ВсОШ по экономике 2024/25, пригласительный этап, 8 класс
9 задач: условия, ответы и подробные решения.
- Время60 мин
- Максимум30 баллов
Сначала реши сам: на платформе этот тур открыт бесплатно, ответы проверяются сразу, разбор открывается после верного ответа.
Решить тур на платформеЗадание 1. Спад и «перегретая» экономика
Перед тобой два утверждения об экономическом цикле.
- Спад — фаза экономического цикла, которой соответствует снижение экономической активности, сокращение инвестиций, выпуска и занятости.
- «Перегретой» называют экономику в странах с чрезвычайно плохой экологией.
Реши, какие из этих утверждений верны: оба, только первое, только второе или ни одно.
а) оба неверны
б) верно только первое
в) верно только второе
г) оба верны
В ответ выбери один верный вариант.
Подсказка
Оба утверждения — про фазы делового цикла; проверь, относится ли слово «перегрев» к природе или к загрузке мощностей.
Ответ и решение
Ответ: б
Разбираем утверждения по очереди.
Первое — это школьное определение спада (рецессии): деловая активность снижается, фирмы сокращают инвестиции, выпуск падает, вслед за выпуском падает и занятость. Всё сходится, утверждение верное.
Второе — подмена понятия. «Перегрев» относится не к экологии, а к деловому циклу: так называют экономику, которая работает выше своего потенциального выпуска, когда спрос упёрся в предел мощностей и рабочей силы, отсюда разгон цен и зарплат. Грязный воздух тут ни при чём, утверждение неверное.
Значит, вариант «оба неверны» отпадает из-за первого утверждения, а «верно только второе» и «оба верны» — из-за второго. Остаётся «верно только первое» — вариант «б».
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 2. Средние переменные издержки при выпуске 9 единиц
Общие издержки фирмы заданы функцией $TC(Q) = Q^2 + 4Q + 14$, где $Q$ — число произведённых единиц товара, а издержки измеряются в денежных единицах.
Фирма выпустила 9 единиц товара. Чему равны средние переменные издержки производства одной единицы?
а) 2
б) 13
в) 11
г) 14
В ответ выбери один верный вариант.
Подсказка
Сначала выбрось из издержек постоянное слагаемое, а уже потом дели на количество.
Ответ и решение
Ответ: б
В функции издержек $TC(Q) = Q^2 + 4Q + 14$ слагаемое без $Q$ — это постоянные издержки: сколько бы фирма ни выпустила, платить $14$ придётся. Значит $FC = 14$, а переменная часть $VC(Q) = Q^2 + 4Q$.
Средние переменные издержки — это переменные, делённые на выпуск:
$$AVC(Q) = \frac{Q^2 + 4Q}{Q} = Q + 4.$$
Подставляем $Q = 9$: $AVC(9) = 9 + 4 = 13$. Это вариант «б».
Остальные числа — ловушки на невнимательность. Если поделить на выпуск все издержки вместе с постоянными, получатся средние общие: $ATC(9) = \frac{81 + 36 + 14}{9} \approx 14{,}56$, отсюда соблазн выбрать $14$. А число $4$ из условия — это вовсе не ответ, а коэффициент при $Q$.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 3. Подорожание субститута
Большинство потребителей считают эклеры и пирожные «картошка» взаимозаменяемыми товарами: берут либо одно, либо другое.
Эклеры подорожали. Как это при прочих равных условиях отразится на равновесном объёме пирожных «картошка»?
а) равновесный объём вырастет
б) равновесный объём упадёт
в) равновесный объём не изменится
г) невозможно определить
В ответ выбери один верный вариант.
Подсказка
Нарисуй сдвиг только одной кривой — спроса, — предложение по условию не меняется.
Ответ и решение
Ответ: а
Товары-заменители потребитель выбирает вместо друг друга. Когда один из них дорожает, часть покупателей переключается на второй.
Здесь дорожает эклер, значит спрос на «картошку» растёт — кривая спроса сдвигается вправо. Предложение «картошки» при этом никто не трогал: по условию всё прочее неизменно.
