ВсОШ по экономике 2020/21, пригласительный этап, 10 класс

Подарок достаётся только одной услуге — посчитай для каждого школьника стоимость одного месяца именно той услуги, которой он пользуется.

Ответ: б

Премиум-подписка выгодна тому, кто получает по ней больше, чем платит. Считать надо для каждого школьника отдельно: подарок — три месяца музыки — нужен только одному из них.

Рома играет и платит $179$ руб. в месяц, то есть за год помесячной оплаты $179 \cdot 12 = 2148$ руб. Премиум за тот же год стоит $2199$ руб., а подарочные месяцы музыки Роме бесполезны: музыку он не слушает. Переплата составляет $2199 - 2148 = 51$ руб., поэтому Рома остаётся на помесячной оплате.

Полина слушает музыку за $149$ руб. в месяц. По премиуму она получает $12$ месяцев доступа плюс $3$ подарочных месяца музыки, то есть $15$ месяцев нужной ей услуги за $2199$ руб. Те же $15$ месяцев при помесячной оплате обошлись бы в $149 \cdot 15 = 2235$ руб., так что премиум дешевле на $36$ руб.

Тот же счёт в пересчёте на месяц: премиум обходится Полине в $2199 / 15 = 146{,}6$ руб. за месяц музыки против $149$ руб. при помесячной оплате.

Важно сравнивать одинаковые сроки пользования. Если сравнивать премиум только с годом помесячной оплаты ($149 \cdot 12 = 1788$ руб.), получится, что премиум дороже, — но тогда три подарочных месяца просто выбрасываются из расчёта.

Подарок меняет решение лишь у того, кому он нужен: переходит только Полина — вариант «б».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

В первом утверждении не хватает второй половины дроби — доходов; во втором подумай, что покупатель успевает сделать за год и чего не успевает за неделю.

Ответ: в

Утверждение 1. Сколько бигмаков доступно жителю, определяет не цена сама по себе, а отношение дохода к цене: $Q = I / P$. Низкая цена в стране А ничего не говорит о доходах её жителей. Пусть бигмак в стране А стоит вдвое дешевле, а средний доход там втрое ниже: тогда житель страны А купит меньше бигмаков, чем житель страны В. Именно поэтому индекс бигмака сравнивает цены и курсы валют, а не покупательную способность населения. Утверждение неверно.

Утверждение 2. Чем длиннее период, тем больше у покупателя способов отреагировать на изменение цены: найти заменитель, сменить привычку, поменять технику, пересмотреть договор с поставщиком. За неделю отказаться от подорожавшего бензина или лекарства почти невозможно, а за год-два появляются варианты — другой транспорт, другой препарат, другое оборудование. Поэтому долгосрочная эластичность спроса по цене по модулю выше краткосрочной. Утверждение верно.

Итог: первое утверждение неверно, второе верно — значит верен вариант «в». Вариант «а» отпал бы вместе с первым утверждением, «б» переворачивает картину, а «г» отбрасывает верное второе утверждение.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Реши, чем клубника приходится варенью — заменителем в потреблении или сырьём, и сдвигай ту кривую, которую это затрагивает.

Ответ: в

Сначала решаем, какая из двух кривых на рынке варенья сдвигается.

Клубника для варенья — это ресурс, сырьё, а не товар-заменитель в потреблении. Её удешевление снижает переменные, а значит и предельные, и средние издержки производителей варенья. При любой цене варенья варить его теперь выгодно в большем объёме: кривая предложения сдвигается вправо-вниз.

Спрос на варенье при этом не трогается: вкусы покупателей, их доходы и цены других сладостей по условию не изменились. Дешёвая клубника могла бы повлиять на спрос, если бы покупатели ели свежую клубнику вместо варенья, но такого в условии нет, а нам велено считать прочие условия неизменными.

Дальше двигаемся вдоль неподвижной кривой спроса. Новое пересечение с более правой кривой предложения лежит ниже и правее прежнего равновесия: равновесная цена падает, равновесное количество растёт. Это вариант «в».

Почему не другие. Рост равновесной цены (варианты «а» и «б») потребовал бы сдвига спроса вправо, которого в задаче нет. Падение цены вместе с падением количества (вариант «г») получилось бы при сокращении спроса, то есть при сдвиге спроса влево, а подешевевшее сырьё действует на предложение и в противоположную сторону.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Три варианта говорят о тех, кто продаёт за границу или приезжает к нам, и им слабый рубль на руку; ищи того, кто за границей покупает.

