой большой.

Ответ: $Y = 41{,}5$ %.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Сначала выведи спрос одного покупателя из максимума его функции удовольствия, потом сложи двадцать таких спросов.

Ответ: 10 руб. за кг

Ключевая идея: из функции удовольствия сначала выводится спрос одного потребителя, потом рыночный спрос, и только затем монополист максимизирует прибыль.

Шаг 1. Спрос одного потребителя. Функция $U(q) = 10q - P^2 q^2$ — парабола ветвями вниз по $q$, максимум в вершине:
$$\frac{dU}{dq} = 10 - 2P^2 q = 0 \quad \Longrightarrow \quad q = \frac{5}{P^2}.$$
В этой точке $U = 25 / P^2 > 0$, так что покупать потребителю действительно стоит.

Шаг 2. Рыночный спрос. Потребителей двадцать, все одинаковые:
$$Q = 20 \cdot \frac{5}{P^2} = \frac{100}{P^2}.$$

Шаг 3. Обратный спрос. Выразим цену через объём: $P^2 = 100/Q$, значит
$$P = \frac{10}{\sqrt{Q}}.$$

Шаг 4. Прибыль монополиста:
$$\Pi(Q) = P \cdot Q - TC = \frac{10}{\sqrt{Q}} \cdot Q - 5Q - 1 = 10\sqrt{Q} - 5Q - 1.$$

Шаг 5. Замена $t = \sqrt{Q} > 0$ превращает прибыль в обычную квадратичную функцию:
$$\Pi(t) = -5t^2 + 10t - 1.$$
Это парабола ветвями вниз, вершина в точке $t = \dfrac{10}{2 \cdot 5} = 1$, то есть $Q = 1$ кг.

Шаг 6. Цена в оптимуме: $P = 10 / \sqrt{1} = 10$ руб. за кг. Прибыль при этом равна $-5 + 10 - 1 = 4 > 0$, работать монополисту выгодно. Каждый из двадцати покупателей берёт по $5/100 = 0{,}05$ кг, в сумме как раз 1 кг.

Ответ по пункту а): цена равна 10 руб. за кг. По пункту б) объём равен 1 кг.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Удобно обозначить $t = \sqrt{Q}$ — прибыль станет обычной квадратичной функцией.

Ответ: 1 кг

Ключевая идея: удобнее сначала найти оптимальный объём, а цену получить из него — именно объём здесь и требуется.

Шаг 1. Спрос одного потребителя. Удовольствие $U(q) = 10q - P^2 q^2$ — парабола ветвями вниз, вершина находится из условия $10 - 2P^2 q = 0$, то есть
$$q = \frac{5}{P^2}.$$

Шаг 2. Двадцать одинаковых потребителей дают рыночный спрос
$$Q = \frac{100}{P^2}, \qquad \text{то есть} \qquad P = \frac{10}{\sqrt{Q}}.$$

Шаг 3. Выручка монополиста получается удивительно простой:
$$TR = P \cdot Q = \frac{10}{\sqrt{Q}} \cdot Q = 10\sqrt{Q}.$$

Шаг 4. Прибыль с учётом издержек $TC = 5Q + 1$:
$$\Pi(Q) = 10\sqrt{Q} - 5Q - 1.$$

Шаг 5. Обозначим $t = \sqrt{Q}$, где $t > 0$. Тогда $\Pi(t) = -5t^2 + 10t - 1$ — квадратичная функция с максимумом в вершине:
$$t^* = \frac{10}{2 \cdot 5} = 1 \quad \Longrightarrow \quad Q^* = (t^*)^2 = 1.$$

Шаг 6. Проверка. При $Q = 1$ цена равна $P = 10$ руб. за кг, прибыль равна $10 - 5 - 1 = 4 > 0$. Каждый покупатель приобретает $q = 5 / 10^2 = 0{,}05$ кг, и двадцать покупателей дают ровно 1 кг — рынок сходится.

Ответ по пункту б): монополист произведёт 1 кг конфет (по цене 10 руб. за кг).

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Найди вершину параболы отдельно для каждого куска полезности и проверь, попадает ли она в свою область.

Ответ: 22,5 ч

Ключевая идея: полезность склеена из двух парабол ветвями вниз, для каждой надо найти вершину и проверить, попадает ли она в свою область.