Сдвиг спроса вправо вдоль неизменной кривой предложения даёт новую точку пересечения выше и правее старой. Растут и равновесная цена, и равновесный объём.
Значит равновесный объём вырастет — вариант «а». Формально это то же самое, что положительная перекрёстная эластичность спроса: $E_{xy} > 0$ и есть признак субститутов.
Вариант «объём упадёт» описывал бы случай дополняющих товаров (подорожал кофе — меньше берут и пирожное к нему), «не изменится» — случай никак не связанных товаров. Вариант «невозможно определить» подошёл бы, если бы одновременно сдвигались обе кривые, но здесь сдвигается только спрос, и направление однозначно.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 4. Сколько слив съест рациональная собака
Собака Пелагея обожает сливы. Хозяева стараются её сливами не кормить, но раз в год забывают закрыть балкон, где сливы хранятся; в этом году там лежало ровно 9 слив. Пелагея — собака рациональная, то есть максимизирует свою полезность.
Предельная полезность каждой следующей съеденной сливы такая:
| Номер сливы $N$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Предельная полезность $MU$ | 10 | 5 | −1 | −2 | −3 | 8 | −2 | −3 | −4 |
Сколько слив съела рациональная собака Пелагея?
а) 6
б) 2
в) 9
г) 7
В ответ выбери один верный вариант.
Подсказка
Посчитай накопленную сумму по всей строке таблицы и найди её максимум — останавливаться на первом же отрицательном значении нельзя.
Ответ и решение
Ответ: а
Общая полезность — это накопленная сумма предельных: $TU(n) = MU_1 + MU_2 + \dots + MU_n$. Максимизировать надо именно её, а не отдельную $MU$.
Складываем значения таблицы по порядку: после первой сливы $10$, после второй $15$, дальше $14$, $12$, $9$, после шестой $17$, затем $15$, $12$ и $8$.
Наибольшее значение — $17$ после шестой сливы. Ответ: $6$ слив, вариант «а».
Ловушка задания в том, что предельная полезность здесь не убывает монотонно: после трёх невкусных слив идёт шестая с $MU = 8$. Если остановиться на второй сливе, где полезность локально максимальна ($15$), собака упустит этот всплеск и наберёт меньше. Поэтому вариант $2$ неверен, хотя по правилу «ешь, пока $MU > 0$» он выглядит правдоподобно: временный уход $MU$ в минус окупается, ведь потерянные $-1-2-3 = -6$ меньше по модулю, чем последующие $+8$.
Варианты $7$ и $9$ тоже мимо: после шестой сливы все предельные полезности отрицательны, и каждая следующая слива только снижает итог.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 5. Эластичность спроса по двум точкам
Изначально рынок находился в равновесии: цена равнялась 80, количество — 20. Через некоторое время подешевело сырьё, и это привело к изменениям: теперь равновесная цена равна 78, а равновесное количество — 28. Известно, что функция спроса за это время не менялась.
Чему равна эластичность спроса по цене в начальной точке?
а) −4
б) 4
в) −16
г) −0,25
В ответ выбери один верный вариант.
Подсказка
Обе точки лежат на одной кривой спроса, так что просто подставь приросты и начальные значения в точечную формулу.
Ответ и решение
Ответ: в
Ключ к задаче — фраза «функция спроса не менялась». Подешевевшее сырьё сдвинуло предложение, а спрос остался на месте, поэтому обе равновесные точки лежат на одной кривой спроса, и по ним можно считать эластичность.
Берём точечную формулу:
$$E_d = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P_0}{Q_0}.$$
Из условия: $\Delta Q = 28 - 20 = 8$, $\Delta P = 78 - 80 = -2$, начальная точка $P_0 = 80$, $Q_0 = 20$.
Считаем: $\frac{8}{-2} = -4$, затем $\frac{80}{20} = 4$, произведение равно $-16$. Это вариант «в».