Ответ: г

Ослабление рубля означает две вещи сразу: всё российское для иностранца дешевеет, всё зарубежное для нас дорожает. Дальше остаётся разобрать варианты.

Экспорт. Товар с рублёвой ценой $6200$ руб. при курсе $62$ руб. за доллар стоил иностранному покупателю $100$ долларов, а при курсе $74$ — уже $83{,}8$ доллара. Российская техника за рубежом становится дешевле и продаётся лучше, а не хуже: вариант «в» отпадает. По той же причине экспорт растёт, импорт дорожает и сокращается, поэтому чистый экспорт увеличивается, а не уменьшается — вариант «а» тоже отпадает.

Туризм. Поездка в Россию оплачивается в рублях, а иностранец меняет на них свою валюту. После ослабления рубля та же поездка обходится ему дешевле, значит поток иностранных туристов скорее вырастет. Вариант «б» отпадает.

Импортное сырьё. Производитель варенья покупает клубнику за границей и платит за неё в валюте. Каждый доллар сырья обходится теперь в $74$ руб. вместо $62$, то есть рублёвые издержки выросли примерно на $19{,}4\,\%$. Поднять цену варенья на столько же он может не всегда, поэтому его положение ухудшается.

Верный вариант — «г».

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Посчитай потери от брака в рублях на одну выпущенную единицу до и после модернизации: окупаемость даёт именно разность этих величин.

Ответ: в

Удобнее всего перевести брак в потери, приходящиеся на одну выпущенную единицу продукции.

Сейчас бракованным оказывается каждый десятый продукт, то есть доля брака равна $0{,}1$, и каждый брак стоит фабрике $500$ руб. На одну выпущенную единицу приходится $0{,}1 \cdot 500 = 50$ руб. потерь.

После модернизации брака становится в $5$ раз меньше: доля брака $0{,}1 / 5 = 0{,}02$, потери $0{,}02 \cdot 500 = 10$ руб. на единицу. Расходы на контроль качества по условию не меняются, поэтому в сравнении они не участвуют.

Экономия с каждой выпущенной единицы равна $50 - 10 = 40$ руб.

Модернизация окупится, когда накопленная экономия покроет вложение: $40Q \ge 5\,000\,000$, откуда $Q \ge 5\,000\,000 / 40 = 125\,000$ единиц. Это вариант «в».

Самая частая ошибка — поделить $5\,000\,000$ на $50$ и получить $100\,000$ (вариант «б»): так считают, будто брак исчез полностью, а он лишь сократился впятеро. Вариант «г» получается, если сравнивать вложение с ценой одного брака без учёта доли брака, а «а» — если считать экономию в $500$ руб. с каждой единицы выпуска.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Выпиши доход Уоррена в каждом из двух сценариев как функцию прибыли и приравняй их — граница и будет ответом.

Ответ: 13 000 долларов

Уоррен выбирает между двумя исходами, поэтому выпишем его собственный выигрыш в каждом из них.

Исход первый: долг возвращён. Компания остаётся у Уоррена, он зарабатывает $X$ и отдаёт кредиторам $10\,000$. У него остаётся $X - 10\,000$.

Исход второй: долг не возвращён. Компания переходит к кредиторам, сами они заработают лишь $0{,}5X$. С помощью Уоррена компания заработает $X$, но процедура сделки стоит $500$. Выгода от сделки равна $X - 0{,}5X - 500 = 0{,}5X - 500$, и её делят пополам, поэтому Уоррену достаётся $0{,}25X - 250$.

Уоррен вернёт долг, когда первый исход не хуже второго:
$$X - 10\,000 \ge 0{,}25X - 250.$$

Приводим подобные: $0{,}75X \ge 9750$, откуда $X \ge 13\,000$.

Проверим границу. При $X = 13\,000$ возврат долга даёт Уоррену $13\,000 - 10\,000 = 3000$, а отказ со сделкой — $0{,}25 \cdot 13\,000 - 250 = 3250 - 250 = 3000$. Исходы совпали, значит именно $13\,000$ — минимальная прибыль, при которой возврат долга не проигрывает.

