ВсОШ по экономике 2018/19, заключительный этап, 10–11 класс, тур 1

Ограничение на платёж считается от годового дохода, сумма кредита — это приведённая стоимость 15 равных платежей, а кредит покрывает лишь 90 % цены. В пунктах б) и в) банк защищается от разных рисков.

а) Ограничение «платёж/доход» считается от годового дохода: за год Марфа зарабатывает $100 \cdot 12 = 1200$ тыс. руб., значит годовой платёж не может превысить половину этой суммы, то есть $600$ тыс. руб. Больше банк не даст, а меньше брать смысла нет — квартира нужна самая дорогая.

Платежей 15, они равны, вносятся в конце каждого года, ставка 10 %. Сумма кредита — это приведённая стоимость аннуитета:

$$B = \frac{600}{1{,}1} + \frac{600}{1{,}1^2} + \dots + \frac{600}{1{,}1^{15}} = \frac{600}{0{,}1}\left(1 - \frac{1}{1{,}1^{15}}\right).$$

Поскольку $1{,}1^{15} \approx 4{,}17725$, получаем $1 - 1/4{,}17725 \approx 0{,}76061$ и $B \approx 6000 \cdot 0{,}76061 \approx 4563{,}6$ тыс. руб.

Кредит покрывает не всю цену: родители вносят минимально возможные 10 %, значит на кредит приходится 90 % цены. Отсюда $P = B / 0{,}9 \approx 4563{,}6 / 0{,}9 \approx 5070{,}7$, то есть квартира будет стоить примерно 5071 тыс. руб. (около 5,07 млн руб.).

б) Ограничение на «платёж/доход» снижает риск дефолта из-за падения дохода. Чем больше разрыв между доходом и платежом, тем выше вероятность, что заёмщик продолжит платить, даже если его заработок упадёт или постоянные расходы вырастут. Аргумент «иначе не хватит на еду» не годится: при очень большом доходе на необходимое хватит и при высокой доле платежа, а ограничение всё равно применяют. Не годятся и рассуждения про сбережения (заёмщик с ипотекой вполне может их не делать) и про заботу банка о самочувствии заёмщика.

в) Первоначальный взнос гасит стимул к стратегическому дефолту. Банк по условию может забрать только квартиру, поэтому, если цена жилья упадёт ниже остатка долга, заёмщику выгоднее бросить платить и отдать квартиру банку. Взнос создаёт запас между ценой квартиры и суммой кредита, и такая ситуация становится менее вероятной. Заодно взнос — сигнал о серьёзности намерений (свои деньги уже вложены и не вернутся) и гарантия того, что заёмщик не проживёт в квартире год, не потратив ни рубля. А вот сигналом о платёжеспособности взнос здесь не является: за Марфу его платят родители, о её собственных доходах это не говорит ничего.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2018-19/final/econ/86-ans-econ-10-11-tur1-final-18-9.pdf

В пункте а) посмотри, на скольких наблюдениях держится наклон облака. В пункте б) вспомни две причины корреляции без прямого влияния: обратная причинность и общий третий фактор. В пункте в) думай о том, как сделать тарифы независимыми от характеристик страны.

а) На графике видна положительная корреляция между импортными тарифами и долгосрочным ростом для конкретной выборки стран. Вопрос в том, можно ли по этой выборке судить обо всей генеральной совокупности. Стран на графике всего 17, и мы не знаем, как выглядело бы облако точек, если добавить в него остальные страны мира. Более того, весь положительный наклон обеспечивают три наблюдения — Аргентина, Канада и США. Уберём их из выборки, и связь между тарифами и ростом пропадает: у оставшихся четырнадцати стран наклона нет. Вывод, который держится на трёх точках из семнадцати, ненадёжен.

Есть и вторая оговорка: по графику нельзя понять, как менялись тарифы внутри периода, за который усреднён рост. Ставка взята на 1870 год, а рост измерен за 1870–1913 годы — вполне возможно, что за эти сорок с лишним лет пошлины в странах с высоким тарифом снижались. Сам по себе этот довод слабее первого и стоит 1 балл.

А вот попарные сравнения вроде «Германия против Норвегии» ничего не доказывают: пары-контрпримеры находятся на любом облаке точек, даже когда связь очевидна — скажем, между ростом и весом людей.

б) Корреляция между X и Y не означает, что X влияет на Y: может быть и наоборот, а может быть, что оба показателя определяются третьим фактором. Годится любое из двух объяснений.