Шаг 1. Верхний кусок, где заработок не меньше целевого ($wh \ge 1600$, то есть $h \ge 1600/w$). Здесь $U = wh - 1600 - 2h^2$, производная $w - 4h = 0$ даёт вершину $h = w/4$. Она попадает в свою область, когда $w/4 \ge 1600/w$, то есть $w^2 \ge 6400$ и $w \ge 80$. При $w < 80$ вершина лежит левее границы, и лучший вариант на этом куске — сама граница $h = 1600/w$.

Шаг 2. Нижний кусок, где заработок меньше целевого ($h < 1600/w$). Здесь $U = 2{,}25wh - 3600 - 2h^2$, производная $2{,}25w - 4h = 0$ даёт вершину $h = 2{,}25w/4 = 0{,}5625w$. Она попадает в свою область, когда $0{,}5625w < 1600/w$, то есть $w^2 < 2844{,}4$ и $w < 160/3 \approx 53{,}3$.

Шаг 3. Склеиваем ответ пункта а). Сравнение значений полезности показывает, что при промежуточных ставках оптимум сидит ровно в точке стыка:
$$h^*(w) = \begin{cases} 2{,}25w/4, & 0 \le w < 160/3, \\ 1600/w, & 160/3 \le w < 80, \\ w/4, & w \ge 80. \end{cases}$$

Шаг 4. Пункт б). На среднем участке $h^* = 1600/w$ убывает по ставке: чем больше платят, тем меньше часов нужно, чтобы дотянуть до заветных 1600 рублей, и Василий этим пользуется. Значит, функция предложения труда не является неубывающей на всём множестве ставок — она убывает на интервале от $160/3$ до 80.

Шаг 5. Пункт в). Ставка $w = 40$ меньше $160/3 \approx 53{,}3$, поэтому берём первую строку:
$$h^* = \frac{2{,}25 \cdot 40}{4} = 22{,}5 \text{ ч}.$$

Шаг 6. Проверка. Заработок равен $40 \cdot 22{,}5 = 900 < 1600$ — действительно нижний случай, ветка выбрана верно.

Ответ по пункту в): 22,5 часа.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Посчитай максимальную прибыль в каждом бизнесе как функцию курса и сравни их — получится квадратное неравенство.

Ответ: 10 руб.

Ключевая идея: посчитать максимальную прибыль в каждом бизнесе, во втором случае — как функцию курса, и сравнить их.

Шаг 1. Лапти, совершенная конкуренция:
$$\Pi_1 = 20Q - (2Q^2 + 4Q + 30) = -2Q^2 + 16Q - 30.$$
Парабола ветвями вниз, вершина при $Q = \dfrac{16}{2 \cdot 2} = 4$, и
$$\Pi_1^{\max} = -2 \cdot 16 + 64 - 30 = 2 \text{ руб.}$$

Шаг 2. Черевички, монополия. Обратный спрос: из $Q = 88 - 2P$ следует $P = 44 - Q/2$. Прибыль:
$$\Pi_2 = \left(44 - \frac{Q}{2}\right)Q - (2Q^2 + 4Q + 30) - (2EQ + 8) = -2{,}5Q^2 + (40 - 2E)Q - 38.$$

Шаг 3. Для Викулы курс — внешний параметр, поэтому это снова парабола ветвями вниз по $Q$:
$$Q^* = \frac{40 - 2E}{2 \cdot 2{,}5} = 8 - 0{,}4E.$$

Шаг 4. Подставим оптимум в прибыль:
$$\Pi_2^{\max} = \frac{(40 - 2E)^2}{10} - 38 = 0{,}4E^2 - 16E + 122.$$

Шаг 5. Черевички не хуже лаптей, когда $\Pi_2^{\max} \ge \Pi_1^{\max}$:
$$0{,}4E^2 - 16E + 122 \ge 2 \quad \Longleftrightarrow \quad E^2 - 40E + 300 \ge 0.$$
Корни: $E = \dfrac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{2} = \dfrac{40 \pm 20}{2}$, то есть 10 и 30. Неравенство выполняется при $E \le 10$ или $E \ge 30$.

Шаг 6. Отсекаем лишнее. Выпуск не может быть отрицательным: $8 - 0{,}4E \ge 0$, откуда $E \le 20$. Ветка $E \ge 30$ отпадает — при таком курсе Викула вообще ничего не произвёл бы, а формула прибыли там уже не работает. Курс как отношение цен неотрицателен, поэтому окончательно $E \in [0; 10]$.

Замечание: в текстовом слое официального файла у слагаемого дополнительных издержек потерялся знак; восстановлено по разбору, где свободный член прибыли равен $-30 - 8 = -38$.