Знак минус закономерен: цена и количество движутся в разные стороны, так что эластичность спроса по цене всегда отрицательна — вариант $4$ отпадает уже поэтому. Вариант $-4$ — это только первый множитель, наклон; вариант $-0{,}25$ получается, если перевернуть дробь и поделить относительное изменение цены на относительное изменение количества.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 6. Сколько полузащитников натренирует Гриша
У Гриши есть своя футбольная команда: сейчас в ней 1 вратарь, 20 защитников и 1 нападающий. Гришу не устраивает, что защитников так много, а полузащитников нет вовсе, поэтому он начал проводить ежедневные индивидуальные тренировки и постепенно переучивает защитников в полузащитников.
Одновременно тренировать больше одного игрока Гриша не может, а чтобы защитник стал полузащитником, нужно 6 дней тренировок. Сами тренировки Грише не в радость, поэтому он максимизирует функцию
$$g(y, x, d) = yx - d,$$
где $y$ — количество защитников в команде, $x$ — количество полузащитников, $d$ — число дней, потраченных на тренировки.
Сколько полузащитников в итоге будет в команде?
В ответ введи количество полузащитников, целое число.
Подсказка
Вырази и число защитников, и число дней через одну переменную — количество полузащитников, — и найди вершину параболы.
Ответ и решение
Ответ: 7 полузащитников
Сведём всё к одной переменной: пусть $x$ — число полузащитников.
Каждый полузащитник получается из защитника, а защитников было $20$, поэтому их остаётся $y = 20 - x$. Тренировки идут по одному игроку и по $6$ дней на каждого, значит потрачено $d = 6x$ дней.
Подставляем в целевую функцию $g = yx - d$:
$$g(x) = (20 - x)x - 6x = 20x - x^2 - 6x = 14x - x^2.$$
Это парабола ветвями вниз, её вершина при $x = \frac{14}{2} = 7$.
Значение целое и лежит в допустимом диапазоне от $0$ до $20$, так что проверять соседей даже не нужно, но для надёжности: $g(6) = 48$, $g(7) = 49$, $g(8) = 48$.
Ответ: $7$ полузащитников. Обрати внимание, что $6$ дней тренировки работают как цена за игрока: без этого слагаемого вершина стояла бы при $x = 10$, то есть тренер разделил бы команду поровну. Вратарь и нападающий в функцию не входят и на расчёт не влияют.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 7. Сколько НДС соберут за день
Налог на добавленную стоимость (НДС) — один из важнейших для российского бюджета налогов. Он косвенный: сумма налога уже включена в ту цену, которую потребитель платит за товар. Сейчас на большинство товаров в России ставка НДС равна 20 %.
Предположим, что за день продают 18 000 единиц одного из таких товаров, а цена товара равна 210 рублям — с учётом НДС.
Сколько рублей собирает государство с этого товара каждый день?
В ответ введи сумму дневных сборов, целое число в рублях.
Подсказка
Цена на ценнике — это уже сто двадцать процентов от цены без налога, а не сто.
Ответ и решение
Ответ: 630 000 руб.
Главная ловушка здесь в том, что ставка НДС начисляется не на цену с полки, а на цену без налога. Брать $20\,\%$ от $210$ рублей нельзя.
Пусть $x$ — цена без налога. Тогда налог равен $0{,}2x$, а покупатель платит сумму:
$$x + 0{,}2x = 210 \;\Rightarrow\; 1{,}2x = 210 \;\Rightarrow\; x = 175.$$
Налог с одной единицы: $210 - 175 = 35$ рублей. Проверка: $35$ — это ровно $20\,\%$ от $175$.
За день продают $18\,000$ единиц, поэтому дневные сборы составляют
$$35 \cdot 18\,000 = 630\,000$$
рублей.
Если бы кто-то посчитал $20\,\%$ прямо от $210$, вышло бы $42$ рубля с единицы и $756\,000$ за день — завышение примерно на $20\,\%$. Быстрый способ не ошибиться: доля налога в цене с НДС равна $\frac{0{,}2}{1{,}2} = \frac{1}{6}$, а шестая часть от $210$ — это те же $35$ рублей.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 8. Субсидия ради роста потребления в 2,5 раза
На рынке сельдерея предложение задано функцией $Q_s = 0{,}5P - 40$, а спрос — функцией $Q_d = 100 - 0{,}5P$, где $P$ — цена в денежных единицах.