1. Обратная причинность. Возможно, не высокие тарифы разгоняли рост, а быстро растущие страны устанавливали более высокие пошлины. Механизм такой: при высоких доходах внутренний спрос больше, поэтому предельная выгода отечественных производителей от лоббирования защитных пошлин выше — они активнее добиваются тарифов и добиваются их успешнее. При этом само повышение тарифов вполне могло рост даже замедлять.

1. Третий фактор. В конце XIX века преимущество в росте получали страны, большие по площади, — Аргентина, Канада, США: они росли за счёт освоения новых земель и инфраструктурных инвестиций. Одновременно большая территория затрудняла сбор внутренних налогов, и бюджету приходилось опираться на таможенные пошлины, которые собирать проще всего — на границе и в порту. Получается, что площадь страны объясняет сразу и высокий рост, и высокие тарифы, хотя связи между ними может не быть вовсе.

Объяснение обязательно нужно довести до конкретного механизма: одного указания на то, что корреляция не равна причинности, недостаточно. Не годятся и модели краткосрочных изменений или подмена темпов роста уровнем ВВП.

в) Нужны данные, которые позволяют отсечь альтернативные объяснения из пункта б). Главная проблема наблюдаемых данных в том, что тарифы — продукт политических решений и вводятся исходя из характеристик самих стран.

Идеальный вариант — эксперимент: случайным образом разделить страны (или отрасли) на две группы, в одной ввести тарифы, в другой оставить свободную торговлю, а затем сравнить темпы роста. Случайное распределение гарантирует, что группы не различаются ничем, кроме тарифов, и обратная причинность исключена. На практике такой эксперимент неосуществим, но условию задачи он удовлетворяет.

Можно обойтись и неэкспериментальными данными: найти похожие страны, различающиеся только величиной тарифов, и сравнить их долгосрочный рост. Тогда нужны данные по характеристикам, на которые следует контролировать: площадь страны (она объясняет и рост за счёт освоения земель, и опору бюджета на таможенные сборы), душевой доход и уровень развития на старте, уровень технологического развития, обеспеченность ресурсами, качество институтов. Важно объяснять, зачем нужна каждая характеристика: простое перечисление баллов не приносит. Идея использовать временные ряды по одной стране не спасает — она не отсекает обратную связь.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2018-19/final/econ/86-ans-econ-10-11-tur1-final-18-9.pdf

Сначала найди оптимальную цену при фиксированном качестве и подставь её в прибыль. В пункте б) выпиши благосостояние отдельно для цены выше и ниже предельных издержек, в пункте в) — сначала реакцию фирмы по качеству, и только потом максимизируй по цене.

а) Зафиксируем качество $\alpha$ и найдём лучшую для фирмы цену. Средние (они же предельные) издержки равны $4\alpha$ и от объёма не зависят, поэтому прибыль равна $\pi = Q(p)\,(p - 4\alpha) = \alpha(48 - 2p)(p - 4\alpha)$.

По цене это парабола ветвями вниз с корнями $p = 24$ и $p = 4\alpha$, значит оптимум лежит посередине между ними: $p^\star(\alpha) = (24 + 4\alpha)/2 = 12 + 2\alpha$.

Подставим эту цену обратно. Тогда $48 - 2p = 24 - 4\alpha$ и $p - 4\alpha = 12 - 2\alpha$, поэтому

$$\pi(\alpha) = \alpha(24 - 4\alpha)(12 - 2\alpha) = 8\alpha(6 - \alpha)^2.$$

Максимизируем по качеству без производной. Перепишем: $8\alpha(6-\alpha)^2 = 4 \cdot 2\alpha(6-\alpha)(6-\alpha)$. Сумма трёх множителей $2\alpha + (6-\alpha) + (6-\alpha) = 12$ постоянна, поэтому по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом их произведение не больше $(12/3)^3 = 64$, а прибыль — не больше $4 \cdot 64 = 256$. Равенство достигается, когда множители равны: $2\alpha = 6 - \alpha$, то есть при $\alpha^\star = 2$. Это доказывает сразу и то, что $\alpha = 2$ — точка максимума, и то, что максимум глобальный на всём отрезке $[0;6]$.

Тот же вывод даёт производная: $\pi'(\alpha) = 8\big((6-\alpha)^2 - 2(6-\alpha)\alpha\big) = 8(6-\alpha)(6-3\alpha)$ обращается в ноль при $\alpha = 2$ и $\alpha = 6$, но меняет знак с плюса на минус только при $\alpha = 2$; на концах отрезка прибыль нулевая, а в точке $\alpha = 2$ положительна. Ссылки на то, что функция максимальна по каждой переменной при фиксированной второй, недостаточно: у функции $f(x,y) = -x^2 - y^2 + 10xy$ в нуле максимума нет.