При меньшей прибыли, скажем при $X = 12\,000$, возврат дал бы $2000$, а сделка — $2750$, и Уоррен предпочёл бы не возвращать долг. Ответ: $13\,000$ долларов.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

В долгосрочном периоде порог закрытия задают средние издержки — найди вершину параболы, в которую они превращаются после деления на выпуск.

Ответ: 10 д.е. за штуку

В долгосрочном периоде у фирмы нет обязательных расходов: уходя с рынка, она не платит ничего. Значит фирма согласится выпускать положительный объём только тогда, когда выручка покрывает все издержки, то есть когда цена не ниже минимума средних издержек. Граничная цена и есть $\min LRAC$.

Находим средние издержки, разделив $TC$ на $Q$:
$$LRAC = \frac{Q^3 - 10Q^2 + 35Q}{Q} = Q^2 - 10Q + 35.$$

Это парабола с ветвями вверх, её минимум достигается в вершине: $Q = \dfrac{10}{2} = 5$.

Подставляем этот выпуск: $LRAC(5) = 25 - 50 + 35 = 10$.

Значит минимальная цена равна $10$. При цене ниже $10$ выручка не покрывает средних издержек ни при каком положительном выпуске, и фирма выбирает $Q = 0$; при цене ровно $10$ фирма безразлична и готова выпускать $Q = 5$ с нулевой экономической прибылью — это и есть долгосрочное равновесие совершенной конкуренции.

Проверка через предельные издержки: $MC = 3Q^2 - 20Q + 35$, и $MC(5) = 75 - 100 + 35 = 10$. Кривая $MC$ пересекает $LRAC$ ровно в её минимуме, как и должно быть, и даёт ту же цену $10$.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Считай не отдельные товары, а связку из двух железок и одной деревяшки — у неё одна общая наценка на покрытие постоянных расходов.

Ответ: 2000 железок

Пропорция продаж жёсткая, поэтому считать удобно не отдельными товарами, а наборами «две железки плюс одна деревяшка».

Каждая железка приносит сверх переменных затрат $95 - 65 = 30$ руб., каждая деревяшка — $50 - 40 = 10$ руб. Это вклад на покрытие постоянных расходов.

Один набор даёт $2 \cdot 30 + 10 = 70$ руб. вклада.

Прибыль неотрицательна, когда суммарный вклад покрывает постоянные расходы: $70n \ge 70\,000$, где $n$ — число наборов. Отсюда $n \ge 1000$.

В каждом наборе две железки, поэтому минимальное количество железок равно $2 \cdot 1000 = 2000$ штук (и вместе с ними продаётся $1000$ деревяшек).

Проверка. Выручка: $2000 \cdot 95 + 1000 \cdot 50 = 190\,000 + 50\,000 = 240\,000$ руб. Переменные затраты: $2000 \cdot 65 + 1000 \cdot 40 = 130\,000 + 40\,000 = 170\,000$ руб. Прибыль: $240\,000 - 170\,000 - 70\,000 = 0$. Ровно точка безубыточности, и при любом меньшем объёме прибыль отрицательна.

Ответ: $2000$ железок.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Двигай по графику окно шириной в три тысячи единиц и следи за разностью высот его концов: она убывает, поэтому нужное положение всего одно.

Ответ: 12,375 тыс. единиц

Всё решает наклон участков ломаной — прирост прибыли на каждую дополнительную тысячу единиц выпуска.

Первый участок: прибыль растёт с $-30$ до $180$, пока выпуск идёт от $0$ до $10$. Наклон равен $\dfrac{180 - (-30)}{10} = 21$ тысяче рублей на тысячу единиц. Второй участок: с $180$ до $230$ при выпуске от $10$ до $20$, наклон $\dfrac{230 - 180}{10} = 5$. Третий участок горизонтален, наклон $0$.

Теперь поймём, где стоит окно шириной $3$ тысячи единиц с приростом прибыли $25$ тысяч рублей. Если оба конца окна лежат на первом участке, прирост равен $3 \cdot 21 = 63$ — слишком много. Если оба конца на втором участке, прирост равен $3 \cdot 5 = 15$ — мало. Если окно задевает горизонтальный участок, прирост ещё меньше $15$. Значит окно пересекает излом при $Q = 10$: старый выпуск меньше $10$, новый — больше.