Ответ: $E \in [0; 10]$, наибольший подходящий курс равен 10 рублям.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Сначала выясни, какие $N$ вообще возможны, а потом посмотри, как минимальный Джини зависит от $N$.

Ответ: 4 групп

Ключевая идея: сначала выясняем, какие $N$ вообще допустимы, затем при каждом $N$ делаем неравенство минимальным и смотрим, как минимум зависит от $N$.

Шаг 1. Допустимые $N$. На «средние» группы (их $N - 2$ штуки) приходится $1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6$ совокупного дохода. Каждая из них не может получать меньше самой бедной группы (0,1) и больше самой богатой (0,3). В среднем на среднюю группу приходится $\dfrac{0{,}6}{N - 2}$, и это число должно лежать между 0,1 и 0,3:
$$0{,}1 \le \frac{0{,}6}{N - 2} \le 0{,}3 \quad \Longleftrightarrow \quad 4 \le N \le 8.$$
При $N = 3$ единственная средняя группа получала бы 0,6 — больше самой богатой, что невозможно. При $N > 8$ средним группам не хватает дохода.

Шаг 2. Минимальное неравенство при данном $N$. Доли бедной и богатой групп зафиксированы, свободны только средние. Если какая-то средняя группа богаче другой, перераспределение дохода от более богатой к более бедной снижает неравенство. Значит, в минимуме все средние группы получают поровну, по $\dfrac{0{,}6}{N - 2}$.

Шаг 3. Считаем Джини. Население распадается на три блока: бедный с долей населения $1/N$ и долей дохода 0,1, средний с долей населения $(N-2)/N$ и долей дохода 0,6, богатый с долей населения $1/N$ и долей дохода 0,3. Площадь под ломаной Лоренца считается по трапециям, и после упрощения
$$G(N) = \frac{N - 1}{5N} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5N}.$$

Шаг 4. Как минимум зависит от $N$. Функция $G(N)$ возрастает по $N$: вычитаемое $\dfrac{1}{5N}$ убывает. Чем больше групп, тем тоньше приходится нарезать доходы и тем сильнее заметно расслоение между крайними группами.

Шаг 5. Берём наименьшее допустимое $N$, то есть $N = 4$. Проверим значением: $G(4) = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$, тогда как $G(5) = \dfrac{4}{25} = 0{,}16$, а $G(8) = \dfrac{7}{40} = 0{,}175$.

Ответ по пункту а): $N = 4$. По пункту б) коэффициент Джини равен 0,15.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf

Выпиши накопленные доли дохода по четвертям населения и посчитай площадь под кривой Лоренца.

Ответ: 0,15

Ключевая идея: минимум достигается при четырёх группах, и для этого случая коэффициент Джини считается прямо по кривой Лоренца.

Шаг 1. Почему $N = 4$. Средним группам достаётся $1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6$ дохода, и на каждую из $N - 2$ групп приходится $\dfrac{0{,}6}{N-2}$, что обязано лежать между 0,1 и 0,3. Отсюда $4 \le N \le 8$. Минимальный при данном $N$ коэффициент Джини равен $G(N) = \dfrac{N-1}{5N}$ и возрастает по $N$, поэтому выбираем $N = 4$.

Шаг 2. Распределение при $N = 4$. Средние две группы в минимуме получают поровну: $0{,}6 / 2 = 0{,}3$ каждая. Доли дохода по квартилям населения от бедных к богатым: 0,1; 0,3; 0,3; 0,3.

Шаг 3. Кривая Лоренца. Накопленные доли дохода по накопленным долям населения:

Шаг 4. Площадь под ломаной считаем по четырём трапециям шириной 0,25:
$$S = 0{,}25 \cdot \left(\frac{0 + 0{,}1}{2} + \frac{0{,}1 + 0{,}4}{2} + \frac{0{,}4 + 0{,}7}{2} + \frac{0{,}7 + 1{,}0}{2}\right) = 0{,}25 \cdot 1{,}7 = 0{,}425.$$

Шаг 5. Коэффициент Джини равен удвоенной площади между биссектрисой и кривой Лоренца:
$$G = 1 - 2S = 1 - 0{,}85 = 0{,}15.$$

Шаг 6. Сверка с формулой: $G(4) = \dfrac{4-1}{5 \cdot 4} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$. Совпало.

Ответ по пункту б): коэффициент Джини равен 0,15.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2019-20/mun/econ/ans-econ-11-mun-msk-19-20.pdf