При $\alpha = 2$ цена равна $p = 12 + 4 = 16$, объём $Q = 2(48 - 32) = 32$, выручка $16 \cdot 32 = 512$, издержки $4 \cdot 2 \cdot 32 = 256$, прибыль $512 - 256 = 256$ д. е. — максимально возможная.

б) Качество зафиксировано на уровне из пункта а): $\alpha = 2$. Тогда спрос равен $Q = 2(48 - 2p) = 96 - 4p$, издержки равны $TC = 8Q$, предельные издержки равны 8.

Прибыль фирмы при назначенной цене равна $\pi(p) = (96 - 4p)(p - 8) = 4(24 - p)(p - 8)$. Если $p < 8$, цена ниже предельных издержек, фирма не производит ничего, и благосостояние равно нулю. Если $p = 8$, прибыль нулевая при любом объёме из отрезка $[0;\,32]$, фирме всё равно — а по условию она берёт наибольший оптимальный объём, то есть удовлетворяет спрос целиком.

При $p \geqslant 8$ благосостояние складывается из излишка потребителя и прибыли:

$$W(p) = 2(24 - p)^2 + 4(24 - p)(p - 8) = (24 - p)\big[2(24 - p) + 4(p - 8)\big] = (24 - p)(16 + 2p).$$

Это парабола ветвями вниз с корнями $p = 24$ и $p = -8$, её вершина — в точке $p^\star = (24 - 8)/2 = 8$. Вершина приходится ровно на границу допустимой области $p \geqslant 8$, и в ней $W = 16 \cdot 32 = 512 > 0$, тогда как при $p < 8$ благосостояние нулевое. Значит оптимальная для государства цена равна 8.

Получилось, что цена в точности равна предельным издержкам: $MC = 4\alpha^\star = 8$. Это классический результат регулирования по предельным издержкам — при такой цене выпуск доводится до объёма, при котором готовность платить последнего покупателя равна затратам общества на последнюю единицу.

в) Теперь фирма выбирает качество сама, поэтому сначала найдём её реакцию на объявленную цену $p$. Прибыль равна $\pi = \alpha(48 - 2p)(p - 4\alpha)$; по качеству это парабола ветвями вниз с корнями $\alpha = 0$ и $\alpha = p/4$, поэтому оптимум посередине: $\alpha^\star(p) = p/8$. При более высоком качестве фирма производить не захочет; рассматривать имеет смысл только $p < 24$, и тогда ограничение $\alpha \leqslant 6$ выполняется само собой.

Подставим реакцию фирмы в благосостояние $W = \alpha(24 - p)^2 + \alpha(48 - 2p)(p - 4\alpha)$. При $\alpha = p/8$ имеем $4\alpha = p/2$, значит

$$W = \frac{p}{8}\Big[(24 - p)^2 + 2(24 - p)\big(p - \tfrac{p}{2}\big)\Big] = \frac{p}{8}(24 - p)\big[(24 - p) + p\big] = \frac{p}{8}(24 - p) \cdot 24 = 3p(24 - p).$$

Это снова парабола ветвями вниз с корнями 0 и 24, вершина посередине: цена равна 12. Проверим: при $p = 12$ фирма выбирает качество $\alpha = 12/8 = 1{,}5$, объём $Q = 1{,}5(48 - 24) = 36$, благосостояние равно $W = 3 \cdot 12 \cdot 12 = 432$.

Смысл результата: без контроля за качеством оптимальная цена выше, чем в пункте б) ($12 > 8$). Высокая цена здесь работает как плата за качество — иначе монополисту выгоднее сэкономить и выпустить товар похуже, а потребитель от этого теряет больше, чем выигрывает от дешевизны.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2018-19/final/econ/86-ans-econ-10-11-tur1-final-18-9.pdf

Выбросы — это половина выпуска, так что квота в 3 единицы равна потолку в 6 тонн. В пункте б) добавь в прибыль доход от продажи квоты, найди чистый спрос каждого завода и потребуй, чтобы сумма выбросов совпала с общим числом выданных квот.

а) Без квот завод с номером $i$ максимизирует $\pi_i(q_i) = i q_i - q_i^2/4$. Это парабола ветвями вниз с вершиной в точке $q_i = 2i$, столько тонн он и выплавит. Выбросы пропорциональны выпуску: $e_i = 0{,}5 q_i = i$.

Суммарные выбросы без регулирования равны $1 + 2 + \dots + 15 = \dfrac{15 \cdot 16}{2} = 120$ единиц.