Пусть старый выпуск равен $Q$, где $7 \le Q \le 10$. Прирост складывается из двух кусков:
$$21(10 - Q) + 5(Q + 3 - 10) = 25.$$

Раскрываем: $210 - 21Q + 5Q - 35 = 25$, то есть $175 - 16Q = 25$, откуда $16Q = 150$ и $Q = 9{,}375$.

Новый выпуск: $9{,}375 + 3 = 12{,}375$ тысячи единиц, и он действительно попадает на второй участок между $10$ и $20$.

Проверка по графику: старая прибыль $-30 + 21 \cdot 9{,}375 = 166{,}875$, новая $180 + 5 \cdot 2{,}375 = 191{,}875$, разность ровно $25$ тысяч рублей.

Ответ: $12{,}375$ тысячи единиц. Решение единственно, потому что наклон ломаной убывает и прирост за окно фиксированной ширины монотонно уменьшается по мере сдвига окна вправо.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Рубль подешевел — значит импортное сырьё в рублях подорожало; посмотри, куда это сдвигает точку пересечения с убывающей предельной выручкой.

Ответ: б

Курс входит в задачу через издержки: сырьё покупается за доллары, а считает фирма в рублях.

Предельные издержки монополиста складываются из оплаты труда и стоимости сырья: $MC = 500 + 5e$, где $e$ — курс рубля к доллару. При $e = 62$ получаем $MC = 500 + 310 = 810$ руб., при $e = 74$ уже $MC = 500 + 370 = 870$ руб. Каждая единица продукции стала обходиться на $60$ руб. дороже.

Спрос по условию остался прежним, значит не изменилась и предельная выручка. Для линейного обратного спроса $P = 2000 - Q$ выручка равна $TR = 2000Q - Q^2$, поэтому $MR = 2000 - 2Q$ — убывающая функция выпуска.

Оптимум монополиста задаётся равенством $MR = MC$. Левая часть убывает по $Q$, а правая часть выросла. Чтобы равенство снова выполнялось, выпуск должен стать меньше.

Численно: $2000 - 2Q = 810$ даёт $Q = 595$, а $2000 - 2Q = 870$ даёт $Q = 565$.

Значит оптимальный выпуск уменьшится — верный вариант «б». Вариант «а» был бы верен, если бы подешевело сырьё или вырос спрос, но рубль ослаб, а функция спроса по условию не изменилась.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf

Предельная выручка у линейного спроса вдвое круче самого спроса — сдвиг выпуска окажется вдвое меньше прироста предельных издержек.

Ответ: 30 штук

Оптимальный выпуск монополиста считаем дважды — при старом и при новом курсе.

Из обратного спроса $P = 2000 - Q$ получаем выручку $TR = PQ = 2000Q - Q^2$, а значит предельную выручку $MR = 2000 - 2Q$.

Предельные издержки равны оплате труда плюс рублёвая стоимость импортного сырья: $MC = 500 + 5e$, где $e$ — курс. Постоянных издержек у фирмы нет, поэтому на выбор выпуска они и не влияют.

Старый курс $62$ руб. за доллар: $MC = 500 + 5 \cdot 62 = 810$. Условие $MR = MC$ даёт $2000 - 2Q = 810$, откуда $Q_1 = 595$.

Новый курс $74$ руб. за доллар: $MC = 500 + 5 \cdot 74 = 870$. Тогда $2000 - 2Q = 870$ и $Q_2 = 565$.

Изменение выпуска: $595 - 565 = 30$ штук, то есть выпуск сократился на $30$ единиц.

Тот же результат виден и без подстановки чисел: подорожание сырья на $\Delta MC = 60$ руб. сдвигает точку $MR = MC$ на $\Delta Q = \dfrac{\Delta MC}{2} = 30$ штук, потому что наклон $MR$ вдвое круче наклона кривой спроса.

Полезно посмотреть и на цену: было $P_1 = 2000 - 595 = 1405$ руб., стало $P_2 = 2000 - 565 = 1435$ руб. Монополист переложил на покупателя половину прироста издержек, а вторую половину принял на себя.

Ответ: выпуск изменится на $30$ штук.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2020-21/prigl/econ/ans-econ-10-prigl-msk-20-21.pdf