Государство хочет увеличить потребление полезных продуктов среди населения, поэтому решило ввести потоварную субсидию производителям: за каждую проданную единицу продавец дополнительно получает из бюджета фиксированную сумму.
Чему должна равняться такая субсидия, чтобы потребление сельдерея выросло в 2,5 раза?
В ответ введи размер субсидии на единицу товара, целое число в денежных единицах.
Подсказка
Нужный объём подставь сначала в спрос — так найдётся цена покупателя, — и только потом в предложение с добавкой субсидии.
Ответ и решение
Ответ: 180 д.е.
Сначала исходное равновесие. Приравниваем спрос и предложение:
$$0{,}5P - 40 = 100 - 0{,}5P \;\Rightarrow\; P = 140, \quad Q = 30.$$
Цель — увеличить объём в $2{,}5$ раза: $Q_1 = 2{,}5 \cdot 30 = 75$.
Потребители купят $75$ единиц только по своей цене из кривой спроса:
$$75 = 100 - 0{,}5P \;\Rightarrow\; P = 50.$$
Субсидия производителю означает, что за каждую проданную единицу он получает не $P$, а $P + s$, и предложение считается от этой суммы: $Q_s = 0{,}5(P + s) - 40$.
Подставляем $Q_s = 75$ и $P = 50$:
$$75 = 0{,}5\,(50 + s) - 40 \;\Rightarrow\; 115 = 0{,}5\,(50 + s) \;\Rightarrow\; 50 + s = 230 \;\Rightarrow\; s = 180.$$
Смысл числа виден на ценах: покупатель платит $50$ вместо $140$, продавец получает $230$ вместо $140$. Цена покупателя упала на $90$, цена продавца выросла на $90$ — наклоны кривых по модулю одинаковы, поэтому субсидия делится ровно пополам. Расходы бюджета при этом составят $180 \cdot 75 = 13\,500$ денежных единиц в расчёте на весь рынок.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Задание 9. Сколько пустых коробок останется у «Папы Карло»
Фирма «Папа Карло» производит два вида продукции — картонные коробки и брусочки. Брусочки фирма поставляет на рынок партиями по 12 штук, запакованными в картонную коробку её же производства.
Для выпуска одной картонной коробки фирме требуется 2 единицы труда (L) и 1 единица капитала (K), а для производства одного брусочка — 1 единица труда и 3 единицы капитала. Всего фирма располагает 80 единицами труда и 150 единицами капитала.
Фирма произвела и поставила на рынок три партии брусочков, а оставшиеся после этого ресурсы использовала по максимуму на выпуск пустых коробок. Какое количество пустых картонных коробок она поставит на рынок?
В ответ введи количество коробок, целое число.
Подсказка
В каждую партию входит не только двенадцать брусочков, но и коробка — её ресурсы тоже надо вычесть из запасов.
Ответ и решение
Ответ: 19 коробок
Считаем ресурсы в два захода: сначала на партии, потом на остаток.
Одна партия — это $12$ брусочков плюс коробка, в которую их пакуют. Труд: $12 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 14$. Капитал: $12 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 37$.
Три партии: $L = 3 \cdot 14 = 42$ и $K = 3 \cdot 37 = 111$.
Остатки: труда $80 - 42 = 38$, капитала $150 - 111 = 39$.
На пустую коробку нужно $2$ единицы труда и $1$ единица капитала. Труд позволяет сделать $\frac{38}{2} = 19$ коробок, капитал — $\frac{39}{1} = 39$. Жёстче ограничение по труду, поэтому выпуск равен $19$.
Ответ: $19$ коробок; капитала при этом останется $39 - 19 = 20$ единиц без дела. Типичная ошибка — забыть про три упаковочные коробки и потратить на партии только $36$ единиц труда и $108$ единиц капитала: тогда остаток труда $44$ даст лишних два изделия.
Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2024-25/prigl/econ/ans-econ-8-prigl-msk-24-25.pdf
Оригинал заданий: PDF на сайте олимпиады.
Хочешь разбирать такие задачи с победителями ВсОШ? Мини-группа 3–4 человека, лекция и семинар каждую неделю, первое занятие бесплатно.
Записаться на пробное