Квота в 3 единицы выбросов означает потолок выпуска $q_i \leqslant 3/0{,}5 = 6$ тонн. Заводы 1, 2 и 3 хотели производить 2, 4 и 6 тонн — им квота не мешает, и их выбросы остаются равными 1, 2 и 3. Остальные 12 заводов упираются в потолок и выбрасывают ровно по 3 единицы каждый. Суммарные выбросы после введения квот: $1 + 2 + 3 + 12 \cdot 3 = 42$ единицы.

Значит, квоты сокращают выбросы на $120 - 42 = 78$ единиц. Вопрос именно про выбросы, а не про выпуск: в тоннах металла сокращение вдвое больше (156), и это типичная ошибка.

б) Пусть цена квоты равна $t$. Прибыль завода $i$ теперь равна

$$\pi_i(q_i) = i q_i - \frac{q_i^2}{4} + t\left(3 - \frac{q_i}{2}\right),$$

где последнее слагаемое — выручка от продажи неиспользованной квоты (если $q_i < 6$) или расход на покупку недостающей (если $q_i > 6$).

По выпуску это снова парабола ветвями вниз, вершина в точке $q_i = 2i - t$. Значит при $i > t/2$ оптимум $q_i = 2i - t$, а при $i \leqslant t/2$ функция прибыли убывает, выпуск нулевой и завод продаёт всю свою квоту. Чистый спрос завода на квоты равен

$$z_i = \frac{q_i}{2} - 3 = \begin{cases} i - t/2 - 3, & i > t/2;\\ -3, & i \leqslant t/2.\end{cases}$$

Если эта величина отрицательна, завод предлагает квоты, если положительна — покупает. В равновесии сумма всех $z_i$ равна нулю: общее число квот не меняется и составляет $15 \cdot 3 = 45$ единиц.

Пусть заводы $1, \dots, m$ стоят, а заводы $m+1, \dots, 15$ работают. Баланс рынка квот даёт

$$-3m + \frac{(15 - m)(16 + m)}{2} - \frac{(15 - m)t}{2} - 3(15 - m) = 0, \qquad \frac{t}{2} = \frac{16 + m}{2} - \frac{45}{15 - m}.$$

Чтобы первые $m$ заводов действительно останавливались, а остальные производили положительный выпуск, нужно $m \leqslant t/2 < m + 1$. Левое неравенство сводится к $m^2 - 31m + 150 \geqslant 0$ и даёт $m \leqslant 6$, правое — к $m^2 - 29m + 120 < 0$ и даёт $m > 5$. Поскольку $m$ целое, $m = 6$, а цена квоты равна $t = 2m = 12$.

Проверим: при $t = 12$ производят заводы с номерами $i > 6$, их выпуск равен $q_i = 2i - 12$, выбросы $e_i = i - 6$, то есть 1, 2, …, 9 единиц, а их сумма равна $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45$ — ровно столько квот и выдано. Заводу 6 выпускать уже невыгодно ($2 \cdot 6 - 12 = 0$), заводу 7 ещё выгодно ($2 \cdot 7 - 12 = 2 > 0$).

Итак, цена квоты равна 12 д. е. за единицу загрязнения; заводы с 1-го по 6-й ничего не производят и продают свои квоты, их выбросы нулевые; заводы с 7-го по 15-й выбрасывают 1, 2, …, 9 единиц, суммарно 45. Частая ошибка — найти цену единицы докупаемого выпуска и получить 6 вместо 12: одна тонна металла требует лишь половины единицы квоты.

в) Выбросы выросли с 42 до 45 единиц: раньше три самых дешёвых завода не выбирали свою квоту до конца, а теперь эти остатки выкупают заводы с дорогим металлом. И всё же торгуемые квоты имеют смысл — достаточно одного аргумента.

Сокращения распределяются эффективно. Обществу важен не только суммарный объём выбросов, но и то, как он распределён между заводами: из одной и той же единицы загрязнения лучше получать более ценный металл. Рынок квот переносит право загрязнять туда, где выпуск ценнее, потому что готовность платить за квоту отражает относительную ценность и редкость благ. В нашей задаче заводы с 1-го по 6-й с дешёвым металлом уступают квоты заводам с 7-го по 15-й, и выгода общества от тех же 45 единиц загрязнения растёт.

Второй аргумент: стимулы действуют постоянно. При торгуемых разрешениях выгода от сокращения выбросов сохраняется на любом уровне — сэкономленную квоту всегда можно продать. При жёстком потолке стимул исчезает, как только завод опустился до разрешённого уровня: снижать выбросы дальше ему уже незачем.

Официальные ответы и критерии: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2018-19/final/econ/86-ans-econ-10-11-tur1-final-18-9.pdf